山东省济南大学城实验高级中学2021届高三数学下学期2月份模拟考试试题202104010246

某某省某某大学城实验高级中学2021届高三数学下学期2月份模拟考试
试题
考试X 围：高考X 围；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的某某、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知集合{}3A x N x =∈<，{}260B x x x =--<，则A B =（）
A ．{}23x x -<<
B ．{}03x x <<
C ．{}0,1,2
D ．{}1,2
2．已知复数134i z i -=
+（其中i 为虚数单位），则||z 的值为（）
A ．1
B ．2D ．5 3．下列命题中错误的是（）
A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题
B ．命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”
C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
D ．已知00x >，则“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件
4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）
A ．90
B ．120
C ．210
D ．216
5．已知向量()1,3a =-，3,3b λ⎛= ⎝⎭
，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为（）
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．2π3 6．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（）
A ．24
B ．48
C ．12
D ．60
7．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204
x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（）
A ．52
B ．114
C ．3
D ．134
8．已知定义在R 上的函数()13y f x =+-是奇函数，当()1,x ∈+∞时，()131f x x x '≥+
--，则不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦的解集为（）
A ．()1,+∞
B ．()()1,0,e -⋃+∞
C ．()()0,1,e +∞
D ．()()1,01,-⋃+∞
二、多选题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，有选错的得 0 分， 部分选对得 3 分）
9．某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y 看成以年份序号xexcel 软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误．．的是（）
A ．销售额y 与年份序号x 呈正相关关系
B ．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元
C ．销售额y 与年份序号x 线性相关不显著
D ．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
10．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><
⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个不同的12,x x 满足()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上具有单调性，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线712x π=分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（）
A ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调性无法判断 B ．()f x 图象的一个对称中心为59,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值的和为12 D ．将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移
6π个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =-
11．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）
A ．直线1DD 与直线AF 垂直
B ．直线1
AG 与平面AEF 平行 C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 12．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）
A ．()12P M =
B ．()1611
P M A = C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件
第II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点()2,1，()4cos 5αβ+=，且0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则sin β=______. 14．甲､乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a ，b 满足：x ，2a b +，y 成等差数列，则1111
a b +++的最小值为_____.
15．定义函数()3612,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，则函数()()9g x x f x =⋅-在区间()*1,2N n n ⎡⎤∈⎣⎦内的所有的零点之和为_______.
16．设12,F F 是椭圆22221(0,0)x y m n m n
+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，当12F PF ∠取最大值时的余弦值为149-
．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点A ，使()220OA OF F A +⋅=(O 为坐标原点)，且12AF
AF λ=，则λ的值为____．
五、解答题 17．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A =为函数()23sin 22sin f x x x =+图象的一条对称轴.
（1）求A ；
（2）若4a =，求ABC 面积的最大值.
18．已知等比数列{}n a 的公比为q .
（1）试问数列1{}n n a a ++一定是等比数列吗？说明你的理由；
（2）在①3q =-，②4569a a a =，③12327a a a =这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并
解答.
问题：若，求{}n a 的通项公式及数列{(1)4}n
n n a -+的前n 项和n S . 注：如果选择多种情况解答，则按第一种情况计分.
19．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.
（1）求证：//EF 平面ABCD ；
（2）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.
﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某某市教育局拟从53分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从55名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔
（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；
（3）现在需要2A
B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务
的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达
到最小.
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长为6，且经过点3(2Q ，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .
（1）求椭圆的标准方程
（2）若20OB OC +=，求线段PA 的长
（3）试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由
22．已知函数()()222
x a f x x e x ax =--+，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1x <时，不等式()()21202
x a f x x e x ax a +++-+>恒成立，求a 的取值X 围．
2020-2021学年度某某大学城实验高级中学
2月份模拟考试参考答案
1．C
【分析】
先求得集合,A B ，由此求得两个集合的交集.
【详解】 由题意得{}{}30,1,2A x N x =∈<=，{}{}
26023B x x x x x =--<=-<<，故{}0,1,2A B =.
故选：C
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算．易忽略集合M 中x 是自然数．
2．D
【分析】
解法一:对z 进行化简,然后计算z .
解法二:利用复数模的性质,若12z z z =
,则12z z z = 【详解】
解法一:()()()()1341173434342525
i i i z i i i i ---===--++-
5z ∴== 解法二: 134i z i
-=+
1
1
34345
i
i
z
i i
-
-
∴====
++
【点睛】
本题考查复数模的求法,复数模的性质,属于简单题.
3．C
【分析】
对于A，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C，根据复合命题的真假关系进行判断；对于D，利用必要不充分条件进行判断. 【详解】
对于A，若x=y，则sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A正确；
对于B，命题“
000
0,ln1
x x x
∃>=-”的否定是“
000
0,ln1
x x x
∀>≠-”，故B正确；对于C，若p q
∨为真命题，则p q
与至少有一个是真命题，故p q∧不一定为真命题，故C 错误；
对于D，充分性：当
44b2
x a
==-=
，，时，显然0
a b
>>不成立，即充分性不具备；
必要性：因为
x>，0
a b
>>根据幂函数的单调性，显然00
x x
a b
>，即必要性具备，故D正确.
故选C
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础．
4．C
【分析】
根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同
一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】
因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：33
63120C A =种站法； 第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：2
2
2
36290C C A =种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是
12090210+=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 5．B 【分析】
由a b ⊥可得出λ的值，求出3a b +的坐标，根据向量夹角公式即可得结果. 【详解】
∵()1,3a =-，3,
3b λ⎛= ⎝⎭
，a b ⊥，设3a b +与a 的夹角为θ，
∴130λ-⨯+=，解得λ= ∴()()313,312,4a b +=-++=，
∴()
()()
2
222
321432
cos 2
32413a b a
a b a
θ+⋅⨯-+⨯=
=
=
+⨯+⨯
-+， 由于[]0,θπ∈，可得4
π
θ=，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算，考查向量夹角余弦值的求法，属于基础题. 6．A 【解析】
由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，
设等比数列的首项为，则有7(12)
38112
a -=-，
解得3a =．
∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为33224⨯=．选A ． 7．A 【分析】
计算()1,2P -，则11
22
MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】
函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.
2
14
y x =
，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()2
2114x y +-=.
1115
32222
MP MN MP MF PD +≥+-
≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .
【点睛】
本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 8．D 【分析】
本题首先可根据题意得出函数()f x 的图像关于点()1,3中心对称且()13f =，然后根据基本不等式得出()0f x '≥，则函数()f x 在R 上单调递增，最后将不等式
()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦转化为()()30ln 10f x x ⎧->⎪⎨+>⎪⎩或()(
)30ln 10f x x ⎧-<⎪⎨+<⎪⎩，通过计算即可得出结果. 【详解】
因为函数()13y f x =+-是定义在R 上的奇函数， 所以函数()f x 的图像关于点()1,3中心对称，且()13f =， 当()1,x ∈+∞时，10x ->， 则()()11
1
312212011
1
x x x x x x +
-=-+-≥-⨯
=---，当且仅当2x =时取等号， 故()1
301
f x x x '≥+
-≥-，函数()f x 在()1,+∞上单调递增， 因为函数()f x 的图像关于点()1,3中心对称， 所以函数()f x 在R 上单调递增，
不等式()()3ln 10f x x -+>⎡⎤⎣⎦可化为()()30ln 10f x x ⎧->⎪⎨+>⎪⎩或()()30
ln 10f x x ⎧-<⎪⎨+<⎪⎩， ()(
)30
ln 10f x x ⎧->⎪⎨+>⎪⎩，即10x x >⎧⎨
>⎩，解得1x >， ()()30
ln 10f x x ⎧-<⎪⎨
+<⎪⎩
，即110x x <⎧⎨-<<⎩，解得10x -<<， 故不等式的解集为()()1,01,-⋃+∞， 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：若函数()()y f x a a R =+∈是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线
x a =对称；若函数()()y f x b b R =+∈是奇函数，则函数()y f x =的图像关于点(),0b 中
心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题. 9．BC 【分析】
采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可. 【详解】
对于A ，散点从左下到右上分布，所以销售额y 与年份序号x 呈正相关关系，故A 正确，不符合题意；
对于B ，令10x =，由三次多项式函数得2684.54y =，所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B 错误，符合题意；
对于C ，因为相关系数20.936r =，非常接近1，故销售额y 与年份序号x 线性相关显著，故C 错误，符合题意；
对于D ，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数20.999R =，而回归直线拟合的相关指数
20.936R =，相关指数越大，拟合效果越好，故D 正确，不符合题意.
故选：BC. 【点睛】
本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，熟记概念，考查观察能力，属于基础题. 10．BC 【分析】
根据条件求出()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可. 【详解】 由题意得70,
,6
122
x k k ωπ
ωπ
ϕϕπ-
+=+=+∈Z ，即4132k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
又()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上具有单调性，
所以5123122272326
T T ππππ
ω
ππππ
ω⎧⎛⎫--=≤= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪--=≥= ⎪⎪⎝⎭⎩，所以121275ω≤≤ 所以只有1k =时满足，此时2,3
π
ωϕ==
，即()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 因为
6
2
x π
π
<<
，所以
242333x πππ
<+<，所以()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，故A 错误；
由5922063ππ
π⨯
+=，所以59,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确； 因为44
x ππ-，所以min 52,()6364x f x f ππππ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭ max 1sin ,()sin 162122f x f πππ⎛⎫⎛⎫
=-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以最大值与最小值之和为12，故C 正确；
将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，再向左平
移
6π
个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象， 即()cos g x x =，故D 错误. 综上，BC 正确 故选：BC 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解. 11．BD 【分析】
取1DD 中点M ，通过AM 与1DD 不垂直可判断选项A ；取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，
通过平面1
//AGN 平面AEF 可判断选项B ；利用反证法可判断选项C ；根据平面性质得出截面图形，计算出面积可判断选项D. 【详解】
对于A ，取1DD 中点M ，则AM 为AF 在平面11AA D D 上的射影，
AM 与1DD 不垂直，AF ∴与1DD 不垂直，故A 错；
对于B ，取11B C 中点N ，连接1A N ，GN ，
在正方体1111ABCD A BC D -中，1//,//A N AE NG EF ，
1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
所以1//A N 平面AEF ，同理可证//NG 平面AEF ，
1A N NG N = ，所以平面1
//AGN 平面AEF ， 1AG ⊂平面1AGN ，所以1
//AG 平面AEF ，故B 正确； 对于C ，假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分， 则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，
则假设不成立，故C 错；
对于D ，在正方体1111ABCD A BC D -中，1//AD EF ， 把截面AEF 补形为四边形1AEFD ， 由等腰梯形计算其面积9
8
S =
，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查空间中的位置关系的判断，考查平面的性质，属于中档题. 12．BCD 【分析】
根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案． 【详解】 解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑
球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A 、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件， 对A ，463535541
()1011101110111102
P M =
⨯+⨯+⨯=≠，故A 错误；
对B ，11146()6
1011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯
=
==，故B 正确； 对C ，当1A 发生时，6()11P M =，当1A 不发生时，5
()11
P M =，∴事件M 与事件1A 不相
互独立，故C 正确；
对D ，1A ，2A ，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 13
【分析】
根据角α的终边经过点()2,1，求得sin ,cos αα，确定α的X 围，再根据0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
的X
围求得αβ+的X 围，再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求解. 【详解】
因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,1，
所以sin α=
，cos 5α=
，又152<
，所以22,6k k k Z ππαπ<<+∈， 因为0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 所以222,3
k k k Z π
παβπ<+<+∈， 因为()4cos 5
αβ+=， 所以()3sin 5
αβ+=
，
所以()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，
()()sin cos cos sin αβααβα=+-+，
3455=-=
.
【点睛】
关键点点睛：一是活用定义，即会利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值；二是判断X 围，即会判断角的取值X 围，注意估值法在解题中的应用；三是会“凑角”，即会根据所求角的特征与已知角的特征，合理“凑角”. 14．
23
【分析】
由中位数和平均数的定义求x 和y ，根据等差数列的定义，得到4a b +=，再利用“1”的变形，利用基本不等式求最值. 【详解】
由茎叶图可知：0x =，4y =.
∵正实数a ，b 满足：x ，a ，b ，y 成等差数列； ∴4a b x y +=+=；
∴11111[(1)(1)]11611a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅+ ⎪++++⎝⎭
111122261163
b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭⎝. 当且仅当2a =，2b =时等号成立. 故答案为：
2
3
.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是“1”的妙用，将
1111
a b +++变形为11111[(1)(1)]11611a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅+ ⎪++++⎝⎭
，最后利用基本不等式求最值. 15．
()3212
n -
【分析】
函数f （x ）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x ≤2，f （x ）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后利用等比数列求和即可． 【详解】
当1≤x 3
2
≤
时，f （x ）＝12x ﹣12， 所以21()12()122g x x =--，此时当x 3
2
=时，g （x ）max ＝0；
当32
＜x ≤2时，f （x ）＝24﹣12x ，所以2
()12(1)3g x x =--+＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．
下面考虑2n ﹣1<x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1<x ≤3•2n ﹣2且n ≥2时，由函数f （x ）的定义知f （x ）12=f （2
x
）
112n -==
f （1
2n x -）， 因为11
322
n x -≤
≤， 所以2224
3
()(2)122
n n g x x --=
--，
此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0； 当3•2n ﹣2<x ≤2n 时，同理可知，1224
3()(2)32n n g x x --=-
-+<0．
由此可得2n ﹣1<x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0．
综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间(2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为x n ＝3•2n ﹣2，
因此，所有这些零点成等比数列，所有零点的和为()3212
n
-． 故答案为：()3212
n
-． 【点睛】
解决本题的关键是先求得1≤x ≤2时，g （x ）max ，再利用伸缩且平移的特点考虑2n ﹣1<x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况. 16．
5734或43
【分析】
（Ⅰ）利用基本不等式知点P 位于短轴端点时，12F PF ∠的余弦值最大，计算得2224
49
b a =
，
进而求出离心率5
7
c e a ===；
（Ⅱ）取2AF 中点D ，由已知得220OD F A ⋅=，可得2OD AF ⊥，利用中位线性质可得
12AF AF ⊥，可得焦点12AF F △为直角三角形，再由椭圆定义及勾股定理结合椭圆离心率，
即可求出12,AF AF ，进而求得λ 【详解】
设2,2a b 分别为椭圆的长轴长，虚轴长， （Ⅰ）在12F PF △中，22
2
2
121212
12
42cos 12PF PF c b F PF PF PF PF PF +-∠=
=-⋅⋅, 2
122
122PF PF PF PF a ⎛⎫+⋅≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当12PF PF a ==时，等号成立，即当点P
位于短轴端点时，12F PF ∠的余弦值最大，22
21149b a ∴-
=-，即2
224
49
b a =，则离心率5
7
c e a ===
（Ⅱ）取2AF 中点D ，由()
220OA OF F A +⋅=，即220OD F A ⋅=，可得2OD AF ⊥，利
用中位线性质可得12AF AF ⊥，设1AF u =，2
AF v =，则2224257u v c u v a a c ⎧
⎪+=⎪
+=⎨⎪⎪=
⎩ 解得8767u a v a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或6787u a v a
⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，34λ∴=或43
故答案为：57；34或4
3
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出
e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
17．（1）3
A π
=；（2
）【分析】
（1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数()f x 的解析式进行化简、变形，然后再求出对称轴，确定A 的值.
（2）根据A a ，的值，再结合余弦定理，找到b c ，的关系式，再根据不等式确定bc 的最大值，然后可根据1
sin 2
ABC
S bc A =
求出面积的最大值. 【详解】
（1）(
)2
22sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，
∴262
ππ
A k π-
=+(k ∈Z )， 即1
32
πA k π=+(k ∈Z )，又02A π<<，
∴当0k =时，3
A π=. （2）∵3
A π
=
，4a =， ∴由余弦定理得，2
2
22162cos 23
π
b c bc b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立
∴111
sin sin 1622322
ABC πbc A bc S =
=≤⨯⨯=△
故ABC 面积的最大值为【点睛】 本题的关键点为：
通过降幂公式和辅助角公式，将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，即可求出对
称轴.
三角形的面积公式111
sin =sin sin 222
ABC bc A ab C ac B S =
=△ 18．（1）不一定，1q =-时，不是等比数列；（2）答案见解析． 【分析】
（1）1q =-时，10n n a a ++=，从而确定数列是否为等比数列；
（2）选①②，由4569a a a =得39a =，求得1a 后可得通项公式n a ，然后用分组求和法求得
n S ，对n 分偶数和奇数分别求和化简．
选②③，由4569a a a =得39a =，由12327a a a =得2a ，然后求得1,q a 后得通项公式n a ，然后用分组求和法求得n S ，对n 分偶数和奇数分别求和化简．
选①③，由12327a a a =得2a ，从而得1a ，从而可得n a ，然后用分组求和法求得n S ，对n 分偶数和奇数分别求和化简． 【详解】
（1）数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，理由如下：
1q =-时，10n n a a ++=，1{}n n a a ++不是等比数列， 1q ≠-时，1{}n n a a ++是等比数列，
故数列1{}n n a a ++不一定是等比数列； （2）选①②，
由4569a a a =，4536a a a a =得3669a a a =，39a =，∵3q =-，∴11a =， ∴1
(3)
n n a -=-，
1(3)1234(1)41(3)
n
n
n S n --=-+-+-
+-+⨯--，
n 为偶数时，132
n n n
S =
+-， n 为奇数时，11(1)(1)1(3)322
-=+-++--=+n n
n n S n n ，
选②③，
由4569a a a =，4536a a a a =得3669a a a =，39a =，又3
123227a a a a ==，23a =，
∴3
2
3a q a =
=，11a =，∴13-=n n a ， 131234(1)413
-=-+-+-
+-+⨯
-n n
n
S n ， 当n 为偶数时，2232
n n n
S =
-+⨯， 当n 为奇数时，11
(1)2(31)(5)2322
n n n n S n n +=-++-=-++⨯； 选①③，
由3123227a a a a ==，得23a =，又3q =-，∴11a =-，∴1
(3)n n a -=--，
11(3)1234(1)41(3)
n n n S n ⎡⎤-⨯--⎣⎦
=-+-+-
+-+⨯
--，
n 为偶数时，132n n n
S =
-+， n 为奇数时，13(1)(1)1(3)32
2
n n
n n S n n +=+-+-+-=-
-， 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的判断，考查求等比数列的通项公式和分组求和法求和．涉及到(1)n
-，因此求和时按n 的奇数和偶数分类讨论，偶数时正好相邻两项合并求和．数列
求和的几种方法一定要掌握：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法．
19．（1）证明见解析；（2【分析】
（1）取CD 的中点G ，连接FG ，BG ，证明四边形FGBE 是平行四边形得出//EF BG 即可证明；
（2）以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1DC 和平面EAD 的法向量，利用向量关系即可求出. 【详解】
解：（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG ，BG . 因为F 是1DC 的中点，所以1FG//CC ，11
2
FG CC =
. 因为E 是1BB 的中点，所以
1//EB CC ，11
2
EB CC =. 所以//FG EB ，FG EB =. 所以四边形FGBE 是平行四边形. 所以//EF BG .
因为EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD .
（2）因为底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ， 所以DA DC ⊥，1DD DA ⊥，1DD DC ⊥.
以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .
因为1DA =，12DC DD ==，
所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,1E ，()10,2,2C . 所以()1,0,0DA =，()1,2,1DE =，()10,2,2DC =. 设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =，
所以00n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即020x x y z =⎧⎨++=⎩，
令1y =，则2z =-.所以()0,1,2n =-. 所以1210
cos ,10225
DC n -=
=-⨯. 所以直线1DC 与平面EAD 10
【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平
面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．（1）
54
125
；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【分析】
（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为
2
5
，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2
13
2355P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X 表示先A 后B 完成任务所需人
员数目，求出的X 期望，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，求出的Y 期望，从而得出结论. 【详解】
（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525
C C =， 则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2
13
2354
55125
P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭
(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.
设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:
()1122222233222222222255555537
0,100C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=
()1111112211
232323324122222255555554
1,100C C C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=
()211222
32333222222555559
20,100
C C C C C C P C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=
因为()()()102P P P ξξξ=>=>=，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人.
（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，则
()()111212E X p p p =+-=-
设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则
()()()22212212,0()E Y p p p E Y E X p p =+-=-=->-.
故按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【点睛】
关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，得出()()111212E X p p p =+-=-，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则()()111212E X p p p =+-=-，相减得出大小，属于中档题.
21．（1）22194x y +=；
（2（3）是定值，6. 【分析】
（1）已知得3a =，代入点的坐标求得b 后得椭圆方程；
（2）由向量运算求得C 点坐标，写出直线AP 方程，与椭圆方程联立方程组求得P 点坐标，可得线段长；
（3）设直线PB 方程为223y kx k ⎛
⎫=->
⎪⎝⎭.得2,0D k ⎛⎫
⎪⎝⎭
，P 点坐标，C 点坐标，计算四边
形ABDC 的面积1||||2
AD BC ⨯⨯即得． 【详解】
（1）解：由题意得26a =，解得3a =.
把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程22
221x y a b
+=，得229314a b +=
由于3a =，解得2b =
所以所求的椭圆的标准方程为22
194
x y +=.
（2）解：因为20OB OC +=，则得1
(0,1)2OC OB =-
=，即(0,1)C ， 又因为(3,0)A -，所以直线AP 的方程为1
(3)3
y x =+.
由22
1(3)31
9
4y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得30x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2715
2415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即得2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以||15AP = 即线段AP
（3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2:23PB y kx k ⎛⎫=->
⎪⎝
⎭
. 令0y =，得2,0D k ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由222
194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩得()2249360k x kx +-=，解得0x =(舍去)或23649k x k =+ 所以22
18849k y k -=+，即22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
于是直线AP 的方程为222
18849(3)363
14k k y x k k -+=
⨯+++，即2(32)(3)3(32)
k y x k -=++ 令0x =，得2(32)32k y k -=
+，即2(32)0,32k C k -⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
所以四边形ABDC 的面积等于1
||||2
AD BC ⨯⨯
122(32)132123262322
32k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 即四边形ABDC 的面积为定值. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：写出直线方程求出交点坐标，得出线段长度．对定值问题，设出直线方程得出各交点坐标，计算出四边形面积即可得． 22．（1）答案见解析；（2）()1,+∞． 【分析】
（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，分0a ≤，0a e <<，a e =，a e >讨论即可得出函数()f x 的单调性；
（2）分离参数，借助导数，判定函数的单调性，求函数最值即可. 【详解】
解：（1）因为()()2
22
x
a f x x e x ax =--
+，a ∈R ． 所以()()()()
11x x
f x x e ax a x e a '=--+=--．
①当0a ≤时，令()0f x '<，得1x <．
∴()f x 在(),1-∞上单调递减；
令()0f x '>，得1x >，
∴()f x 在()1,+∞上单调递增．
②当0a e <<时，令()0f x '<，得ln 1a x <<．
∴()f x 在()ln ,1a 上单调递减；
令()0f x '>，得ln x a <或1x >．
∴()f x 在(),ln a -∞和()1,+∞上单调递增．
③当a e =时，()0f x '≥在x ∈R 时恒成立，
∴()f x 在R 单调递增．
④当a e >时，令()0f x '<，得1ln x a <<．
∴()f x 在()1,ln a 上单调递减；
令()0f x '>，得ln x a >或1x <．
∴()f x 在(),1-∞和()ln ,a +∞上单调递增．
综上所述：
当0a ≤时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
当0a e <<时，()f x 在()ln ,1a 上单调递减，在(),ln a -∞和()1,+∞上单调递增； 当a e =时，()f x 在R 上单调递增；
当a e >时，()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(),1-∞和()ln ,a +∞上单调递增．
（2）不等式()()21202
x a f x x e x ax a +++-+>， 等价于()()211x
x e a x ->-．
(),1x ∈-∞时，∴()211
x x e a x ->-． 设函数()()211x x e h x x -=-，则()()()2231x x x e h x x -'=-．
当()0,1x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减；
当(),0x ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增．
∴()()max 01h x h ==，
∴1a >．
综上，a 的取值X 围为()1,+∞．
【点睛】
方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值X 围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数X 围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。