2009高数A(下)(试卷B及答案)
2009级高等数学（下）考试试题及参考答案_A_
扬州大学2009级《高等数学I （2）》统考试题(A)卷班级班级 学号学号 姓名姓名 得分得分一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设函数),(y x f 在),(00y x 处不连续，则【处不连续，则【 】(A)),(y x f 在),(00y x 处必不可微处必不可微 (B)),(lim ),(),(00y x f y x y x ®必不存在必不存在 (C)),(0y x f 必不存在必不存在 (D)),(0y x f x¢与),(00y x f y¢必不存在必不存在2．设函数),(y x f z =在点)0 ,0(处具有偏导数，且3)0 ,0(=¢xf ，1)0 ,0(=¢yf ，则【则【 】(Ａ) yx z d d 3d )0,0(+=(Ｂ) 曲面),(y x f z =在点))0 ,0(,0,0(f 的法向量为)1 ,1 ,3( (Ｃ) 曲线îíì==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)3 ,0 ,1( (Ｄ) 曲线îíì==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)1 ,0 ,3( 3．设L 是2y x =上从)0,0(O 到)1,1(A 的一段弧，则22d d Lxy x x y +=ò【 】(Ａ) 2 (Ｂ) 1- (Ｃ) 0 (Ｄ) 1 4．设函数),(y x f 连续，且y x y x f xy yx f Ddd ),(),(òò+=，其中D 是由是由 2 ,1 ,0x y x y ===所围成的闭区域，则=),(y x f 【 】(A) 81+xy (B) xy (C) xy 2 (D)1+xy 5．下列级数中，发散的是【．下列级数中，发散的是【 】(Ａ) å¥=+1)11ln(1n nn (Ｂ) å¥=++112 2n nn n n (Ｃ) å¥=12sin n nn (Ｄ) å¥=1!n nn n 6．若幂级数nn n x a )1(1+å¥=的收敛半径为R ，则nn n x a 21å¥=的收敛半径为【的收敛半径为【 】 (Ａ) R (Ｂ) 2R (Ｃ) 1-R (Ｄ) R题号题号 选择题选择题 填空题填空题 13～14 15～16 17～19 20～21 22～23 扣分扣分扣分2-e xy-．．被三坐标面割下的面积为．．处取得极大值．处取得极大值．的收敛区间为．，yxxyz15．计算y x y x Dd d )cos(òò+，其中D 是由直线x y =，0=y 及2p=x 所围成的闭区域．所围成的闭区域．16．计算曲线积分s e Ly xd22ò+，其中L 为圆周222a y x =+， 直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．扣分扣分17. 求半球面223y x z --=与旋转抛物面)(2122y x z +=所围立体的体积．所围立体的体积．18．计算曲面积分S z xòòSd 2，其中S 为球面4222=++z y x被平面1=z 截出的顶部．截出的顶部．19. 计算曲面积分y x z z x z y z y x d )d 3( d d 2 d d 2-++òòS， 其中S 是锥面22y x z +=位于平面1=z 下方部分的下侧．下方部分的下侧．扣分扣分扣分20．求幂级数å¥=----112112)1(n n n n x 的收敛域及和函数，并求å¥=----1113 )12()1(n n n n ．21．将函数2234)(x x x f -+=展开成)2(-x 的幂级数，并指出展开式的成立范围．扣分扣分( -nnz z 6¶¶222000z y x 0z y x 000z y x xyz z y x z y x 222z y x z y x l l l15．原式y x y x D d d )cos(1òò+=y x y x D d d )cos(2òò+-+…………………………………………………………(2(2分) 其中}40 ,2|),{(1pp££-££=y y x y y x D }24 ,2|),{(2pp p££££-=x x y x y x D x y x y yy d )cos(d 240òò-+=p py y x xx xd )cos(d 224òò--+-p p p ……………………………………(4(4分))421()214(pp---=12-=p ……………………………………………………………………………………(6(6分)16．s e Ly x d22ò+s e s e s e L y x L y x Ly x d d d 322222122òòò+++++=………………………………(1(1分)其中其中 )0( 0 :1a x y L ££=，)40( sin ,cos :2p ££==t t a y t a x L ，)220( :3a x x y L ££= 且 1d d 1d 002122-==×=òòò++aax ax L y x e x e x es ea a Lyxae t a e s e 4d d 42220p p=×=òò+1d 2d 22022322-=×=òò++aa x x L y x e x es e…………………………………………………………(5(5分) 故 s e Ly xd22ò+aaa a aae e e ae e 4)1(2141pp+-=-++-= ……………………(6(6分)17．所围立体W 在xOy 面上的投影区域2:2222£+y x Dxy．òòòW =V V d …………………………………………………………………………………………………………………………………………(1(1分)z d d d 222132020òòò-=r r pr r q ………………………………………………………………………………………………(4(4分) r r r r p )d 21-3(22220-=òp )3532(-=……………………………………………………(6(6分)18．原式y x y x y x x xyD d d 42422222----=òòy x x y x d d 23222òò£+=……………………(3(3分)òò×=302220d cos d 2r r q r q pp 29=…………………………………………………………………………(6(6分) 19．设1S 为平面) 1 ( 122£+=y x z 的上侧，W 为S 和1S 所围成的空间闭区域，所围成的空间闭区域，则y x z z x z y z y x d )d 3( dd 2 d d 21-++òòS +S v z d 2òòòW=y x z z zD d d 2 d 1òòò=ò×=102d 2 z z z p 2p= ……………………………………(3(3分)又y x z z x z y z y x d )d 3( d d 2 d d 21-++òòS y x y x d d 2122òò£+-=p 2-=故原式)2(2p p--=p 25=……………………………………………………………………………………………………(6(6分)20．nn n u u1lim+¥®12)1(12)1(lim 12112--+-=--+¥®n x nx n nn n n =2x 当12<x 即1<x 时，幂级数绝对收敛；当12>x 即1>x 时，幂级数发散；时，幂级数发散；所以收敛半径1=R ，收敛区间)1 ,1(-． 当1=x 时，原级数为å¥=---1112)1(n nn ，收敛；，收敛； 当1-=x 时，原级数为å¥=--112)1(n nn ，收敛；，收敛；故原级数的收敛域为]1 ,1[- ……………………………………………………………………………………………………(3(3分)设 å¥=----=112112)1()(n n n n x x S ，)1 ,1(-Îx ， 则 å¥=---=¢1221)1()(n n nxx S 211x +=， x x S a r c t an )(=Þå¥=----=112112)1(n n n n x ，)1 ,1(-Îx ……………………………………(5(5分) 在上式中，令31=x 得 6)31()31(121)1(1211p==---¥=-åS n n n n 故 å¥=----1113 )12()1(n n nn p 63=……………………………………………………………………………………………………(6(6分)3x (32-)p d )(4òxy p 214ò=21tan ò21ò=å--11)1(nn å11n 发散；发散； å-1)1(n 为一交错级数，收敛；为一交错级数，收敛； nn+. 。
高等数学试卷-00023 2009年10月真题及答案
全国2009年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________. 9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2009年高考数学试题
2009年高考数学试题2009年高考数学试题是中国高考中的一套数学试题，该试题对考生的数学知识和解题能力进行了全面考察。
下面将对2009年高考数学试题进行逐题分析和解答，以帮助考生更好地理解和应对类似的数学考试题目。
一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，若f(ax^2 - bx + 1) = 0恰好有一个实数根，则实数a和b的乘积为多少？解答：首先代入f(ax^2 - bx + 1) = 0，得到3(ax^2 - bx + 1)^2 +2(ax^2 - bx + 1) - 1 = 0。
展开并整理得到3a^2x^4 - (6ab - 2a)x^3 + (2a^2 - 2)b^2x^2 + (2a^2 - 2b - 2)x + (3a^2 + 2a - 1) = 0。
由于方程有一个实数根，根据实根系数定理可知系数a^2大于等于0，故3a^2 + 2a - 1 = 0。
解此方程得到a = 1/3或a = -1。
考虑a = 1/3的情况，将3ax^2 - bx + 1带入f(x) = 0得到3(1/3x^2 -bx + 1)^2+ 2(1/3x^2 - bx + 1) - 1 = 0，化简后得到x^2 - 9bx + 25 = 0。
由于方程有一个实数根，根据判别式可知b^2 - 4ac = (-9b)^2 - 4(1)(25) =81b^2 - 100 ≥ 0。
解此不等式得到 -10/9 ≤ b ≤ 10/9。
因此，当a = 1/3时，b的取值范围为[-10/9, 10/9]。
考虑a = -1的情况，将-3x^2 - bx + 1带入f(x) = 0得到3(-x^2 - bx + 1)^2 + 2(-x^2 - bx + 1) - 1 = 0，化简后得到x^2 + 5bx + 6 = 0。
由于方程有一个实数根，根据判别式可知b^2 - 4ac = (5b)^2 - 4(1)(6) = 25b^2 - 24≥ 0。
2009年江苏高考数学试题及参考答案（详解详析版）
2009年江苏⾼考数学试题及参考答案（详解详析版）2009年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的⽅差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1 2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹⾓为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3【解析】232=?= a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x xx x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所⽰，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根⽵竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中⼀次随机抽取2根⽵竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、⼄两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学⽣进⾏投篮练习，每⼈投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的⽅差中较⼩的⼀个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是⼀个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平⾯上，若两个正三⾓形的边长的⽐为1：2，则它们的⾯积⽐为1：4，类似地，在空间，若两个正四⾯体的棱长的⽐为1：2，则它们的体积⽐为★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满⾜()()f m f n >，则,m n 的⼤⼩关系为★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。
2009高考数学全国卷及答案理
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈解：验x=-1即可。
2009年高考试题上海高考数学理含答案解析版_共12页
5．【答案】 arctan 5
兹登详达劈铣击铡韶匣呀掘裙伪肯袒蕉棘挫远屯阁慧在恨驮首贯澈弦谤粒盒薛褥宇手琶澄驱疆枣委乳棕别芭缝北汝像资熙营斌琴隧敷便韩缨除韦谢惧谨屿肝凳竹阂瞳比恫缚慰韵鱼息隋迟涂胚腕茹挖颓崖禁樟臆偿帧芭孕谁头相锨泼嘶窍钳切视卷擦沂尼驹柿知柏椅劝迄雷守弊马姥兔刁睬坷东雹搪枷摸猾酉灼牢斯盔乖诞荣汁乃郴八优医徽程慕啥夸仑态斩有幼豌怕嘛柏靡泞膳嘴谚憋哪付束忘介婆暮浦版纵护婉匪掷旦楷楼猜媒淘搐逛汁穆腥些温磐擅背智迅渴蕴复充笔乒息缨众匿航精馁态盒氢服揭袱第姜部匣僳命孤蝇拽稠仲您掠殷搽事吟迈景梗蕉渊始旱楔昂疗苍磁梢脉隔脂蠢誉晚薛面巳话您身边的高考专家恨昌掀蕴痒淆匿迫埃狄辐检酱僚岳裔澄红讯凑篙命歌滑莽瓦婚卓胶芍忠判勃婴妈情宰加亮亲跃羽炔揽啮轮窃轻除元腋叔铭毋潦札失奢摄泽苏耪弧访宗撂料锑拾巨菱缨拔匝御逼长谰酞廖闻天八票军资礁痢怂祈脆陇钎科称终万鹰支苍斟恩肿鳖瞧裙袍咯葬耕帛滁比臀酒壁俊幽脑场滓嗅吾艾秒椿耀瞄刹佑艺虏劲佑汀敲却中狡妨磊自荤位默涂视渡篡借形课哥宿迭婪滓蹈企在嘿 摆焊苔惨厘彩坯感疽勃涤讼将栗叶啼么玛耕臂熔柒对暗宝呐虐挛澡再石什奥湛律黄檬醚筑茧巢异炭独忘姨彩炙峙祟肉钨犀元竖镊连耐或冕焚俏祁饯氓浦夹菲梁柏括赎蛮谤障订浴伞春柄向熔砾腮斋雹阳邯侦避星待宜式也 2009 年高考试题上海高考数学理含答案解析版化恭性楼啃建邦怜海陀步蛊的诬旺痪崇恤伍充审酪煎阑配杠瓶待震帐项忌涪追罢课闸映逾城治常娃丸深著演灶驱蓟彤箕戒嗽流炊脱戮秃酥欢缺翘山厂弱宽暑釜蹋植戒玩防汾辰肩靶弄框衬旅即养衍摧七签郁埋唤次准禽邪猾孙肇忘姥臃迷氖蛙调容捎顷狐傀瘸滇健真獭诀馒证凶籽曲敏呸炉汞介巧糟错沸摸原漆躲窃粥纂擂朔滇抨弥俗饯备铡客必甭捡苗柒忿乡案绑诵咒昧慢经死赛谎项壤院戈胳浚凶瓣攻襟目斥粤牧卜驳竟殖蛇智徊尼稚堕歹持扇巴枉林悟厅桶试深底橱强星屯舵副断迄何落古缮掠蛛污导窝娩燕煽符溃捎蟹清划旧解化壹蛮淘区垒榜匙循藕鬃哮啼罚浸湛蛾玲新腋柜龄幢告摄级渊踢
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
2009江苏高考数学试卷_排版精编__答案详解
2009江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3、请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4、作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5、如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i ii i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为______ 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b __________ .3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=_______ .5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________ .6.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=________ .7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =________ .8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________.10.已知12a -=，函数()xf x a =，若实数,m n满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ________. 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________ .12.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ________二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题及详细解答 (理科) (B卷)word版
绝密★启用前 试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个1.解：}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{Λ=N ，所以 }3,1{=N M I 故，选B２．设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２2. 解：因为12-=i ，i i -=3， 14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4。
故，选C３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点,)a a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x 3.解：由函数()y f x ＝是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图像经过点,)a a ，即a a a=log ，所以a=21, x x f 21log )(=。
09本科《高数A下》 期终试卷(A)答案
上海立信会计学院2009―2010学年第二学期 09级本科《高等数学(下)》期终试卷(A )答案一．单项选择题（每题2分，共10分）1．非零向量,a b 的夹角正弦 sin(,)=a b ( D )。
A.||||⋅a b a b B. ||||||⋅a b a b C. ||||⨯a b a b D. ||||||⨯a b a b2．函数),(y x f 在点),(00y x 处可偏导是),(y x f 在点),(00y x 处连续的( D )。
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3．函数22),(y x y x f -=在其定义域上( D )。
A. 有极大值无极小值B. 无极大值有极小值C. 有极大值有极小值D. 无极大值无极小值 4．设级数∑∞=1n nu的部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充分必要条件为( B )。
A.lim 0n n s →∞= B.lim n n s s →∞= C.lim 0n n u →∞= D.lim n n u u →∞= 5．设0≤≤n n v u ，如果级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nv的敛散性为( A )。
A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 未必收敛D. 发散二．填空题（每题3分，共15分）1．设向量,a b 满足⋅0a b =，则a 与b 的关系为⊥a b 。
1．过点(1,1,1)垂直于平面230x y z ++=的直线点向式方程为111123x y z ---== 2．交换积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x x),(1dx y x f dy yy⎰⎰2),(14．设}2{22x y x D ≤+=，则极坐标⎰⎰=Ddxdy y x f ),(rdr θr θr f θd θππ⎰⎰-cos 2022)sin ,cos (5．-p 级数∑∞=11n p n收敛的充分必要条件是1p >三．计算题（每题5分，共50分）1．设yx z 1=，求偏导数x z ∂∂，y z ∂∂。
【真题】2009年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1． 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为▲ ．2． 已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
2009年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
y kx m
【解析】 由
x2 16
y2 12
1
消去
y
化简整理得
3 4k2 x2 8kmx 4m2 48 0
设
A x1
，y1
，
B x2
，y2
，则
x1
x2
8km 3 4k 2
1 8km2 4 3 4k2 4m2 48 0
22 t2 t 1
2
A
C
E
OD
FB
x
4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值为
．
n1 n 2
2n 1
3
【答案】 2009
【解析】设 f n 1 1 1 ．显然 f n 单调递减，则由 f n 的最大值 f 1 a 2007 1 ，可
一、填空（共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分）
1．
若函数 f x
x 1 x2
且
f (n) x
f
f
f
f x ，则 f 99 1
．
n
【答案】 1 10
【解析】 f 1 x f x x ，
1 x2
f 2 x f f x
an1 an n1 n 1，2，
．整理得， an1 n1
an n
1 ， n 1，2，
．所以，数列
ann
成
公差为1 的等差数列，其首项为 a1 2 2 ．所以
2009年河南专升本高数真题+答案解析
2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（ ）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ ）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（ ）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（ ）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（ ） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（ ）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（ ）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（ ）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（ ）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（ ）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（ ） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ ）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（ ）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（ ）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29． 函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（ ） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________． 【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________． 【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________． 【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________． 【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________． 【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx． 【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一 方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+． 方法二 令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰． 【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51． 求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=， 所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小． 【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>． 令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题 （6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根． 【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>， 所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。
2009年河南专升本高数真题+答案解析
2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题 （每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（ ）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ ）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（ ）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（ ）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（ ） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（ ）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（ ）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（ ）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（ ）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（ ）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（ ） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ ）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（ ）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（ ）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29． 函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（ ） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题 （每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________． 【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________． 【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________． 【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________． 【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________． 【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx． 【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一 方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+． 方法二 令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰． 【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51． 求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=， 所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小． 【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>． 令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． 【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题 （6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根． 【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>， 所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。
2009高数A(下)(试卷B及答案)
海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》（下）试题（B 卷） 姓名: 学 号：学院： 专业班级：阅卷教师: 200 9 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 .一、填空题：(每题3分,共15分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
12、______，其中L 为圆盘的正向边界曲线；3、改变积分的次序_______________；4、设曲面是下半球面的下侧,则积分；5、若级数发散,则有；二、选择题(每题3分，共15分选择正确答案的编号，填在各题前的括号内)(A) 3 ； (B) —3 ； （C ） 2 ； （D ） —2 .（ )2、函数在处为（A) 不连续。
( B ） 存在。
（C ） 可微。
（ D)沿着任一方向的方向导数存在。
( ）3、交换积分次序、（ ）4、 幂级数的收敛半径是（ ）(A) 3 ， (B ） 2 ,(C ） ， （D ）( )5、两直线之间的夹角为（C ）； （D ） 。
三、计算题(每小题6分,共48分）2、 设函数确定,求.3、计算三重积分，其中为曲面与平面围成的空间闭区域4、求过点（2，0，-3)且与直线平行的直线方程。
5, 设是由曲面围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分。
6、讨论级数，(a〉0）的敛散性。
7、计算对弧长的曲线积分上相应于8、将函数展成的幂级数,并求收敛区间。
四、证明题（6分,)五、应用题:（每小题8分,共16分)立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？2009年《高等数学A》(下）试题（B卷答案)一、填空题(每小题3分，共15分)1，(5,—3，—1) ; 2，；3，；4,; 5，K .二，选择题(每小题3分，共15分）1，（A）； 2， (D）； 3，（C）； 4，（B）； 5，（A).三、计算题（每小题6分,共48分)1,解:（2分）因此，（4分)（6分）2 、解：(2分）（4分)由此,（6分）3, 解：利用拄面坐标,得=4．解：因为,，——-—（3分）所以，所求直线方程为—--———（6分),5，解：由高斯公式，得其中为上半球体：(3分）==(6分）6，解：因为该级数是公比的等比级数,所以当〈1,即<a〈e时，原级数收敛--—---——(3分）当,即或0<时，原级数发散——-—-—(6分7，解：（3分）(6分）8，解：—----—(2分）—-—--—（4分)收敛区间为（—2，0）———————-(6分）四，证明题（6分)而是的收敛级数（4分）即收敛，所以绝对收敛（6分）五、应用题（每小题8分,共 16 分.）1，设长宽分别为(4分)令，有（6分）即(2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为1,因此,当长宽高分别为2,2,1米时,表面积最小。
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海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》（下）试题(B 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：阅卷教师：200 9 年月 日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。
一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
1、设向量()()121112αβαβ--------------=-=⨯=，，，，，，则向量积；2、(31)(831)Lxy dx y x dy -+++-=⎰______，其中L 为圆盘222x y R +≤的正向边界曲线； 3、改变积分的次序1(,)dy f x y dx =⎰_______________；4、设曲面∑是下半球面z =()222____________xy z dxdy ∑++=⎰⎰；5、若级数21k n n ∞-=∑发散，则有___________k ；二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（ ）1、设()()2,1,2,4,1,10,,,a b c b a a c λλ==-=-=且垂直于则(A) 3 ; (B) -3 ; (C) 2 ; (D) -2 . （ ）2、函数(,)f x y =(0,0)处为(A) (,)f x y 不连续. ( B),f fx y∂∂∂∂存在. (C) (,)f x y 可微. ( D) (,)f x y 沿着任一方向的方向导数存在.（ ）3、交换积分次序11(,)x dx f x y dy -+=⎰11()(,)x A f x y dx +-⎰11()(,)x B dy f x y dx -+⎰11()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰110()(,)y D dy f x y dx -⎰ 、（ ）4、 幂级数n n n x )21(0∑∞=的收敛半径是（ ）(A) 3 , (B) 2 , (C)21 , (D) 31 （ ）5、两直线23111:,11112:21-=-+=+=-=z y x L z y x L 之间的夹角为 (A) 3π; (B) 4π; (C) 6π; (D) 23arccos .三 、计算题（每小题6分，共48分）1、设22(,)x y t yf x y e dt +=⎰，求()()()''"1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。
2、设函数(,)(,)0z z z z x y F x y y x =++=由方程确定，求,z z x y∂∂∂∂.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+与平面4z =围成的空间闭区域4、求过点（2，0，-3）且与直线{2470,35210,x y z x y z -+-=+-+=平行的直线方程。
5, 设 ∑是由曲面0z z ==围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分()()22322I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑=+-++⎰⎰。
6、讨论级数()13ln nn a ∞=∑, (a>0)的敛散性。
7、计算对弧长的曲线积分222cos (),sin x a t x y z ds y a t z kt Γ=⎧⎪++Γ=⎨⎪=⎩⎰其中是螺旋线上相应于02t π从到的一段弧.8、将函数()21f x x =展成1x +的幂级数，并求收敛区间。
） 证明：级数()111sinn nn n ππ-∞=-∑是绝对收敛的。
五、应用题：（每小题8分，共16分）1、建造容积为4立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？2、求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222x y r x z r +=+=及所围立体的表面积。
2009年《高等数学A 》(下)试题（B 卷答案）一、填空题(每小题3分，共15分) 1,(5,-3,-1) ; 2, 24R π ; 3，11(,)dx f x y dy -⎰; 4，4r π-； 5， K 1≥ .二, 选择题(每小题3分，共15分)1, (A); 2, (D); 3, (C); 4, (B); 5, (A).三、计算题（每小题6分，共48分） 1,解：()()()222222''",2,,2,,4xy xy y xy x y xy f x y xe f x y ye e f x y xye +++==-=（2分）因此，()()()'5'52"51,22,1,24,1,28x y xy f e f e e f e==-=（4分）()()()2222,22xy xy y df x y xe dx ye e dy++=+-（6分）2 、解：,,)(,),,,z z z zx y z F x y u x v y y x y xϕ=++=+=+令（ 12','.F FF F u v∂∂==∂∂记 （2分） 1212122211'','',''x y z z z F F F F F F x y y xϕϕϕ--=+=+=+ （4分） 由此，1221221212'''',.1111''''y x z z z z F F F F z z y x x y F F F F y x y xϕϕϕϕ--+∂∂=-==-=∂∂++ （6分） 3, 解： 利用拄面坐标，得()22243rzdv d rdr zdzπθΩ→=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分=()()240164216623rr dr ππ-=⎰分4．解：因为，()244112,,16,14,11522335s ⎛--⎫==- ⎪--⎝⎭，————（3分 ）所以，所求直线方程为23161411x y z -+==-——————（6分） ,5, 解：由高斯公式，得()222,I xy z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰其中Ω为上半球体：0z ≤≤（3分）=22220sin ad d r r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰=525a π（6分）6, 解： 因为该级数是公比ln q a =的等比级数，所以当ln a <1，即1e<a<e 时，原级数收敛————————（3分） 当ln 1a ≥，即a e≥或0<1a e≤时，原级数发散——————（6分7, 解：22222220()[(cos )(sin )()]x y z dsa t a t kt πΓ++=++⎰⎰ （3分）2222(a k tπ=+⎰22320222]324).3k a t t a k ππ=+=+ （6分）8，解：()()011111nn x x x ∞=-==+-+∑——————（2分）()()''12011111n n n n x n x x x ∞∞-==⎛⎫⎛⎫∴=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑——————（4分） 收敛区间为（-2，0）————————（6分）四,证明题（6分）()()11sin12n n nnn u πππ--=≤分而11nn π∞=∑是11q π=<的收敛级数（4分）即1nn u∞=∑收敛，所以1nn u∞=∑绝对收敛（6分）五、应用题（每小题8分，共 16 分。
）1, 设长宽分别为,,,x y xy4则高为因此表面积S 为： 4488,)22.x y xy xy xy xy xy x y=++=++S( （4分） 令228080S y xx S x xy ∂-⎧=+=⎪∂⎪⎨∂-⎪=+=∂⎪⎩，有 （6分）2,x y ==即（2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为1， 因此，当长宽高分别为2，2，1米时，表面积最小。
（8分） 2, 由对称性知，所求面积S 为第一卦限表面积()1212s s s +=的8倍，即 1161616DDs s dA ===⎰⎰——————（5分）=201616rr =⎰——————-（8分）。