3.2 复振幅的分布及角谱的传播

cos cos cos cos A , z A , 0 exp z z 0 , ,
2 2 2 f f 1 x y




由于是正实数所以对于一切满足(fx)2+(fy)2>1的(fx，fy)，所 对应的波动分量，将随Z的增大按指数exp(-Z)急剧衰减，在几个波 长的距离内衰减为0，对应于这些(fx，fy)波分量称为倏逝波。
3.2 复振幅分布的角谱及角谱的传播 对平面上光场的复振幅分布做二维付里叶变换可得其频谱布分

A ( f , f , z ) U x , y , z exp j 2 xf yf d xd x y x y
由于各不同空间频率的付里叶分量可以看成沿不同方向传播的 平面波，因此空间频谱又被称为平面波谱即复振幅布分的角谱。 上式就是光场U(x,y,z) 复振幅布分的角谱。


复振幅分布的空间频率以平面波传播方向的角度为宗量，称为角谱
3.2.2 平面波角谱的传播 U0(x,y,o) x Uz(x,y,z)
y
A0(fx, fy) Az(fx, fy)
z
cos cos A , 0 U x , y , 0 exp j 2 f x f y dxd 0 0 x y ,
3.2.3 衍射孔经对角谱的作用
Ui(x0y0)
Ut(x0y0)
Ut(x,y)=Ui(x,y)· t (x,y) t(x0y0)
cos cos cos cos cos cos A A T t i , , ,
对于U0(x,y,0)中满足(fx)2+(fy)2<1的指数基元，经过距离Z 的传播以后，在观察面上仍是该频率的指数基元，权重密度也 不变，只是位相改变了
2 2 2 z1 f f x y

对 (fx)2+(fy)2=1的指数基元，该频率的指数基元相当于传播 方向垂直于Z轴的平面波，它们在z方向净能量流为零。 对 (fx)2+(fy)2>1的指数基元,
对上式的物理意义进行讨论。对U0(x,y,0)进行傅里叶变换， 分解成各种空间频率(fx，fy)的指数基元，每种基元的权重密度 为A0(ffx, cos()=fy的平面波，方向余弦必须满足(fx)2+(fy)2<1的指数基 元，才能真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。
2 c o s c o s c o s c o s 2 2 A , z A , 0 e x p j z 1 1 f f z x y 0 , ,



（3）
公式（3）就是频谱函数A0(fx, fy)和Az(fx, fy)的关系式。
2 d cos cos 2 2 2 A , z 1 f f A f f 0 z x y z x , y 2 dz ,

此方程的一个特解是z=0时的频谱函数G0(fx, fy) ，于是方程的解 Az(fx, fy)可写作


3.2.1 复振幅分布的角谱

A ( f , f , z ) U x , y , z exp j 2 xf yf dx x y x y




cos cos f , f x y

cos cos cos cos A , , z U x , y , z exp j 2 x y dx y

0 x y


A f , f 2 2 2 z x y e x p j z 1 f f H (, f ) x y xf y A f , f

可以求得表征这个系统变换特征的传递函数。 能求出 H(fx ， fy) 这个事实本身就说明了与自由传播等效的系 统是一个线性空不变系统.



cos cos A , z U x , y , z exp j 2 f x f y dxd z z x y ,


cos cos U x , y , z A , z exp j 2 f x f y dx z x , y , （1） 2 2 在所有无源的点上，U必须满足亥姆霍兹方程 ( k ) U0




x , y , z A ( f , f , z ) exp j 2 xf yf df d 逆变换 U x y x y x y
U(x,y,z) 可以理解为一系列不同空间频率的基元函数之和 基元函数


的空间频率fx ，fy exp j 2 xf yf x y



A f , f A z x y z fx , fy 0 x y d A f f A z x, y z fx , fy z dz
exp j 2 f x , x f y y x j 2 f x exp j 2 f x x f y y
光的传播过程也可看作一个系统的作用. 有传递函数
2 2 2 exp j z 1 1 f f x y H ( f , f ) x y 0 1 2 2 f f x y 2

其它
系统的作用是一个滤波器 传递函数的模为1,各频率分量的振幅没有影响，但要 引入与频率有关的相移。
如果把传播过程的作用也看作一个系统的作用，那末公式 就是表征这个系统的频率域变换关系。
2 c o s c o s c o s c o s 2 2 A , zA , 0 e x p j z 1 f f z x y 0 , ,



对于指数函数exp[j2(fx，fy)]有
exp j 2 f x x f y y y j 2 f y exp j 2 f x x f y y




exp j 2 f x x f y y 0 z


将以上结果代入式（ 2 ）中得，
卷积起一个展宽作用，上式说明衍射孔经对入射光波的角 谱的作用有展宽，即出射光中除了有原入射光相同的传播方向 的平面波外，还增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。




将式（1）代入亥姆霍兹方程，则有
cos cos k A , z exp j 2 f x f y 0 z x y , （2） 由于Az(fx,fy)对空域坐标仅是z的函数，所以有

2
2