高二数学5月理科试卷(含答案)

2019-2020年高二5月月考（理)试题（含答案）
范围：选修2-2,2-3,4-4，4-5时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
一、单选题（共12题，共60分) 1．复数()9
12z i i =--的共扼复数为（
） A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
2．设()f x 为可导函数，且(2)f '=1
2
，则0(2)(2)lim h f f h h →--的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1
2 D ．12
-
3．曲线2(21)ln y x x =++在点(1,)m 处的切线方程为（ ） A ．134y x =-
B ．72y x =+
C ．114y x =-
D ．54y x =+
4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ） A ．360
B ．520
C ．600
D ．720
5．余弦函数是偶函数，2()cos(23)f x x =-是余弦函数，因此2()cos(23)f x x =-是偶函数，以上推理（ ）
A ．结论不正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35
B ．48
C ．63
D ．80
7．已知随机变量(6,1)X N :，且(57),(48)P X a P X b <<=<<=，则
(47)P X <<=
b a
-+b a
1b
-1a
-
………○…………订………___________班级：___________考号：____………○…………订………8．在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数2R 判断，其中拟合效果最好的为（ ） A ．模型1的相关指数2R 为0.85 B ．模型2的相关指数2R 为0.25 C ．模型3的相关指数2R 为0.7 D ．模型4的相关指数2R 为0.3
9．已知()()12ln 0f x a x x a x ⎛⎫
=--≥ ⎪⎝⎭
在[)1,+∞上为单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．()0+∞，
B ．[)0,+∞
C ．()1+∞，
D ．[
)1,+∞ 10．函数ln ()x
f x x
=
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2
110a b c x x ⎛⎫⎛⎫
++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为
11,52⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比上述解法，若关于x 的不等式
0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 3
01log 3
x x a b +<+的解集为（ ）
A ．()3,27
B ．()3,9
C ．()1,27
D ．()1,9
12．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ ）
…………外…………○………………○……_________班级：__…………内…………○………………○……
A ．13
B ．
29
C ．
49
D ．
827
第II 卷（非选择题)
二、填空题（共4题，共20分) 13．函数()2
19ln 2
f x x x =
-的单调减区间为_______ ． 14．设1
()cos 0x f x x x ≤≤=<⎪⎩，，则1
2
()f x dx π
-=⎰________.
15．()()5
212x x -⋅+展开式中，含2x 项的系数为__________.
16．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．
三、解答题（22和23题二选一） 17．(12分)已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）.
求：（1）z ；（2）2
z z -. 18．(12分)已和函数()32
111,32
f x x x x =-+∈R . （1）求函数图象经过点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线的方程： （2）求函数()32
11132
f x x x =
-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积. 19．(12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.
………○……………○……
(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 20．(12分)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为
231
,,342
，他们海选合格与不合格是相互独立的． （1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 21．(12分)已知1111
,
,,,,112123123n
+++++++L L L ，其前n 项和为n S .
（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
22．(10分)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 5ρρθ=+，曲线2C 的极坐标方程为()3
θρπ
=
∈R ，曲线1C 、2C 相交于点A ，B ．
（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅰ）求弦AB 的长.
23．(10分)已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；
参考答案
1．A 2．C 解：因为0
(2)(2)lim
h f f h h →--()()
()lim 0222h f h f f h
→--=='-，
又(2)f '=
12
， 所以0
(2)(2)lim
h f f h h
→--=1
2， 故选：C. 3．A
2441ln y x x x =+++，故1
4(21)y x x
'=++，
故切线斜率113x k y =='=，2
(21)ln19m =++=，
故所求切线方程为913(1)y x -=-，即134y x =-， 故选：A 4．C
根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有134
254480C C A =种情况；
若甲乙两人都参加，有224
254240C C A ⋅⋅=种情况， 其中甲乙相邻的有2232
2532120C C A A ⋅⋅⋅=种情况；
则不同的发言顺序种数480240120600+-=种， 故选：C . 5．C
大前提：余弦函数是偶函数，这是正确的；
小前提：2
()cos(23)f x x =-是余弦函数.我们把()cos f x x =叫余弦函数，函数
2()cos(23)f x x =-是余弦函数复合一个二次函数，故小前提不正确；
结论：2
()cos(23)f x x =-是偶函数.
222
()cos(23)()cos[2()3]cos(23)()f x x f x x x f x =-⇒
-=--=
-=,所以结论正确，故
本题选C. 6.C
因为==，==， ==，== 所以===63n =. 故选：C. 7．B
根据正态分布的对称性即可得到答案. 8．A
9．D 由题意知()222
12210ax x a f x a x x x -+⎛
⎫'=+-=≥ ⎪⎝⎭
对任意的[)1,x ∈+∞恒成立， 即220ax x a -+≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，即222
11x a x x x
≥
=
++，
又函数1
y x x
=+
在[)1,+∞上单调递增，则12y x x =+≥，
即
201
1
x x
<
≤+，所以1a ≥.
故选：D.
10．A 当()0,1x ∈时，ln ()0x
f x x =<，当()1,0x ∈-时，()ln ()0x f x x
-=>，选项B,C 都不满足这两个条件. 又当()1,x ∈+∞时，ln ()x
f x x
=
，则()2
1ln 'x f x x -=，当()1,x e ∈时()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时()f x 单调递减，则选项D 不符合这个条件，因此A 正确.
故选：A
11．A 将关于x 的不等式
1log 301log 3x x a b +<+变形可得1
log 3
01
log 3x x a
b +<+， 从而由条件可得1
13log 3
x <
<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log 3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A. 12．A 【解析】
若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得231p p p +==，解
得13
p =
，即按照顺时针跳的概率为13，按逆时针方向跳的概率为2
3，若青蛙在A 叶上，
则跳3次之后停在A 叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针.Ⅰ若先按逆时针开始从
A B →
，则对应的概率为2228
33327
⨯⨯=；Ⅰ若先按顺时针开始从A C →，则对应的概率
为111133327⨯
⨯=，则概率为
811
27273
+=，故选A. 13．()0,3. 解：Ⅰ()2
19ln 2
f x x x =
-，0x >， 则299
()x f x x x x
'
-=-=，
由()0f x '<，即290x -<，解得33x -<< ，
0,03x x >∴<<Q ，即函数的单调减区间为()0,3，
故答案为：()0,3. 14．14
π+
由题意得，
1
2
2
()cos f x dx xdx π
π
-
-
=
+⎰⎰，
根据定积分的几何意义可知，1
表示的是在x 轴上方的半径为1的四分之一圆的
面积，如图（阴影部分）：
…………线…………○……………线…………○…
故
1
4π
=，又0
22
cos sin |sin 0sin()12xdx x πππ
--
==--=⎰， 所以
100
2
2
()cos 14f x dx xdx π
π
π
-
-
=
+=+
⎰⎰.
所以本题答案为14
π+. 15．70
()
5
12x +展开式的通项公式为：155(2)2k k k k k
k T C x C x +==⋅⋅,
令2k =，此时项数为：2222
552240k k k C C x x x =⋅⋅=，
令1k =，此时项数为：1151
22510C x x x ⋅⋅=⋅⋅=，
综上可得：含2x 的项为222224*********x x x x x x ⋅==⨯--， 含2x 项的系数为70. 16．66
根据题意，分3种情况讨论：
Ⅰ当A 、C 、E 种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法； Ⅰ当A 、C 、E 种二种植物，此时共有C 32×A 32×2×1×1=36种方法； Ⅰ当A 、C 、E 种三种植物，此时共有A 33×1×1×1=6种方法； 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案； 故答案为66．
17．(1)由题
()()()()43124310521212125
i i i i z i i i i +-+-====-++-.即2z i =-
………外…………………内…………(2)由(1)2z i =-,故()()2
22215z z i i i -=--+=-,故2z z -==
即2
z z -=
18．（1）Ⅰ若点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
是切点，由题，得2()f x x x '=-， 则切线的斜率2
333224
k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
所以切线方程为33142y x ⎛⎫-=
- ⎪⎝⎭，即3148
y x =-； Ⅰ若点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
不是切点，设切点为()00,P x y ， 则有2
000
0132y x x x -=--，又3200011132
y x x =-+， 所以32002000113232
x x x x x -=--，解得00x =或0
32x =（舍去）， 所以切线方程为1y =；
综上，函数图象经过点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线的方程为1y =或3148y x =-；
（2）由3211()1132
f x x x =
-+=，解得0x =或3
2x =，
所以函数()32
11132
f x x x =-+的图象与直线1y =所围成的封闭图形的面积为：
3
32334220
3
11119[1()]()()22361264
f x dx x x dx x x -=-=-=⎰
⎰
.
…○…………线…………○______
…○…………线…………○ 19．(1)
k ≈12.2，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关． (2)ξ～B
，且P (ξ＝k )＝C
k
·
3－k
(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为
E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．（1）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．
11123()1()134224
P E P ABC =-=-⨯⨯=．
（2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3．1(0)()24
P P ABC ξ===
； 61(1)()()()244P P ABC P ABC P ABC ξ==++=
=； 11
(2)()()()24
P P ABC P ABC P ABC ξ==++=；
61
(3)()244
P P ABC ξ====．
所以ξ的分布列为
1111123012324424412
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=．
试卷第4页，共4页
11 21．证明：Ⅰ当1n =时，左边11S ==，右边21111⨯==+，猜想成立. Ⅰ假设()*n k k =∈N 猜想成立，即111121*********k k S k k =+++⋯+=++++++⋯++成立， 那么当1n k =+时，()()1122
1231
112k k k S S k k k k k +=+=++++++++++L ， 而(
)()(
)()()()()221212
21121
211k k k k k k k k k +++==+++++++，故当1n k =+时，猜想也成立. 由ⅠⅠ可知，对于*n ∈N ，猜想都成立. 22．（1）2224cos 5,45x y x ρρθ=+∴+=+，即22(2)9x y -+=， 故曲线1C 的直角坐标方程为22(2)9x y -+=； 曲线2C 的直角坐标方程为y =. （2）曲线1C 表示圆心为（2，0），半径3r =的圆，曲线2C 表示直线， 则圆心到直线的距离d ==AB == 23．解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩，
试卷第4页，共4页
12 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数， Ⅰ当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-。