原函数的求法.ppt

t



2
,
2

x3 4 x2dx 2sin t 3 4 4sin2 t 2cos tdt
32 sin3t cos2 tdt 32 sin t(1 cos2t)cos2 tdt
32 (cos2t cos4 t)d cos t
u(x)v(x)dx转化为计算积分 u(x)v(x)dx，这就要求后者
(至少比前者)容易积出。
例 求不定积分： cosx ln tan xdx 。
答案 sin x ln tan x ln secx tan x C 。
第五章 “积零为整”的数学方法
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微积分
15
Ⅴ有时需要先换元再分部积分。
例 求不定积分： e x dx 。
答案 2( x 1)e x C 。
Ⅵ当积分中含自然数n时，可先求递推公式，再依次代入。
例 求递推公式：1In
(ln x)n dx
2In
1 dx 。 (a2 x2 )n
答案 1I n x(ln x) n nI n1
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t



2
,
2


x
1 2
a
2
dx


a
1 sec
t

a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C

ln
x a

x
2 a
a
2


C
.
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三、有理函数的积分
定义 由两个多项式相除而得到的函数
f (x) Pn (x) a0 xn a1xn1 an Qm (x) b0 xm b1xm1 bm
(其中a0b0 0)称为有理函数。 由于很多积分最后都化为有理函数的积分，因此有理函
例
求

ln x dx. x
答案 1 ln x2 C.
2
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2
例 求 tan xdx.
答案 ln | cos x | C.
dx
例 求 x2 a2 .
例 求 sin4 xdx.
答案 1 ln x a C . 2 xa
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1
§5.4 原函数的求法
一、换元积分法
1 第一换元法(凑微分法)
定理 设f (u)具有原函数 F(u),函数 u (x) 可导, 则F[(x)]
是函数 f [(x)]' (x) 的原函数, 即有换元公式
f[(x)]'(x )dx f ( u )du F[(x)] C. u( x )
数的积分方法非常重要。
定理 有理函数的原函数一定是初等函数。
从理论上，所有的有理函数都可以通过积分方法得到原
数。下面先讲几个例子，再给出步骤。
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例
1
(x
2
x3 1)(x

1)
dx
2
1
x
3
答案
1
2
3
(8 3x) 2

C
2ln ln x C
3arctan ex C
9
4ln secx tan x C
备忘
sec xdx ln sec x tan x C
csc xdx ln csc x cot x C
总结 常用的凑微分有：
微积分
11
练习 计算下面的不定积分：
1
1 dt 1 et
2 x2
1 dx x2 1
3
1 x2 dx
x
答案 12 ln 1 et 1 t C 2 x C
x2 1
3ln 1 1 x2 ln x x C
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定理 设 f ( x ) 连续, x ( t ) 具有连续的倒数,其反函数
t 1( x ) 存在且可导. 如果 F( t )为函数 f (( t ))' ( t )的
原函数, 则有换元公式
f ( x )dx f [( t )]' ( t )dt t 1 ( x )
答案 3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C .
84
32
例 计算下面的不定积分：
1
8 3xdx
2
dx x ln
x
3 dx ex ex
4 sec xdx
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步骤 有理函数的积分步骤： ⑴如果是假分式化为多项式与真分式之和； ⑵对真分式的分母在实数域内分解因式； ⑶把真分式化为几个分式(称为部分分式)的和； ⑷对每个部分分式进行积分。
下面以 f (x)dx 2x7 x4 7x3 2x2 10 x 2dx为例，
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说明
当分母的阶较高时, 可采用倒代换 x 1 .
t
例
求

x(
1 x7
dx 2)
解
令
x

1 t

dx


1 t2
dt ,

x(
1 x7
dx 2)



t
17
t


2



1 t2
dt


1
t
6
2t
7
dt
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
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Ⅰ对不易积出的单个函数，可令v(x)=x 。
例 求不定积分： 1 arctanxdx 2 ln xdx 。
答案 1x arctanx 1 ln(1 x2 ) C 2x ln x x C 。
备忘
arctan
xdx
2 x arctan
x
6
5x arctanx 1 ln(1 x2 ) 1 arctan2 x C 6e 2x1 ( 2x 1 1) C
2
2
注 连续函数都有原函数。但并非每个连续函数都能积出。
比如ex2的原函数 ex2 dx就不能用初等函数表示。
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返回
x2 a2
x
t a
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例 求
1 dx (a 0).
x2 t

1 dx x2 a2

a
sec t tan a tan t
tdt
t


0,
2

sectdt ln(sec t tan t) C
ln x x2 a2 C . aa
x
x2 a2
t a
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对 x 0 的情况, 作变换 u x 即可证之.
说明
以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) a2 x2 (2) a2 x2 (3) x2 a2
可令 x a sin t; 可令 x a tan t; 可令 x a sec t.
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6
x
4
dx
3
2x2 x 1 dx
(x2 1)2
答案 1ln x 1 1 C 2 1 x3 1 ln 1 x 1 arctan x C
x1 x1
3 4 1 x 2
3 1 arctan x 1 C
2
4(x2 1)
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2 x 5
2 sin xdx x2 arc
1 x2
3
ln x
tanxdx
x
2
dx
6
e
2x1 dx
答案 1(x 1) arctan x x C
2(2 x2 ) cos x 2x sin x C 3 1 ln x C 4arcsin x 1 C
x6 2x3 1 详细说明计算过程。
例 求不定积分： 1 ex sin xdx 2 sec3 xdx 。
答案 1 1 e x (sin x cosx) C
2
2 1 sec x tan x ln sec x tan x C 。
2
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x m dx 1 dxm1 1 dx d ln x e x dx de x
m 1
x
sin xdx d cos x
cos xdx d sin x
1 c os2
x
dx

d
tan
x
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2、第二换元积分法
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二、分部积分法
定理 若函数u(x)、v(x)有连续的导数，则
u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx
或
u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)
利用这个公式计算不定积分，目的是把难以直接积出的
4
4
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Ⅲ有时被积函数为两个函数相加，可考虑对其中一个进行
分部积分，正好相互抵消。
例
求
不定
积
分
： [ln(ln
x)

1 ln x
]dx
。
答案 x ln(ln x) C 。
Ⅳ有时分部积分后得到了原积分的倍数，可移项反解。
32(1 cos3 t 1 cos5 t) C
3
5
4 4 x2 3 1 4 x2 5 C.
3
5
2x t 4 x2
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例 求
1 dx (a 0).
x

1
ln(1

x
2
)

C
2
ln xdx x ln x x C arcsin xdx x arcsin x 1 x2 C
Ⅱ有时需要反复利用公式。
例 求不定积分： 1 x3 ln xdx 2 x2exdx 。
答案 1 1 x4 (ln x 1) C 2(x2 2x 2)e x C 。
14
14
2
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说明 若被积函数中只含三角函数时，可考虑用万能公式变换：
令t tan x ， 则sin x 2t ，cost 1 t 2 ，dx 2 dt
2
1 t2
1 t2
1 t2
2I n

3 2n 2a 2 (1 n)
I n1

x 2(1 n)a 2 (a 2

x 2 ) n1
。
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练习 计算下面的不定积分：
1 arctan xdx
4
dx 5 2x x2
最后化为有理分式。 一般万能公式计算较繁，如能用其他方
法尽量不用它。
例
计
算
sin
1 sin x x(1 cos
x)
dx
答案 1 tan x x 1 tan x 1 cot2 x C 8 22 24
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F [ 1( x )] C .
利用这个公式关键是要后面的积分比前面的积分容易算 出。一般是考虑把不易积出的部分(如根号之类)通过变量代 换化掉。
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例 求 x3 4 x2dx.
解 令 x 2sin t dx 2cos tdt