广东省广州市第二中学高考数学的多选题附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数
123,12 ()1
,2
22
x x
f x x
f x
⎧--≤≤
⎪
=⎨⎛⎫
>
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
，则下列说法正确的是（）
A．若函数()
=-
y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为
11
,
246
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．关于x的方程*
1
()0()
2n
f x n N
-=∈有24
n+个不同的解
C．对于实数[1,)
x∈+∞，不等式2()30
xf x-≤恒成立
D．当1
[2,2](*)
n n
x n N
-
∈∈时，函数()
f x的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】AC
【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】
当
3
1
2
x
≤≤时，()22
f x x
=-；当
3
2
2
x
<≤时，()42
f x x
=-；
当23
x
<≤，则
3
1
22
<≤
x
，
1
()1
222
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当34
x
<≤，则
3
2
22
<≤
x
，
1
()2
222
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当46
x
<≤，则23
2
<≤
x
，
11
()
2242
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
当68
x
<≤，则34
2
<≤
x
，
1
()1
224
⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
x x
f x f；
依次类推，作出函数()
f x的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =
，124=n k ，11,246⎛⎫
∴∈
⎪⎝⎭
k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1
()2
f x =
有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3
()2≤f x x
恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3
2y x =
上，故3()2≤f x x
恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为
11
1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．设函数2,0()1
2,0
2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A
．当2b =-+1个实根 B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6
个不等实根，则322
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()13
2,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为
2
20b bt t +-=-，即2
2
2()22204b b t t b t t b b ϕ⎛
⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
310t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,
,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，2
2
2
()2422b b
t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
3．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．
112a b
+> C ．11a b a b
+
<+ D ．b a a a b b +<+
【答案】ABD 【分析】
根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】
解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5
8log b =，
因为33
4443
5533535log 3log 54
<⇒<⇒<=， 又由3
3
444
3
883
5858log 5log 84
>⇒>⇒>=
，所以a b <，选项A 正确；
35lo 01g a <=<，5
80log 1b <=<，则
11a >，11b >，所以11
2a b +>，选项B 正确；
因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，
1
1ab
>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+
-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以11
a b a b
+>+，故选项C 不正确； 由
1324a <<和3
14
b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
4．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.
令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1
【答案】AD 【分析】
根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】
对于A ，()[]
1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.
对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.
对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1， 当01x ≤≤时，则
当0x =时，则()[]
0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=， 当1x =时，()[]11110f x =-=-=，
故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.
故选：AD ．
【点睛】
思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．
5．函数
()()
1
x
f
x x R
x
=∈
+，以下四个结论正确的是（）
A．()
f x的值域是()
1,1
-
B．对任意x∈R，都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
C．若规定()()()()
()
11
,
n n
f x f x f x f f x
+
==，则对任意的()
,
1
n
x
n N f x
n x
*
∈=
+ D．对任意的[]1,1
x∈-，若函数()21
2
2
f x t at
≤-+恒成立，则当[]1,1
a∈-时，2
t≤-或2
t≥
【答案】ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得
1
1,0
1
()
1
1,0
1
x
x
f x
x
x
⎧
-≥
⎪⎪+
=⎨
⎪-<
⎪-
⎩
，有如下函数图象：
∴()
f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；
对于C，有()
11
x
f x
x
=
+，若
()
1
,
1(1)
n
x
n N f x
n x
*
-
∈=
+-，
∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||
n n x
x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有
(),1n x
n N f x n x
*∈=
+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2
f x f ==
，若函数()2
122f x t at ≤-+恒成立，即有
211
222
t at -+
≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；
0t =时，()0h a 故恒成立；
0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；
综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
6．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨
⎩
为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{0,1}
C ．方程(())f f x x =的解为1x =
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】
当x -为有理数时，x 也为有理数
∴()1f x -=
当x -为无理数时，x 也为无理数
∴()0f x -= ∴1()
()0()x f x x ⎧-=⎨
⎩
为有理数为无理数
∴()()f x f x -=
()f x ∴是偶函数，A 对；
易知B 对；
1x =时，()((1))11f f f ==
∴C 对
(())()f f x f x =的解为全体有理数
∴D 错
故选：ABC. 【点睛】
本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.
7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为2312
k e e
-
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e
-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0
x
时，()()2x
f x e x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()3
23f e -=-
，()2
1
20f e -=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32
y e
=-有3个交点，即函数()()32
g x f x e
=+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21
20f e -=-<，所以23
12k e e
-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
8．已知函数()(
)23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪
=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]
4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=
C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则6
1
9i
i x
==∑
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,1
3k ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭
【答案】BCD 【分析】
根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】
解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239
()()24
f x x =-++，
()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；
又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：
由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，
不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线3
2
x =对称，5x ，6x 关于直线9
2
x =
对称， ∴6
1
33922292
2
2
i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；
若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13
k =-，
若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．
若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．
因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 1
13
k ∴-<<-或1k =，故D 正确．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．
9．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2
[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
10．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π
ω
个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )的图象关于直线2
x π=
对称
B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C ．f (x )在(0,
)10
π
上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510
) 【答案】CD 【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10π
ω
上递增，且
31010π
π
ω
<
，可知C 正确. 【详解】
依题意得()()5f x g x πω=+
sin[()]5x πωω=+sin()5
x πω=+， 2T πω=，如图：
对于A ，令5
2
x k π
π
ωπ+=+
，k Z ∈，得310k x π
π
ω
ω
=
+
，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π
π
ω
ω
=
+
(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω
=-
+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，所以D 正确；
对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10π
ω上递增，因为29310ω<
<，所以33(1)0101010πππωω
-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；
故选：CD. 【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.
二、导数及其应用多选题
11．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥
D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈
【答案】AC 【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax
=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x -'=
. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln x
f x x
=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即
ln ln 44π
π
>
，又
ln 41ln 213ln 22
043236
--=-=>， 所以，
ln ln 41
43
π
π
>
>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，
可得()()2
2
112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2
2
22ln s x g x ax x x ax =-=-，
则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，
()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，
即1ln x
a x
+≥
对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=
，其中0x >，()2ln x
t x x
'=-.
当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减.
所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2
2
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，
由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x
m x
+=
， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1
x e
>
时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当1
02
m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.
所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.
12．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
13．设函数()ln f x x x =，()2
12
g x x =
，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e
⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
； B ．若方程()2
kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；
C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；
D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
． 【答案】ACD 【分析】
利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和
ln x
y x
=
只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2
()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值
点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】
解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e
>
， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e
∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11
()()f x f e e
∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，
从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，
即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e
∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，
当1x ≠时，()0f x ≠，方程2
()kf x x =有且只有一个实数根，
等价于y k =和ln x
y x
=
只有一个交点，
2
ln 1
(ln )-'=
x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln x
y x
=
在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,
由ln x
y x
=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；
对于C ，当120x x >>时，[]
1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，
即ln 1
+≥
x m x
在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2
ln ()x
r x x
-'=， 令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，
从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；
对于D ，2
()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 1
2x a x
+=
有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即1
02
a <<，则D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．
14．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则213
x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴213
x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ．
【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
15．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为
该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x
m x e x x =+-，
()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
16．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中
正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0x x f x x >⎧=⎨
⎩
的一个承托函数
B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】
由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()x
h x e ax =-，则()x
h x e a '
=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x
f x e =的一个承托函数，故C 正确；
对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
17．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解． 设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=
-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递
增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值， 又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
18．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=；
C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
19．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．1
0m e
<<
B ．21x x -的值随m 的增大而减小
C ．101x <<
D ．2x e >
【答案】C 【分析】
由()0f x =得出ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，且12m m <，设
()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中
121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可
判断B 选项的正误. 【详解】
令()0f x =，可得ln x
m x =
，构造函数()ln x g x x
=，定义域为()0,∞+，()1ln x
g x x
-'=
. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1
g x g e e
==
，如下图所示：。