2019届苏教版(理科数学) 复 数 单元测试
2019届苏教版(理科数学) 数学归纳法与证明 单元测试
1．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n N ++∈，．（1）求1a ， 2a ， 3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 【答案】(1) 122,4,a a == 38,a = (2)见解析【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ， 2a ， 3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明. 试题解析：（1）1=2a ， 2=4a ， 3=8a ． （2）猜想： =2n n a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时， 123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn nn C C C +++=+得 1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k kC C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k kC C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭． 又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k k k k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭， 于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立． 由①②得， =2n n a *n N ∈，．2．已知函数，记，当．（1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明：因为，所以，进而得到函数在上为增函数．（2）利用数学归纳法，即可证得对于任意，在上均为增函数．【详解】 （1）证明：因为，所以，因为所以，，所以，所以，所以在上为增函数．（2）结论：对于任意，在上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立； ②假设当n =k 时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立．当n =k +1时，，所以 又当时，，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数．由①②得证，对于任意，在上均为增函数．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及数学归纳的证明问题，其中认真审题，掌握函数的导函数与原函数的关系，以及数学归纳法的步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152-【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++ ()1sin 12cos 1122sin 2k xk x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k xx ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=-()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k xx +-+++=-()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x xx +++=- 1sin 112122sin 2k xx ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+=1sin 201812122sin 2xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=所以232018sin2sin3sin 2018sin6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152=所以2342018sin2sin3sin 4sin 2018sin66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=-. 4．已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数知识分别求解；（２）依据题设条件及（１）的结论先猜想结论，再运用数学归纳法分析推证：解：（1）()()()()()()()()'''10212232',a bc ad cx d bc ad cb ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b ⎡⎤--+-+⎡⎤======⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+++⎢⎥⎣⎦. （2）猜想()()()()11*11!,n n n n a bc ad n f x n N ax b --+-⋅⋅-⋅=∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当*,n k k N =∈时，结论正确，即有()()()()1111!k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+.当1n k =+时，()()()()()'11'111!k k k k k a bc ad k f x f x ax b --++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()()()'1111!k k k abc ad k ax b --+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦()()()()211!kk k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n N ∈结论正确.点睛：数学归纳法是中学数学中重要的证明与自然数有关命题的数学思想方法，运用该方法时，一定要验证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从,1n k n k ==+到的台阶更是尤为重要。
2019届苏教版(理科数学) 概 率 单元测试
(五十六） 概 率[练基础小题——强化运算能力]1．(2018·南京市高三年级学情调研)记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D .若在区间[－5,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为________．解析：D ＝{x |4－3x －x 2≥0}＝[－4,1]，所以P ＝510＝12. 答案：122．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23.答案：233．(2018·苏州市考前模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x ，即x ∈[－1,1]时，要使cos πx 2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2，∴－1≤x ≤－23或23≤x ≤1，区间长度为23，由几何概型知cos πx 2的值介于0到12之间的概率为232＝13.答案：134．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115. 答案：115[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：解析：数据落在[10,40)的概率为2＋3＋420＝920＝0.45. 答案：0.452．(2018·镇江模拟)若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1，解得54＜a ≤43.答案：⎝⎛⎦⎤54，433．(2018·盐城模拟)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________．解析：从两盒中随机各取一个球 ，共有9个等可能事件，取出两个球都是白球的基本事件为1个，所以至少有一个红球包含了8个基本等可能事件，至少有一个红球的概率为89.答案：894．从集合{－1,1,3}中随机抽取一个数x ，从集合{1,3,9}中随机抽取一个数y ，则向量a ＝(x ，－1)与向量b ＝(3，y )垂直的概率为________．解析：由题意，得(x ，y )所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．设“a ⊥b ”为事件A ，则y ＝3x .事件A 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．故a ⊥b 的概率为P (A )＝29.答案：295．(2018·武汉模拟)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________．解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：146．(2018·南通二调)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：6,12，…，96，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P＝16100＝425.答案：4257．(2018·郑州模拟)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24.答案：π248．(2018·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB―→＋PC―→＋2PA―→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．解析：如图所示，设点M是BC边的中点，因为PB―→＋PC―→＋2PA―→＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝S△PBCS△ABC＝12.答案：129．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＞5的概率是________．解析：由e ＝1＋b 2a2＞5，得b ＞2a .当a ＝1时，有b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，有b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种情况．则所求事件的概率P ＝636＝16. 答案：1610．(2018·启东中学月考)∀α∈R ，n ∈[0,2]，向量c ＝(2n ＋3cos α，n －3sin α)的长度不超过6的概率为______．解析：|c |＝(2n ＋3cos α)2＋(n －3sin α)2＝4n 2＋12n cos α＋9cos 2 α＋n 2－6n sin α＋9sin 2 α＝9＋5n 2＋12n cos α－6n sin α≤6，化简得5n 2＋6n (2cos α－sin α)≤27，即5n 2＋6 5n ·⎝⎛⎭⎫25cos α－15sin α≤27，即5n 2＋6 5n cos(α＋φ)≤27，其中tan φ＝1525＝12，当n ＞0时，变形得cos(α＋φ)≤27－5n 265n ，由于27－5n 265n ＞0，令27－5n 265n ≥1，即5n 2＋6 5n －27≤0，解得0≤n ≤355，此时向量c 的长度不超过6，又n ∈[0,2]，由几何概型的概率公式得向量c的长度不超过6的概率为3552＝3510.答案：3510二、解答题11．某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .12．一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)记z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )共有4×4＝16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以z ＝4的概率为P ＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立． ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以b ＝1，c ＝2. ③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以b ＝2，c ＝3. ④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以b ＝3，c ＝4. 综上所述，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
苏教版2019届高三12月联考数学(理科)试题(精品Word版,含答案解析)
数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{B x y ==，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得13m =.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数C. 奇函数，且在R 上是减函数D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,222PADPABPCDSPA ADS PA AB S PDCD ======. PCB 中有PC BC PB =222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55S a （ ）A. 256B. 255C. 16D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌 C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()212x g x x p 骣琪-琪桫，再由22212x k p pp -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数()sin cos f x x x =-=4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p 骣琪-琪桫的图象，再向左平移3p，得到函数()1234g x x p p 轾骣犏琪+-琪犏桫臌212x x p骣琪-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk p pp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。
2019届苏教版(理科数学) 统计初步 单元测试
高考小题分项练12 统计初步1．在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是________． 答案 8.8解析 x ＝1×6＋2×7＋4×8＋6×9＋7×1020＝8.8.2．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：1,2,3，…，1 000，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50部分，如果第一部分编号为1,2,3，…，20，第一部分随机抽取的一个号码为15，则抽取的第40个号码为________． 答案 795解析 抽取的第40个号码为15＋(40－1)×20＝795.3．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 1 800解析 设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x4 800，得x ＝1 800.4．一个容量为80的样本数据的最大值是140，最小值是60，组距是10，则应将样本数据分为________组． 答案 8解析 ∵组数＝全距组距，∴组数＝140－6010＝8.5．某医院的发热门诊部对一天接待的16名病人的体温进行了测量，得到病人的体温统计数据(单位：℃)，护理人员根据统计数据及时绘制出了当天病人体温茎叶图．则16位病人的平均体温为________ ℃.答案 38.531 25解析 由当天的病人体温茎叶图可知，病人的平均体温为38.531 25℃.6．某中学举行电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图，已知图中从左到右的第一，第三，第四，第五小组的频率分别为0.30,0.05,0.10,0.05.第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的频率分别为________．答案 80,0.15解析 第二小组的频数为40，第二小组的频率为1－0.30－0.05－0.10－0.05＝0.50， 所以参赛人数为400.50＝80.第4,5小组的频率为0.10＋0.05＝0.15， 所以成绩优秀的频率为0.15.7．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________． 答案 4 3解析 若数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为s 2，则样本ax 1＋b ，ax 2＋b ，ax 3＋b ，ax 4＋b ，ax 5＋b 的方差为a 2s 2.由题意知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48， ∴其标准差为48＝4 3.8．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件． 答案 800解析 由于B 产品的数量和样本容量的比为10∶1，又A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10件，则A 产品的产品数量比C 产品的产品数量多100件．设C 产品的产品数量为x ，则(x ＋100)＋1 300＋x ＝3 000，解得x ＝800.9．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计为23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为________． 答案 s ＞s 1解析 由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ，则 s ＝ 115[(15－x )2＋(23－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x 15－x )2]， s 1＝115[(20－x )2＋(18－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x 15－x )2]. 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x )2＋(23－x )2与(20－x )2＋(18－x )2的大小即可． 而(15－x )2＋(23－x )2＝754－76x ＋2x 2，(20－x )2＋(18－x )2＝724－76x ＋2x 2， 所以(15－x )2＋(23－x )2＞(20－x )2＋(18－x )2. 从而s ＞s 1.10．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为________________． 答案 20,16,14解析 根据系统抽样特点，抽样间隔为50050＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为20个小组，每组抽取1人，共抽取20人，由第二营区的编号为201到355可知，201≤10k＋3≤355，k∈N，可得20≤k≤35，因此第二营区应有16人，第三营区有14人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14.11．某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.答案 1 013解析由于三个分厂的产量比为1∶2∶1，所以从三个分厂抽出产品数量的比例也应为1∶2∶1，所以100件产品的使用寿命的平均值为980×1＋1 020×2＋1 032×14＝1 013(h)．12．某地遭遇强冰雹和龙卷风双重灾害，多个乡镇受灾严重．小明随机调查了受灾地某小区的50户居民的经济损失，将收集的数据分成五组，作出如图所示的频率分布直方图，估计该小区的经济损失的平均数为________元．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案 3 360解析由频率分布直方图可得该小区的50户居民的经济损失的平均数为1 000×(0.000 15×2 000)＋3 000×(0.000 20×2 000)＋5 000×(0.000 09×2 000)＋7 000×(0.000 03×2 000)＋9 000×(0.000 03×2 000)＝3 360(元)，由样本估计总体知，该小区的经济损失的平均数为3 360元．13．某地区为了解70～80岁老人的日睡眠时间(单位：h)，现随机地选出50名做调查，下表是日睡眠时间频率分布表：在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．答案 6.42解析由流程图S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＋G5F5＝4.5×0.12＋5.5×0.2＋6.5×0.4＋7.5×0.2＋8.5×0.08＝6.42.14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图如图所示，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．(用“>”连接)答案s1>s2>s3解析因为标准差反应的是数据围绕平均数的离散程度，标准差越小，数据越集中，反之越分散．根据三个频率分布直方图知，第一组两端的数据较多，偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组的数据是单峰的，每一个小长方形的差别较小，数据分布均匀，方差比第一组的方差小；第三组绝大部分的数据都在平均数左右，数据最集中，故方差最小．综上可得s1>s2>s3.。
2019届苏教版(理科数学) 数学归纳法 单元测试(1)
提升训练（37）数学归纳法1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.2.(2016·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是( )A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.3.(2016·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.4.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.5.平面内有n 条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )A.n+1B.2nC.D.n 2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;…;n 条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=(个)区域.6.(2016·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n ∈N),经计算得f(4)>2,f(8)>, f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为 . 【解析】因为f(22)>,f(23)>,f(24)>, f(25)>,所以当n ≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n ≥2,n ∈N). 答案:f(2n )>(n ≥2,n ∈N)7.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n 表示). 【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5, 猜想f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n>4).答案:5(n+1)(n-2)8. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n (n∈N)，a 1＝12.试通过求a 2，a 3，a 4的值猜想a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：a 2＝12－a 1＝12－12＝23，a 3＝12－a 2＝12－23＝34，a 4＝12－a 3＝12－34＝45.猜想：a n ＝n n ＋1(n∈N)．用数学归纳法证明如下：① 当n ＝1时，左边＝a 1＝12，右边＝11＋1＝12，所以等式成立；② 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②得，当n ∈N时等式都成立．9. 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n(n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解：分别用n ＝1，2，3代入解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，由上可知等式成立；② 假设当n ＝k 时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k(k 2－k 2)＋1·(2k＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14k 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②得等式对一切的n∈N均成立．10．(2018·大连双基测试)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解析：(1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 法二：当n ＝1时，1S 1＝1，n n ＋1＝12，不等式成立．假设当n ＝k 时，不等式成立，即1S 1＋1S 2＋…＋1S k >kk ＋1.则当n ＝k ＋1时，1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k k ＋1＋1(k ＋1)2，又k k ＋1＋1(k ＋1)2－k ＋1k ＋2＝1－1k ＋1＋1(k ＋1)2－1＋1k ＋2＝1k ＋2－k (k ＋1)2＝1(k ＋2)(k ＋1)2>0， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k ＋1k ＋2， ∴原不等式成立．11.已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N )，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解析：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6； 若a ＝2，则b ＝1,2,4,6； 若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N )．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． 12.(12分)(2016·常德模拟)设a>0,f(x)=,令a 1=1,a n+1=f(a n ),n ∈N.(1)写出a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式. (2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a 1=1,所以a 2=f(a 1)=f(1)=;a 3=f(a 2)=;a 4=f(a 3)=.猜想a n =(n ∈N).(2)①当n=1时,a 1=1猜想正确.②假设n=k(k≥1,k∈N)时猜想正确,则a k=.则a k+1=f(a k)====.这说明,n=k+1时猜想正确.由①②知,对于任何n∈N,都有a n=.13.(13分)(2016·九江模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,并且满足2S n=+n,a n>0(n∈N).(1)猜想{a n}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明:+≤.【解题提示】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可猜想a n,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法,结合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式进行证明.【解析】(1)分别令n=1,2,3,得因为a n>0,所以a1=1,a2=2,a3=3.猜想:a n=n.由2S n=+n,①可知,当n≥2时,2S n-1=+(n-1),②①-②,得2a n=-+1,即=2a n+-1.(i)当n=2时,=2a2+12-1,因为a2>0,所以a2=2,等式成立.(ii)假设当n=k(k≥2)时,a k=k,那么当n=k+1时,=2a k+1+-1=2a k+1+k2-1⇒=0,因为a k+1>0,k≥2,所以a k+1+(k-1)>0,所以a k+1=k+1.即当n=k+1时也成立.所以a n=n(n≥2).显然n=1时,也成立,故对于一切n∈N,均有a n=n.(2)要证+≤,只要证nx+1+2+ny+1≤2(n+2). 即n(x+y)+2+2≤2(n+2), 将x+y=1代入,得2≤n+2,即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,即4xy≤1,因为x>0,y>0,且x+y=1,所以≤=,即xy≤,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.。
江苏省2019年高三上学期数学(理)第二次月考试题
．．．．．．．．6)的最小正周期为8.若实数x,y满足⎨y≤3,则x2+y2的取值范围是▲．⎪3x+4y≥12,第一学期第二次月考试卷高三数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．若复数(a-2i)(1+3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为▲．2．函数f(x)=sin(4x+π▲．3．已知等差数列{a}满足a+a+a+a+a=10，a2-a2=36，则a的值为▲．n1357982114．为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在70～78(kg)的人数为▲．(第4题)(第5题)5.运行如图所示的流程图，输出的结果是▲．6．将一个半径为1的小铁球与一个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为▲．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为▲．⎧x≤4,⎪⎩9．已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点，且过点A(0,6)，则圆C的标准方程为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是▲．▲ n }满足：ak 2k3B11. 如图，在由 5 个边长为1 ，一个顶角为 60 的菱形组成的图形中，CAB ⋅ CD = ▲ ．DA第 11 题12． 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则 2tan A －3tan B 的最小值为________13． 已知数列 {a1= 3 ， a = 2an n -1- 3 (-1)n (n ≥ 2).若 a , a , a 成等差数列，1k , k ∈ N* ，k < k ，则 k - k =▲ .2 3233214． 已知 f (x ) = (x - 1)e x - e ln x , g (x ) = - x 3 +3 2x 2+ a ，若存在 x ∈ (0, +∞)及唯一正1整数 x ，使得 f (x ) = g (x 212) ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．二、 解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 AB ，AC 的中点．(1) 证明：B 1C 1∥平面 A 1DE ；(2) 若平面 A 1DE ⊥平面 ABB 1A 1，证明：AB ⊥DE.16．（本小题满分14分）)cos B=b cos C；在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c(1)求角B的大小；),n=(4k,1)(k>1),且m⋅n的最大值是5，求k的值．(2)设m=(sin A,cos2A317．（本小题满分 14 分）如图，某小区内有两条相互垂直的道路l 和 l ，以l 、 l 所在的直线为坐标轴建系，平面12 1 2直角坐标系 xOy 的第一象限有一块空地 O AB ，其边界OAB 是函数 y = f (x )的图像，前一段曲线 OA 是函数 y = k x 图像的一部分，后一段 AB 是一条线段.测得 A 到 l 的距离为 8 米，到 l 的12距离为 16 米，OB 长为 20 米. y(1) 求函数 y = f (x )的解析式；A(2) 现要在此地建一个社区活动中心，平面l2PQ图形为梯形 OPQB （其中 PQ , OB 为两x底边）.问：梯形的高为多少米时，该Ol1B社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.18．（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 y 2 1+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，且过a 2b 2 2点(1， ). F 为椭圆的右焦点， A , B 为椭圆上关于原点2对称的两点，连接 AF , BF 分别交椭圆于 C , D 两点.y(1) 求椭圆的标准方程；A(2) 若 AF = 2 F C ，求BF FD的值；OD(3) 设直线 AB ， CD 的斜率分别为 k ， k ，是否存在F12x实BC数m，使得k2mk，若存在，求出m的值；若不存1在，请说明理由.(2) 设 c = 2a n +2 -a n ，求数列的前 n 项和 S ；(2) 若存在 x ∈ , e ⎪ 使得不等式 f (x )>x 2＋m 成立，求实数 m 的取值范围；19.(本小题满分 16 分)在数列 {a }中，已知 a = a = 1, a + a n 1 2 nn +2= λ + 2a , n ∈ N*， λ 为常数.n +1(1) 证明: a , a a 成等差数列;1 4, 5n n(3) 当 λ ≠ 0 时，数列 {a n- 1}中是否存在三项 as +1- 1, a t +1- 1, ap +1- 1 成等比数列， 且 s , t , p 也成等比数列?若存在，求出 s , t , p 的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分 16 分）已知函数 f (x ) = e x , g (x ) = ax + b , a , b ∈ R.(1) 若 g (-1) = 0 ，且函数 g (x )的图象是函数 f (x )图象的一条切线，求实数 a 的值：⎛ 1 ⎫⎝ e ⎭(3) 若对任意实数 a ，函数 F (x )＝f (x )－g (x )在 (0, +∞) 上总有零点，求实数 b 的取值范围．⎧⎪x ＝m ＋ 2t ，xOy 中，直线 l 的参数方程是⎨(t 是参数，m 是常数)．以 O⎪⎩y ＝ 2t第一学期第二次月考试卷高三数学（理科）附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. (本小题满分 10 分)⎡ 2 x ⎤已知 x ，y ∈R ，若点 M (1，1)在矩阵 A ＝⎢ ⎥对应的变换作用下得到点 N(3，5)，求矩阵 A⎣ 3 y ⎦的逆矩阵 A －1.22 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系22为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝6cos θ .(1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 P ，Q 两点，且 PQ ＝2，求实数 m 的值．23．（本题满分10分）如图，在三棱锥A-BCD中，已知∆ABD,∆BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记BFBA=λ．（1）当λ=13时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为1510时，求λ的值.AF DE CB24．（本小题满分10分）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科全获A等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值。
2019届苏教版(理科数学) 数列求和 单元测试
1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为________．[解析] 因为a 1＝3，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，所以S n n ＝n ＋2.故S 11＋S 22＋…＋S 1010＝75. [答案] 752．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．[解析] a 1＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.[答案] 1303．已知数列{a n }中a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝________.[解析] 由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×（2＋98）2＋100＝5 000.[答案] 5 0004．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14＝________． [解析] 由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，可知数列{a n }是等差数列，由S 25＝（a 1＋a 25）×252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.[答案] 85．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为________．[解析] 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.[答案] 1 0096．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1，2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________.[解析] a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ＝lg n 2＋3n ＋2n 2＋3n ＝lg （n ＋1）（n ＋2）n （n ＋3）＝lg(n ＋1)＋lg(n ＋2)－lg n －lg(n ＋3)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(lg 2＋lg 3－lg 1－lg 4)＋(lg 3＋lg 4－lg 2－lg 5)＋(lg 4＋lg 5－lg 3－lg 6)＋…＋[lg(n ＋1)＋lg(n ＋2)－lg n －lg(n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lgn ＋1n ＋3＋lg 3.[答案] lg n ＋1n ＋3＋lg 37．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________．[解析] 设等差数列{a n }公差为d .因为a 5＝5，S 5＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×（5－1）2d ＝15， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. [答案]1001018．(2018·南京质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 018项的和等于________．[解析] 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1， 即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 018项的和等于S 2 018＝1 009×⎝⎛⎭⎫1＋12＝3 0272. [答案]3 02729．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．[解析] 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.[答案] 2n ＋1－210．(2018·辽宁省五校协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________.[解析] 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.[答案] 48011．已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .[解] (1)因为3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0， 所以3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0， 即3q 2－10q ＋3＝0. 因为公比q >1，所以q ＝3. 又首项a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)．即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1，前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.12．(2018·江西省名校学术联盟第一次调研)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 5＝14，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝a n ＋1x 2－(a n ＋2＋a n )x 满足f ′(1)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（a n －1）（a n ＋1），记数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12.[解] (1)由f (x )＝a n ＋1x 2－(a n ＋2＋a n )x ，得f ′(x )＝2a n ＋1x －(a n ＋2＋a n )， 由f ′(1)＝0，得2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列． 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2，a 2＋a 5＝14，得 (a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝14，解得d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n (n ∈N *)． (2)证明：b n ＝1（a n －1）（a n ＋1）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＜12.1．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________．[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.[答案]nn ＋12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. [解析] 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， 所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋（m －1）d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m （m －1）d ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m （m －1）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5. [答案] 53．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N *)的前n 项和为________．[解析] 因为f ′(x )＝mx m －1＋a ，所以m ＝2，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n . 所以1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 则1f （1）＋1f （2）＋1f （3）＋…＋1f （n －1）＋1f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. [答案]nn ＋14．(2017·西安模拟)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．[解析] 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ， 从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0； 当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14， 故当S n 取得最大值时n ＝16. [答案] 165．(2018·南京四校第一学期联考)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(xy ，x －y )，若a ⊥b ，y ＝f (x )． (1)求f (x )的表达式；(2)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝13，a 2n ＋1＝2a n f (a n )(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝1a 2n －1，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使S n ＞1278成立的n 的最小值．解：(1)由a ⊥b ，得x 2y ＋(－1)(x －y )＝0， 所以y ＝xx 2＋1， 则f (x )的表达式为f (x )＝x x 2＋1. (2)由(1)知f (x )＝xx 2＋1， 所以a 2n ＋1＝2a n f (a n )＝2a n ·a n a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋1，因此1a 2n ＋1＝a 2n ＋12a 2n ＝12a 2n ＋12，所以1a 2n ＋1－1＝12a 2n －12＝12⎝⎛⎭⎫1a 2n －1. 又1a 21－1＝9－1＝8≠0， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1是以8为首项，12为公比的等比数列，则1a 2n －1＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n .又a n ＞0，所以a n ＝124－n ＋1， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝124－n ＋1. (3)由(2)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1是以8为首项，12为公比的等比数列，而b n ＝1a 2n －1，所以数列{b n }是以8为首项，12为公比的等比数列，因此数列{b n }的前n 项和S n ＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝16⎝⎛⎭⎫1－12n . 又S n ＞1278，所以16⎝⎛⎭⎫1－12n ＞1278， 则12n ＜1128，所以n ＞7. 所以正整数n 的最小值为8.6．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))定义：nP 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，P 3，…，P n (n ∈N *)的“均倒数”．已知等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n ，若S 3＋2是S 2和S 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项的“均倒数”为12a n －1(n ∈N *)．令c n ＝b n －a n ＋1a 2n －1(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数n ，都有T n ∈[a ，b ]，求b －a 的最小值．[解] (1)因为S 3＋2是S 2和S 4的等差中项， 所以2S 3＋4＝S 2＋S 4，所以a 3＋4＝a 4， 又等比数列{a n }的公比为2， 所以a 3＝4，所以a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由题意知，n b 1＋b 2＋…＋b n ＝12n －1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (2n －1)，①所以b 1＋b 2＋…＋b n －1＝(n －1)(2n －1－1)(n ≥2)，② ①－②得，b n ＝(n ＋1)×2n －1－1(n ≥2)． 又b 1＝1也满足该式，所以b n ＝(n ＋1)×2n －1－1(n ∈N *)， 因为a n ＝2n －1，b n ＝(n ＋1)2n －1－1，所以c n ＝b n －a n ＋1a 2n －1＝n 2n －1＝n ⎝⎛⎭⎫12n －1， 所以T n ＝1＋2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝1×12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋n ⎝⎛⎭⎫12n 两式相减得12T n ＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝2－2＋n 2n ，所以T n ＝4－2＋n2n －1<4，又c n ＝n ×⎝⎛⎭⎫12n －1>0，所以T n 单调递增，所以(T n )min ＝T 1＝1， 故有1≤T n <4.因为对任意正整数n ，都有T n ∈[a ，b ]，所以a ≤1，b ≥4，即a 的最大值为1，b 的最小值为4， 故(b －a )min ＝4－1＝3.。
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：复数与算法初步(含答案)
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：复数与算法初步一、复数1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）若复数2z i a i =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 .2、（南京市2019届高三第三次模拟）若复数z 满足z (1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第 象限．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知复数z 满足43(z i i i +=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝＿＿4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知复数2i 3i 1iz --（i 为虚数单位），则复数z 的模为 . 5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 复数2i 2iz =+（i 为虚数单位）的实部为 ．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 已知复数i 13ia z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知复数34i 5i z +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））i 为虚数单位，复数2(12i)-的虚部为9、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知复数i i z +=1（其中i 为虚数单位），则||z =______. 10、（江苏省2019年百校大联考）若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ．参考答案1、－22、四3、34i -+ 4 5、256、－37、18、－4 9 10、－1二、算法初步1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为 .2、（南京市2019届高三第三次模拟）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S 的值 为 ．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））如图，若输入的x 值为3，则相应输出的值y 为＿＿4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ．。
2019版数学江苏(理科)大二轮复习优选习题：板块二练透基础送分小考点第4讲Word版含答案
十位、千位、十万位数用横式表示．以此类推．例如
3266 用算筹表示就是
，
则算筹 答案 8771
表示 ________．
7．如图所示的流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”
。
执行该流程图，若输入 a， b 分别为 14,18，则输出的 a＝________.
3
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ________盏．
答案 3
解析 设塔的顶层有灯 a1 盏，
则各层灯数 an 成等比数列， a1 1－ 27
∴S7＝ 1－ 2 ＝ 381，
解得 a1＝ 3，故塔的顶层共有 3 盏灯．
2.欧阳修在《卖油翁》中写到： “ ( 翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自
答案 510 解析 由题意知，图 2 中的 “ 结绳计数 ”法是七进制计数法， 所以图 2 计算该部落在该段时 间内所擒获的猎物总数为 S＝1× 73＋ 3× 72＋ 2× 71＋ 6× 70＝510. 6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外． ”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中 记载的算筹． 古代是用算筹来进行计算． 算筹是将几寸长的小竹棍摆在地面上进行运算． 算 筹的摆放形式有纵横两种形式 (如图所示 )．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个 数位的数码从左到右排列． 但各位数码的筹式要纵横相间， 个位、百位、 万位数用纵式表示，
3． (2018 ·浙江 )我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题： “今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，
鸡母，鸡雏个数分别为
x＋ y＋ z＝100，
x， y， z，则
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十三章 推
§13.5 复 数考情考向分析 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算．一般以填空题形式出现，难度为低档．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编2．[P128复习T6]设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝________.答案 1解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－(1－i )22＝i ，∴|z |＝|i|＝1.3．[P123练习T5]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是________． 答案 －3－4i解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P111练习T4]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三 易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．6．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于第________象限． 答案 二解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角．7．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念1．(2017·全国Ⅰ改编)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为________． 答案 p 1，p 4解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b2∈R ，则b ＝0，故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．2．(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.3．如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.答案 －23解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i5，得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－23.4．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．题型二 复数的运算命题点1 复数的乘法运算典例 (1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________. 答案 －5解析 ∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)， 又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点的坐标为(－2,1)， 即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. (2)复数i(2－i)＝________. 答案 1＋2i解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.(3)(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 答案10解析 方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2 ＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10.方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 命题点2 复数的除法运算典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)3＋i 1＋i ＝________.答案 2－i 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.(2)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.答案 i解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算典例 (1)(2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，|z |＝32＋(－4)2＝5.(2)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________. 答案 1－2i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. (3)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝________.答案 45－35i解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 跟踪训练 (1)(1＋i )3(1－i )2＝________.答案 －1－i解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i＝－2＋2i －2i ＝1－i i＝－1－i.方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________.答案 －1－i解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 答案 22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i 解析－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i.题型三 复数的几何意义典例 (1)(2017·北京改编)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. (2)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，其中i 是虚数单位，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.结合如图所示的图形，可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.(3)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．。
2019届苏教版(理科数学) §6.2 等差数列及其前n项和 单元测试
1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列答案A2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{2a1a n}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案D3.(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n ,求数列{b n}的前10项和,其中[x 表示不超过x的最大整数,如[0.9 =0,[2.6 =2.解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3..(3分)解得a1=1,d=25所以{a n}的通项公式为a n=2n+3.(5分)5(2)由(1)知,b n=2n+3.(6分)当n=1,2,3时,1≤2n+3<2,b n=1;当n=4,5时,2<2n+3<3,b n=2;5当n=6,7,8时,3≤2n+3<4,b n=3;5当n=9,10时,4<2n+3<5,b n=4.(10分)5所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)4.(2015北京,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以a n=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等.5.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n }的公差d>0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;(2)求m, (m, ∈N)的值,使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+ =65. 解析 (1)由题意知(2a 1+d)(3a 1+3d)=36, 将a 1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而a n =2n-1,S n =n 2(n ∈N). (2)由(1)得a m +a m+1+a m+2+…+a m+ =(2m+ -1)( +1), 所以(2m+ -1)( +1)=65.由m, ∈N 知2m+ -1≥ +1>1,故 2m +k -1=13,k +1=5,所以m =5,k =4.教师用书专用(6—9)6.(2013安徽,7,5分)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( ) A.-6B.-4C.-2D.2答案 A7.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x ≥0,若f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2014(x)的表达式为 . 答案 f 2014(x)=x8.(2013课标全国Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列1a 2n -1a 2n +1的前n 项和.解析 (1)设{a n }的公差为d,则S n =na 1+n (n -1)d. 由已知可得 3a 1+3d =0,5a 1+10d =-5.解得a 1=1,d=-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)由(1)知1a 2n -1a 2n +1=1(3-2n )(1-2n )=12 12n -3-12n -1,从而数列1a 2n -1a 2n +1的前n 项和为121-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1=n1-2n.9.(2013江西,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若C=2π,求a 的值.考点二 等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A.5B.8C.10D.14答案 B2.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列 a n n是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.其中的真命题为( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4 答案 D3.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 . 答案 5考点三 等差数列的前n 项和公式1.(2017浙江,6,5分)已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( ) A.172B.192C.10D.12答案 B3.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)C.n (n +1)2 D.n (n -1)2答案 A4.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n-1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于 . 答案 275.(2015福建,17,12分)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 由已知得 a 1+d =4,(a 1+3d)+(a 1+6d)=15,解得a 1=3,d =1.所以a n =a 1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得b n =2n+n. 所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55=211+53=2101.教师用书专用(6—9)6.(2014天津,5,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2B.-2C.12D.-12答案 D7.(2014江西,13,5分)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为 . 答案 -1,-788.(2014重庆,16,13分)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列, 所以b n =b 1q n-1=2×4n-1=22n-1.从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q=2(4n-1). 9.(2013浙江,19,14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n ;(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.解析 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0.故d=-1或d=4. 所以a n =-n+11,n ∈N或a n =4n+6,n ∈N .(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11,所以当n ≤11时, |a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-1n 2+21n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=12n 2-212n+110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | = -12n 2+212n, n ≤11,12n 2-212n +110,n ≥12.三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 等差数列的定义及通项公式1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( ) A.1B.2C.3D.4答案 B2.(2018四川德阳模拟,4)在等差数列{a n }中,a 3+a 7-a 10=-1,a 11-a 4=21,则a 7=( ) A.7B.10C.20D.30答案 C3.(2017湖南娄底二模,4)已知数列{a n }是首项为1,公差为d(d ∈N)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差不可能是( ) A.2B.3C.4D.5答案 B4.(2017北师大附中期中,4)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为( ) A.1升 B.6766升C.4744升 D.3733升答案 B5.(2017江西六校期中联考,18)在等差数列{a n }中,a 12+a 3=4,且a 5+a 6+a 7=18.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列1(2n +2)a n的前n 项和S n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,∵a 12+a 3=4,且a 5+a 6+a 7=18,∴a 12+a 1+2d=4,a 5+a 6+a 7=3a 6=3(a 1+5d)=18,联立解得a 1=d=1或a 1=-85,d=3825. ∴a n =1+(n-1)=n,或a n =-85+3825(n-1)=38n -7825. (2)∵a 1,a 2,a 4成等比数列,∴a 22=a 1·a 4.∴a n =n.∴1(2n +2)a n =1(2n +2)·n =12 1n -1n +1.∴数列 1(2n +2)a n的前n 项和S n =121-12+ 12-13+…+ 1n -1n +1=121-1n +1 =n 2n +2.考点二 等差数列的性质6.(2018湖北荆州一模,3)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=3,a 8=8,则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64答案 A7.(2017河北石家庄一模,8)已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f(a 50)=f(a 51),则{a n }的前100项的和为( ) A.-200 B.-100 C.0 D.-50答案 B8.(2017湖北孝感六校联考,14)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ,且对任意正整数n 都有S n n =3n +5,则a 7b 7= .答案4429考点三 等差数列的前n 项和公式9.(2018广东佛山一中期中,10)设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为( ) A.S 23B.S 24C.S 25D.S 26答案 C10.(2017湖南长沙长郡中 模拟,8)已知数列{a n }为等差数列,S n 为前n 项和,公差为d,若S 20172017-S 1717=100,则d 的值为( )A.120B.110C.10D.20答案 B11.(2017广东湛江一模,12)若等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,且a 11a 10<-1,那么使S n 取最小正值的项数n=( )A.15B.17C.19D.21答案 C12.(2016吉林长春质量检测,4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=911,则当S n 取最大值时,n 的值为( ) A.9B.10C.11D.12答案 B13.(2018四川德阳一模,7)我国古代数 名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是 . 答案 19514.(2017福建龙岩五校期中,14)递增数列{a n }满足2a n =a n-1+a n+1(n ∈N,n>1),其前n 项和为S n ,a 2+a 8=6,a 4a 6=8,则S 10= . 答案 3515.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{a n }的公差不为0,前n 项和为S n (n ∈N),S 5=25,且S 1,S 2,S 4成等比数列. (1)求a n 与S n ; (2)设b n =S S ,求证:b 1+b 2+b 3+…+b n <1.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0), 则由S 5=25可得a 3=5,即a 1+2d=5①,又S 1,S 2,S 4成等比数列,且S 1=a 1,S 2=2a 1+d,S 4=4a 1+6d, 所以(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d),整理得2a 1d=d 2, 因为d ≠0,所以d=2a 1②, 联立①②,解得a 1=1,d=2, 所以a n =1+2(n-1)=2n-1,S n =n (1+2n -1)2=n 2. (2)证明:由(1)得b n =1n (n +1)=1n -1n +1, 所以b 1+b 2+b 3+…+b n = 11-12+ 12-13+…+ 1n -1n +1=1-1n +1. 又∵n∈N,∴1-1n +1<1. B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分 时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018云南玉溪模拟,9)若{a n }是等差数列,公差d<0,a 1>0,且a 2013(a 2012+a 2013)<0,则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A.4027B.4026C.4025D.4024 答案 D2.(2018辽宁铁东一模,4)设{a n }是首项为a 1,公差为-2的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2B.-2C.1D.-1答案 D3.(2018海南海口一中月考,3)等差数列{a n }中,a 4=6,前11项和S 11=110,则a 8=( ) A.10B.12C.14D.16答案 C4.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对于任意的正整数n,都有S n T n =2n -34n -1,则a 3+a 152(b 3+b 9)+a3b 2+b 10=()A.1943B.1740C.920D.2750答案 A5.(2016湖南岳阳平江一中期中,12)如果数列{a n }满足a 1=2,a 2=1,且a n -1-a n a n -1=a n -an +1a n +1(n ≥2),则这个数列的第10项等于( )A.1210B.129C.15D.110答案 C二、解答题(每小题15分,共30分)6.(2017河南安阳调研,18)数列{a n }和{b n }都是首项为1的等差数列,设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =b n 2.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列2a n a n +1的前n 项和A n .解析 (1)设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2,由题意得 a 1+a 2=b 22,a 1+a 2+a 3=b 32,即1+1+d 1=(1+d 2)2,1+1+d 1+1+2d 1=(1+2d 2)2,解得 d 1=2,d 2=1. 所以a n =2n-1,b n =n. (2)因为2a n a n +1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1, 所以A n =1-13+13-15+…+12n -1-12n +1=1-12n +1=2n 2n +1. 7.(2017广东广州一模,17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=12,S 7=49. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记[x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9 =0,[2.6 =2.令b n =[lga n ,求数列{b n }的前2000项和. 解析 (1)由a 3+a 4=12,S 7=49,得 2a 1+5d =12,7a 1+21d =49.解得a 1=1,d=2, 所以a n =2n-1.(2)b n =[lga n =[lg(2n-1) ,当1≤n ≤5时,b n =[lg(2n-1) =0; 当6≤n ≤50时,b n =[lg(2n-1) =1; 当51≤n ≤500时,b n =[lg(2n-1) =2; 当501≤n ≤2000时,b n =[lg(2n-1) =3.所以数列{b n }的前2000项和为0×5+1×45+2×450+3×1500=5445.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 等差数列的基本运算技巧1.(2018福建福安一中月考,3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=7-a 2,则S 4的值为( ) A.15B.14C.13D.12答案 B2.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?( ) A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案 C3.(2017湖北华师一附中12月模拟,7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d=2,S +2-S =28,则 =( ) A.8B.7C.6D.5答案 C4.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a n +2n-1(n ∈N),且 a n +λ2n为等差数列,则λ的值是 .答案 -15.(2016福建厦门一中期中,14)已知等差数列{a n }中,a 3=π3,则cos(a 1+a 2+a 6)= . 答案 -16.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n }满足a 1=12,且a n+1=2a n2+a n. (1)求证:数列 1a n是等差数列;(2)若b n =a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明:∵a n+1=2a n 2+a n ,∴1a n +1=2+a n2a n, ∴1n +1-1n =1,∴数列 1n 是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知a n =2n +3,∴b n =4(n +3)(n +4)=4 1n +3-1n +4 , ∴S n =4 14-15+ 15-16+…+ 1n +3-1n +4=4 1-1 =n. 方法2 等差数列性质的应用策略7.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n }中,已知S 15=90,那么a 8=( ) A.12B.4C.3D.6答案 D8.(2017广东惠州二调,7)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 65=9,则S 119=( )A.1B.-1C.2D.12答案A方法3等差数列前n项和的最值问题的求解方法9.(2018福建福州八县联考,11)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S20>0,S21<0,则S11,S22,…,S1717中最大的项为()A.S1010B.S1111C.S1212D.S1313答案A10.(2017河南部分重点中二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B11.(2016河南南阳期中,16)已知数列{a n}为等差数列,若a7a6<-1,且前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为. 答案1112.(2017豫南九校2月联考,18)已知数列{a n}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=1a n a n+1,S n是数列{b n}的前n项和,当n≥3时,S n≥m恒成立,求实数m的最大值.解析(1)设{a n}的公差为d,∵a1=1,a2+a3+…+a10=144,∴9+45d=144,解得d=3.∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-2(n∈N).(2)b n=1n n+1=1(3n-2)(3n+1)=113n-2-1,∴S n=b1+b2+…+b n=11-1+1-1+…+13n-2-1=1 311-13n+1=n3n+1,∵f(x)=x3x+1=13-13(3x+1)(x≥3)是增函数,∴S n≥310,即m≤310,故实数m的最大值是310.。
2019版数学江苏(理科)大二轮复习优选习题：板块二 练透基础送分小考点 第3讲 含答案
第3讲复数与算法初步[考情考向分析] 1.考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以填空题形式出现，难度为低档.2.主要考查算法的含义、流程图和基本算法语句，题型为填空题，考查求算法的执行结果和确定控制条件，难度为中低档．1．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．答案 2解析由i·z＝1＋2i，得z＝1＋2ii＝2－i，∴z的实部为2.2．设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．答案－1解析z(1＋i)＝2⇒z＝1－i，所以虚部为－1.3．(2018·江苏)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．答案8解析I←1，S←1，此时I<6，进入下一次循环；I←3，S←2，此时I<6，进入下一次循环；I←5，S←4，此时I<6，进入下一次循环；I←7，S←8，此时I>6，不满足I<6，退出循环，输出S＝8.4．复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中a∈R，则a－i2＋a i的实部为________．答案 15解析 根据z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1， 则a －i2＋a i ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )5＝2－3i ＋i 25＝15－35i ， 所以其实部是15. 5．复数z ＝1－2i 2＋i ＋21＋i(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 1＋2i解析 z ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＋(1＋i )(1－i )1＋i＝－5i 5＋1－i ＝－i ＋1－i ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i.6．(2018·全国Ⅱ改编)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的流程图，则在空白框中应填入________．答案 i ←i ＋2解析 把各循环变量在各次循环中的值用表格列举如下：。
2019届苏教版(理科数学) 算法、复数 单元测试
(五十一） 算法、复数1.(2018·南京市高三年级学情调研)如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为________．解析：此算法程序表示一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x ＜0， 由f (x )＝12得x ＝－ 2.答案：－ 22．(2018·常州模拟)设复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：由(z ＋i)(2＋i)＝5，得z ＋i ＝52＋i，即z ＋i ＝2－i ，所以z ＝2－2i. 答案： 2－2i3．(2018·徐州模拟)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 解析：由z 2＝－4得z ＝±2i ，而z 的虚部大于0，所以z ＝2i. 答案：2i4．(2018·连云港模拟)运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为________．解析：本题的算法功能是在累加变量S 初值为1的基础上连续加2四次，所以S ＝9. 答案：95．(2018·扬州调研)如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1100的一个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i＞50(或i≥51)．答案：i＞50(i≥51亦可)6．(2018·宿迁期中)若复数z＝1＋2i3－i(i为虚数单位)，则z的模为________．解析：由z＝1＋2i3－i两边同时取模得|z|＝|1＋2i||3－i|＝510＝22.答案：2 27．(2018·盐城模拟)若复数z＝(1＋m i)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________．解析：因为z＝(1＋m i)(2－i)＝2＋m＋(2m－1)i是纯虚数，所以2＋m＝0，所以m＝－2.答案：－28．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝________.解析：∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝ 2.答案： 29．(2016·江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．解析：由a＝1，b＝9，知a＜b，所以a ＝1＋4＝5，b ＝9－2＝7，a ＜b . 所以a ＝5＋4＝9，b ＝7－2＝5，满足a ＞b . 所以输出的a ＝9. 答案：910．(2018·南通期中)在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．解析：本题算法功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ＜4，5，x ≥4的函数值，因为输出值为26，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2＝26，x ＜4，解得x ＝－4.答案：－411．(2017·镇江期中)根据如图所示的伪代码，若输出的y 值为2，则输入的x 值为________．解析：本题算法功能是利用条件语句求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，1－x ，x ≤0的函数值．因为输出的y 值为2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝2，x ≤0，所以x ＝±1.答案：±112．(2018·泰州中学高三年级学情调研)根据如图的伪代码，输出的结果T 为________．解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件的T＝1＋3＋5＋7＋…＋19的值，因为T＝1＋3＋5＋7＋…＋19＝(1＋19)×102＝100，故输出的T值为100.答案：10013．(2018·淮安期中)根据如图所示的伪代码，则输出的S的值为________．解析：本题算法功能是求积，S＝1×2×5×8×11＝880.答案：88014．(2018·苏州模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的x值为________．解析：a＝2，x＝4，此时y＝16，判断不满足条件，循环；x＝5，所以y＝32，判断不满足条件，再循环；x＝6，所以y＝64，再判断满足条件，结束循环，所以此时x＝6.答案：6。
江苏省临泽中学复数单元测试题+答案 百度文库
一、复数选择题1．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1＋i 2．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +4．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D6．若复数1z i =-，则1zz=-（ ）A B ．2C ．D ．4 7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+8．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．59．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i10．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．811．若()()324z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --13．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i14．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -15．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =20．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 23．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥24．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限25．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 26．以下为真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】 由题意可知＝， 故选C 解析：C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-， 故选C2．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．3．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .4．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.5．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ．本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．6．A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则， 故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--==-，故选：A.7．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A8．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．9．C 【分析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】 ，，其虚部是1. 故选：C.解析：C 【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.10．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A11．D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】 ，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D ．解析：D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限． 故选：D ．12．A根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】 由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ．13．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求． 【详解】 由， 得， ，则的虚部是1． 故选：．解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求． 【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+，则z 的虚部是1． 故选：B ．14．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D15．无二、多选题 16．BC 【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC 【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】 对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.21．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.22．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．23．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 24．AB求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.25．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
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（五十一） 复 数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．i 是虚数单位，复数1－3i 1－i
＝________. 解析：1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝4－2i 2＝2－i. 答案：2－i
2．(2018·淮安调研)复数 ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________．
解析：因为 ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数 的实部为2.
答案：2
3．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数 ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.
解析：因为 ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1.
答案：1
4．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________. 解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i 2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i
5．(2018·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．
解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，
由条件得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1. 答案：－1
6．(2018·徐州高三年级期中考试)已知复数 满足(1＋i) ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数 的实部为________． 解析：因为(1＋i) ＝i ，所以 ＝
i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )
＝i ＋12，所以 的实部为12. 答案：12
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数 满足(1－i) ＝1，则|2 －3|＝________. 解析：由(1－i) ＝1得 ＝11－i ＝1＋i 2，则|2 －3|＝|－2＋i|＝ 5.
答案： 5
2．在复平面内，复数21－i
＋2i 2对应的点位于第________象限． 解析：因为21－i
＋2i 2＝－1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点(－1,1)位于第二象限． 答案：二
3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限． 解析：由题意得，2 i －[－i(1＋i)]＝0，则 ＝
－i (1＋i )2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限．
答案：二
4．已知复数 ＝1＋2i 1－i
，则1＋ ＋ 2＋…＋ 2 018＝________. 解析：因为 ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，所以1＋ ＋ 2＋…＋ 2 018＝1×(1－z 2 019)1－z
＝
1－i 2 0191－i ＝1－i 4×504·i 3
1－i ＝i. 答案：i
5．若复数 满足( －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数 的模是________． 解析：因为 ＝1＋
－1＋i i
＝2＋i ，所以| |＝22＋12＝ 5. 答案： 5 6．若复数 ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：因为 ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i.
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝ ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案：6
7．已知复数 满足z ＋2z －2
＝i(其中i 是虚数单位)，则| |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知， ＋2＝ i －2i ，即 ＝－2－2i 1－i ，所以| |＝|－2－2i||1－i|＝222
＝2. 答案：2
8．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i
为实数，则a ＝________.
解析：
1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i ， 因为1＋a i 2－i
为实数，所以1＋2a 5＝0，所以a ＝－12. 答案：－12
9．(2018·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.
解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0，x ≠0，
x ＞0，
解得x ＝1. 答案：1
10．(2017·南京、盐城二模)若复数 满足 (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是 的共轭复数，则 ·z ＝________.
解析：因为 ·z ＝| |2，且| |＝
|2i||1－i|＝22＝2，所以 ·z ＝2. 答案：2
11．已知复数 1＝－1＋2i ， 2＝1－i ， 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，
B ，
C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，
OB ―→＝(1，－1)，
根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，μ＝2. 所以λ＋μ＝1.
12．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3
； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i
； (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2
； (4)1－3i (3＋i )2
.
解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i
＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i
＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2
＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i
＝(－i )(3－i )4＝－14－34i. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．
解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
答案：－2
2．已知复数 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则 1· 2＝________. 解析： 1· 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋
(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32
i. 答案：12＋32
i 3．复数 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ， 2＝21－a
＋(2a －5)i ，若z 1＋ 2是实数，求实数a 的值． 解：z 1＋ 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a
＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭
⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)
＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋ 2是实数，
所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.
因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.。