四川省自贡市九洪中学2020年高二数学文期末试卷含解析

四川省自贡市九洪中学2020年高二数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为()
A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1,2)∪(，＋∞) D．(1,2)
参考答案：
C
2. 4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
3. 复数的共轭复数是a+bi（a,b R）,i是虚数单位，则ab的值是
A、－7
B、－6
C、7
D、6
参考答案：
C
4. 已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )
A．3 B． C．2 D．
参考答案：
C
略
5. 函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数f（x）的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在（﹣∞，+∞）上恒成立，分析可得a的范围．
【解答】解：∵f（x）=ax+cosx，
∴f′（x）=a﹣sinx，
∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调函数，
∴a﹣sinx≥0或a﹣sinx≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
∴a≥1或a≤﹣1，
故选：C．
6. 设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则
cos的值等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 如图，一个骰子是由１～６六个数字组成，请你根据图中，，三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（）
Ａ．６Ｂ．３Ｃ．１Ｄ．２
参考答案：
A
8. 在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）
A．B．7 C．﹣或D．﹣1或7
参考答案：
C
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】设直线l1的方程为2x+2y﹣2m=0，利用直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，可得
=，即可求出m的值．
【解答】解：设直线l1的方程为2x+2y﹣2m=0，
∵直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，
∴=，
∴m=﹣或，
故选C．
【点评】本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
9. 对于平面和异面直线，，下列命题中真命题是（）．
A．存在平面，使，B．存在平面，使，
C．存在平面，满足，D．存在平面，满足，
参考答案：
D
选项，如果存在平面，使，，则，与，是异面直线矛盾，故不成立；
选项，如果存在平面，使，则，共面，与，是异面直线矛盾，故不成立；
选项，存在平面，满足，，则，因为，是任意两条异面直线，不一定满足，故不成立；
选项，存在平面，使，，故成立．
综上所述，故选．10. 抛物线y2﹣4x=0上一点P到焦点的距离为3，那么P的横坐标是（）
A．3 B．2 C．D．﹣2
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=3，
则P到准线的距离也为6，即点M的横坐标x+=3，将p的值代入，进而求出x．
【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|PF|=3；x+=3，
∴x=2，
故选：B．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于x轴，则双曲线的离心率e=__________ 。

参考答案：
略
12. 斜率为的直线l过抛物线的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则
|AB|= .
参考答案：
13. 已知四棱锥的三视图如图1所示,则四棱锥
的四个侧面中面积最大值
是
.
参考答案：
6
14.
如果直线
l 将圆：x 2+y 2-2x -4y =0平分，且不经过第四象限，则l 的斜率的取值范围是
参考答案：
[0，2] 2或-2 (－∞，9] 略
15. 设面积为的平面四边形的第条边的边长记为，
是该四边形内任意一点，
点到第条边的距离记为，若, 则
. 类比上述结论，体积为的三棱锥的第个面的面积记为
，
是该三棱锥内的任
意一点，
点到第个面的距离记为
，
则相应的正确命题是：若,则 ．
参考答案：
；
略
16. 已知二次函数
，若
是偶函数，则实数的值为__________．
参考答案：
为偶函数， 有
，
．
17. 已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____
参考答案：
-1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)讨论函数
的单调性；
(Ⅱ)设
，若对任意的
，
恒成立，求a 的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在
上单调递减； (Ⅱ).
【分析】
（I ）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II ）将原不等
式恒成立转化为“
对任意的
恒成立”，根据（I ）的结论，结合函数的单调性，以及
恒成立，求得的取值范围.
【详解】(Ⅰ) ,
(1)若，则，函数在上单调递增；
(2)若，由得；由得
函数在上单调递增；在上单调递减.
(Ⅱ)由题设，对任意的恒成立
即对任意的恒成立
即对任意的恒成立,
由(Ⅰ)可知，
若，则，不满足恒成立,
若，由(Ⅰ)可知，函数上单调递增；在上单调递减.
，又恒成立
，即,
设，则
函数在上单调递增，且，
，解得
的取值范围为.
19. 设点P为抛物线外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．（Ⅰ）若点P为(－1,0)，求直线AB的方程；
（Ⅱ）若点P为圆上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为，，求的取值范围．
参考答案：
(Ⅰ）：.（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，分别与抛物线的方程联立方程组，根据直线与抛物线相切，分别求得的坐标，即可得到的方程；
（Ⅱ）设，得直线PA方程为，直线PB方程为，
联立方程组，得出时方程的两根，进而得出，即可求解.
【详解】（Ⅰ）设直线PA方程为，直线PB方程为，
由，可得，
因为PA与抛物线相切，所以，取，则，
即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB：．
（Ⅱ）设，则直线PA方程为，直线PB方程为．
由可得．
因为直线PA与抛物线相切，所以△=．
同理可得，所以时方程的两根．
所以，．则=..
又因为，则，
所以===
=.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的应用、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

20. （12分）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：
(1)3只全是红球的概率；
(2)3只颜色全相同的概率；
(3)3只颜色不全相同的概率。

参考答案：
解法一：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．
(1)3只全是红球的概率为P1＝··＝．（4分）
(2)3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．（8分）
(3)3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝．（12分）
解法二：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：
，
由此可以看出，抽取的所有可能结果为8种．（6分）
(1)3只全是红球的概率为P1＝．（8分）
(2)3只颜色全相同的概率为P2＝＝．（10分）
(3)3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝．（12分）
略
21. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B
两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P （x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．
（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四
边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则，，相减得，
∴，
∴，又=，
∴，即a2=2b2．
联立得，解得，
∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．
∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，
∴交点为A（0，），B，
∴|AB|==．
∴S四边形ACBD===，∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．
22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为4的菱形，且，是的中点，过的平面交于，是的中点。

（1）求证：；
（2）求证：为的中点；
（3）求四棱锥的体积。

参考答案：
(1)∵ABCD为边长为2的菱形,且∠BAD=60°, E为AD中点.
∴BE⊥AD
又∵△PAD为正△∴PE⊥AD
∵PE∩BE=E ∴AD⊥平面PBE
∵AD//BC ∴BC⊥平面PBE
(2)∵AD//BC, BC平面PBC, AD平面PBC ∴AD//平面PBC 又∵平面ADN∩平面PBC=MN ∴AD//MN
∴MN//BC ∵N为PB中点∴M为PC中点
(3)V＝6。