山东省青岛市2021届新高考第四次适应性考试数学试题含解析

山东省青岛市2021届新高考第四次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是
平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④
B ．①③
C ．②③
D ．①②
【答案】C
【解析】
【分析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.
【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；
②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；
③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；
④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.
故选:C.
【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
2．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r （ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】 取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r ；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用
()
AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 可求得结果. 【详解】
取AM 中点O ，连接ON ，
AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r
.
60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ， ()22222cos 416828AM DM DA DM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
则()
21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 故选：B .
【点睛】
本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.
3．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.
【详解】
若3a =则()()55
=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()5
1x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.
故选:B.
【点睛】
本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.
4．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A ．12-
B ．-2
C ．12
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
由2AM AD =u u u u r u u u r ()
112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r ， 1,222
k k λμ∴=--=， 12
λμ∴+=-. 故选：A
【点睛】
本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.
5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）
A ．23-
B ．23
C ．3
D ．-3
【答案】B
【解析】
【分析】 把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值．
【详解】 因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =
. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
6．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
64256436
【解析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得
2215825872BC =
+-⨯⨯⨯= ，ABC V 的外接圆圆心772sin 332
BC r r B ==∴= 三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2
d SA == 则外接球的半径()2276453
3R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键．
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．()
722+π
B ．()1022+π
C ．()1042+π
D ．()1142+π 【答案】C
【解析】
【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：1442223(1042)2
ππππ+
⨯⨯⨯=+，
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
8．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）
A ．20
B ．50
C ．40
D ．60 【答案】B
【解析】
【分析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.
【详解】 由题意，30=1500
15001000
n ⨯
+，解得50n =. 故选：B.
【点睛】
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题. 9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
10．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A ．方差
B ．中位数
C ．众数
D ．平均数 【答案】A
【解析】
【分析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222
181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变.
故选：A
【点睛】
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）
A ．
B ．
C ．25-
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v
上的投影公式即得解
【详解】 由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，
故()21OB =u u u v ，
向量OA u u u v 在向量OB uuu v 上的投影是
5OA OB OB
⋅==-u u u v u u u v u u u v . 故选：A
【点睛】
本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎦
B ．⎫⎪⎪⎣⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．⎫⎪⎪⎣⎭
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
=6，
所以椭圆离心率5e ==，
所以e ⎛∈ ⎝⎦
. 故选：C
【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______.
1
【解析】
【分析】
由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得PN m PA =，可知当直线PA 与抛物线相切时，m 取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.
∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-
过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =
PF m PA =Q PF
PN
m PA PA ∴==
设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=
当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切
设直线PA 的方程为1y kx =-，代入2
4x y =得：2440x kx -+= 216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-
∴双曲线的实轴长为()2
21PA PF -=，焦距为2AF = ∴双曲线的离心率()21221e =
=- 21
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标. 14．已知抛物线2:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若4AM BM =，则实数k =__________．
【答案】43
±
【解析】
由抛物线的定义及平行线性质可得4AF BF =，从而再由抛物线定义可求得直线AB 倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解． 【详解】 直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，8p =，过A ，
B 分别作
C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =．
因为////AP MF BQ ，所以||||||||||||
PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=︒， 所以APM BQM ∆∆:，从而||||||4||||||
AM AP AF BM BQ BF ===． 设直线l 的倾斜角为α，不妨设02π
α≤<，如图，则cos cos AF AP MF AF p AF αα==+=+，
1cos p AF α=
-，同理1cos p BF α
=+， 则||1cos cos 4||1cos 1cos p
AF p BF ααα
α+-===-+1， 解得3cos 5α=，4tan 3
k α==，由对称性还有34k =-满足题意． ，综上，43k =±
．
本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．
15．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
【答案】16 1
【解析】
【分析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．
【详解】
某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
则第19天治愈出院患者的人数为451216a =⨯=，
1(12)12712
n n S ⨯-==-， 解得7n =，
∴第715121+-=天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，1．
【点睛】
本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
【答案】252π
【解析】
【分析】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平
【详解】
设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，
过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心， 取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，
由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ， 因为12OFO OFO ∆≅∆，从而133OO =， 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，
在直角1AOO ∆中，由16O A =，133OO =，可得222
11273663OA OO O A =+=+=，
即外接球的半径为63R OA ==，
故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==. 故答案为：252π.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()|2||4|f x x x =++-. (1)求不等式()3f x x ≤的解集；
(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】 (1)[)2,+∞；(2)(],2-∞. 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可； （2）通过分离参数思想问题转化为33
1111
k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围. 【详解】
(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >， 当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得2
5
x ≥
，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤ 综上所述，不等式解集为[)2,+∞. (2)由
()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，
当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈； 当1x ≠时，24131333
111111
x x x x k x x x x ++--++--≤
==++-----.
因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫+
+-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫
+
-≥ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
即4x ≥或2x -≤时，等号成立，
所以k 2≤；
综上k 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题. 18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶
时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率． 【答案】（1）35．（2）4
5
． 【解析】 【分析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y ＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y ＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y ＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y ＞0，由此能估计估计Y 大于零的概率． 【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p 543
905
==． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500， Y ＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300， Y ＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元， 当温度低于20℃时，需求量为200， Y ＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元， 当温度大于等于20时，Y ＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y 大于零的概率P 724905
==． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2f x x =++x a -.
（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；
（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值. 【答案】 (1) 82,3
⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦
(2) 2a =
【解析】 【分析】
（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值． 【详解】
（1）1a =时，()121f x x x =++-.
当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-. 当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤. 当1x >时，317x -≤ ，解得813
x <≤. 综上，()7f x ≤的解集为82,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
（2）1a >-Q .()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪
∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩
，
由()y f x =的图象知，
()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.
【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
20．如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；6
【解析】 【分析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，
D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到
CG AB ⊥；
（Ⅱ）易证DB ，DF ，DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
，设AE 与平面BEG 所成
角为θ，则sin cos ,AE n
AE n AE n
u u u v v
u u u v v u u u v v θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案． 【详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，则()
003A ,,，13,
3,22E ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()1,0,0B ，()
1,3,0G -， ∴13,3,2AE u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()
2,3,0BG =-u u u v ，33,3,2BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v . 设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
.
由0{0BG n BE n ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 可得，230{3330
2x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴()
3,2,1n =-v
.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉==⋅u u u v v
u u u v v u u u
v v .
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2
2t t
t t
e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（其中t 为参数），直线l 的参数方程为255x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（其中m 为参数） （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2
cos 21((,))44
ππ
ρθθ=∈-（2）5
【解析】
【分析】
（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】
解：（1）曲线C ：22t t t t e e x e e y --⎧
+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2
2
2
2
cos sin 1((,))44
ππ
ρθρθθ-=∈-
所以2cos 21((,))44
ππ
ρθθ=∈-
（2）255x m y m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22
1x y -=，
233055
m m ∴--= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：
215PA PB m m ∴⋅==
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．
22．已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为15原点到直线1x y a b +=的距离为
30
4
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆
过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22153x y +=；（2
）存在，且方程为25y x =+
或25
y x =+.
【解析】 【分析】
（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到
()2
2
352050k x
kx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v
，
结合韦达定理可得到参数值. 【详解】 （1）直线
1x y
a b
+=的一般方程为0bx ay ab +-=.
依题意2222ab a b c ⎧=⎪
==+⎩
，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22
153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，
当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.
由22
23515
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩，得()22
352050k x kx +++=. 由()
22
40020350k k ∆=-+>
，得,,55k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-
+，12
2
5
35x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2
121224k x x k x x =+++.
要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v
，
即(
1212y y x x + (
)(()2
1212
129k x x k x x =+++++ 0=，
所以(
)(2
22
5201293535k
k k k k
+-+++ 0=，
整理解得5k =
或5
k =， 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l
的方程为25
y x =+或25y x =+. 【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
23．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为2
2cos c
C
.
（1）求证：tan sin sin C A B =； （2）若6
C π
=
，求()cos A B -的值.
【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】
（1）利用21
sin 2cos 2
c ab C C =，利用正弦定理，化简即可证明tan sin sin C A B =
（2）利用（1），得到当6
C π
=
时，sin sin A B =
，
得出()cos cos cos 6
A B C π
+=-=-=，得出cos cos 6
A B =-， 然后可得()cos A B - 【详解】
证明：（1）据题意，得21
sin 2cos 2
c ab C C =，
∴2sin cos c ab C C =，
∴2sin sin sin sin cos C A B C C =. 又∵()0,C π∈，
∴sin sin sin cos C A B C =， ∴tan sin sin C A B =.
解：（2）由（1）求解知，tan sin sin C A B =.
∴当6
C π
=
时，sin sin 3
A B =
.
又()cos cos cos
6
A B C π
+=-=-=，
∴cos cos sin sin A B A B -=
∴cos cos 6
A B =-
， ∴()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+
63
=-
+
=
. 【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题。