2019届高三第二次模拟考试卷 理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·肇庆统测]若复数z 满足12i1iz +=+，则z =（ ）AB ．32CD ．122．[2019·武汉六中]设集合{}2540A x x x =∈+->N ，集合[]0,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．[]0,2C ．∅D ．{}1,23．[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大4．[2019·湘潭一模]已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，223S a =，则3412a a a a +=+（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．[2019·河南名校联考]已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则b =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．[2019·肇庆统测]已知ABC △的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+D ．4155AD AB AC =+7．[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A．B ．4 C．D ．58．[2019·滨州期末]已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是PF 直线与抛物线C 的一个交点，若3PF FQ =，则QF =（ ） A ．3B ．83C ．4或83D ．3或49．[2019·宁德期末]已知函数()32,0ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,2B ．[)0,1C ．(],2-∞D ．(],1-∞10．[2019·衡水中学]如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．112π- D ．1142π-11．[2019·湖北联考]椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线Ω：()222210,0x y m n m n-=>>焦点相同，F 为左焦点，曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A 、B ，且2π3AFB ∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C．0x =D0y +=12．[2019·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）AB ．1 CD ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·驻马店期中]设变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．14．[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 15．[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A ，B ，C ，D ，E ，F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A ，B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法．16．[2019·黄山八校联考]不等式()2cos 3sin 3a x x -≥-对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·镇江期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且co s co s 3co s c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC △的面积为b ．18．（12分）[2019·惠州调研]在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，90ADC ∠=︒，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为AD 的中点，F 为PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BEF ； （2）求二面角F BE A--的余弦值．19．（12分）[2019·朝阳期末]某日A ，B ，C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A ，B ，C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．20．（12分）[2019·德州期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，椭圆C 的离心率是12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()ln 1x f x ae x x =++． （1）当1e a =-时，证明()f x 在()0,+∞单调递减；（2）当1ea ≥-时，讨论()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =-，()k ∈R ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有四个公共点，求k 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·揭阳毕业]已知函数()22f x x a x =--+． （1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】依题意()()()()12i 1i 12i 31i 1i 1i 1i 22z +-+===+++-，∴z =C ． 2．【答案】A【解析】集合{}{}{}2540150,1,2,3,4A x x x x x =∈+-=∈-<<=>N N ，集合[]0,2B =， 则{}0,1,2AB =．故选A ．3．【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的， 因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A 错误； 我国实际利用外资规模2012年比2011年少，∴选项B 错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项C 正确； 2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项D 错误；故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =，公比12q =，则2341214a a q a a +==+，故选A ． 5．【答案】A【解析】∵函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，∴()()2f x f x -+=， ∴()()()()112222f f f f ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴()31f x x bx =++，()23f x x b '=+，又∵()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7， ∴()()17112f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ． 6．【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选A ．7．【答案】C【解析】∵根据三视图得出：几何体为下图AD ，AB ，AG 相互垂直，面AEFG ⊥面ABCDE ，BC AE ∥，3AB AD AG ===，1DE =，根据几何体的性质得出：AC =GC ==5GE =，BG =，4AE=，EF CE故最长的为GC =．故选C ． 8．【答案】B【解析】设Q 到l 的距离为d ，则由抛物线的定义可得QF d =， ∵3PF FQ =，∴4PQ d =，1Q x >， ∴直线PF的斜率为= ∵抛物线方程为24y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-， ∴直线PF 的方程为)1y x =-，与24y x =联立可得53Q x =或35Q x =（舍去）， ∴58133QF d ==+=，故选B ． 9．【答案】A【解析】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2321f x x '=-=，1x =-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =， ∴a 的范围为[)0,2，故选A ． 10．【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN ，易知四边形EFMN 为正方形，设圆O 的半径为r ，则正方形EFMN 的边长也为r ，∴正方形的EFMN 的面积为2r ，阴影部分的面积为22222π2π22r rr r r ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴阴影部分占总面积的比值为222π112π2πr r r -=-，即在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是112π-，故选C ．11．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ，由题意点A 与点B 关于原点对称，因此1AF BF =， 又2π3AFB ∠=，∴1π3FAF ∠=； 由椭圆与双曲线定义可得12AF AF a +=，12AF AF m -=， ∴AF a m =+，1AF a m =-，根据余弦定理可得22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-∠， 即()()()()222π42cos 3c a m a m a m a m =++--+-，化简得22243c m a =+≥，∴离心率乘积为2c c c a m am ⋅=≥，当且仅当223m a =（1）时，去等号;由2222a b m n -=+，∴2222243c m b m n --=+，∴223b n =（2）， 再将（1）（2）代入2222a b m n -=+可得222m n =，∴双曲线的渐近线方程为0x =或0x =，故选C ． 12．【答案】C【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ，其中H 、Q 、R 分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，∴1D P ∥平面EFGHQR ，由中位线定理可得AC EF ∥，EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， ∴AC ∥平面EFGHQR ，∵1D P 与AC 在平面1D AC 内相交， ∴平面1D AC ∥平面EFGHQR ，∴P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， ∵BO 与AC 垂直，∴P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB的面积最小，最小值为122⨯故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】92【解析】作出变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知122zy x =-+，∴动直线122z y x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩得33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭．结合可行域可知当动直线经过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92．14．【答案】21n -【解析】∵11a =，12n n n a a +=+，∴1212a a =+，2322a a =+，3432a a =+，…，112n n n a a +=﹣﹣，等式两边分别累加得：121122221n n n a a +++==+-﹣，故答案为21n -． 15．【答案】16【解析】总体种数有36C 20=，A ，B 都不选的个数有34C 4=，∴一共有16种．16．【答案】3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin x t =，11t -≤≤，则原函数化为()()23g t at a t =-+-，即()()33g t at a t =-+-， 由()333at a t -+-≥-，()()21310at t t ----≥，()()()1130t at t --+-≥及10t -≤知，()130at t -+-≤，即()23a t t +≥-，（1） 当0t =，1-时（1）总成立，对01t <≤，202t t <+≤，2max332a t t -⎛⎫≥=- ⎪+⎝⎭；对10t -<<，2104t t -≤+<，2min 312a t t -⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭，从而可知3122a -≤≤，故答案为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）13；（2）3b =．【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac+-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===． （2）∵在ABC △中，()0,πB ∈，又∵1cos 3B =，∴sin B =，由2CA CB -=得2BA =，即2c =，由1sin 2S ac B ==可得3a =，由余弦定理得2222212cos 3223293b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴3b =．18．【答案】（1）见证明；（2）． 【解析】（1）连接AC 交BE 于N ，并连接CE，FN ，∵BC AD ∥，12BC AD =，E 为AD 中点，∴AE BC ∥，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴N 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴NF PA ∥， ∵NF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴PA ∥平面BEF ． （2）〖解法1〗（向量法）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =PE AD ⊥，则PE ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，∴PE ⊥面ABCD ，如图所示，以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，(P ．∵F 为PC的中点，∴11,22F ⎛- ⎝⎭，∴()0,1,0EB =，11,22EF ⎛=- ⎝⎭， 设平面EBF 法向量为(),,x y z =m，则0000110022y EB x y EF ++=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取)=m ，平面EBA 法向量可取()0,0,1=n ，设二面角F BE A --的大小为θ，显然θ为钝角，∴cos cos ,θ⋅=-=-=m n m n m nF BE A --的余弦值为．（2）〖解法2〗（几何法1）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD ==，得PE AD ⊥， ∵1DE =，∴PE PD 中点M ，连ME ，MF ，MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥面PAD ， ∵M E ⊂面PAD ，AE ⊂面PAD ，∴BE ME ⊥，BE AE ⊥，∵F 为PC 的中点，M 为PD 的中点，M E PA ∥，NF PA ∥，∴ME NF ∥，∴M EA ∠为二面角F BE A --的平面角， 在Rt PDE △中，cos PDE ∠=，ME = 在MDA △中，由余弦定理得MA =， ∴在MEA △中，由余弦定理得cos MEA ∠= ∴二面角F BE A --的余弦值为 （2）〖解法3〗（几何法2）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =，得PE AD ⊥， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD ， ∵1BC =，∴PE连BD 交CE 于点Q ，则Q 为CE 中点，连QF ，QN ，FN ，∵F 为PC 的中点，∴PE FQ ∥，FQ ⊥面ABCD ， 又QN BC ∥，∴QN BE ⊥，∴FN BE ⊥，∴FNQ ∠为二面角F BE A --的平面角的补角 在Rt FQN △中，12FQ PE ==1122QN BC ==，由勾股定理得FN =cos FNQ ∠=，∴二面角F BE A --的余弦值为 19．【答案】（1）分布列见解析，期望为1；（2）C ，A ，B ．【解析】（1）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购买价格为2500．C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故X 的可能取值为0，1，2．()202224C C 10C 6P X ===，()112224C C 421C 63P X ====，()022224C C 12C 6P X ===．∴分布列为∴数学期望()()()()2100112212136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=．（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为C ，A ，B ．20．【答案】（1）22143x y+=；（2）过定点()1,0． 【解析】（1）由点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是12，可得22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，（i ）当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（ii ）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+， 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()2224384120k x kmx m +++-=， 由()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得：122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+， 故()()1212121224y y k k x x ==-++，可得()()12124220y y x x +++=， 可得()()()()12124220kx m kx m x x +++++=， 整理为()()()2212124142440k x x km x x m ++++++=， 故有()()22222412841424404343mkm k km m kk -+-+++=++， 化简整理得2220m km k --=，解得：2m k =或m k =-，当2m k =时直线PQ 的方程为2y kx k =+，即()2y k x =+，过定点()2,0-不合题意， 当m k =-时直线PQ 的方程为y kx k =-，即()1y k x =-，过定点()1,0， 综上，由（i ）（ii ）知，直线PQ 过定点()1,0．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当1e a =-时，()1e ln 1ex f x x x =-++，()1e ln 1x f x x -+'=-+，令()()()1e ln 10x g x f x x x -=-++'=>，则()10g =， ()11e x g x x-=-'+，在()0,+∞上为减函数，且()10g '=， 令()0g x '>，得01x <<，∴()g x 的递增区间为()0,1， 同理，可得()g x 的递减区间为()1,+∞， ∴()()10g x g ≤=，即()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减．（2）由（1）得1e a =-时，()f x 在()0,+∞单调递减，又()10f =，∴1ea =-时，()f x 有一个零点．∵()f x 定义域为()0,+∞，故()f x x与()f x 有相同的零点，令()()e 1ln x f x a h x x xx x ==++，则()()()()2221e 11e 11xx x a a x h x x x x x -+-=+-='， 当0a ≥时，()0,1x ∈时，()0h x '<，()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()()min 1e 10h x h a ==+>，()h x 无零点，()f x 也无零点． 当10a -<<时，令()0h x '=，得1x =或1ln x a ⎛⎫=- ⎪，()1e 10h a =+>，当211e ea -≤≤-时，()()()222e 2e 222e 4222e e e e 2e 2e e 2e 0e e a h ------⋅=++<++=-++<， 当210e a -<<，即21e a ->时，311e a a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，31121111111e ln e ln 1110a ah a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--=---+<-----+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()h x 有一个零点，()f x 也有有一个零点． 综上可知，当0a ≥时，()f x 无零点； 当10ea -≤<时，()f x 有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）7k >． 【解析】（1）由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 代入曲线2C 的极坐标方程可得222680x y x y +--+=， 因此，曲线2C 的普通方程为()()22132x y -+-=． （2）将曲线1C 的方程可化为()()2,22,2k x x y k x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于曲线1C 与曲线2C 有四个公共点，直线()202kx y k x --=≥与曲线2C 相交且直线()202kx y k x +-=<与曲线2C 相交，<2670k k -->，解得1k <-或7k >，<2670k k +->，解得7k <-或1k >，∴7k <-或7k >，综上所述，实数k 的取值范围是7k >． 23．【答案】（1）()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,；（2）12a ≤-． 【解析】（1）①当2x <-时，()()22262f x x x x =-+++=+<，解得4x <-， ②当22x -≤<时，()()222322f x x x x =-+-+=--<，解得423x -<<，③当2x ≥时，()()22262f x x x x =--+=--<，解得2x ≥， 综上知，不等式()2f x <的解集为()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,． （2）当[]2,2x ∈-时，()()()()22121f x x a x a x a =--+=-++-，设()()g x f x x =-，则[]2,2x ∀∈-，()()()2210g x a x a =-++-≥恒成立， 只需()()2020g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩， 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-．。