2021届黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高三第一学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2021届黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高三第一学期期中考试数学
（文）试题【含答案】
一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）
1. 1．已知集合R U =，
{}13<<-=x x M ，
{}
3-≤=x x N ，则集合
=
)(N M C U （ ）
A ．{}1x x ≥
B ．{}
1x x > C ．R D ．∅
2．已知集合{(2)0}M x
x x =-<∣，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（ ）
A ．{0，1}
B ．{－2，－1}
C ．{1}
D ．{0，1，2}
3．“1x =”是“2210x x -+=”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若命题2:,230p x R x x ∀∈-+>,则p ⌝为（ ） A ．2,230x R x x ∃∉-+> B ．2,230x R x x ∃∈-+≤ C ．2,230x R x x ∃∈-+>
D ．2,230x R x x ∃∉-+≤
5．已知函数()()
2231
2,1
2log 1,1x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩
，则()()2f f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
6．函数()ln(-1)-2
f x x x =+的定义域为（ ） A ．()1,2
B ．()1,+∞
C ．()2,+∞
D ．()()1,22,⋃+∞
7．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．y x =
B ．3y x =
C ．cos y x =
D ．ln y x =
8．下列各组中，终边相同的角是（ ） A ．
3π5和2k π–3π5（k ∈Z ） B ．–π5和26π5 C ．–7π9和11π9 D ．20π3
和122π
9
9．已知2α=，则点P (sin ,tan )αα所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．若
sin cos 1sin cos 2
αααα+=-，则tan 24πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．7
B ．7
C ．1
7
-
D ．
1
7
11．先将函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的周期变为原来的2倍，再将所得的图像向右平移6π
个单位，则所得图
像的函数解析式为（ ） A ．2sin y x = B ．2sin 3y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭ C ．2sin 4y x = D ．2sin 46y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 12．函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪⎝
⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的
图象，只需把 ()y f x =的图象上所有点（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度 C ．向左平移
6π个长度单位 D ．向左平移12
π
个长度单位
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知幂函数()f x 经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()9f =__________. 14．已知lg3a =，
1
3
2
b =，1
ln
2
c =，则a 、b 、c 的大小关系为______. 15．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ，则2cos sin2αα+的值为__________． 16．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
(),P x y ，我们把1x
叫做α的正割，记作sec α；把
1y
叫 做α的余割，记作csc α.则c 22s sc ec
33
ππ÷=__________.
三．解答题（17题10分，18题到22题每题12分，共70分）
17．求下列函数()f x 的解析式.
（1）已知()2
121f x x x -=-+，求()f x ；
（2）已知一次函数()f x 满足()()41f f x x =-，求()f x .
18．已知3sin α5=
，πα,π.2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()1求cos α和()tan απ+的值． ()2求πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
和π
cos α.3
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
19．已知函数()2
ln f x x x x =+
（Ⅰ）求这个函数的导数()f x '； （Ⅱ）求这个函数在1x =处的切线方程.
20．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数f (x )的递减区间；
(2)讨论函数f (x )的极大值或极小值，如有试写出极值．(要列表求)
21．已知向量3sin ,
4a x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()cos ,1b x =-． （1）当//a b 时，求2sin 2cos x x -的值；
（2）设()()
f x a b b =+⋅，求()f x 的单调递减区间．
22．已知函数()22sin 23sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，，求()f x 的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题：
1．A 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B . 11．B 12．A 二、填空题： 13．
1
3 14．b a c >> 15．85
16．3- 三、解答题：
17．（1）()2
232f x x x =-+；（2）()123
f x x =-或()21
f x x =-+．
（1）（换元法）设1t x =-，则1x t =-，∴()()()2
22111232f t t t t t =---+=-+，
∴()2
232f x x x =-+.
（2）（待定系数法）∵()f x 是一次函数，∴设()()0f x ax b a =+≠，则
()()()()2f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++，
∵()()41f f x x =-，∴24{1
a a
b b =+=-，解得2
{13
a b ==-或2
1a b =-⎧⎨=⎩. ∴()1
23
f x x =-或()21f x x =-+.
18．（1）,45-
34-； （2）2334-. ()
31sin α5=，πα,π2⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，24cos α1sin α5∴=--=-，
()sin α3
tan απtan αcos α4
+==
=-． ()π222
2sin ααcos α42210
⎛⎫+
=+=- ⎪
⎝
⎭；
πππ4133334cos αcos αcos sin αsin 333525210⎛
⎫-=+=-⋅+⋅=
⎪⎝
⎭． 19．（Ⅰ）()21f x x lnx =++'；（Ⅱ）320x y --=. （Ⅰ）因为()2
ln f x x x x =+，所以()21f x x lnx =++'；
（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是()1213k f ==+='，
又()11f =，所以切线方程为()131y x -=-，整理得320x y --=.
20．解：f′(x)＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，令f′(x)＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. x 变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
（1）由上可知f （x ）的递减区间为(－1,3).（2）根据表格可得：
()(1)16,()=(3)16f x f f x f =-==-极大值极小值
21．（1）85
-；（2）π5ππ,π88k k ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z .
（1）
3(sin ,)4a x =，(cos ,1)b x =-，∴当//a b 时，3
sin cos 04x x --=，
解得sin 3tan cos 4
x x x ==-，则22
2222sin cos cos 2tan 18sin 2cos sin cos tan 15x x x x x x x x x ---==-++＝．
（2）由题可知：()()
()12π3cos sin cos 2444f x a b b x x x x ⎛
⎫=+⋅=++
=++ ⎪⎝
⎭， 由
ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，k ∈Z 得π5π
ππ88
k x k +≤≤+，
所以()f x 的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ．
22．(Ⅰ)T π=，对称中心(
,0),()212
k k Z ππ
-∈； (Ⅱ)min max ()()1,()()266
f x f f x f π
π
=-
=-==. 解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
∴()f x 的最小正周期为， 令
，则
，
∴()f x 的对称中心为； （Ⅱ）∵
∴
∴
∴
∴当时，()f x 的最小值为
； 当
时，()f x 的最大值为．。