【高考一本解决方案】2017版高考数学文科新课标版专题训练：考法综合突破.doc

通过深度研究近五年全国及各省市高考题的选择题和填空题，我们发现其压轴题的命题视角主要是有以下八个知识点： (一)函数函数作为高中数学的基础内容之一，在各个知识之间起到“中枢”的作用．在高考中，主要考查函数的表示方法、单调性、最值、奇偶性和周期性的确定及应用、基本初等函数的图象与性质．特别地，在选择、填空题的压轴题上，则集中体现在函数图象的识别与应用、函数性质的综合应用、函数的零点与方程根的求解、函数的新概念问题、基本初等函数图象与性质的综合应用上等．以函数知识为背景的选择题、填空题的压轴题，高考中常考利用函数的概念及性质(主要是单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性)确定函数值或根据函数值求参数值(取值范围)，以及根据不等式成立的情况求参数取值范围问题，解决这类问题的关键是巧用函数的概念及相应的性质，转化为简单的求值问题或方程(不等式)问题求解．(2015·课标Ⅱ文，12)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x 2，则使得f(x)>f(2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【知识揭秘】 揭秘1：由f(－x)＝f(x)⇒f(x)为偶函数； 揭秘2：当x ∈(0，＋∞)时，y ＝－11＋x 2，y ＝ln(x ＋1)均为增函数，所以f(x)为增函数； 揭秘3：f(x)为偶函数⇒f(x)＝f(|x|)． 【思维揭秘】分析函数的奇偶性和单调性→将不等式进行等价转化→利用单调性把函数值的大小转化为自变量的大小【解析揭秘】 方法一：∵f(－x)＝ln(|－x|＋1)－11＋（－x ）2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x 2， 又y ＝ln(1＋x)在(0，＋∞)上单调递增，y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x －1)⇔f(|x|)>f(|2x －1|)⇔|x|>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x<1.方法二(特殊值排除法)：令x ＝0，此时f(x)＝f(0)＝－1<0，f(2x －1)＝f(－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0，故x ＝0不满足f(x)>f(2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－15，f(2x －1)＝f(3)＝ln 4－110.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0，∴f(2)－f(3)<0.即f(2)<f(3)，∴x ＝2不满足f(x)>f(2x －1)． 故B ，D 错误．故选A. 【答案】 A(1)(2015·课标Ⅰ文，12)设函数y ＝f(x)的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4(2)(2015·山东理，10)设函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)【知识揭秘】 (1)揭秘1：点(x ，y)关于直线y ＝－x 对称的点为(－y ，－x)； 揭秘2：利用a b ＝N ⇔b ＝log a N ，解出y ＝－log 2(－x)＋a. (2)揭秘：由f(f(a))＝2f(a)推出f(a)≥1. 【思维揭秘】(1)求y ＝f （x ）的解析式→代入自变量的值，解方程求a ；(2)由已知等式得出f(a)≥1，当a≥1时，显然成立；当a<1时，f(a)＝3a －1≥1，解不等式可得．【解析揭秘】 (1)设(x ，y)是函数y ＝f(x)的图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x)，由已知得(－y ，－x)在函数y ＝2x ＋a的图象上，即－x ＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x)＋a ，即f(x)＝－log 2(－x)＋a ，所以f(－2)＋f(－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2. (2)当a≥1时，f(a)＝2x >1，所以f(f(a))＝2 f(a)，即a≥1符合题意．当a<1时，f(a)＝3a －1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a －1≥1，a ≥23，所以23≤a<1.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 【答案】 (1)C (2)C1.(2014²湖北理，10)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16，16 B.⎣⎡⎦⎤－66，66 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33 1．B 因为当x≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x≤a 2时，f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2<x<2a 2时，f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时，f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x<2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 2．(2016²东北三省四市二模，12)定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M 函数：①对任意的x ∈[0，1]，恒有f(x)≥0；②当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立，则下列函数不是M 函数的是( ) A. f(x)＝x 2 B. f(x)＝2x －1C. f(x)＝ln(x 2＋1)D. f(x)＝x 2＋12．D 函数f(x)＝x 2≥0，x ∈[0，1]，且x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1时，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，所以f(x)＝x 2是M 函数，A 不满足题意；函数f(x)＝2x－1≥0，x ∈[0，1]，且x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1时，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，所以f(x)＝2x －1是M 函数，B 不满足题意；函数f(x)＝ln(x 2＋1)≥0，x ∈[0，1]，且x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1时，x 1x 2≤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222≤14，所以[(x 1＋x 2)2＋1]－(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 2(2－x 1x 2)≥0，则f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－ln(x 22＋1)－ln(x 21＋1)＝ln（x 1＋x 2）2＋1（x 21＋1）（x 22＋1）≥0，所以f(x)＝ln(x 2＋1)是M 函数，C 不满足题意；对于函数f(x)＝x 2＋1，x 1＝x 2＝12满足条件，此时f(x 1＋x 2)＝f(1)＝2＜f(x 1)＋f(x 2)＝52，所以f(x)＝x 2＋1不是M 函数，D 符合题意，故选D.函数图象的识别与应用是近几年高考选择、填空题压轴题的一个热点，其解法主要有：特殊点法、性质检验法、图象变换法、导数法等，其中导数法常把复杂的函数或含参数的函数问题转化为函数的单调性、极值或最值问题求解．(2016·陕西西安师大附中一模，16)已知三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则f ′（－3）f′（1）＝________.【知识揭秘】 揭秘1：利用导数的运算法则求出f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ；揭秘2：在区间(a ，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下的关系：①如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间单调递增；②如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间单调递减；③如果f′(x)＝0恒成立，那么函数y ＝f(x)在这个区间为常数．据此可判断函数f(x)的单调性；揭秘3：根据极值点的概念，结合函数图象可知2，－1为函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，f ′(－1)＝0.【思维揭秘】 本题先求出f(x)的导数，然后根据函数图象确定极值点的位置，从而得出a ，b ，c 之间的关系，并用含a 的式子表示出f ′(－3)和f ′(1)．【解析揭秘】 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数图象得f′(2)＝0，f ′(－1)＝0，故12a ＋4b ＋c＝0，3a －2b ＋c ＝0⇒b ＝－32a ，c ＝－6a ，所以f ′（－3）f′（1）＝27a －6b ＋c 3a ＋2b ＋c ＝30a －6a ＝－5.【答案】 －51.(2016·北京东城一模，8)设f(x)＝|ln(x ＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a<b)，则( )A ．a ＋b>0 B. a ＋b>1 C ．2a ＋b>0 D ．2a ＋b>11．A 依题意f(x)＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0. ∵0＝ab ＋a ＋b<（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b)(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a<0，b>0，∴a ＋b ＋4>0， ∴a ＋b>0，故选A.2．(2016·河南郑州二模，11)已知函数f(x)＝2e x ＋1＋sin x(e 为自然对数的底数)，则函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π3，π3 上的大致图象是( )2．A 由题意知f′(x)＝－2e x（e x ＋1）2＋cos x ．因为2e x（e x ＋1）2＝2e xe 2x ＋2e x ＋1＝2e x＋1ex ＋2≤12，当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上有12≤cos x ≤1，所以f′(x)＝－2e x （e x ＋1）2＋cos x ＞－12＋12＝0，即f(x)在⎣⎡⎤－π3，π3上为单调递增函数，结合图象可知A 正确，故选A.根据函数的零点情况，求参数的范围是高考考查的重点和难点．对于这类问题，我们可以利用零点定理、数形结合思想及参数分离法求解．而已知函数的单调性等性质求参数的取值范围问题，常需转化为相应的不等式或方程问题求解． 考查角度1 根据函数的零点情况求参数范围(2016·河北石家庄一模，12)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x|，x>0.若函数y ＝f(x)－a有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4的取值范围是()A ．(－1，＋∞)B ．(－1，1]C ．(－∞，1)D ．[－1，1)【知识揭秘】 揭秘1：y ＝|x ＋1|，x ∈R 的图象关于直线x ＝－1对称⇒x 1＋x 22＝－1；揭秘2：|log 2x 3|＝|log 2x 4|⇒－log 2x 3＝log 2x 4⇒x 3x 4＝1；揭秘3：将所求式子转化为关于x 3的关系式，利用函数单调性求范围．【思维揭秘】 由条件画出函数f(x)的图象，然后利用函数图象的特点，找到四个根的关系，把x 3或x 4作为变量，利用函数的单调性求范围．【解析揭秘】 先画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x|，x>0的图象，如图．方程f(x)＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，当x≤0时，f(x)＝|x ＋1|，则横坐标为x 1与x 2两点的中点横坐标为x ＝－1，即x 1＋x 2＝－2；当x>0时，由于y ＝|log 2x|在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，又因为x 3<x 4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|，则0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4⇒x 3x 4＝1.又因为方程f(x)＝a 有四个不同的解，所以－log 2x 3≤1，则x 3≥12，所以x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4＝－2x 3＋1x 3⎝⎛⎭⎫12≤x 3<1.设g(t)＝－2t ＋1t ⎝⎛⎭⎫12≤t<1，由于g′(t)＝－2－1t2<0，则g(t)在⎣⎡⎭⎫12，1上是减函数，所以－1<g(t)≤1.【答案】 B考查角度2根据函数的性质求参数值或范围(2013·四川理，10)设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]【知识揭秘】揭秘1：根据y＝sin x的值域为[－1，1]，知y0∈[0，1]；揭秘2：将f(f(y0))＝y0转化为f(y0)＝y0，利用反证法证明；揭秘3：构造函数y＝e x＋x－x2，利用导数判断函数为增函数．【思维揭秘】方法一：考查题设中的条件，函数f(f(y0))的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现用两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e＋1出现在了C，D两个选项的范围中，故可通过验证参数为0与e＋1时是否符合题意判断出正确选项；方法二：由题意可得存在y0∈[0，1]，使f(y0)＝y0成立，即f(x)＝x在[0，1]上有解，即e x ＋x－x2＝a，x∈[0，1]，利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a 的取值范围．【解析揭秘】方法一：曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则y0∈[0，1]．考查四个选项，B，D两个选项中参数都可取0，C，D两个选项中参数都可取e＋1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e＋1时是否符合题意，即可得出正确选项．当a＝0时，由于f(x)＝e x＋x是一个增函数，可得出f(y0)≥f(0)＝1，而f(1)＝e＋1>1，故a＝0不合题意，由此知B，D两个选项不正确；当a＝e＋1时，f(x)＝e x＋x－e－1，此函数是一个增函数，f(1)＝e1＋1－e－1＝0，而f(0)没有意义，故a＝e＋1不合题意，故C，D两个选项不正确．综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故选A.方法二：由题意可得y0＝sin x0∈[－1，1]，又f(x)≥0，∴y0∈[0，1]．函数f(x)＝e x＋x－a (a∈R)为增函数．下面证明f(y0)＝y0，假设f(y0)＝c＞y0，则f(f(y0))＝f(c)＞f(y0)＝c＞y0，不满足f(f(y0))＝y0.同理假设f(y0)＝c＜y0，则不满足f(f(y0))＝y0.综上可得f(f(y0))＝y0.即f(x)＝x在[0，1]上有解，即e x ＋x －x 2＝a 在[0，1]上有解．令g(x)＝e x ＋x －x 2，则a 为g(x)在[0，1]上的值域． ∵当x ∈[0，1]时，g ′(x)＝e x ＋1－2x>0， ∴函数g(x)在[0，1]上是增函数． ∴g (0)≤g(x)≤g(1)，即1≤a≤e. 【答案】 A1.(2016·广西南宁一模，12)若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8] D ．[－2，4]1．B 若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增， 则f′(x)＝[x 2＋(2－c)x ＋(5－c)]e x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤12，4上恒成立． 即x 2＋(2－c)x ＋(5－c)≥0在区间⎣⎡⎦⎤12，4上恒成立， 即c≤x 2＋2x ＋5x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，4上恒成立． 令g(x)＝x 2＋2x ＋5x ＋1，则g′(x)＝x 2＋2x －3（x ＋1）2.令g′(x)＝0，则x ＝1或－3.当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数；当x ∈(1，4]时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数， 故当x ＝1时，g(x)取最小值4， 故c ∈(－∞，4]．2．(2016·河北石家庄二模，11)已知函数f(x)＋2＝2f （x ＋1），当x ∈(0，1]时，f(x)＝x 2，若在区间(－1，1]内，g(x)＝f(x)－t(x ＋1)有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎣⎡⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎦⎤0，12 2．D 当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f(x)＝2f （x ＋1）－2＝2x ＋1－2＝－2x x ＋1，所以函数f(x)在(－1，1]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈（－1，0]x 2，x ∈（0，1]，作出函数f(x)在(－1，1]上的大致图象如图．令y ＝t(x ＋1)，y ＝t(x ＋1)表示恒过定点(－1，0)、斜率为t 的直线，由图可知直线y ＝t(x ＋1)的临界位置，此时t ＝12，因此t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.故选D. 3．(2016·浙江杭州模拟，15)已知函数f(x)的定义域为(4a －3，3－2a 2)，a ∈R ，且y ＝f(2x －3)是偶函数．又g(x)＝x 3＋ax 2＋x 2＋14，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫k ，k ＋12，k ∈Z ，使得g(x 0)＝x 0，则满足条件的实数k 的个数为__________．3．【解析】 因为函数f(x)的定义域为(4a －3，3－2a 2)，所以4a －3<3－2a 2，解得－3<a<1.又函数y ＝f(2x －3)是偶函数，所以4a －3<2x －3<3－2a 2⇒2a<x<3－a 2，且2a ＋3－a 2＝0⇒a ＝－1或3，所以a ＝－1，则g(x)＝x 3－x 2＋x 2＋14.令h(x)＝g(x)－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，则h′(x)＝3x 2－2x －12＝12(6x 2－4x －1)＝0⇒x ＝2±106，且当x ＝2－106时，h(x)取得极大值，且h ⎝⎛⎭⎪⎫2－106>0，当x ＝2＋106时，h(x)取得极小值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋106<0，所以函数h(x)有三个零点．又h(－1)<0，h ⎝⎛⎭⎫－12>0，h(0)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h(1)<0，h ⎝⎛⎭⎫32>0，所以k ＝－1，0，1，即实数k 有3个． 【答案】 3含参数的二次函数问题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想、配方法、换元法、赋值法等，考查学生能否灵活地运用“三个二次”的相关知识解题．因此含参数的二次函数(含一元二次方程、一元二次不等式)的相关问题也是高考选择、填空题压轴题的一个重要命题的热点．(2012·北京理，14)已知f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f(x)＜0或g(x)＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0. 则m 的取值范围是________．【知识揭秘】 揭秘1：求解与二次函数有关的不等式恒成立问题，往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax 2＋bx ＋c>0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b 2－4ac<0.(2)ax 2＋bx ＋c<0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.揭秘2：∃x ∈(－∞，－4)，f(x)>0的否定是：∀x ∈(－∞，－4)，f (x)≤0.【思维揭秘】 由于g(x)的符号容易确定，故从g(x)的符号入手．对于f(x)，m ≠0时为二次函数，两个零点为2m ，－m －3，结合图象列出不等关系式，注意当“p 或q”为真时，p ，q 至少有一个为真即可．对于存在性命题，可以先求其否定命题对应的m 的取值范围． 【解析揭秘】 若g(x)＝2x －2＜0，则x ＜1. ①又∵∀x ∈R ，g(x)＜0或f(x)＜0， ∴[1，＋∞)是f(x)＜0的解集的子集．又由f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)＜0知，m 不可能大于或等于0，因此m ＜0. 当m ＜0时，f(x)＜0，即(x －2m)(x ＋m ＋3)＞0.当2m ＝－m －3，即m ＝－1时f(x)＜0的解集为{x|x≠－2}，满足条件．当2m ＞－m －3，即－1＜m ＜0时，f(x)＜0的解集为{x|x ＞2m 或x ＜－m －3}．依题意2m ＜1，即m ＜12，∴－1＜m ＜0.当2m ＜－m －3，即m ＜－1时，f(x)＜0的解集为{x|x ＜2m 或x ＞－m －3}．依题意－m －3＜1，即m ＞－4， ∴－4＜m ＜－1.因此满足①的m 的取值范围是－4＜m ＜0. ②∵x ∈(－∞，－4)时，g(x)<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f(x)>0. 其否定为：∀x ∈(－∞，－4)，f(x )≤0. 则有m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，2m ≥－4，－m －3≥－4，解得－2≤m≤0.∴∃x ∈(－∞，－4)，f(x)>0，则m<－2或m>0. 综上，－4<m<－2. 【答案】 (－4，－2)(2016·江苏无锡二模，13)设Sn 为数列{a n }的前n 项和，若不等式n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为________．【知识揭秘】 揭秘1：f(x)<g(a)(a 为参数)恒成立⇔g(a)>f(x)max ；f(x)>g(a)(a 为参数)恒成立⇔g(a)<f(x)min ，把n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21中的参数λ与自变量n 分离；揭秘2：二次函数配方：2⎝⎛⎭⎫a n a 12＋2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋1＝2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋122＋12. 【思维揭秘】 分离参数λ转化为求函数2⎝⎛⎭⎫a n a 12＋2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋1的最值问题；再解含a n a 1的一元二次不等式．【解析揭秘】 当a 1＝0时，λ∈R ；当a 1≠0时，n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21⇒n2a 2n ＋4S 2nn 2a 21≥λ⇒a 2n a 21＋（a 1＋a n ）2a 21≥λ⇒2⎝⎛⎭⎫a n a 12＋2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋1≥λ⇒2⎝⎛⎭⎫a n a 1＋122＋12≥λ，所以λ≤12，即λmax ＝12.【答案】 12【名师点睛】 求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题，求解时经常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量．1.(2016·重庆二模，10)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，若x 1<1<x 2，则(x 1＋x 2)2＋x 21x 22 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 1．C ∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且x 1≠x 2， ∴Δ＝b 2－4ac>0，∴b 2>4ac. ∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a.∵x 1<1<x 2，∴(x 1－1)(1－x 2)>0，可化为－x 1x 2＋x 1＋x 2－1>0. ∴－c a －b a －1>0，可得－ca ＋⎝⎛⎭⎫－b a >1. 则(x 1＋x 2)2＋x 21x 22＝b 2a 2＋c 2a2≥12⎣⎡⎦⎤－b a ＋⎝⎛⎭⎫－c a 2>12. ∴(x 1＋x 2)2＋x 21x 22的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，故选C.2．(2016·天津二模，12)若至少存在一个x(x≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m|成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]2．A 由题意得，至少存在一个x≥0，使得不等式⎪⎪⎪⎪x －m 2≤2－12x 2成立，即函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪x －m 2与g(x)＝2－12x 2的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数g(x)＝2－12x 2与y ＝|x|的图象，结合图象可知将y ＝|x|的图象向左平移到经过点(0，2)这个过程中的相应曲线均满足题意，即－4≤m≤0；将y ＝|x|的图象向右平移到直线y ＝－x ＋m2与抛物线y ＝2－12x 2相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x 0，则有－x 0＝－1，x 0＝1，切点坐标是⎝⎛⎭⎫1，32，于是有32＝－1＋m2，m ＝5，即0≤m≤5.因此满足题意的实数m 的取值范围是[－4，5]，故选A.3．(2016·山东济南三模，10)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f ′(0)＞0.若f(x)的值域为[0，＋∞)，则f （1）f′（0）的最小值为( )A ．3 B.52 C ．2 D.323．C ∵f′(x)＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＞0. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＝0，∴c ＝b 24a ＞0.又f(1)＝a ＋b ＋c ，∴f （1）f′（0）＝1＋a ＋c b ≥1＋2acb ＝1＋2b 24b ＝2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．故选C. (二)导数及其应用导数及其应用的选择、填空题的压轴题通常围绕三个点进行命题．第一个点是导数的几何意义，涉及求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等问题，这类试题同时也包含了导数的计算、直线的方程等知识；第二个点是利用导数研究函数的单调性、极值(或最值)；第三个点是利用导数研究不等式、方程等，涉及不等式的解法、不等式成立、比较大小、讨论方程的根、函数的零点等问题．特别地，当第二、三点作为选择题或填空题的压轴题时，难度较大．(2015·课标Ⅱ理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【知识揭秘】 揭秘1：构造函数g(x)＝f （x ）x ，利用g′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）x 2判断函数的单调性；揭秘2：函数f(x)是奇函数，则g(x)＝f （x ）x 为偶函数；揭秘3：偶函数在对称区间上的单调性相反． 【思维揭秘】 构造函数g(x)＝f （x ）x，利用导函数判断函数的单调性，再将不等式转化为两个函数值对应自变量的大小关系． 【解析揭秘】 记函数g(x)＝f （x ）x ，则g′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.当x>0时， xf ′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g ′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f(x)(x ∈R)是奇函数，所以g(－x)＝f （－x ）－x＝f （x ）x ＝g(x)，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0，当x ＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x ＜1；当x ＜0，g(x)＜0时，f(x)＞0，x ＜－1，综上所述，使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 【答案】 A【名师点睛】 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到与不等式、方程及最值有关的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．1.(2016·新疆乌鲁木齐一模，12)设函数f(x)在R 上存在导函数f′(x)，对任意x ∈R ，都有f(x)＋f(－x)＝x 2，且当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>x.若f(2－a)－f(a)≥2－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞) 1．B 令g(x)＝f(x)－12x 2，则g(－x)＝f(－x)－12x 2.由g(x)＋g(－x)＝f(x)＋f(－x)－x 2＝0，得g(x)为R 上的奇函数． ∵当x>0时，g ′(x)＝f′(x)－x>0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．再结合g(0)＝0及g(x)为奇函数，知g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．又g(2－a)－g(a)＝f(2－a)－（2－a ）22－⎣⎡⎦⎤f （a ）－a 22＝f(2－a)－f(a)－2＋2a≥(2－2a)－2＋2a＝0，则g(2－a)≥g(a)⇔2－a≥a ⇔a ≤1，即a ∈(－∞，1]．故选B.2．(2016·皖南八校联考，10)已知定义在R 上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，f(x)满足2f(x)＋xf′(x)<xf(x)，则f(x)在R 上的零点个数为( ) A ．1 B ．3 C. 5 D ．1或32．A ∵当x<0时，f(x)满足2f(x)＋xf ′(x)<xf(x)，∴当x<0时，f(x)满足2xf(x)＋x 2f ′(x)>x 2f(x)．令F(x)＝x 2f(x)，∴F ′(x)－F(x)＝2xf(x)＋x 2f ′(x)－x 2f(x)>0，所以⎝⎛⎭⎫F （x ）e x ′＝e x （F′（x ）－F （x ））（e x ）2>0，所以y ＝F （x ）e x 在(－∞，0)上单调递增，所以F （x ）e x <F （0）e 0＝0，即F(x)＜0，所以f(x)<0；当x>0时，则－x<0，所以－2xf(－x)＋x 2²f ′(－x)>x 2f(－x)，所以2xf(x)＋x 2²f ′(x)>－x 2f(x)，所以y ＝F ′(x)＋F(x)>0，所以(e x F (x))′>0，所以y ＝e x F(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以e x F(x)>e 0F(0)＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，f(x)>0.又因为f(0)＝0，所以f(x)只有一个零点．3．(2016·安徽合肥二模，12)定义在R 上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x ，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x 2f(x)－f(1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为( ) A ．{x|x ≠±1} B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－1，0)∪(0，1)3．B 令g(x)＝x 2f(x)－x 2，则g′(x)＝2xf(x)＋x 2f ′(x)－2x ＝x[2f(x)＋xf ′(x)－2]，当x>0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．又f(x)是偶函数，则g(－x)＝x 2f(－x)－x 2＝x 2f(x)－x 2＝g(x)，即g(x)是偶函数．不等式x 2f(x)－f(1)<x 2－1可变形为x 2f(x)－x 2<f(1)－1，即g(x)<g(1)，g(|x|)<g(1)，|x|>1，解得x<－1或x>1，选项B 正确．4．(2016·甘肃部分高中联考，12)已知实数a ，b ，c ，d 满足a －2e a b ＝1－cd －1＝1，其中e 是自然对数的底数，则(a －c)2＋(b －d)2的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．184．B 实数a ，b ，c ，d 满足a －2e a b ＝1－cd －1＝1，∴b ＝a －2e a ，d ＝2－c ，因此点(a ，b)在曲线y ＝x －2e x 上，点(c ，d)在直线y ＝2－x 上，(a －c)2＋(b －d)2的几何意义就是曲线y ＝x －2e x 上的点到直线y ＝2－x 的距离的平方．求曲线y ＝x －2e x 的平行于直线y ＝2－x 的切线，y ′＝1－2e x ，令y′＝1－2e x ＝－1，得x ＝0，因此切点为(0，－2)，切点到直线y ＝2－x 的距离d ＝|0－2－2|1＋1＝22就是曲线上的点到直线的最小距离，因此(a －c)2＋(b －d)2的最小值为d 2＝8，故选B.5．(2013²课标Ⅰ理，16)若函数f(x)＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b)的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为________．5．【解析】 因为函数f(x)的图象关于直线x ＝－2对称，所以f(0)＝f(－4)，得4b ＝－60＋15a.又f′(x)＝－4x 3－3ax 2＋2(1－b)x ＋a ，而f′(－2)＝0，即－4×(－2)3－3a×(－2)2＋2(1－b)×(－2)＋a ＝0， 得11a －4b ＝28.由⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝－60＋15a ，11a －4b ＝28，解得a ＝8，b ＝15. 故f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)． 方法一：f′(x)＝－4x 3－24x 2－28x ＋8 ＝－4(x 3＋6x 2＋7x －2) ＝－4(x ＋2)(x 2＋4x －1)．令f′(x)＝0，即(x ＋2)(x 2＋4x －1)＝0，则x ＝－2或x ＝－2－5或－2＋ 5. 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8×(－2＋5)＋15]＝(45－8)(8＋45)＝16，故f(x)的最大值为16.方法二：f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)·(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)，令t ＝x 2＋4x ，则f(t)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16≤16，当t ＝1时等号成立．即f(x)的最大值为16.方法三：任何一个四次函数均可以写成一个二次函数的平方和一个常数的和，设f(x)＝－(x 2＋4x ＋m)2＋p ，m ，p 为常数，由f(1)＝－(5＋m)2＋p ＝0，f(－1)＝－(－3＋m)2＋p ＝0，解得m ＝1，p ＝16，所以f(x)＝－(x 2＋4x ＋1)2＋16≤16，即f(x)的最大值为16. 【答案】 16 (三)立体几何近几年，有的省市的高考题选择了以立体几何为背景的选择题或填空题作为压轴题，主要考查方式有：(1)与空间线面位置关系、数量关系有关命题真假的判断；(2)空间几何体间的接切问题；(3)立体几何中的动态问题．(2016·安徽马鞍山二模，16)已知正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1的棱长为1.给出下列五个命题：①对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3； ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是π6；⑤在正方形ABCD 内，到顶点A 与棱A 1B 1的距离相等的点的轨迹为一段抛物线． 其中正确命题的序号为________(将你认为正确命题的序号都填上)．【知识揭秘】 ①如图所示，假设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面A 1BD.由体积相等得出AM 与AC 1的关系，即可作出判断；②设出正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径，即可得出表面积之比； ③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积V ＝13－4×16＝13，不是16，即可作出判断；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积V ＝18³4π3³13＝π6；⑤以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD 内，根据到顶点A 与棱A 1B 1的距离相等列等式判断．【思维揭秘】 ①假设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面A 1BD ；②找准球心均为正方体的中心；③利用正方体的对称性；④公共部分的体积为球的八分之一；⑤以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系化简求解．【解析揭秘】 ①如图所示，假设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面A 1BD.由体积相等，得13AM ³34³(2)2＝13³12³12³1，解得AM ＝33＝13AC 1，因此对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分，正确；②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为12，22，32.因此表面积之比为4π⎝⎛⎭⎫122∶4π⎝⎛⎭⎫222∶4π³⎝⎛⎭⎫322＝1∶2∶3，正确；③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积V ＝13－4×16＝13，不是16，不正确；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积V ＝18³4π3³13＝π6，正确；⑤以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD 内，到顶点A 与棱A 1B 1的距离相等的点P(x ，y ，0)的轨迹为：x 2＋y 2＝1＋（1－x ）2，化为y 2＝2－2x (0≤x≤1)，为一段抛物线，正确． 【答案】 ①②④⑤1.(2016·安徽合肥模拟，11)在棱长均相等的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为BB 1的中点，F 在AC 1上，且DF ⊥AC 1，则下述结论：①AC 1⊥BC ； ②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1，其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．31．C 不妨设棱长为2.①如图连接AB 1，则AB 1＝AC 1＝22，∴∠AC 1B 1≠90°，即AC 1与B 1C 1不垂直，又BC ∥B 1C 1，∴①错误；②如图连接AD ，DC 1，在△ADC 1中，AD ＝DC 1＝5，而DF ⊥AC 1，∴F 是AC 1的中点，∴②正确；由②知在△ADC 1中，DF ＝3，如图连接CF ，CD ，易知CF ＝2，而在Rt △CBD 中，CD ＝5，∴DF 2＋CF 2＝CD 2，∴DF ⊥CF.又DF ⊥AC 1，CF ∩AC 1＝F ，∴DF ⊥平面AA 1C 1C ，∴③正确，故选C.2．(2016·浙江金华三模，8)已知一个高度不限的直三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝4，BC＝5，CA＝6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE.给出下列结论：①△ADE是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，其中有可能成立的结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．C如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.不妨取AD＝6，AE＝10，DE＝8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；不妨令AD＝AE ＝DE＝a(a>6)，则△ADE是等边三角形，②可能成立；假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则E，D分别与C，B重合，此时∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立；当P 为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知，∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立；当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA＝E，EP⊂平面ACC1A1，EA⊂平面ACC1A1，则平面ACC1A1与平面BCC1B1垂直，则在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB＝90°，与题意矛盾，假设不成立，∴③错误．故选C.(2012·辽宁理，16)已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．【知识揭秘】方法一：揭秘1：由PA，PB，PC两两垂直，推出点P在底面ABC上的射影就是正三角形ABC 的中心M ； 揭秘2：由O ，P ，M 三点共线，得OM ；揭秘3：在Rt △PAM 中，PA 2＝PM 2＋AM 2⇒⎝⎛⎭⎫22a 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2⇒h ＝66a ，在Rt △OAM中，OA 2＝OM 2＋AM 2⇒(3)2＝(3－h)2＋⎝⎛⎭⎫33a 2，可求a. 方法二：揭秘4：将三棱锥放在正方体中，外接球的直径等于正方体的体对角线，可以求得三棱锥的侧棱；等体积法：求三棱锥的体积，可以选择不同的顶点，设而不求得到点到直线的距离．【思维揭秘】 方法一：利用条件，建立关于正三棱锥底面正三角形边长a 的方程，求a ，然后求三棱锥的高h ，则R 减去h 即为所求．方法二：将正三棱锥P-ABC 放回正方体内，PA ，PB ，PC 为正方体的长、宽、高，外接球的直径为正方体的体对角线，直接求出a ，再利用等体积法求出球心到截面ABC 的距离． 【解析揭秘】 方法一：由于PA ，PB ，PC 两两垂直，则点P 在底面ABC 上的射影就是正三角形ABC 的中心M.设正三角形ABC 的边长为a ，则三棱锥的侧棱长为22a ，AM ＝33a ，三棱锥的高h ，在Rt △PAM 中，由勾股定理得 PA 2＝PM 2＋AM 2⇒⎝⎛⎭⎫22a 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2⇒h ＝66a.再设球心为O ，则OM ⊥底面ABC ，且OM ＝3－h ， 在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2＝OM 2＋AM 2⇒(3)2＝(3－h)2＋⎝⎛⎭⎫33a 2. 又h ＝66a ，解得a ＝22， 故球心到截面ABC 的距离为3－h ＝3－66a ＝3－66³22＝33. 方法二：设正三角形ABC 的边长为a ，则三棱锥的侧棱长为22a ，三棱锥的高为h ，将正三棱锥P-ABC 放入正方体内，则PA ，PB ，PC 为正方体的长、宽、高，外接球的直径为正方体的体对角线，所以3PA ＝23，PA ＝2＝22a ， 所以a ＝2 2.由等体积法得V P ­ABC ＝13S △ABC ²h ＝16³23，所以13³34³(22)2²h ＝16×23，∴h ＝233，故球心到截面ABC 的距离为3－h ＝3－233＝33. 【答案】331.(2016·河南六市一模，11)三棱锥P-ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.25π3 B.25π2 C.83π3 D.83π21．D 由题意知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x)2，解得x ＝546，∴R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝83π2，故选D. 2．(2016·山西太原一模，11)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A′­BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD.若四面体A′­BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．π B.4π3 C.3π2D.3π2．C 因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2，所以AB 2＋AD 2＝BD 2，则AB ⊥AD.因为BD ⊥CD ，CD ＝1，所以BC ＝BD 2＋DC 2＝（2）2＋1＝ 3.因为翻折后平面A ′BD ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A′BD.所以CD ⊥BA′.又A′B ⊥A′D ，所以BA′⊥平面A ′CD ，则△BA′C ，△BDC 均为直角三角形，所以BC 为球的直径，即球的半径R ＝BC 2＝32，则V球＝4π3³⎝⎛⎭⎫323＝3π2.近几年有些省市的高考选择、填空题的压轴题以空间几何体为载体，考查有关角、距离、体积等量的最值或某些点的轨迹等动态问题，这类问题主要考查学生的空间想象能力及转化能力．(2015·湖南理，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π【知识揭秘】 揭秘1：观察三视图可知，该工件为圆锥； 揭秘2：利用基本不等式放缩得V ＝xyh≤x 2＋y 22h ；揭秘3：关于a 的函数y ＝2a 2(2－2a)的最值求法有两种：方法一利用abc≤⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 33；方法二利用导数求最值．【思维揭秘】 由三视图可还原出该几何体为圆锥，设出长方体的长、宽、高，建立三者和圆锥的底面半径和高的关系，利用导数或基本不等式确定长方体的最大体积，再计算原工件材料的利用率．【解析揭秘】 方法一：该三视图对应的几何体是底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截掉的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B ，即h 2＝r 1，则h ＝2r.长方体的体积为V ＝abc ＝ab(2－2r)≤a 2＋b 22³(2－2r)＝2r 2(2－2r)＝4r 2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r<1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r<1)，则y′＝8r －12r 2.由y′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y′>0，得0<r<23.由y′<0，得23<r<1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝⎛⎫232－4×⎝⎛⎫233＝1627，即V max＝1627. ∴原工件材料的利用率为162713π³12³2＝89π，故选A.方法二：由题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则x 2＋y 2＝(2a)2＝4a 2，圆锥的轴截面如图所示，则可知a 1＝2－h2⇒h ＝2－2a ，而长方体的体积V ＝xyh≤x 2＋y 22h ＝2a 2h ＝2a 2(2－2a)≤2×⎝⎛⎭⎫a ＋a ＋2－2a 33＝1627，当且仅当x ＝y ，a ＝2－2a ，即a ＝23时，等号成立，此时利用率为162713π³12³2＝89π，故选A.【答案】 A【名师点睛】 立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，利用导数或利用基本不等式，求其最值．1.(2016·天津模拟，12)一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y ＝2x1＋x 2(x>0)的图象上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是()A ．π B.π3C.π4D.π2 1．A ∵y ＝2x 1＋x2(x>0)，∴yx 2－2x ＋y ＝0，将其视为关于x 的一元二次方程，设x 1，x 2是其两根，∴x 1＋x 2＝2y ，x 1x 2＝1，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4－4y 2y ，∴绕x 轴旋转而成的几何体的体积V ＝πy 2|x 1－x 2|＝πy 2²4－4y 2y＝2π14－⎝⎛⎭⎫y 2－122≤π，当且仅当y 2＝12，即y ＝22时等号成立，故选A.2．(2013·北京理，14)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，则点P 在线段D 1E 上，则点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．2．【解析】 如图所示，过P 作PQ ⊥DE ，则PQ ⊥平面ABCD ，所以PQ ∥CC 1，所以P 到CC 1的距离即为CQ 的长．当P 在线段ED 1上运动时，距离的最小值为C 到线段DE 的距离，所以最小值为△CDE 中DE 边上的高，其长度为2×15＝255.【答案】255(四)直线与圆直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切、相交，是高考中选择题或填空题的压轴题命题的热点．(2016·山西阳泉一模，15)若点P 在直线l1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM|的最小值为________．【知识揭秘】 揭秘1：直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，说明直线l 2与曲线C 相切；。