四川省宜宾市柳湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省宜宾市柳湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若曲线在点（0，n）处的切线方程x-y+1=0，则（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
A
【分析】
根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】曲线在点处的切线方程是，
，则，即切点坐标为，
切线斜率，
曲线方程为，
则函数的导数
即，即，
则，，故选A．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
2. 复数的共轭复数是（）
A．B． C． D．
参考答案：3. 已知函数，若，，
，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据题意将问题转化为，记，从而在上单调递增，从而在上恒成立，利用分离参数法可得，结合题意可得即可.
【详解】设，因为，
所以.
记，则在上单调递增，
故在上恒成立，即在上恒成立，
整理得在上恒成立.
因为，所以函数在上单调递增，
故有.因为，
所以，即.
故选：D
【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.
4. 已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
参考答案：
C
5. 使不等式+> 1 +成立的正整数a的最大值是（）
（A）13 （B）12 （C）11 （D）10
参考答案：
B
6. 甲、乙两人约定上午7:20至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车的时刻分别是7：40、7：50和8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7:20至
8:00时的任何时刻到达车站都是等可能的）（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
7. 下列四个命题中真命题的是 ()
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．
B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以用方程：
(y－y1)(x2－x1)－(x－x1)(y2－y1)＝0表示．
C．不过原点的直线都可以用＋＝1表示．
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．
参考答案：
B
略
8. 若一个圆的圆心在直线上，在轴上截得的弦的长度等于2，且与直线
相切。

则这个圆的方程是（）
A
B
C
D
参考答案：
D
略
9. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6m/s的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（）
A．24π m2/s B．36π m2/s
C. 72π m2/s D．144π m2/s
参考答案：
D
由题意可知，水滴接触水面后半径与时间的关系为，
则圆的面积，
对时间求导可得：，
令可得末时圆面积的变化速率为.
本题选择D选项.
10. 在分别是角A、B、C的对边，，且，则B的大小为（）
A. B. C. D.
参考答案：
Ｃ
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个与自然数有关的命题，若时命题成立可以推出时命题也成立．现已知时该命题不成立，那么下列结论正确的是：________填上所有正确命题的序号)
①时该命题一定不成立；
②时该命题一定成立；
③时该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数,使时该命题成立；
⑤该命题可能对所有自然数都不成立．
参考答案：
③⑤
12. 设,是纯虚数,其中是虚数单位,则
.
参考答案：
-2;
13. 已知复数表示z 的共轭复数，则=____________.
参考答案：
7+i.
略
14. 已知R上可导函数f(x)的图像如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0, 的解集为_______ 参考答案：
(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
略
15. 已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：．
参考答案：
﹣3或﹣
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】分两种情况加以讨论：当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆离心率为e==，解之得m=
﹣3；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣．最后综上所述，得到正确答案．
【解答】解：将椭圆﹣=1化成标准形式为：
①当椭圆的焦点在x轴上时，a2=5，b2=﹣m
∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣3
②当椭圆的焦点在y轴上时，a2=﹣m，b2=5
∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣
综上所述，可得m的值为：﹣3或﹣
故答案为：﹣3或﹣
16. 在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若，则
．
参考答案：
17. 二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2；三维空间中，球的二维
测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维
测度V＝8πr3，则其四维测度W＝ .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知点A(3,3)、B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－
y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．
参考答案：
解：解方程组，得交点P(1,2)．
(1)若点A、B在直线l的同侧，则l∥AB.而k AB＝＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x
－1)，即x＋2y－5＝0；
(2)若点A、B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点(4，)，由两点式得直线l的方
程为＝，即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
略
19. 复数z=（3m﹣2）+（m﹣8）i，m∈R，
（1）m为何值时，z是纯虚数？
（2）若C=15（m∈N*），求m的值，并指出此时复数z在复平面上对应的点位于第几象限．
参考答案：
考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：（1）利用复数是纯虚数得到实部为0，并且虚部不为0，求出m；
（2）利用等式C=15（m∈N*），求出m，得到复数，根据实部、虚部的符号判断位置．
解答：解：（1）3m﹣2=0且m﹣8≠0时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即m=，z是纯虚数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由C=15（m∈N*），得=15，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得m=6或m=﹣5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为m∈N*，故m=﹣5舍去，即m=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时复数z=16﹣2i在复平面上对应的点位于第四象限﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查了复数的基本概念以及复数的几何意义；熟练掌握复数的有关概念是解答的根本．
20. 已知函数f（x）=xlnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到．
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，即为k＜lnx+，x＞0，令g（x）
=lnx+，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到k的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx．
∴f′（x）=1+lnx，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）由于x＞0，f（x）＞kx﹣恒成立，
∴k＜lnx+．
构造函数k（x）=lnx+．
∴k′（x）=﹣=．
令k′（x）=0，解得x=，
当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0．
∴函数k（x）在点x=处取得最小值，即k（）=1﹣ln2．
因此所求的k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．
21. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为，记．
(1)求随机变量=5的概率；
(2)求随机变量的分布列和数学期望．
参考答案：
(1)、可能的取值为、、，
，且当或时，
又有放回摸两球的所有情况有种，
(2)的所有取值为．
时，只有这一种情况．
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，，
则随机变量的分布列为：
因此，数学.
略
22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．
（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．
参考答案：
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，
满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．
【解答】解：设“方程有两个正根”的事件为A，
（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，
二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于
，即，
则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个
∴所求的概率为P（A）=；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，
其面积为S（Ω）=12
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）=+=
∴所求的概率P（B）=．
【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．。