上海东昌东校必修二第二章《解析几何初步》测试(答案解析)

一、选择题
1．已知点(3,2)P ，点M 是圆22
1:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是
222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）
A ．5-
B ．5+
C ．2
D ．3-2．已知动点M 到()1,1A ，()3,3B -两点的距离相等，P 是圆()2
235x y -+=上的动点，则PM 的最小值为（ ）
A B ．C ．2
D ．
2
3．已知两个不相等的实数a ，b 满足以下关系式：2
sin cos 02
a a π
θθ+-
=，
2sin cos 02
b b π
θθ+-
=，则连接()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与圆心在原点的单位
圆的位置关系为（） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相切或相交
4．已知圆()
2
22
41:C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为1C 与圆
222:2440C x y x y +--+=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．内切
C ．外切
D ．相离
5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知
ABC 的顶点(1,0),(0,2),B C AB AC -=，则ABC 的欧拉线方程为（ ）
A ．2430x y --=
B ．2430x y ++=
C ．4230--=x y
D ．2430x y +-=
7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：
2cm ）是（ ）
A ．36π
B ．54π
C ．72π
D ．90π
8．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角
的余弦值为（ ） A ．
136
B ．
36
C ．
336
D ．
116
9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与
1A B 所成角的大小为（ ）
A ．
π
6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
π2
10．三棱锥P ABC -中，6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，若
52PA PB PC ===B 到平面PAC 的距离为（ ）
A ．32
B ．
3041
41
C ．
1534
17
D ．6
11．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ） A 2B ．
22
C ．
12
D 312．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将
ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以
下结论正确的是（ ）
A ．AC BD '⊥
B ．AD B
C '⊥ C ．B
D C D ⊥' D ．AB C D ⊥'
二、填空题
13．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --=过定点
B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为_________
14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足53
44
OC OA OB =
+，则r 的值为________． 15．已知直线l ：230ax y a --+=与圆C ：()()2
2
124x y -+-=相交于P ，Q 两点，则PQ 的最小值为______.
16．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点
()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.
17．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 向圆22:4O x y +=和圆
22:(2)(2)4C x y ++-=各引一条切线，切点分别为,A B .若2PB PA =，且平面上存在
一定点M ，使得P 到M 的距离为定值，则点M 的坐标为_______.
18．若直线y x b =+与曲线21y x =-b 的取值范围是_______. 19．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．
20．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.
21．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.
22．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为
垂足，2,31
AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 23．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O 的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________
24．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面
的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．
三、解答题
25．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．
26．如图，在三棱锥M 中，M 为BC 的中点，3PA PB PC AB AC =====，
26BC =.
（1）求二面角P BC A --的大小； （2）求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值.
27．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为2343PB =60
PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点．
（1）证明：PC ⊥平面ABC ；
（2）求直线BF 与平面PAC 所成角的大小．
28．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，M 是侧棱1AA 的中点．
（1）在图中作出平面ABC 与平面1MBC 的交线l （简要说明），并证明l ⊥平面
11CBBC ；
（2）求点C 到平面1MBC 的距离．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求max min
PN PM -.
【详解】
由条件可知||||PN PM -的最大值是max min
PN PM
-，
()()
22
2max 1302214PN PC =+=
-+-=，
1min
111PM
PC =-=
=,
所以||||PN PM -的最大值是()
415-=- 故选：A 【点睛】
结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下： （1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为
AO r -，最大值为AO r +；
（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -.
2．A
解析：A 【分析】
易知M 轨迹为线段AB 的垂直平分线，由此可求得M 轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由d r -可求得结果. 【详解】
M 到,A B 两点距离相等，M ∴点轨迹为线段AB 的垂直平分线，
又311
312
-=
=---AB k ，AB 中点坐标为()1,2-， M ∴点的轨迹方程为：()221y x -=+，即240x y -+=.
由圆的方程知：圆心为()3,0，半径r =
∴圆心到直线240x y -+=的距离d =
=
min
PM
d r ∴=-==
故选：A. 【点睛】
结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -（d 为圆心到直线距离，r 为圆的半径）.
3．C
解析：C 【分析】
由题意可得直线AB 的方程为sin cos 02
x y π
θθ⋅+⋅-=，由点到直线的距离公式可得圆
心()0,0到直线AB 的距离，即可得解. 【详解】
因为实数a 满足关系式2
sin cos 02
a a π
θθ+-
=，实数b 满足关系式
2sin cos 02
b b π
θθ+-
=，且实数a ，b 不相等，
所以点()2,A a a ，()
2
,B b b 为直线sin cos 02
x y π
θθ⋅+⋅-
=上的两点，
所以直线AB 的方程为sin cos 02
x y π
θθ⋅+⋅-
=，
因为圆心()0,0到直线AB
的距离
12
d π
=
=
>，
所以直线AB 与圆心在原点的单位圆的位置关系为相离. 故选：C. 【点睛】
本题考查了直线方程的应用及直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
根据圆1C 的方程求得圆心为()
2
,0a ，半径为2a ，利用点到直线的距离公式得到22a =，
求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定. 【详解】 圆(
)2
2
241:C x y a
a +-=的圆心为()2
0a
，，半径为2
a
.
圆心到直线20x y --=
的距离为d =
=
22a =.
∴圆()2
21:24C x y +-=的圆心为()0,2A ，半径为1r =2，
圆2
2
2:2440C x y x y +--+=的标准方程为：()()2
2
x 1y 21-+-=，
圆心坐标为()1,2B ，半径21r =， 圆心距
121d r r =
==-，
∴两圆相内切， 故选：B. 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方程，属中档题.
5．D
解析：D 【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAM
PM AB S PA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以
MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．
【详解】
圆的方程可化为()()2
2
114x y -+-=，点 M 到直线l
的距离为
2d =
=>，所以直线 l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以
1
4442
PAM
PM AB S
PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而
PA =
当直线MP l ⊥
时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．
∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧
=+
⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨
=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．D
解析：D 【分析】
根据题意得出ABC 的欧拉线即为线段BC 的垂直平分线，然后求出线段BC 的垂直平分线的方程即可. 【详解】
因为(1,0),(0,2)B C -，所以线段BC 的中点的坐标1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，线段BC 所在直线的斜率2BC k =，则线段BC 的垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫
-=-+ ⎪⎝⎭
，即2430x y +-=，因
为AB AC =，所以ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，所以
ABC 的欧拉线方程为2430x y +-=.
故选：D 【点睛】
本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】
解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；
设D 为AB 的中点，
又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，
∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，
222(3)3R R ∴=-+，
解得3R =，
∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．
故选：A ． 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
8．B
解析：B 【分析】
取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】
取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，1
2
EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），
设1AB =，则12EF =
，3DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11
324cos 63
2
EF
FED DE ∠===．
所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为3． 故选：B ．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
9．D
解析：D 【分析】
取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE
⊥平面11ACC A 可得BE AM
⊥，再由
1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.
【详解】
取AC 中点E ，连接1,A E BE ，
ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，
正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，
1CC BE ∴⊥，1AC CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，
AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，
在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，
1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12
CAM A EA π
∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，
1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，
1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，
故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为
2
π.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出
1AM A B ⊥. 10．C
解析：C 【分析】
取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，根据题中条件，由线面垂直的判断定理，证明PO ⊥平面ABC ；求出三棱锥P ABC -的体积；以及PAC △的面积，设点B 到平面PAC 的距离为d ，根据等体积法，由P ABC B PAC V V --=，即可求出结果. 【详解】
取BC 中点为O ，连接OP ，OA ，
因为6AB =，8AC =，90BAC ∠=︒，所以226810BC =+=，则
1
52
AO BC =
=；
又PA PB PC ===222100PB PC BC +==，则PB BC ⊥，
1
52
PO BC =
=， 所以22250PO OA PA +==，所以PO AO ⊥； 因为PB PC =，O 为BC 中点，所以PO BC ⊥，
又BC AO O ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ； 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332
P ABC ABC
V S PO -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=， 因为在PAC △
中，PA PC ==8AC =，所以PAC △
的面积为
182PAC
S
=⨯= 设点B 到平面PAC 的距离为d ， 由P ABC B PAC V V --=可得1
403
PAC
S d =⋅，
所以d ==
故选：C. 【点睛】 方法点睛：
求解空间中点P 到面α的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；
（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面α的一个法向量m ，以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ，则点P 到面α的距离即为PA m d m
⋅=
.
11．B
解析：B 【分析】 连接11A N B A
B =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判
定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】
连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：
因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为2211111514MB MC C B =
+=
+=2215
14MA MC CA =+=+， 所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MN
A B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，
∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为1111211222B N AB ==+=
，所以点1B 到截面1A BM 的距离为2
2
， 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：
（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；
（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n
⋅=
即可求解出点A 到平面α的距离.
12．C
解析：C 【分析】
设AH a =，则3BH a ，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】
设AH a =，则3BH a ，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，
所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，
又Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以
'1,6
C D BD B DAB π
==∠=∠=
，
所以在'Rt AC H 中，'C H =
=Rt C HD ’
中，()2'22
2
'2
11DH C D C H a a =-=--=，
所以DH a AH ==，所以6
ADH DAB π
∠=∠=，又23ADB π
∠=
，所以2
HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C H
DH H =，
所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.
二、填空题
13．【详解】由条件得直线过定点直线过定点且又直线所以∴当且仅当时等号成立∴即周长的最大值为答案：
解析：2+
【详解】
由条件得直线1l 过定点(1,0)A ，直线2l 过定点，且2AB ==． 又直线12l l ⊥，
所以222
||||4PA PB AB +==,
∴
PA PB +≤=||||PA PB =时等号成立，
∴2PA PB AB ++≤+PAB ∆周长的最大值为
2+．
答案：2+14．【详解】即整理化简得cos ∠AOB ＝－过点O 作AB 的垂线交AB 于D 则cos ∠AOB ＝2cos2∠AOD －1＝－得cos2∠AOD ＝又圆心到直线的距离为OD ＝所以cos2∠AOD ＝＝＝所以r2＝10r ＝
【详解】
2
2225325
539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭
即2
22225159r r r cos AOB r 16816=
+∠+，整理化简得cos ∠AOB ＝－3
5
，过点O 作AB 的垂
线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－
3
5，得cos 2∠AOD ＝15
.又圆心到直线的距
离为OD
=，所以cos 2∠AOD ＝15＝22
OD r
＝22r ，所以r 2＝10，r . 15．【分析】首先求出直线所过定点的坐标当时取得最小再根据弦长公式计算可得；【详解】解：因为所以令所以故直线恒过定点又因为故点在圆内当时取得最小因为所以故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系弦长公式
解析：【分析】
首先求出直线所过定点M 的坐标，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，再根据弦长公式计算可得； 【详解】
解：因为230ax y a --+=，所以()()230x a y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，所以2
3x y =⎧⎨=⎩
，
故直线恒过定点()2,3M ，
又因为()()2
2
213224-+-=<，故点()2,3M 在圆内，
当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，
因为MC =
=
所以min
PQ ===
故答案为：【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题．
16．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两
解析：1 【分析】
由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据
4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.
【详解】
由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r
，
因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，
则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --， 又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ， 所以直线m 的斜率为1(2)
12(1)
k --==--.
故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
17．【分析】设根据切线性质将转化为与半径关系求出点轨迹即可得出结论【详解】设整理得点的轨迹为以为圆心半径为的圆所以为所求故答案为:【点睛】本题考查求轨迹直线与圆的位置关系利用圆的切线性质是解题的关键属于
解析：22
(,)33
-
【分析】
设(,)P x y ，根据切线性质，将||,||PA PB 转化为||,||PO PC 与半径关系，求出P 点轨迹，即可得出结论. 【详解】
设22|2||,|||(4)||,,PB PA P x y PB PA ==，
222222||44(||4),(2)(2)44)4(y y PC PO x x ∴--+-+=--+=，
整理得2222442022680,()()333339x y x y x y +-
+-=-++=，
点P 的轨迹为以22(,)3
3
-为圆心半径为3
的圆， 所以22(,)33
M -为所求. 故答案为:22(,)33
-. 【点睛】
本题考查求轨迹、直线与圆的位置关系，利用圆的切线性质是解题的关键，属于中档题.
18．【分析】曲线是以原点为圆心1为半径的半圆直线是一条斜率为的直线利用图像找到交点恰有一个的情况即可【详解】由题由可得即为以原点为圆心1为半径的半圆直线是一条斜率为的直线与轴交于两点分别是当点在直线上时
解析：[)1,1-⋃
【分析】
曲线y =,1为半径的半圆,直线y x b =+是一条斜率为1的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可
【详解】
由题,由21y x =-可得()2
2
10x y y +=≥,即为以原点为圆心,1为半径的半圆,
直线y x b =+是一条斜率为1的直线,
()2210x y y +=≥与x 轴交于两点,分别是()1,0A -,()10
B ,,
当点()1,0A -在直线y x b =+上时,1b =；当点()10
B ,在直线y x b =+上时,1b =-, 则当11b -≤<时,二者恰有一个公共点；
当直线y x b =+与()22
10x y y +=≥相切时,12
b =,所以2b =2b =-,
综上,11b -≤<或2b =
故答案为:[){}1,12-⋃
【点睛】
本题考查已知直线与圆的交点个数求参数范围问题,考查数形结合思想
19．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最 解析：42【分析】
把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】
由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2
APA π
'∠=， 则2442AA '=
=
故答案为：42
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．
20．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：
163
π
【分析】
求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】
如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为
2x ，
设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，
由勾股定理可得()2
22
2OH r x +=，即()2
2214x AH x -+=，即2214x x +=，
3x ∴=
， 所以，球O 的半径为23
2x =O 的表面积为2
2316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
.
故答案为：163
π
. 【点睛】
方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.
21．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于 解析：36π
【分析】
作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解. 【详解】
如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，
设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，
由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ， 由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=， 所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形， 同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，
E 为AC 的中点，1222
PE AC a =
=，2ABCD S a =正方形， 23
11221833P ABCD ABCD V S PE a a -=⋅=⨯==正方形，解得32a =
2
3PE =
=，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==，
即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心，
球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=.
故答案为：36π. 【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
22．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 解析：26
【分析】
首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】
如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是
AP PB +的最小值，
以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()2
22213226AB AC BC =
+=++=
26【点睛】
思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.
23．【分析】根据给定的几何体的三视图得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥得出圆柱的底面半径和高利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式即可求解【详解】解：根据给定的几何体的三视图可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆
解析：23
π 【分析】
根据给定的几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和圆锥的体积以及圆的公式，即可求解．
【详解】
解：根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个圆柱挖去一个圆锥， 且底面半径1，高为1的组合体，
所以几何体的体积为：22
213
11113πππ⨯⨯⨯=
⨯-⨯． 故答案为：
23
π.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．
24．【分析】由第二个图可知水的体积占整个圆锥体积的在第一个图中水的体积占圆锥的上面小圆锥体积占大圆锥体积的根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比即可解得a 的值【详解】在图②中水形成的小圆锥和大圆 解析：3(27)a
【分析】
由第二个图可知，水的体积占整个圆锥体积的18，在第一个图中，水的体积占圆锥的18
，上面小圆锥体积占大圆锥体积的7
8
，根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比，即可解得a 的值. 【详解】
在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为1
2
，故其底面积的比为1
4，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为
78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为22a h a
-，体积比为327
(
=28
a h a -），解的h =3(27)a . 故答案为: 3(27)a 【点睛】
本题考查了圆锥的体积的计算，属于中档题目，解题中的关键是要准确利用圆锥体积公式得到大小圆锥体积比与大小圆锥的高比的关系.
三、解答题
25．723S =侧. 【分析】
过1C 作1C E AC ⊥于E ， 过E 作EF BC ⊥于F ，得到1C F 为正四棱台的斜高， 可得答案. 【详解】
如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，则1O O ⊥平面ABCD ， 过1C 作1C E AC ⊥于E ，所以11//C E OO ， 所以1C E ⊥平面ABCD ，1C E BC ⊥， 过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，且1C E EF E =，
所以BC ⊥平面1EFC ，1C F BC ⊥， 则1C F 为正四棱台的斜高， 由题意知145C CO ∠=，
()112
93322
CE CO EO CO C O =-=-=
⨯-=， 又2
sin 453232EF CE =⋅=⨯=， ∴高()
2
2231132
333C F C E EF =+=+=，
∴()1
393347232
S =
⨯+⨯⨯=侧．
【点睛】
本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.
26．（1）2
3
π
；（2
）
3
【分析】
（1）连接PM，则可证得PMA
∠就是二面角P BC A
--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；
（2）取PC中点N，连接,
MN AN，则AMN
∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.
【详解】
解：（1）连接PM，
因为M为BC的中点，3
PB PC AB AC
====，
所以,
PM BC AM BC
⊥⊥，
所以PMA
∠就是二面角P BC A
--的平面角.
在直角PMC
△中，3,6
PC MC
==，则3
PM=,
同理可得3
AM=，
在PMA
△中，由余弦定理得
1
cos
2
233
PMA
∠==-
⨯⨯
，
所以
2
3
PMA
π
∠=，即二面角P BC A
--的大小为
2
3
π
（2）取PC中点N，连接,
MN AN，则//
MN PB，故AMN
∠或其补角就是异面直线AM与PB所成的角，
因为等边PAC
△中，PC中点为N，所以333
AN PC
==
又
13
,
22
MN PB
==3
AM=
所以在AMN中
927
33
44
cos
3
23
2
AMN
+-
∠==
因为异面直线所成角的范围为(0,]2
π， 所以直线AM 与PB 所成的角的余弦值为
3.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2
π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角. 27．（1）证明见解析；（2）45. 【分析】
（1）利用余弦定理求出PC ，利用勾股定理可证得PC BC ⊥，再由PC AB ⊥结合线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面ABC ；
（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，推导出直线BF 与平面PAC 所成的角为
BFH ∠，求出BH 、FH ，即可求得BFH ∠，即为所求.
【详解】
（1）在PBC 中，4
3PB =23BC =60
PBC ∠=，
由余弦定理可得2222cos 36PC PB BC PB BC PBC =+-⋅∠=，222PC BC PB ∴+=，
PC BC ∴⊥，
PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，PC ∴⊥平面ABC ；
（2）取AC 的中点H ，连接BH 、FH ，如下图所示：。