枣庄市八年级数学上册第三单元《轴对称》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
2．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．
A ．6
B ．8
C ．10
D ．11
3．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222
4．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒
5．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（ ）
A ．90°
B ．68°
C ．78°
D ．88°
6．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
7．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 8．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3 9．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12
EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）
A ．30°
B ．32°
C ．36°
D ．42°
10．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12
11．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）
A ．30
B ．60︒
C ．40︒或50︒
D ．30或60︒ 12．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．65°或80°
D ．50°或80° 二、填空题
13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．
14．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：
①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；
②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；
③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；
④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）
15．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________． 16．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．
=，M为边BC上的点，连接17．如图，在Rt ABC中，BAC90︒
∠=，AB2
AM．如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________．
18．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP＝_____°．
19．如图，等腰ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则BDM的周长最小值为
_____cm．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB=6，AC=14，
∠ABC=3∠C，则BE=____．
三、解答题
21．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆
（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．
22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？
（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．
23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ．
（1）求证：BCG DCG ∠=∠．
（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．
24．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．
（1）若7AC BC ==，求DE 的长；
（2）求证：BE CD BC +=．
25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．
（1）用尺规作出BAC ∠的平分线，并标出它与边BC 的交点D （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若30B ∠=︒，1CD =，求BD 的长．
26．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB 即可．
【详解】
解：∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵BD ⊥AC ，
∴∠BDA=90°，
∴AB=2BD ，
点B 到边AC 的距离是3cm ，即BD=3cm ，
∴AB=2BD=6cm ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质把已知的15°角转化为30度角．
2．B
解析：B
【分析】
根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．
【详解】
解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：
∵EF 是BC 的垂直平分线，
∴BP=CP ，
∴8PA PB PA PC AC +=+==，
∴PA PB +的最小值为8；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．
3．A
解析：A
【分析】
先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，
∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，
∵∠O=30°，
∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，
∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，
∴∠O=∠OA 1B 1=30°，
∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，
在Rt △A 2A 1B 2中，
∵∠A 1A 2B 2=30°，
∴A 2B 2=2A 1B 2=2，
同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，
∴202020202021A B B △的边长=22019，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
4．B
解析：B
【分析】
根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．
【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，
∴∠B=∠C=50︒，
∵AD AE =，
∴∠AED=∠ADE=70︒，
∵∠AED=∠C+∠CDE ，
∴CDE ∠=20︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．
【详解】
∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，
∴DB=DC ，
∴∠DCB=34B ∠=︒，
∵CD 是BCA ∠的平分线，
∴∠ACB=2∠DCB=68°，
∴∠A=180°-34°-68°=78°，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】
解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．
7．C
解析：C
【分析】
利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．
【详解】
解：∵AB AC =，
∴ABC 是等腰三角形， ∵
108BAC ∠=︒， ∴
180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵
72ADB ∠=︒， ∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴ADB BAD ∠=∠，
∴AB BD =，
∴ABD △是等腰三角形，
∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴DAC C ∠=∠，
∴AD CD =，
∴ACD △是等腰三角形，
∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=
∠=︒， ∴
18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴
AED DAE ∠=∠， ∴
DE DA =， ∴ADE 是等腰三角形， ∵
BDE B ∠=∠， ∴BE DE =， ∴BED 是等腰三角形，
一共有5个等腰三角形．
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 8．C
解析：C
【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．
【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称
∴2a =，3b =-
∴()
()20182018231a b +=-= 故选：C ． 【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
9．B
解析：B
【分析】
根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，
∵DM 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
∴∠A=∠ABD ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，
∴∠A=32︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC 是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
--=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．D
解析：D
【分析】
由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，分两种情况：
①如图，当三角形的高在三角形的内部时，
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠ABC=180
2A
︒-∠
=60°；
②如图，当三角形的高在三角形的外部时，
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC= 180
30
2
BAC
︒-∠
=︒．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．12．D
解析：D
【分析】
由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．
【详解】
当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，
当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280
︒-︒⨯=︒，
∴它的顶角为50︒或80︒，
故选：D．
【点睛】
此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
--
解析：(2,2017)
【分析】
按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)
1=2，P1（0，2），
完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-
1=1，P2（-2，1），
完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），
完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
14．①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ
解析：①②③
【分析】
根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．
【详解】
解：①如图，
∵PQ 为AD 的垂直平分线，
∴PA=PD ，QA=QD ，
∴ 在△APQ 和△DPQ 中，
PA PD PQ PQ QA QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△APQ ≌△DPQ （SSS ），①正确；
②如图，
∵PD ∥AC ，
∴∠DPQ=∠AQP ，
∴在△APQ 和△DQP 中，
AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确 ；
③如图，
∵PD ∥AC ，
∴∠DPQ=∠AQP ，
同理∠DQP=∠APQ ，
∴在△APQ 和△DQP 中，
DPQ AQP PQ PQ
DQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确 ；
④如图，
△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．
15．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示
AB=AC=10∠A ＝30°过B 作BD ⊥AC 于D ∵∠A ＝30°AB ＝1
解析：25
【分析】
依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，AB=AC=10，∠A ＝30°，过B 作BD ⊥AC 于D ，
∵∠A ＝30°，AB ＝10，
∴BD ＝12
AB ＝5， ∴S △ABC ＝
12AC ×BD ＝12×10×5＝25， 故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．
16．【分析】根据是等边三角形得进而得可得以此类推即可求解【详解】解：∵是等边三角形∴∴∴∴同理：…均为等边三角形…则的边长为故答案是：【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类解决本题的关键是观察图形的变化 解析：20202．
【分析】
根据30MON ∠=︒，11OA =，112A B A △是等边三角形，得11260∠=︒B A A ，进而得1130∠=︒OB A ，1
111AO B A ，可得22OA =，以此类推即可求解．
【详解】 解：∵30MON ∠=︒，11OA =，
112A B A △是等边三角形，
∴11260∠=︒B A A
∴1130∠=︒OB A
∴1111AO B A
∴22OA =
同理：223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，
2222B A OA ==，
233342B A OA
…
则202120212022A B A △的边长为20202．
故答案是：20202．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 17．【分析】过点M 作MP ⊥ACMQ ⊥AB 首先证明MP ＝MQ 求出AC 的长度运
用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2
解析：4 3
【分析】
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．
【详解】
如图，设点B的对应点为N，由题意得：
∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，
则MP＝MQ，
设MP＝MQ=x，
∵AN＝NC，
∴AC＝2AN＝4；
∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
∴1
2AB•AC＝
1
2
AB•MQ＋
1
2
AC•MP，
∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝4
3
，
故答案为4
3
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
18．32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°解方
解析：32
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP，根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝
180°，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．
19．8【分析】连接AD由题意易得AD⊥BC则有三角形BDM的周长为
BM+MD+BD若使△BDM的周长为最小值则需满足BM+MD为最小值根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值故问题可解【详解】解
解析：8
【分析】
连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝1
2BC•AD＝
1
2
×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+1
2BC＝6+
1
2
×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．
20．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.
【分析】
如图，延长BE ，
交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，
再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】
解：如图，延长BE ，
交AC 于G ，
AD 平分∠BAC ，
,GAE BAE ∴∠=∠
,BE AD ⊥
90AEG AEB ∴∠=∠=︒，
,AGB ABG ∴∠=∠
6AG AB ∴==，
,GE BE = 14AC =，
8CG ∴=，
,AGB C CBG ∠=∠+∠
2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
3,ABC C ∠=∠
32,C C CBG ∴∠=∠+∠
,C CBG ∴∠=∠
8BG CG ∴==，
1 4.2
BE BG ∴== 故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）40°
【分析】
（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．
【详解】
解：()11=2∠∠，
BED AEC ∠=∠∴
又,A B AE BE ∠=∠=
()AEC BED ASA ∴∆≅∆；
()2AEC BED ∆≅∆
70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=
70C EDC ︒∴∠=∠=
118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．
22．（1）点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403秒． 【分析】
（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，
如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，
∵三角形APQ 是等边三角形，
,AP AQ ∴=
∴102t t =-，解得103
t =
， ∴点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ．
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，
102x x +=，解得：10x =．
∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ
为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设APQ 是等腰三角形，
∴AP AQ =，
∴APQ AQP ∠=∠，
∴APC AQB ∠=∠，
∵ACB △是等边三角形，
∴C B ∠=∠，
在ACP △和ABQ △中，
,,
,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ACP △≌ABQ △，
∴CP BQ =，
设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，
∴ 10302y y -=-， 解得：403
y =， P 的最长运动时间为
2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403
＜15， ∴ 403y =
符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403
秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．
【分析】
（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；
（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得
1612
GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．
【详解】
解：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴12
ABF CBF ABC ∠=∠=
∠． ∵AB CD ∥，
∴ABF E ∠=∠，
∴CBF E ∠=∠，
∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．
∵F 为BE 的中点，
∴CF 平分BCD ∠，
即BCG DCG ∠=∠．
（2）∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒．
∵58ABC ︒∠=，
∴122BCD ︒∠=．
∵CG 平分BCD ∠， ∴1612GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，
∴111ADE ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE 是等腰三角形是解题的关键．
24．（1） 3.5DE =；（2）见解析．
【分析】
（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；
（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．
【详解】
（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点，
∴11=3.5,=3.522
=
=AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，
∵∠A=60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵BF=BF
∴△EBF ≌△HBF （SAS ），
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF ，
∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．
∴CD=CH ，
∵CH+BH=BC ，
∴BE+CD=BC ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据尺规作图的基本步骤进行画图，即可得到答案；
（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，由角平分线的性质定理，得到1DE CD ==，再由含30度直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
（1）解：如图所示：
（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ． AD 为BAC ∠的平分线，90C AED ∠=∠=︒．
1DE CD ∴==．
在Rt BED △中，30B ∠=︒，
22BD DE ∴==．
【点睛】
本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，以及含30度的直角三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形．
26．见解析
【分析】
利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．
【详解】
证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，
EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，
BE CE ∴=，
EF AF ⊥，EG AC ⊥，
90BFE CGE ∴∠=∠=︒，
在Rt BEF 和Rt CEG △中，
BE CE EF EG =⎧⎨=⎩
Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．。