辽宁省盘锦市2019-2020学年高考最新终极猜押数学试题含解析

辽宁省盘锦市2019-2020学年高考最新终极猜押数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6
π
，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=
B ．3
x π
=
C ．12
x π
=
D ．512
x π=
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项． 【详解】
由题意2sin(
)13π
ϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
不妨取6π
ϕ=-或2
ϕπ=，
若2
ϕπ
=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，
若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3
x π
=是对称轴．
故选：B ． 【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
2．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33
C ．39
D ．44
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得
111116+)
11(11332
a a S a =＝＝
【详解】
解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，
63a ∴＝．
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)
11(11332
a a S a =＝＝．
故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.
(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.
3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2
c ，则
双曲线的渐近线方程为（）
A ．y =
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求
解双曲线的渐近线方程． 【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，
可得：
2c =
，可得b c =，b
a =C 的渐近线方程为y =．
故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1
PF 与y 轴交于点M ，若1
2||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．3y x =±
B ．y =
C ．2y x =±
D ．y =
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

【详解】
设1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由1
2||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似， 所以
1
12
2||P F F P OM F O ==，即122PF PF =， 又因为122PF PF a -=， 所以14PF a =，22PF a =，
所以2224164c a a =+，即225c a =，224b a =， 所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

5．若复数z 满足)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．12-
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可． 【详解】
解：∵1z -=，
∴12z =
=-，
则122
z =-
-， ∴1z z +=-， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．
6．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r
夹角的余弦值为（ ）
A
．13
-
B
．
13
C
．65
-
D
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||
a b
a b a b ⋅〈〉=r r
r r r r
计算即可. 【详解】
依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ， 而(2)=0a b b -⋅r r r
， 即260m ---=， 解得8m =-，
则
cos ,13||||a b a b a b ⋅〈〉===r r
r r r r .
故选：B. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
7．已知双曲线22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q
两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A
1 B
1
C ．2
D
【答案】B 【解析】 【分析】
求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】
设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ
的方程为y =，代入双曲线方程并化简得
22222
22
22223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 22122
2
333a b x x b a
-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v
，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，
即2
1240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
解得2
3b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
故1e ===，故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
8．已知抛物线2
20y x ＝的焦点与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双
曲线截得的线段长为
9
2
，那么该双曲线的离心率为（ ）
A ．
54 B ．
53
C ．
52
D 【答案】A 【解析】 【分析】
由抛物线2
20y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线
准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式229
2
b a =，联立求解.
【详解】
解：由抛物线2
20y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝
，故其准线方程为5x =-， Q 抛物线2
20y x ＝的准线过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点， 5c ∴＝．
Q 抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为
9
2
， 2292
b a ∴=，又22225
c a b +＝＝，
4,3a b ∴＝＝，
则双曲线的离心率为5
4
c e a ==． 故选：A ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()
ln 1f x x =+
B ．()1
f x x -=
C ．()()()
222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ D ．()()
()()2,00,01,02x x
x f x x x ⎧<⎪⎪⎪
==⎨⎪⎛⎫⎪-
> ⎪⎪⎝⎭
⎩
【答案】C 【解析】 【分析】
对选项逐个验证即得答案. 【详解】
对于A ，()()()
()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()1
1
x x
f x
-=
=，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()
()2
2
2
0,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；
当0x <时，()()()()
()2
2
2
0,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；
又0x =时，()()000f f -=-=.
综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.
又0x ≥时，()()2
2211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单
调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()11
1122
f f -=
>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数的基本性质，属于基础题.
10．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
【答案】B 【解析】 【分析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 11．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )
A ．16
163
π+
B ．8163
π+
C ．
32833
π+ D ．
321633
π+ 【答案】B 【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111
V 44244223
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8
163
π=+.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 12．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )
A ．15π2cm
B ．21π2cm
C ．24π2cm
D ．33π2cm
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案. 【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，
∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若关于x 的不等式1
12
log (4
2)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____
【答案】3λ≥- 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得λ的取值范围。

【详解】
由112log (42)0x x
λ++⋅< 得1421x x λ++⋅>，两边同除以2x ，得到，1422x x
λ>-⋅，
0x Q >，设21x t =>，1
4t t λ∴>-，由函数14y t t
=- 在()1+∞，
上递减， 所以14143t t
-<-=-，故实数λ的取值范围是3λ≥-。

【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。

14．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________． 【答案】18 【解析】 【分析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号. 【详解】
解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列, 已知其中三个个体的编号为5,31,44, 故还有一个抽取的个体的编号为18, 故答案为:18 【点睛】
本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.
15．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】 【详解】
解：i 12i z ⋅=+Q
()212122i i
i z i i i
++∴=
==- 故答案为：2i - 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
由1n n S a +=得2n ≥时，1n n S a -=，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和． 【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，① 当2n ≥时，1n n S a -=，② ①-②得：1n n n a a a +=-，
整理得：1
2n n
a a +=（常数）， 故数列{}n a 是以21a =为首项，2为公比的等比数列，
所以2
12n n a -=⋅（首项不符合通项），
故2
112
2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，
所以：()910121151221
S -=+=-，
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和的公式，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()22f x x x a =-+-． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）当()2f x x a =-+时，求实数x 的取值范围．
【答案】 (1) (][),02,-∞⋃+∞ (2) 当4a ≤时，x 的取值范围为22
a
x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22
a x ≤≤． 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，分类讨论把不等式()3f x ≥化为等价不等式组，即可求解．
(2)由绝对值的三角不等式，可得()()222f x x a x x a ≥---=-+，当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，分类讨论，即可求解． 【详解】
（1）当1a =时，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪
=+<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
，
不等式()3f x ≥可化为33312x x -+≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或13
122
x x +≥⎧⎪
⎨<<⎪⎩或3332x x -≥⎧⎨
≥⎩ ， 解得不等式的解集为(][),02,-∞⋃+∞．
(2)由绝对值的三角不等式，可得()()22222f x x x a x a x x a =-+-≥---=-+， 当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”， 所以当4a ≤时，x 的取值范围为22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22
a
x ≤≤． 【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于[]0,50，(]50,100的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300,x y x x ⎧⎪
=<⎨⎪<⎩
剟
„„，
试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望. 【答案】（1）23
114
（2）9060元 【解析】 【分析】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为X 元，分别
求出()0P X =，()220P X =，()1480P X =，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望. 【详解】
解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则
()()()223P P P ξξξ==+= (2130)
61461433202023
114
C C C C C C =+=.
（2）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，
()()201001001005
P X P x ===
=剟， ()()707
22010025010010P X P x ==<==„，
()()101
148025030010010
P X P x ==<==„，
所以171
0220148030251010EX =⨯+⨯+⨯=（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 【点睛】
本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.
19．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨
=+⎩为参数)， 曲线2C
的参数方程为sin ,
(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).
（1）求1C 与2C 的普通方程；
（2）若1C 与2C 相交于A ，B
两点，且AB =
sin α的值.
【答案】（1）tan 1y x α=+，2
2
1(0)2y x y +=…（2）0 【解析】 【分析】
（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【详解】
（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t α
α
=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；
由曲线2C
的参数方程为sin x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ
，可得y =
2
2
1(0)2
y x y +=…．
（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩
为参数）代入22
12y x +=，
得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．
∴122
2sin 1t t cos αα-+=
+，1221
1t t cos α
-=+．
12||||AB t t ∴=-=．
解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．
sin 0α∴=．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 20．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；
（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13
211
a b +++的最小值. 【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（2）169
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得
13
211
a b +++的最小值. 【详解】
（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即3
5x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得7
33
x ≤≤；
当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，
1311313(1)3(21)16
[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦
. 当且仅当211,235,0,0,
a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,
8
54a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号.
故
13211
a b +++的最小值为169.
【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是3
(13x tcos t y tsin
ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数），曲线C
的参数方程是φx y （ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线102OM πθαα⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
：＜＜
与曲线C 交于,O M 两点，射线22
ON ：π
θα=+
与直线l 交于
N 点，若OMN ∆的面积为1，求α的值和弦长OM ．
【答案】（1）132sin πρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
,ρθ=；（2）,6
π
【解析】 【分析】
（1）先把直线l 和曲线C 的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程； （2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得,OM ON ，再由面积1
12
OMN S OM ON ∆=⋅=可解得极角，从而可得OM ． 【详解】
（1）直线l 的参数方程是3
(13x tcos t y tsin
ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数）， 消去参数t
得直角坐标方程为：10y -+=．
转换为极坐标方程为：310cos sin ρθρθ-+=，即132
sin πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 曲线C 的参数方程是232323x cos y sin ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），
转换为直角坐标方程为：22(23)12x y +-=， 化为一般式得22430x y y +-= 化为极坐标方程为：43sin ρθ=．
（2）由于02
＜＜
π
α，得43OM sin α=，
3322ON cos sin sin cos ππαααα=
=
+⎛⎫⎛
⎫+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭．
所以123123OMN sin S OM ON cos sin α
αα
∆=⋅==+， 所以3tan α=
， 由于02
＜＜
π
α，所以6
π
α=
，
所以23OM =． 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
22．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23
OBC π∠=
时，1
sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；
（2）设2
2
y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；
（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6
π
，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．
【答案】
(1)9
a =；(2)(i)2
2002y a =+，(0,4]a ∈；
(ii)40-【解析】 【分析】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理可得所求；
（2）（i ）由余弦定理得2
2
2
2
10020cos ,10020cos AC a a AOC BC a a BOC =+-∠=+-∠，两式相加可得所求解析式．（ii ）在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a +-+-∠=≥=-
⋅++，根据ACB ∠的最大值不小于6π可得关于a 的不等式，解不等式可得所求． 【详解】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理得sin sin OC OB
OBC BCO =∠∠，
所以1103293
OC sin BCO OB sin OBC sin π⨯
⋅∠=
==∠，
即a =
． （2）（i ）在AOC ∆中，由余弦定理得2210020cos AC a a AOC =+-∠， 在BOC ∆中，由余弦定理得2210020cos BC a a BOC =+-∠， 又AOC BOC π∠=-∠ 所以2222002CA CB a +=+， 即2
2002y a =+．
又2222002232CA CB a +=+≤，解得04a <≤，
所以所求关系式为2
2002y a =+，(]
0,4a ∈．
（ii ）当观赏角度ACB ∠的最大时，cos ACB ∠取得最小值． 在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++， 因为ACB ∠的最大值不小于
6
π
，
所以22
21100a a -≤+
，解得20a ≥-，
经验证知(]201030,4-∈， 所以240203a ≥-．
即,A B 两处喷泉间距离的最小值为40203-． 【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
23．如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥。

（1）证明：//BE 平面1A FG ；
（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2）
10
5
【解析】 【分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接DM ，根据条件证明
//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
（2）以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM . ∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点. 又F 为CD 的中点，∴//FG DM .
依题意可知//DE BM ，则四边形DMBE 为平行四边形， ∴//BE DM ，从而//BE FG .
又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ， ∴//BE 平面1A FG .
（2）1,DE AD DE DC ⊥⊥Q ，且1A D DC D =I ，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ，
1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥Q ，且DE DC D ⋂=， 1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间
直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
则()0,0,0F
，(1A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
(1FA =u u u r ，()1,1,0FG =u u u r
，(11,2,A E =-u u u r ，()2,2,0EB =u u u r
.
设平面1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =u r
， 则100n FA n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即11100x y =+=⎪⎩，
令11x =，得()1,1,0n =-r
.
设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r
， 则100m A E m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即2222220220x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，
令21x =
，得(1,1,m =-u r
.
从而cos ,m n <>=
=u r r
故平面1A FG 与平面1A BE
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.。