河北省石家庄市第七十八中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省石家庄市第七十八中学2020-2021学年高三数学
理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图的程序是用来计算
A.的值
B.的
值
C. 的值
D.的值
参考答案：
D
2. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，则
( )
A. B . C. D.
参考答案：
A
3. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则
+++…+=
A． B． C．
D．
参考答案：
B
由图案的点数可知，所以，所以
，所以+++…+
，选B.
4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是
边长为的正三角形，则其全面积是（）
A.8
B.12
C.4(1+)
D.4
参考答案：
B
5. 已知球的球面上有、、、四点，其中、、、四点共面，是
边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
6. 函数是定义域为R的奇函数，且时，，则函数的零点个数是（）
A．1 B． 2 C．3 D．4
参考答案：
C
7. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
8. 已知向量，则的面积等于
A．1 B．
C．7 D．
参考答案：
C
9. 若，则
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 已知函数，则（）
A．0 B．1 C．D．2
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过
点，则________.
参考答案：
【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等．
【试题简析】解法一：由已知可得，
所以.
解法二：由已知可得，所以.
【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·理5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴
重合，终边在直线上，则=
（A）（B）（C）
（D）
12.
在的展开式中，若偶数项系数和为128，则展开式中x4项的系数为
__________（用数字作答）。

参考答案：
答案:70
13. 某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,，则不同选派方案种数为________
参考答案：
14
略
14. （几何证明选讲）在圆内接△ABC中，AB=AC=，Q为圆上一点，AQ和BQ的延长线交于点P，且AQ：QP=1：2，则AP= 。

参考答案：
15
连接BQ，∵∠ACB与∠AQB同对弧AB，∴∠ACB=∠AQB，又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠AQB=∠ABP，∵∠BAQ=∠PAB，∴△AQB∽△ABP，可得又
因为，即。

15. 设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．
参考答案：
[﹣1，2]
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g （x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．
【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，
∵e x+1＞1，∴∈（0，1），
由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，
又﹣2sinx∈[﹣2，2]，
∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，
要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，
总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，
则，解得﹣1≤a≤2．
即a的取值范围为﹣1≤a≤2．
故答案为：[﹣1，2]．
16. 若函数f（x）=cos2x+asinx在区间[，]上的最小值大于零，则a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，1）∪（2，+∞）
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】将函数化简只有一个函数名，转化为二次函数问题，利用三角函数的有界限，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+asinx
化简可得：f（x）=1﹣2sin2x+asinx
∵x∈[，]上，
∴sinx∈[，1]，
令sinx=t，（）
函数f（x）转化为g（t）=﹣2t2+at+1，（）上的最小值大于零
其对称轴t=，
当时，g（）最小为
由题意：，可得：a＞﹣1，
∴a≥4．
当时，g（1）最小为1﹣a
由题意：1﹣a＞0，可得：1＞a
∴a＜1．
当，其最小为或1﹣a．
即2＜a＜4，与a＞﹣1或1＞a
∴2＜a＜4，
综上可得a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查了三角函数与二次函数的结合，利用二次函数的性质，讨论在其范围内的最值问题．属于难题．
17. 在中，若,, ,则_______________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4 - 2：矩阵与变换
已知a，b，若=所对应的变换T M 把直线2x-y = 3变换成自身，试求实数a，b．
参考答案：
略
19.
若，,
且，其中Z为整数集,求实数的取值范围。

参考答案：
解析:，
(1)当时,不符合题意. (2)当时,得
(3)当时,不符合题意。

综上所得
20. （本小题满分12分）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M 为棱DD1上的一点. （1）求三棱锥A－MCC1的体积；
（2）当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.
参考答案：
解：（1）由长方体ABCD－A1B1C1D1知，
AD⊥平面CDD1C1，
所以点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，
又＝CC1×CD＝×2×1＝1，
所以＝AD·＝.
（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，
当A1，M，C共线时，A1M＋MC取得最小值.
由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点.
连接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2.
所以CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.
又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，所以B1C1⊥CM.
又B1C1∩C1M＝C1，所以CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；
同理可证，B1M⊥AM，
又AM∩MC＝M，所以B1M⊥平面MAC.
略
21. （本小题满分13分）在中，已知，.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若为的中点，求的长.
参考答案：
（Ⅰ）且，∴-----------------2分
---------------------- 3分
． ---------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得． ------------8分
由正弦定理得，即，
解得． -------------------------------10分
在中，，，
所以．-------------------------------13分
22. （本小题满分13分）
如图，港口在港口正东方海里处，小岛在港口北偏东方向和港口北偏西方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的方向以每小时
海里的速度驶离港口，一艘快艇从港口B出发，以每小时海里的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间需要小时，问快艇驶离港口后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？
参考答案：
设快艇从C到A需t小时；
共3小时。