数学-苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题

苏州市五市三区2013 届高三期中考试一试题
数学
一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．
1.会合 A{1,t}中实数 t 的取值范围是.
2.若不等式 x23x 0 的解集为 M，函数 f ( x) lg(1x) 的定义域为 N ，则
M N.
3.假如 p和 q 是两个命题，若p 是q 的必需不充足条件，则p 是 q 的条
件 .
4.将函数 f ( x) 2 cos( x
) 的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，获得函
364
数 g (x) 的图象，则 g ( x)的分析式为.
5.已知向量 a 与 b的夹角为， | a | 2 ，则a在b方向上的投影为.
3
6.若 tan3，则sin 2 3 cos2
.
2 2 sin cos5
sin
7.设变量 x, y 知足 | x || y | 1，则 x2y 的最大值为.
8.函数 y1x
的单一递减区间为.
1x
9.已知对于 x 的不等式(ax1)( x 1)0的解集是 ( ,1
) (1, )，
a
则实数 a 的取值范围是.
10.已知函数 f ( x) x 2bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线l与直线 3x y20 平行，
若数列 {1} 的前n项和为 S n，则 S2013的值为.
f (n)
11.在锐角ABC 中，若 A2B ，则
a
的取值范围是. b
12.已知函数 f ( x) 在定义域 (0,) 上是单调函数,若对任意 x(0,)，都有
f [ f ( x)1
2 , ]
x
则 f (1
) 的值是. 5
13.ABC 内接于以P为圆心，半径为 1 的圆，且3PA 4PB5PC0 ，则ABC 的面
积为.
a 2
b 2
c 2
.
14. 若已知 a,b,c 0 ，则 2bc 的最小值为
ab
二、解答题（本大题共
6 小题，共
90 分）
15. （本小题满分 14 分）
已 知 函 数 f ( x)
log 4 x, x
[ 1
,4] 的 值 域 为 集 合 A ， 关 于 x 的 不 等 式
16
( 1 )3x a
2 x ( a R) 的
2
解集为 B ，会合 C
5 x
{ x |
0} ,会合 D { x | m 1 x 2m 1} (m 0)
x 1
（ 1）若 A B B ,务实数 a 的取值范围；
（ 2）若 D C ,务实数 m 的取值范围 .
16. （本小题满分 14 分）
如图，在直角坐标系 xOy 中，锐角
ABC 内接于圆 x 2
y 2 1. 已知 BC 平行于 x 轴，
AB 所在直线方程为 y
kx m(k
0) ，记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . （ 1）若 3k
2ac
2 , 求 cos
2
A C sin 2
B 的值；
2
2
b
a c
2
（ 2）若 k
2, 记
xOA
(0
2), xOB(
3 ), 求 sin( ) 的值。

2
y
A
O
x
B
C
17.（本小题满分 14 分）
某公司有两个生产车间分别在 A 、 B 两个地点， A 车间有100名职工， B 车间有400名职工。

现要在公路AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ，并在 D 处建一个食堂，使得所
有职工均在此食堂用餐。

已知
A 、、中随意两点间的距离均有
1km
，设
BDC
，
B C
全部职工从车间到食堂步行的总行程为s .A
（ 1）写出s对于的函数表达式，并指出的取值范围；D
（ 2）问食堂D建在距离A多远时，可使总行程s最少
C
第 17题图
B
18.（本小题满分 16 分）
已知函数 f ( x)x2 ln | x | ，
（1）判断函数 f ( x)的奇偶性；
（2）求函数 f (x)的单一区间；
（3）若对于x的方程 f ( x) kx 1有实数解，务实数k的取值范围．
19.（本小题满分 16 分）
已知数列 { a n } 的相邻两项 a n， a n 1是对于 x 的方程 x 22n x b n0(n N*) 的两根，
且 a1 1.
（ 1）求证：数列{ a n 1
2 n} 是等比数列；3
（ 2）设S n是数列{ a n}的前n项和，问能否存在常数，使得b n S n0 对随意 n N *都建立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明原因．
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f ( x)
x2ax 1 , x a
4 x42x a , x ,
a
（ 1）若x a时, f (x)1恒建立，务实数 a 的取值范围；
（ 2）若a 4 时，函数 f (x) 在实数集 R 上有最小值，务实数 a 的取值范围.
苏州市五市三区2013 届高三期中考试一试题
数学
一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．
1. { t | t 1}
2.
(
,3]
3.充足不用要 .
4. g(x)
2cos(
x
) 1
5.
2 6.
3 4
2
12 35
7.
2
8. (
, 1), ( 1,
)
9. [ 1,0)
2013 ( 2 ,
3)
12. 6 10.
11.
2014
6
2 5
13.
14.
5
5
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）
15.（本小题满分 14 分）
解：（ 1）由于 4
1，因此 f (x) 在 [ 1 ,4] 上，单一递加，
f ( 1
), f (4)]
16
因此 A
[ [ 2,1]
， --------------------------
2
分
16
又由 (1
) 3x a
2 x ( a R) 可得： 2 (
3 x a)
2 x 即： 3x a
x ，因此 x
a ，
2
a
) ，
4
因此 B
(
, --------------------------
4
分
4
又 A B
B 因此可得： A
B ，--------------------------
5 分
因此 a 1，因此 a
4 即实数 a 的取值范围为 (
, 4) .--------------------------
6 分
4
5
x
,因此有
x
5
（ 2）由于 0
0,因此 1 x
2 ,因此 C
( 1,5] ,--------------------8
x
1
x
1
分
对于会合 D { x | m
1
x
2m 1} C 有:
①当 m 1 2m 1
0 m 2 时 D
,知足 D C .--------------------
10 分
时 ,即
②当 m
1 2m
1 m 2
时 D
,因此有 :
时 ,即
m 1 1
2
m 3
m 2
,因此
2 m
3 --------------------
13 分
1
,又由于
2m 5
综上：由①②可得：实数 m 的取值范围为 ( 0,3] .--------------------
14 分
16.（本小题满分 14 分）
解：（ 1） 变式得： sin B
2ac
解得 sin B
1 --------------------
4 分
3
a 2
c 2
b 2 ，
cos B
3
22
； --------------------
（ 2）方法一：AOB ，作 OD
AB 于D ，
xOD
, tan(
)
1 1 kOD
--------------------11
2
2
2
k
2
分
2 tan(
)
4
sin(
)
2
分
--------------------14
1 tan
2 (
)
5
2
方法二：
x 2 y 2 1 5x 2 4mx
m 2
1 0 ，
y 2x m
设 A(x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ), x 1
x 2
4m
, x 1 x 2
m 2 1 ，
5
5
sin(
) sin cos
cos sin y 1 x 2 x 1 y 2
(2 x 1
m) x 2 x 1 (2x 2
m)
4 x 1 x 2
m( x 1 x 2 )
4
--------------------14 分
5
17. （本小题满分 14 分）
解：（ 1）在 BCD 中，
BD BC
CD
， --------------------2 分
sin 60 0
sin
sin(1200
)
3
sin(120
)
sin(1200
)
BD
2 , CD
AD
1
分
sin
sin
，则
sin。

--------------------4
3
sin(120
s 400
2 100[1 )
50
50 cos
4
其
中
sin
sin
]
3
sin
，
2 。

..6 分
3
3
sin
sin
(cos 4) cos
1 4 cos （2）s'
50 3 50 3
sin 2
sin 2 。

--------------------8
分
令 s'
0得 cos
1 。

记 cos 0
1
, 0
(
, 2
)
1
4
4
3 3
当 cos 时， s' 0 ， --------------------.9 分
4
当 cos 1 时， s'
0 ， --------------------10 分
4
因此 s 在(, 0 ) 上，单一递减，--------------------11分
3
在
( 0,2) 上，单一递加，.....12分
3
1
0，即 cos
因此当时， s 获得最小值。

--------------------13分
4
15sin(1200)3
cos
1
sin
此时， sin122
， AD1
sin sin
4
1
13cos13415
22sin2215210
4
答：当AD
15
s 最少。

--------------------14分时，可使总行程
210
18.（本小题满分 16 分）
解：（ 1）函数f ( x) 的定义域为 { x | x R 且 x0} 对于坐标原点对称.--------------- 1分
f ( x)(x) 2 ln | x |x 2 ln x f (x) f ( x) 为偶函数.--------------- 4分
（2）当x0时， f '( x)2x ln x x 2 1x(2 ln x 1) --------------- 5分
x
1
e
令 f ' (x)x(2ln x 1) 0 2 ln x 1 0 2 ln x 1 0 x e 2x
e
令
1e f ' (x) x( 2 ln x 1) 0 2 ln x 1 0 2 ln x 1 0 0 x e 20 x
e --------------------------------------------6分
因此可知：当 x(0,e
) 时， f ( x) 单一递减，当 x (
e
,) 时， f (x) 单一递加，----------e e
7 分
又由于 f ( x) 是偶函数，因此在对称区间上单一性相反，因此可得：
当 x (
e ,0) 时，
f (x)单一递加，当x ( , e ) 时， f ( x)单一递减，---------- 8分
e e
综上可得：
f ( x) 的递加区间是 : (
e e
, ) ；
e ,0) ,(
e
f ( x) 的递减区间是 : ( 0,
e
) , ( ,
e
) --------------------------- 9
分
e
e
（3）由 f ( x) kx 1，即 f (x) x 2 ln | x | kx 1,明显 , x 0
可得： x ln | x |
1
k
--------------------- 10 分
x
令 g( x) x ln | x |
1
0 时 , g( x) x ln x
1
，当 x
x
x
g' ( x)
x' ln x x 1 1
ln x
1 1
ln x
x 2
1
----------- 12 分
x x 2
x 2
x 2
明显 g' (1)
0 ，当 0 x
1 时， g' ( x) 0 , g( x) 单一递减，
当 x 1 时， g' (x) 0 , g (x) 单一递加，
x 0 时 , g ( x) min g (1) 1 ----------- 14 分
又 g(
x) g(x) ，因此可得 g( x) 为奇函数，因此
g ( x) 图像对于坐标原点对称
因此可得 :当 x
0 时， g( x) max g( 1)
1----------- 15
分
∴ g( x) 的值域为 ( , 1] [1,
)
∴ k 的取值范围是
(
, 1]
[1, ) .----------- 16
分
19. （本小题满分 16 分）
解： (1) a n ， a n 1 是对于 x 的方程 x 2
2n x b n
0(n
N *) 的两根，
a n
a n 1
2n
a n a n 1
b n ...................4 分。

由 a n
a n 1
2n ，得 a n 1
1 2n 1
(a n
1 2n ) ，
3
3
故数列 { a n
1 2n
} 是首项为 a 1 2 1
，公比为
1 的等比数列． ...................6 分。

3 3 3
(2) 由 (1)得 a n
1 2 n 1
( 1) n 1 ， 即 a n
1 [ 2n ( 1) n ] ．
3
3
3
b n
a n
a
n 1
1 [ 2n ( 1)n ][
2 n 1 ( 1)n 1 ]
9
又
S n a 1 a 2
a 3
a n
1
{( 2 22
23
2 n ) [( 1) ( 1) 2
( 1) n ]}
3
1[ 2n 1 2 ( 1)n
1
] ...................9 分。

3
2
要使
b n
S n
0 对随意 n
N * 都建立有 :
①当 n 为正奇数时，有 :
b n
S n
1 ( 2n 1)(2n 1 1)
1 (2n 1 1) 0,
2n 1
1 0 ,
9
3
因此有 : 1
(2n
1)
0 ,即
1 (2n 1) ,对随意正奇数 n 都建立．
9
3
3
又 因 为 { 1
(2
n
1)} 单一递加,
所 以 当 n
1 时 ， 1
( 2n 1)有最小值
3
3
1.
1 ........................1
2 分。

②当 n 为正偶数时，有 :
b n
S n
1 ( 2n 1)( 2n 1 1) 1 (2n 1 2) 0,
9
3
即: 1 (2n 1)(2n 1
1)
1 ( 2n 1 2) 0
9
3
即: 1 (2n 1)(2n 1
1)
2 (2n 1) 0 ,又由于 2 n 1 0
9
3
因此有 : 1 (2n 1
1)
2 0 ,即
1 (2n 1 1) 对随意正偶数 n 都建立 .
9
3
6
{ 1 (2n 1
1)} 单一递加 , 因此当 n
2 时， 1 (2 n 1 1) 有最小值 3
.
3 .............1
4 分。

6
6
2 2
综 上 所 述 ， 在 常 数 ， 使 得 b n S n
0 对 任 意 n N* 都建立， 的取值范围是
( ,1) ． .......16 分。

20.（本小题满分 16 分）
解: （1）由于 x
a 时 , f ( x) 4 x 4 2x a
，因此令 2x
t ,则有 0 t 2a ,因此
f ( x) 1当 x
a 时恒建立，可转变为
t 2
4
t
1，
2 a
即
4
t
1
在 t
(0,2a ) 上恒建立 , --------------------------------------2
分 .
2a
t
1
, t
1
令
g(t)
t
(0,2 a ) ,则 g' (t ) 1
0 ，------------------------------3 分 .
t
1
t 2
因此
g(t)
t
在 (0,2a ) 上单一递加 , -------------4 分 .
t 1 4 1
因此 g(t) g( 2 a ) 2 a ,因此有 : 2 a
a a a .
5 2 2 2
2a (2a ) 2 5
2a 5 -----------------------------------------5
分 .
2a
a log 2 5 .----------------------------6
分 .
（2）当 x
a 时， f (x) x 2 ax 1 ，即 f ( x)
( x
a ) 2 1 a 2 ,----------7 分 .
2
4
①当
a
a
a 0 时，此时对称轴在区间左边
,张口向上 ,因此 f ( x) 在 [ a,
) 单一递加 ,
2
因此
f ( x) min
f (a) 1 ；-------------------------------------------------8
分 .
②当
a
a
4 a 0 时 , 此时对称轴在区间内 ,张口向上 ,因此 f ( x) 在 [ a, a
) 单一递减 ,
2
2
在 ( a
,
) 单一递加 ,因此 f ( x) min
f ( a
) 1 a 2 .
2
2 4
a 2
因此由①②可得 : 当 x
a 时有 : f ( x) min
1 4 , 4 0 a
.---------- -----------9 分 .
1, a
当
x a
时 ，
f (x) 4x 4
2 x a
, 令
2x t
,
t
(0,2a )
，
则
h(t)
t 2
4
(t
2
)2
4
2
a t
2 a
4
a ,
③当 0
2 2
a 2 2a 2 a
1 时， h(t) 在 (0,
2
2
,2a
)
上单一递
2 a
2
a ) 单一递减， 在 (
a
2
2
增
h(t) min
h( 2
4
； ---------------------------------------10
分 .
2 a
)
4 a
④
当
2 2a
22 a 2a
1
时
，
h(t )
在
(0,2a )
单
调
递
2 a
2
减, ( ) ( ( 2a ), h
(0)) (4a
4,0)
h t h
因此 ,此时 , h(t ) 在 (0,2a
) 上无最小值 ; ---------------------------------------------11
分 .
x
a 时有 :当 a
1
h(t) min
4 ;
因此由③④可适当
时 , f (x) min 4a
2
当 a
1
------------- 12
分 .
时,无最小值 . -----------------
2
因此 ,由①②③④可得 :
当 a
1
4
1 ,因此函数 f ( x) min
4 ;---------------------------
13
分 .
时，由于
4a 4a
2 1
当 0
a 时， 由于 4a 4
0 1，函数 f (x) 无最小值 ; --------------------------------
14 分 .
2
当 4
a
0 时， 4a 4
3 1 a 2 ，函数 f ( x) 无最小值 .--------- ---------------- 15 分 .
4
综上所述，当 a
1
f ( x) 有最小值为
4
；当 4
a
1 f ( x) 无最
时，函数 4a
时，函数
2
2
小值．
因此函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值时，实数
a 的取值范围为 ( 1
,
) .--------- 16 分.
2
11。