拉氏逆变换
积分变换第7讲拉氏逆变换
b - j
k 1 ssk
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即
F (s)
am s m bn s n
am-1sm-1 a1s a0 bn-1sn-1 b1s b0
amsm am-1sm-1 a1s a0 bn (s - s1)(s - s2 )(s - sn )
-
sk
)
c1 ( s
-
sk
)2
再令两边取s sk的极限,得
c-1
Res
ssk
A(s) B(s)
est
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
一阶极点处留数的求法
而极限
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
lim
ssk
A(s) B(s) - B(sk
)
est
s - sk
(t)
A(j k ) B(j k )
e jkt
A(- jk) B(- jk)
e- jkt
k 2 jk
e jkt
k -2 jk
e- jkt
sin
kt,
t
0
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的二 阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est在 s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
C k 1
即
1
2
j
b
jR
F
(
s)
e
std
s
b - jR
CR F (s) estd s
n
Res
拉普拉斯的逆变换及其性质
L1[
2! p3 ]
1 t 2e2t 2
(2) f (t) L1[2 pp25]
2L1[
1p
]
5L1[
1 p2
]
2 5t
(3) f (t) L1[ 4p2p34]
4L1[
p2p4]
3 2
L1[
p224]
4
cos
2t
3 2
sin
2t
(4)
f
(t )
三、进一步的练习
练习1
求下列象函数的逆变换
(1)
F
(
p)
(
1 p3)3
(2)
F( p)
2 p5 p2
(3)
F
(
p)
4 p3 p24
(4)
F( p)
2 p3 p22 p5
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得
f
(t)
L1[ (P
1 3)3
]
e
2t
L1[
1 P3
]
e2t 2
再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 y(0) 2, y(0) 1
的微分方程解为
y(t) 1 et 4et 7 e2t
3
3
第一节 函数及其图形
精品课件！
第一节 函数及其图形
精品课件！
将初始条件 y(0) 2, y(0) 1 代入上式，得
代数方程的解 ( p2 3 p 2)Y 2 2P 7 P 1
即
Y 2p2 5p 5
( p 1)( p 1)( p 2)
§4.4 拉普拉斯逆变换
一、部分分式法求逆变换 部分分式法求逆变换
（一）F(s)的一般形式 （二）求拉氏逆变换的过程 部分分式展开( （三）部分分式展开(m<n) （四）F(s)的两种特殊情况
二、利用留数定理求逆变换 数值计算方法——借助计算机 借助计算机求逆变换 三、数值计算方法——借助计算机求逆变换
返回
（一）F(s)的一般形式
) F (−α jβ − 1 − s = −α jβ= − 2 jβ
K1 = A+ jB
−1
K2 = A− j B = K
* 1
K1 K2 fC(t) = L + s +α − jβ s +α + jβ
=e
−α t
(K e
1
jβ t
+ K e− jβt
* 1
)
= 2e−α t [Acos(βt) − Bsin(βt)]
( A s) am(s − z1)(s − z2 )⋯ s − zm ) ( F(s) = = B(s) bn(s − p1)(s − p2 )⋯ s − pn ) (
z1, z2 , z3 ⋯zm是 (s) = 0的根 称 F(s)的零 A , 为 点
A (因为 (s) = 0 ⇒F(s) = 0) p1, p2 , p3 ⋯pn是 (s) = 0的根 称 F(s)的极 B , 为 点 B (因为 (s) = 0 ⇒F(s) = ∞) 返回
通常F 具有如下的有理分式形式: 通常F(s)具有如下的有理分式形式:
A s) amsm + am−1sm−1 +⋯+ a1s + a0 ( F(s) = = B(s) bnsn + bn−1sn−1 +⋯+ b s + b0 1
拉普拉斯变换
0
0
0
n
n
n1
n2
'
n1
'
n1
L f n t s n F s (2.2.18)
(5)积分性质
推论 L dt dt f t dt 1 F s . s
t t t 0 0 0 n n次
t 1 L f t dt F s 0 s
f lim f t lim sF s . (2.2.28)
t s 0
(11)相似性质（设a为正实数）
L f at 1 s F . a a (2.2.29)
[注]①Γ 函数具有如下的递推公式
mm m 1 (2.2.7)
当m是正整数时， m 1 m！ .
(2.2.8)
② 1 2 .
(6) (7) (8) L δt 1
(2.2.9)
Res
(2.2.10)
k Res k (2.2.11) Lshkt 2 2 s k s Res k (2.2.12) Lchkt 2 2 s k
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (2.1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L -1 F (s) 即 f (t ) L -1F (s)
拉普拉斯反变换
1
p 1 p
2
求拉氏反变换
(1). e
2 ( p 2 )
解：
1 p
(t )
2 ( p 2 )
1 p
e
2 p
( t 2)
2t
p2
p
3 p
e
( 2).
(1 e
)(1 e p
p2
1 e
( t 2) e
p
)
F ( p)
e
3 p
2
2
k22 ( p 2 j1)
4
k11 ( p 2 j1) F ( p )
k12 d dp
2
p 2 j 1
2 4
j
e
1 4 e
[( p 2 j1) F ( p )]
2t
j
2
p 2 j 1
f (t ) [
1 2
te
cos(t
k21 ( p j )
2
k22 ( p j )
N1 ( p) D1 ( p )
系数求得后，可用求得其反变换。由于
可以证明， 21 K11 , K 22 K12 K
设K11 | k11 | e
L [
1
j 1 1
K 22 | k22 | e
] K 22 e
例：求原函数
F ( p)
p 1 [( p 2) 1]
2 2
解：D( p ) 0的根有二重根 1, 2 2 j1, 故F ( p )可展开为 p
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。
1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。
1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。
2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。
我们可以使用留数定理来实现这一点。
首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。
根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。
根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。
实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。
拉氏变换逆变换讲解
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
2019/3/15
信号与系统
2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
2019/3/15 信号与系统
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
2019/3/15 信号与系统
s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
2019/3/15
信号与系统
3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
拉氏变换及反变换
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m b1s m 1 .... bm 1s bm F ( s) ,m n n n 1 A( s) a0 s a1s .... an 1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
e
at at
te
sin(wt) cos(wt)
常见时间函数拉氏变换表 序号 f(t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
9
10 11 12
tn(n=1,2,3….)
t e e e
n at
(n=1,2,3….)
at
sinwt coswt
s a 2 w 2
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )est dt 在s的某一域内收敛。
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=σ+jω（σ，ω均为实数）
拉氏反变换的定义
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
第三章 拉氏变换(2)
− 6 k 11 = − 4
{
1 18 2 k11 = 3 k1 =
k12 = −
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) = ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 18 s − 6 3 s 18 s
1 e 6t 2 f (t ) = + t− 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i = F ( s )( s − si )
F (s) = ∑
n
(s − sk )n +1− p p =1
k1 p
s−4 k1 k11 k12 k1 s 2 + k11 s − 6k11 + k12 s 2 − 6k12 s F ( s) = 2 = = + 2 + s ( s − 6) s − 6 s s 2 ( s − 6) s
{
k1 + k12 = 0
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 )=sin t * sint
解，依卷积的定义得 t ∗ sin t =
t
∫ τ sin(t − τ )dτ
0
t
t
利用分部积分可得 = τ cos(t − τ ) 0 − ∫0 cos(t − τ )dτ 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t) 2. 卷积定理
用微分定理求常数k的拉氏变换
k l[kt ] = 2 s
6. 积分定理
k k l[k ] = s ⋅ 2 = s s
— 函数积分的拉氏变换 设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义， 且ℓ[ f (t)]=F(s)，则 函数一重积分的拉氏变换： ，
拉氏逆变换性质
复习：1.拉氏变换的性质.2. 拉氏变换的公式.讲授新课课题引入: 在实际工作中经常会遇到这样问题,已知象函数F(s)，求它的象原函数f(t)，这时则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换，可以记为 L -1[F(s)]＝f(t)在求象原函数,要结合拉氏逆变换性质,通过查表10-1解得结果.拉氏逆变换性质设 )()]([11s F t f L =,)()]([22s F t f L =)()]([s F t f L = 1. 线性性质)()()]()([21211t bf t af s bF s aF L +=+-（a ，b 为常数）2.平移性质 )()]([)]([11t f e s F L e a s F L at at ==---3.延滞性质)()()]([1a t u a t f s F e L at -⨯-=-例1 求下列函数的拉氏逆变换：(1) 31)(+=s s F ； (2) 2)3(1)(-=s s F ； (3)252)(s s s F -= ； (4) 434)(2+-=s s s F 。
解 (1)由表10-1中的4,取3-=a 。
得t e s L t f 31]31[)(--=+= (2)由表10-1中的4，取1,3==n a 。
得t te s L t f 3111])3(1[)(=-=+- (3)由性质1及表10-1中公式2、3得]1[5]1[2]52[)(21121sL s L s s L t f ---+=-= (4) 由性质1及表10-1中7、8得t t s L s s L s s L t f 2sin 232cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=--- 练习: 习题10.3 (1)说明: 在应用拉氏变换解决实际问题时，经常遇到的函数是有理式，一般先将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数。
例2 求659)(2+++=s s s s F 拉氏逆变换。
拉氏变换与拉氏反变换
16
n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
拉氏逆变换
令 j s 有
f t
2 j
1
j
j
F s e ds. t 0
st
这就是从象函数F s 求它的象原函数f t 的一般公 式，右端的积分称为拉氏反演积分。
2
F s f t e dt和 0 1 j st f t F s e ds. t 0 2 j j 构成了一对互逆的积分变换公式，也称f t 和F s
n
t 0……2
11
公式1 和2 都称为和赫维赛德 Heaviside 展开式。 s 例1.求F s 2 的逆变换。 s 1 解： B s s2 1有两个单零点： s1 j、s2 j
则由公式有： s st s st s 1 e e f t L 2 2s s j 2s s 1 1 jt e e jt cos t，t 0. 2
5
n
1 jR st st 即 F s e ds F s e ds CR jR 2 j
st Res F s e ，sk . k 1 n
并根据若尔当引理 令R ，
有当t 0时， lim
从而
s j
12
例2.求F s
1 s s 1
2
2
的逆变换.
解： B s s s 1
由公式：
f t
它有：s1 0为单零点，s2 1为二级零点。
1 2 e st 3s 4s 1 d 1 2 st lim s 1 e 2 s 1 ds s s 1 s 0
§ 2.3 拉氏逆变换
拉氏变换与逆变换
n重积分
00:16 15
4、延迟性质 s 若 L[f(t)]= F(s)，则 L[ f (t )] e F (s)
例：求e-b(t-a) 的拉氏变换，a、b为任意实数。 1 bt 解：L[e ] sb 1 as b ( t a ) L[e ] e sb
5、位移性质 若L[f(t)]= F(s)，则F(s-a)= L[f (t) eat]
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
2）卷积定理 设 L[ f (t )] F ( s)
1 1
L[ f 2 (t )] F2 ( s)
则 L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s)F2 ( s) 3）卷积定理的应用 线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则： xo(t ) xi (t ) g (t ) Xo(S ) Xi (S )G(S )
00:16 25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2
方法1：
c3 cn c1s c2 c4 F(s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s p4 s pn c1和c2由下式求得： [ F ( s ) ( s p1 )(s p2 )]s p1 [c1s c2 ]s p1
等式两端实部、虚部分别相等
00:16
拉氏逆变换
拉氏逆变换拉氏逆变换，又称为拉普拉斯反变换，是数学中的一种重要变换方法，常用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。
拉氏逆变换可以将频域中的函数转换为时域中的函数，从而帮助我们更好地理解信号的时域特性。
拉氏逆变换的基本定义是：给定一个复变量函数F(s)，如果存在一个复变量函数f(t)，使得拉普拉斯变换L[f(t)] = F(s)，那么f(t)就是F(s)的拉普拉斯逆变换，并记作L^(-1)[F(s)] = f(t)。
在实际应用中，我们通常需要通过已知的拉普拉斯变换求解出对应的拉普拉斯逆变换。
具体而言，我们可以利用拉普拉斯逆变换的一些基本性质和公式进行求解。
我们需要了解一些基本的拉普拉斯逆变换公式。
对于常见的拉普拉斯变换函数，如常数函数1、指数函数e^(-at)、正弦函数sin(ωt)和余弦函数cos(ωt)，我们可以通过查表或直接推导得到它们的逆变换函数。
在实际应用中，我们经常会遇到一些复杂的拉普拉斯变换函数，此时可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质、平移性质、频移性质、微分性质和积分性质等进行求解。
对于拉普拉斯变换函数F(s) = G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别是已知的拉普拉斯变换函数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的线性性质得到F(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-a)，其中a为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的平移性质得到F(s-a)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F(s-b)，其中b为常数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的频移性质得到F(s-b)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数F'(s)，其中F'(s)是F(s)的导数，我们可以利用拉普拉斯逆变换的微分性质得到F'(s)的逆变换函数。
对于拉普拉斯变换函数∫F(s)ds，其中∫F(s)ds是F(s)的积分，我们可以利用拉普拉斯逆变换的积分性质得到∫F(s)ds的逆变换函数。
通过灵活地运用这些性质和公式，我们可以将复杂的拉普拉斯变换函数转化为简单的拉普拉斯逆变换函数，从而求解出函数在时域中的表达式。
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• 例4
如图。设输入电压为
1, 0 ≤ t < T u0 (t ) = t ≥T 0,
• 求输出电压uR(t)（电容C在t=0时不带电）。
C
u0(t)
i
R
uR
布置作业：
பைடு நூலகம்
• P49: 2. 5. 6. 8. 11. • P54: 1(3)(5). 2(1).
• 求法：由性质，适当结合查表及部分分式 第七节 拉氏逆变换 分解法求拉氏逆变换。 • 性质1（线性性质）
L [a1 F1 ( p ) + a2 F2 ( p )]
−1
= a1 L [ F1 ( p )] + a2 L [ F2 ( p)]
−1
−1
= a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )
• 例1 求象函数的拉氏逆变换： 1 • (1) F ( p) = (2) F ( p ) =
p+3
1 ( p − 2) 3
• (3)
2p −5 F ( p) = p2
4p −3 (4) F ( p) = 2 p +4
• 例2 • 例3
2p +3 求 F ( p) = 2 的逆变换。 p −2p +5
步骤总结：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解 代 数 方 程 拉氏 变换 象函数
象原函数（微 分方程的解）
• 例2 求微分方程 • 满足初始条件 y ( 0 ) = 2 , y ′( 0 ) = − 1 的解。
′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 e − t y
x′′ − 2 y′ − x = 0 • 例3 求 满足初始条 x′ − y = 0 • 件 x ( 0 ) = 0, x ′( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1 的解。
x A − a
k
,
• 若真分式的分母中含有k重一次因式 进行部分分式分解后必含有
A x −
1
则
a
+
( x
A 2 − a )
2
+
⋯
+
( x
A k − a )
k
• 若真分式的分母中含有在实数范围内不可 分解的二次因式x2+px+q(p2 4q<0)，则进 − 行部分分式分解后必含有
Bx + C 2 x + px + q
p+9 求 F ( p) = 2 p +5p + 6
的逆变换。
• 例4
p+3 求 F ( p) = 3 2 p + 4p + 4p
2
的逆变换。
• 例5 换。
p 求 F ( p) = ( p + 2)( p 2 + 2 p + 2)
的逆变
• 应用：解微分方程等。 第八节+ 2 拉氏变换的应用 x (t ) = 0 满足初始条件 • 例1 求 x ′(t ) • x(0)=3的解。
• 性质2（平移性质）
L [ F ( p − a )] = e L [ F ( p )] = e f (t )
at at
−1
−1
• 性质3（延滞性质）
L [e
−1
− ap
F ( p)] = f (t − a)u (t − a)
−
部分分式分解知识：
• 若真分式的分母中含有一次因式x a，则 ( x − a ) • 进行部分分式分解后必含有