2021届高考数学基础得分题集及答案 (52)

2021届高考数学基础得分题集及答案（52）
1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝2
2x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )
A ．2
B ．2 2
C ．8
D ．2 3
答案：B
解析：根据已知条件得
c ＝
16－m 2，则点
⎝
⎛⎭
⎪⎫16－m 2
，22
16－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上， ∴16－m 2
16＋
16－m 2
2m 2＝1，可得m ＝2 2.
2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )
A ．4
B ．3 3
C ．4 3
D ．8
答案：C
解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝1
2×4×23＝4 3.
3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为1
2时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫34，＋∞ B ．⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)
答案：A
解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝1
2x ＋b ， 过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，
联立方程⎩⎨
⎧
y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m
得2x 2＋2x －m ＝0，
从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－1
2.①
又AB 的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，m ＋1在直线l 上，
即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －5
4， 将m ＝b －54代入①得b ＞3
4，
所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34，＋∞.
4．经过椭圆x 22＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )
A ．－3
B ．－1
3
C ．－1
3或－3 D ．±13
答案：B
解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1并整理得3x 2－4x ＝0， 解得x ＝0或x ＝4
3，
所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，13，
所以OA →·OB →＝－1
3.
同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 5．[2017·河北唐山统考]平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )
A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2
答案：B
解析：设AB 的中点为G ，由椭圆的对称性知， O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点， 则GO ∥AD .
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有x 214＋y 212＝1，x 224＋y 22
2＝1，
两式相减得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
2， 整理得x 1＋x 2
2(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2
x 1－x 2＝－k 1＝－1，
即y 1＋y 2x 1＋x 2
＝－12， 又G ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，
所以k OG ＝y 1＋y 2
2－0x 1＋x 2
2－0＝－1
2，
即k 2＝－1
2，故选B.
6．[2017·贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．
答案：(－2,4)，(1,1)
解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0， 令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，
y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝1
2＋b ，
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－1
2＋3，解得b ＝2，
联立⎩⎨
⎧
y ＝－x ＋2，y ＝x 2，
解得⎩⎨⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎨
⎧
x 2＝1，y 2＝1.
7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝________.
答案：2
解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，
由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)， 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，
所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ， 所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°， 则MF ⊥AB ，所以k ＝－1
k MF
＝2.
8．[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．
答案：553
解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2(x －1)，
x 25＋y 2
4＝1
消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5
3，x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
(1＋22)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫532－4×0＝553.
9．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．
答案：5
2
解析：由双曲线的方程可知， 渐近线方程为y ＝±a
b x .
∵经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点， ∴此直线与渐近线y ＝a
b x 平行， ∴a b ＝2.
∴e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝52. [冲刺名校能力提升练]
1．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →
，则|BC |＝( )
A.92 B ．6 C.132 D ．8
答案：A
解析：不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π
2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，
则点B 在x 轴的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，
于是有|BF |＝|BB 1|＝3， |AF ||AB |＝p |BB 1|， 由此得p ＝2，
抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)， cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝1
3， sin θ＝
1－cos 2
θ＝22
3，
tan θ＝sin θ
cos θ＝22，
则直线l ：y ＝22(x －1)．
由⎩⎨
⎧
y ＝22(x －1)，y 2＝4x
消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝5
2， |BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝9
2，故选A.
2．[2017·陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y ＝1
4x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2
＋(y －1)2
＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC
→＝________.
答案：－1
解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1，
y ＝1
4
x 2
解得x ＝±2，
则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)， 所以AB →＝(1,0)，DC →
＝(－1,0)，
所以AB →·DC →＝－1.
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．
解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1. 又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1， 所以a ＝2，
所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切， 所以其斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 代入椭圆方程得x 2
2＋(kx ＋m )2＝1，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2
x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解，
此时Δ＝4k 2
m 2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2
(m 2－1)＝0，
即m 2＝2k 2＋1.①
把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得 k 4y 2
－y ＋m ＝0，
由题意可知此方程有唯一解， 此时Δ＝1－mk ＝0，
即mk ＝1.②
联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＝2k 2＋1，mk ＝1， 解得k 2＝12， 所以⎩⎨⎧ k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧ k ＝－22，m ＝－2，
所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.
4．[2017·贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆
C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2
m 2＋y 2
n 2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
∴直线AB 的方程为x －a
＋y b ＝1， ∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离
d ＝|b －ab |a 2＋b
2＝77b ， a 2＋b 2＝7(a －1)2，
又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3，
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 2
9＝1.
①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ，
将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，
得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，
∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)
＝48(4k 2＋3－b 2)＝0，
即b 2＝4k 2＋3，(*)
设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，
得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0，
此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2
. |x 1－x 2|＝43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2
， ∴|MN |＝1＋k 2×43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2
＝46·1＋k 2
3＋4k 2＝261＋13＋4k
2， ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43
， 即26<26·1＋13＋4k 2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]．
5．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；
(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直
线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．
解：(1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，
所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.
(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知
⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N
＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，
所以y 0＝－12k ＋m .
所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上
⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示，
所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3.
所以－334<m <334，且m ≠0.
故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，334.。