高等代数复习纲要_63803670
高等代数主要内容
二、主要复习内容：1. 行列式行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法）。
重点：n阶行列式的计算。
2. 矩阵理论矩阵的运算，分块矩阵的初等变换与矩阵的秩，可逆矩阵与伴随矩阵，矩阵的三种等价关系（等价、合同、相似），矩阵的特征值和特征向量，矩阵的迹，矩阵的最小多项式，矩阵的对角化，矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实对称矩阵的正交相似分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称阵与反对称阵，幂等阵，幂零阵，对合阵，正交阵）。
重点：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，矩阵的三种等价关系的关系，矩阵对角化的判断（特别是多个矩阵的同时对角化问题）和证明，矩阵分解的证明及应用（特别是实对称矩阵的正交相似分解，Jordan 标准型的计算与有关证明）。
3. 线性方程组Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点：非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。
特殊方程组求解。
4.多项式理论多项式的整除，最大公因式与最小公倍式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，多项式函数与多项式的根。
重点：运用多项式理论证明有关问题，如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用；重要定理的证明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判别法，Gauss引理等，不可约多项式的证明。
5.二次型理论二次型线性空间与对称矩阵空间同构，化二次型为标准形和正规形，Sylvester惯性定律，正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质，正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点：正定和半正定矩阵的有关证明，n级方阵按合同关系的分类问题，实对称矩阵有关证明。
6. 线性空间与欧氏空间线性空间的定义，向量组的线性关系（线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组的求法，替换定理），基与扩充基定理，维数公式，坐标变换，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间的交与和（包括直和），内积和欧氏空间的定义及简单性质，子空间的正交补，度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，线性空间的同构。
浙江省考研数学复习资料高等代数重点知识点整理
浙江省考研数学复习资料高等代数重点知识点整理高等代数是浙江省考研数学复习中的重要内容。
为了帮助考生更好地准备考试，本文将对高等代数的重点知识点进行整理。
在准备阶段，考生可以根据本文给出的知识点进行系统有针对性的学习和复习。
1. 行列式和矩阵高等代数的基础知识之一就是行列式和矩阵。
行列式是一个非常重要的概念，在高等代数中应用广泛。
行列式的定义、性质及其求解方法都是考研中的常见问题。
考生需要掌握行列式的乘法、转置、逆等基本操作，以及行列式的性质和性质间的相互关系。
2. 线性空间和线性变换线性空间是高等代数中的核心概念，对于理解高等代数其他内容有着重要的作用。
线性空间的定义、子空间、基和维数等概念都是考研中的重点内容。
此外，线性变换也是高等代数中的重要内容，包括线性变换的定义、矩阵表示和变换性质等。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的重要概念，在矩阵和线性变换中都有广泛的应用。
考生需要了解特征值和特征向量的定义、性质，以及求解特征值和特征向量的方法和技巧。
4. 矩阵的相似和对角化矩阵的相似和对角化是高等代数中的重要内容，在矩阵的性质和应用中都具有重要意义。
考生需要了解矩阵相似的定义、性质，以及矩阵对角化的条件和方法。
对于给定矩阵是否相似，考生需要掌握相似判定的方法和步骤。
5. 线性方程组和矩阵的秩线性方程组是高等代数中的重点内容之一，考生需要了解线性方程组的基本概念和解的存在唯一性条件。
矩阵的秩是解线性方程组和矩阵运算的重要工具，考生需要掌握矩阵的秩的定义、性质和计算方法。
6. 正交性与正交变换正交性和正交变换是高等代数中的重要概念，具有重要的几何和物理意义。
考生需要了解正交性的定义、性质和判定方法，以及正交变换的定义、矩阵表示和变换性质等。
7. 线性相关性与线性无关性线性相关性与线性无关性是高等代数中的重要概念，与线性方程组、向量空间等内容密切相关。
考生需要了解线性相关性和线性无关性的定义、性质和判定方法，以及线性相关性与线性无关性的关系。
考研《高等代数》(学术学位)考试大纲
（3）初等矩阵与初等变换
掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，明确二者关系。能熟练进行矩阵的初等变换，能利用初等变换求解线性方程组，并能进行有关证明。
(4) 相似矩阵与矩阵合同
三、主要参考书目
1、《高等代数》（第三版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组著，高等教育出版社 2003 或之后版本
2、《高等代数（上下册）》（第二版），丘维声著，高等教育出版社，1999 或之后版本
硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
科目代码、名称:
专业类别：
■学术学位□专业学位
适用专业:
数学
一、基本内容
1、多项式
本部分要求掌握一元多项式及其整除问题、多项式函数、最大公因式、重因式和因式分解定理等有关概念和基本结论，能够进行多项式的有关计算和有关问题的证明。
2、行列式
（1）定义与性质
要求熟悉排列、逆序、对换等概念；理解行列式的定义；掌握行列式的性质。
9、欧几里得空间
掌握欧几里得空间的定义与性质，掌握内积、正交性、标准正交基的概念及有关计算方法，能证明有关性质和结论。
二、考试要求（包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等）
考试时间：180分钟
总分：150分
考试方式：笔试，闭卷
题型：填空题，计算与证明题
分数比例：填空题（60分）占40%，计算与证明题（90分）占60%。
（3）线性方程组解的结构
掌握线性方程组解的判定定理，会求有解的线性方程组的通解，熟练掌握线性方程组常用的解
法，并能证明有关结论。
4、矩阵
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一、《高等代数》的课程性质高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础课，是中学代数的继续和提高，但是又与中学代数有很大不同，表现在内容的深度和广度上，更主要表现在观点和方法上。
具体表现在内容的高度抽象性、推理的严密性和解题技巧的独特性。
本课程最活跃研究内容：数域上一元多项式理论、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换矩阵、欧氏空间和双线性函数。
方法的特点：在阐述上更强调一般性原则，广泛使用公理化方法，用结构化方法揭示代数系统的内部构造，用矩阵表示作为主线，受整体、统一思想的支配，逐步抽象出高等代数的各个基本概念，揭示代数研究问题的基本方法。
二、《高等代数》课程的教学目的和要求高等代数的教学目的要求是：通过本课程的学习，不仅要求学生掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能，而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。
培养学生整体思考问题的能力，使之理解代数思想、公理化方法，把握概念的内涵和外延，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工作打下坚实的基础。
三、《高等代数》课程的知识点与考核要求第一章：多项式1、考核知识点：（1）、一元多项式的定义、运算、性质，次数的定义和次数公式；（2）、多项式整除的定义，整除的性质，带余除法；（3）、最大公因子的定义、性质和求法；（4）、多项式互素的概念和性质；（5）、多项式的可约性，因式分解及唯一性定理，标准分解式；（6）、重因式的概念与判别法，求多项式重因式的方法；（7）、多项式函数、多项式根的概念，根的个数定理，多项式相等与根的关系，判别某数是多项式根的综合除法；（8）、复数域和实数域上不可约多项式的特征，因式分解定理；（9）、有理系数多项式是否可约的判别法，根与系数的关系，有理根的求法。
高等代数《高等代数Ⅱ》考试大纲
《高等代数Ⅱ》考试大纲一、考试要求与目的高等代数Ⅱ课程主要学习二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等基本理论与基础知识。
根据教学大纲，要求学生掌握二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间的基本理论、基本思想与方法，逐步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，使学生获得较熟练的演算技能与初步的应用能力，为后续专业课程的学习打下基础。
考试的目的是检查学生对基本知识、基本思想与方法、运算技能的掌握情况及对所学知识的运用能力。
二、考试内容第五章二次型1.掌握二次型的概念与二次型的矩阵表示，理解二次型的非退换线性替换的几何意义，掌握矩阵的合同关系与性质；2.掌握用非退化线性替换化二次型为标准形和规范形的配方法与合同变换法；3.掌握复二次型的规范形与实二次型的惯性定理，掌握复对称矩阵与实对称矩阵的合同标准形；4.掌握判断二次型为正定二次型与半正定二次形的方法，理解从对称矩阵的合同关系来等价分类的思想。
第六章线性空间1.理解线性空间的定义，会判断给定的集合关于指定的两种运算是否构成线性空间；2.掌握从定义出发判断和证明向量组的线性相关性，掌握基的定义与等价条件；掌握一些重要的线性空间（特别 n 维向量空间）的基与维数；3.掌握基变换的过渡矩阵概念与求法，掌握同一个向量在两组不同基下的坐标变换公式；4.掌握子空间的判别条件及几个重要子空间的例子与生成子空间的概念与相关结论；5.掌握子空间的交与和两种运算及运算律，熟练维数公式；6.掌握直和的等价条件；7.理解同构的思想，等价分类的思想，直和分解的思想。
第七章线性变换1.理解和掌握线性线性变换的概念与简单性质，掌握一些典型线性空间的例子；2.掌握线性变换的加法、数量乘法、乘法的运算规则与运算律，理解可逆线性变换的概念与性质，掌握线性变换的多项式的概念与运算性质，理解解线性变换之间的关系可通过运算表示；3.理解线性变换由基的像唯一确定，掌握线性变换在一组基下的矩阵概念与求法，掌握线性变换与矩阵的同构对应定理，掌握线性空间的全体线性变换在定义了加法、数乘（和乘法）运算后构成线性空间（代数），掌握相似矩阵的概念、性质与几何意义.4.掌握线性变换与矩阵的特征值与特征向量的概念与求法，掌握线性变换特征多项式的系数与线性变换特征值、行列式的关系，掌握矩阵在相似关系下的不变量，理解Hamilton-Caylay 定理；5.掌握线性变换与矩阵可对角化的等价条件；6.理解线性变换的核与值域的概念，掌握线性变换的秩与零度公式，熟练掌握用核空间和像空间刻画单满线性变换；7.理解不变子空间的概念、常见例子与结论，理解线性变换在不变子空间上的限制变换，理解线性空间分解成不变子空间的直和与矩阵根据成准对角阵是等价的；8. 了解矩阵的Jordan 标准形；9. 掌握最小多项式的概念、性质与求法，掌握线性变换的特征多项式与最小多项式的关系；理解线性变换可对角化与线性变换的最小多项式的关系；10.学会在同构意义下线性变换的命题和矩阵的命题之间的相互转化。
浙江省考研数学复习资料高等代数重点知识点梳理
浙江省考研数学复习资料高等代数重点知识点梳理高等代数是数学的一门重要分支，对于准备参加浙江省考研的学生来说，掌握高等代数的核心知识点是至关重要的。
在本文中，我们将梳理出浙江省考研数学复习资料高等代数的重点知识点，希望能够帮助到广大考生。
1. 矩阵和行列式1.1 矩阵的定义和基本运算1.2 矩阵的逆和转置1.3 矩阵的秩和行列式1.4 线性方程组的解法2. 向量空间2.1 向量空间的定义和基本性质2.2 子空间和线性无关性2.3 向量空间的维数2.4 线性变换和矩阵的相似性3. 线性方程组3.1 线性方程组的基本概念3.2 线性方程组的解法3.3 齐次线性方程组和非齐次线性方程组3.4 齐次线性方程组的解空间和非齐次线性方程组的特解4. 特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义和性质4.2 对角化和相似对角化4.3 线性算子和矩阵的Jordan标准型4.4 对称矩阵和正交对角化5. 矩阵的奇异值分解5.1 奇异值分解的定义和性质5.2 奇异值与矩阵的秩5.3 奇异值分解的计算方法5.4 应用举例：图像压缩以上是浙江省考研数学复习资料高等代数的重点知识点梳理。
在复习过程中，考生应该注重掌握这些核心知识，理解其概念和基本性质，并能够熟练应用于解题过程中。
此外，建议考生在复习过程中多做一些习题和真题，加深对知识点的理解和掌握。
同时，还可以参考一些相关的教材和复习资料进行系统学习。
通过反复练习和巩固，相信考生们一定能够顺利备战浙江省考研数学高等代数部分，取得理想的成绩。
希望本文能够对广大考生在浙江省考研数学复习资料高等代数的学习中提供一些帮助和指导。
祝愿大家都能取得优异的成绩，顺利实现考研的目标！。
研究生考试大纲研究生考试7.《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一、课程简介高等代数是数学专业的基础课之一。
主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。
本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。
既有较强的抽象性和概括性，又具有广泛的应用性。
对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。
二、考查目标主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。
三、考试内容及要求第一章多项式一、考核知识点1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。
2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。
3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。
4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。
5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。
6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。
7、掌握本原多项式的概念。
熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。
熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。
熟练掌握Eisenstein 判别法及应用。
二、考核要求识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理, 整除的概念和常用性质，带余除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，本原多项式的概念、性质，Eisenstein判别法。
简单应用：1、会求解或证明最大公因式。
2、会求有理系数多项式的有理根。
第二章行列式一、考核知识点1、掌握排列、逆序数、奇排列、偶排列的概念，熟悉对换的概念和性质。
2、深刻理解n级行列式的概念。
会用定义确定行列式各项的符号及简单行列式的值。
3、熟练掌握行列式的性质，并利用行列式性质计算行列式。
高等代数复习提纲
高等代数复习提纲一． 多项式1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用2. 不可约多项式,标准分解式，特别是实数域和复数域情形。
3. 根与标准分解式(复数域）,重因式判定。
4. 有理根计算。
Eisenstein 判别法变形运用。
二． 行列式基本性质与算法, 行列式仅是后继高代内容的研究工具。
三． 线性方程组核心内容。
线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。
1. 消元法:初等行变换是代数最基本方法。
2. 向量组线性相关性概念,秩的计算，矩阵非零r 级子式计算,极大无关组的求法。
3. 方程组三种等价形式的运用。
4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。
5. 解的结构与极大无关组。
四． 矩阵1. 矩阵乘积的秩。
2. 逆矩阵计算3. 初等变换与初等矩阵:左乘变行,右乘变列。
4. 分块的思想：与矩阵乘积,方程组关系等。
五． 二次型1. 二次型几何意义。
2. 二次型矩阵,标准型计算。
合同概念。
3. 规范形几何意义。
特别是实二次型。
4. 正定性的判定。
与向量内积关系等:例如: ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解,其中A 不必是方阵。
六 线性空间１. 线性空间定义。
2. 基（维数)，坐标，同构.n V P ≅3. 向量组线性相关性判定⇔同构坐标向量组相关性⇔ 线性方程组。
４. 子空间的交与和基的计算，维数公式。
5. 直和：交为{0}.七．线性变换1. 线性变换矩阵表示:线性变换=矩阵(基固定）,这一相等保持线性关系和乘积,从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。
2. 基变换前后矩阵相似。
３. 特征值,特征向量的计算和性质。
注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标!４．可对角化判定。
值域与核的基的计算，“维数公式“。
八.λ矩阵１. 初等变换注意事项。
2. 标准型计算:简便算法。
３．行列式因子，不变因子,初等因子，Joｒｄaｎ块之间对应关系。
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，涉及到许多抽象的概念和方法。
对于许多学生来说，高等代数的学习是一项挑战，需要他们具备扎实的数学基础和深入的思维能力。
为了帮助学生更好地复习高等代数，本文将介绍一些复习资料和方法。
一、教材和课堂笔记首先，复习高等代数的最基本资料就是课本和课堂笔记。
在课堂上，学生应该认真听讲，做好笔记，将老师讲解的重点和关键概念记录下来。
同时，课本也是学生复习的重要参考资料，学生可以结合课堂笔记和课本内容进行复习。
二、习题集和练习册除了课本和课堂笔记，习题集和练习册也是复习高等代数的重要资料。
通过做大量的习题，学生可以加深对知识点的理解和掌握。
在选择习题时，学生可以根据自己的复习进度和难度选择适当的题目，先从基础题开始，逐渐过渡到难度较大的题目。
三、参考书和教学视频除了教材和习题集，学生还可以借助一些参考书和教学视频来进行复习。
参考书通常会对课本内容进行更加详细的解释和补充，有助于学生对知识点的理解。
教学视频则可以通过图文并茂的方式展示知识点，加深学生的印象。
学生可以根据自己的喜好和学习风格选择适合自己的参考书和教学视频。
四、网络资源和学习社区互联网的发展为学生提供了丰富的学习资源。
学生可以通过搜索引擎找到许多关于高等代数的学习资料，如教学视频、课件、习题解析等。
此外，许多学习社区也提供了讨论和交流的平台，学生可以在这些社区中与其他学生和老师交流心得和问题，互相帮助。
五、创造性的学习方法除了以上提到的常规复习资料，学生还可以尝试一些创造性的学习方法。
例如，可以尝试将高等代数的概念和方法应用到实际问题中，通过解决实际问题来加深对知识点的理解。
此外，学生还可以尝试将高等代数的知识与其他学科进行结合，例如物理、经济学等，来拓宽自己的思维。
六、定期复习和总结最后，定期复习和总结也是复习高等代数的重要环节。
学生应该合理安排时间，定期回顾已学的知识，巩固记忆。
大一高代复习知识点
大一高代复习知识点为了帮助大家复习高等代数的知识点，本文将对大一高代的重点内容进行总结和讲解，包括矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面的知识。
希望本文能够帮助大家对高等代数的知识点有一个更深入的理解。
1. 矩阵(Matrix)1.1 矩阵的定义与性质矩阵是数的一个矩形阵列，由m行n列的数排成的矩形数表称为m×n矩阵。
矩阵的元素一般用a_ij表示，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示第i行第j列的元素。
常见的矩阵有零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法和转置等。
矩阵加法满足交换律和结合律，数乘与矩阵乘法满足分配律。
矩阵的转置是将矩阵的行与列交换得到的新矩阵。
2. 行列式(Determinant)2.1 行列式的定义和性质行列式是一个标量，用于表示一个正方形矩阵的某些特征信息。
行列式的定义是一个对于n阶方阵而言的递归定义。
行列式有一些性质，如行列式与其转置行列式相等，交换行列式的两行（列）改变行列式的符号等。
2.2 行列式的性质与计算方法行列式的性质包括行列式性质与计算公式等。
行列式的计算方法有拉普拉斯展开法、行列式按行（列）展开法等。
拉普拉斯展开法是通过将行列式按某一行（列）展开，并用余子式和代数余子式来进行计算。
3. 向量(Vector)3.1 向量的定义与性质向量是有向线段，并且具有方向和大小。
向量可以表示为一个由起点和终点确定的有方向的线段，用a表示。
向量的大小称为模，用∥a∥表示。
向量的相加可以用平行四边形法则进行表示。
3.2 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘与向量加法满足分配律。
向量的数量积也是向量的一种运算，它表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
4. 线性方程组(Linear Equations)4.1 线性方程组的定义与性质线性方程组是一个或多个未知数的一组线性方程组成的方程集合。
高等代数学习提纲2
r为M的基，则M=L(1 , r ) 且当dimV=n>r时， r 1 , n使1 , r , r 1 , n构成V的基。
M 2 及M1 +M 2仍为V的子 M 2 ={0} M2 ) 空间， M1 M 2一般非V的子空间（除非M1 M 2或M 2 M1）；
二次型
9. 二次型的惯性定律 10. 设二次型f(X)=XAX， 则 f>0 f的标准形的系数全为正数 A=TT(T为可逆) A的特征值全为正数 A的顺序主子式全为正数
Euclid 空间
11. 长度定理与Cauchy-schwartz不等式 12. 设1 , (2) G>0 (3) 若1 , (y1 , 13.(1) 1 , , n为V的另一组基,G为1 , ,yn )=(1 , , n )T,则G=TGT ,n的度量矩阵, , n为Euclid 空间V的基,G为1 , , n ) X , =(1 , (1) =(1 , , n的度量矩阵 , n ) Y V ( , )=XGYFra bibliotekn A
给定方阵属于不同特征值的特征向量线性无关
8. 设V为n维线性空间， A为V上的线性变换 1 0 A在基 1 , , n下的矩阵为 A有n个线性无关 0 n 的特征向量1 , , n ；1 , , n 恰为对应的特征值。 若1 , , k 为A全部两两不同的特征值，则A可对角化 Vk V=V1
5．方阵的Jordan标准形
• 线性变换的循环列与线性空间的循环不变子空间 • 循环幂零线性变换与Jordan块 • 方阵的Jordan标准形
二．基本性质
㈠ 线性空间的子空间 ㈡ 线性空间之间的线性映射/变换 ㈢ 二次型 ㈣ Euclid空间 ㈤ 方阵的Jordan标准形
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一、课程目标1．课程性质高等代数是高等院校数学专业（基础数学，应用数学，概率统计和信息专业）的三门最主要基础课之一，对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养，以及后继课程的学习起着非常重要的作用。
本课程内容包涵：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型、欧氏空间和多项式理论。
行列式是高等代数的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵秩及向量组线性相关性、特征值等方面都要用到。
而线性方程组的理论在数学各分支及其它许多领域有着广泛应用。
矩阵及矩阵的运算是高等代数主要内容之一，是数学及许多科学领域的重要工具，也有广泛应用。
二次型在数学其它分支和物理、力学、工程技术中也常常用到。
多项式理论是高等代数的重要内容之一。
虽然它在整个高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。
多项式理论中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常要用到。
线性空间是研究规定了加法，数乘的抽象集合的公共性质。
具有高度的抽象性和应用的广泛性。
对培养学生的抽象思维，有很好的帮助。
线性变换，又是反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联系。
线性变换的运算、矩阵表示，特征值特征向量又是使抽象概念具体化。
欧氏空间是把线性空间引入度量，因而是几何空间的一种推广，从而产生了长度夹角，使其更接近几何空间，并有更丰富的内容与方法。
总之，通过教学使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养解决实际问题的能力，打好坚实的数学基础十分重要。
二、课程结构1．行列式（14学时）知识点：数域、排列、行列式定义、行列式性质、行列式计算、行列式按行展开和拉普拉斯（Laplace）展开定理、克莱姆法则重点：n阶行列式计算、Laplace展开定理难点：排列、n阶行列式定义2．矩阵（18学时）知识点：矩阵的运算（包括加法、数乘和乘法）矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆。
(精品)高等数学复习纲要
《代数》辅导纲要第一章 代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。
2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。
3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+.7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =⨯1;②：a b a b a +⨯=⨯'8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b<a.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M 若满足：(1))2(;1M ∈如果a 属于M,则它后面的数a ’也属于M.则集合M 含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m ，|B|=n ，则A →B 的所有不同映射的个数为m n 。
12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。
13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。
14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。
15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。
16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。
高等代数(下)复习提纲.
高等代数（下）复习提纲课程考试大纲一．课程考核方法与命题要求：本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
其中选择8个小题，填空5个小题，计算3个小题，证明2个小题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）二．课程内容与考核要求：第六章向量空间1．知识范围：本章主要介绍了向量空间，子空间，向量的线性相关性，极大无关组，向量空间的基和维数，坐标等概念，并研究了基变换与坐标变换之间的关系，同时还介绍了关于子空间的几种运算，最后介绍了线性空间的同构概念，矩阵的秩和齐次线性方程组的解空间。
2．考核要求：熟练掌握向量空间，子空间，生成元，子空间的和，子空间的直和，维数，基，坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，理解向量空间的性质，子空间的判定及性质，直和的判定，基变换与坐标变换理论，同构映射的性质，同构的判定。
齐次线性方程组解的结构。
3．考核知识点：向量空间，子空间，生成子空间维数的确定，向量的线性相关性，极大无关组的求法，求向量的坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，求齐次线性方程组的基础解系。
第七章线性变换1．知识范围：本章主要介绍了线笥映射，线性变换的概念，运算，及线性变换的矩阵，一个线性变换的特征值与特征向量，化一个矩阵为对角矩阵的方法(若可以对角化)，矩阵的相似，不变子空间等知识。
2．考核要求：深入理解线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，熟练掌握特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，矩阵的相似，理解不变子空间。
高等代数复习提纲
高等代数复习提纲第五章二次型5、1、二次型及其矩阵表示5、1、1、二次型的定义、二次型的矩阵(就是对称矩阵)及矩阵表示、注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比、5、1、2、二次型的非退化线性替换的定义;经非退还线性替换后,新老两个二次型的矩阵的关系(会推导)、5、1、3、矩阵合同的定义、注: 为什么要引入该定义?5、2、标准形5、2、1、二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同、5、2、2、配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵、5、3、唯一性5、3、1、复二次型的规范形、5、3、2、实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性与唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义、实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?)、5、3、3、复对称矩阵与实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5、4、正定二次型5、4、1、实二次型与实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定、5、4、2、正定矩阵的一些等价条件:(1) 正定矩阵的定义;(2) 合同于单位矩阵;(3) 所有顺序主子式大于0;(4) 所有特征值大于0、正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0;(3)所有主子式都大于0、注:这些等价、必要条件的推导、还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性、5、4、3、列举出一些半正定矩阵的等价条件与必要条件、第六章线性空间6、1、集合映射单射、满射、双射的定义及证明;可逆映射的定义及等价条件(即双射)、6、2、线性空间的定义与简单性质线性空间的定义,即非空集合,加法运算与数乘运算(封闭),8条运算规则、6、3、维数、基与坐标6、3、1、维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标)、6、3、2、一些常见空间的基与维数,例如nP,[]nP x,s nP?,n nP?中全体对称(反对称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等、6、4、基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵,一个向量在不同基下的坐标之间的关系(会推导)、注: (1)要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的坐标;(2) P271的习题2、6、5、线性子空间6、5、1、线性子空间的定义及判定(如何判定？)、6、5、2、生成子空间的定义、维数、基(如何求？)、6、5、3、扩基定理、与第九章的扩充为正交基进行对比、书上哪些定理的证明与习题的证明用到扩基定理？6、6、子空间的交与与6、6、1、交空间、与空间的定义以及这两子空间的元素的特征、6、6、2、会求两个生成子空间的交空间、与空间、6、6、3、维数公式(会证明)及其应用、6、7、子空间的直与6、7、1、子空间的直与的定义(为什么要引入该定义？)、6、7、2、两个子空间的与就是直与的判别条件(列举出4个,并知道哪些就是常用的)、6、7、3、如何证明12V V V =⊕？6、7、4、多个子空间就是直与的判别条件(列举出3个,并会证明)、6、7、5、余子空间的定义与构造、(余子空间就是否唯一？与正交补进行比较) 6、8、线性空间的同构线性空间同构的定义,并会用该定义证明两线性空间同构,会构造V 与n P 之间的同构映射,知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等、、第七章线性变换7、1、线性变换的定义线性变换的定义(熟记),列举出一些线性变换的简单性质并会证明、7、2、线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律;线性变换的多项式、注:与矩阵的相应运算进行比较、7、3、线性变换的矩阵7、3、1、任意n 个向量可唯一确定一个线性变换(如何确定？见P283 定理1)、 7、3、2、线性变换在某组基下的矩阵的定义,线性变换与矩阵的对应关系:线性变换的与、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的与、差、数乘、乘积、逆,单位变换、零变换分别对应单位矩阵与零矩阵(会用数学式子表示这种对应,会推导)、 7、3、3、向量ξ的坐标与A ξ的坐标之间的关系,同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(会推导)、7、3、4、两个矩阵相似的定义(为什么引入该定义？),如何判别两个矩阵相似？ 7、4、特征值与特征向量7、4、1、线性变换与矩阵的特征值与特征向量的定义(为什么要引入该定义？)、如何求线性变换与矩阵的特征值与特征向量？线性变换与矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？(掌握求特征值与特征向量的步骤)7、4、2、线性变换与矩阵的特征多项式的定义、相似矩阵有哪些相似不变量,例如:行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等因子等、7、4、3、哈密顿-凯莱定理及其应用(例如:P309定理12,P326习题3),矩阵的迹的定义,列举出一些矩阵迹的性质(例如:、迹就是所有特征值的与;tr(AB)=tr(BA);2()(')tr A tr AA ≤)、 7、5、对角矩阵7、5、1、矩阵特征值特征向量的一些性质(不同特征值的特征向量线性无关;实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交;属于不同特征值的特征向量的与不就是特征向量)7、5、2、列举出矩阵可对角化的一些充要条件与一些充分条件、充要条件:(1)有n 个线性无关的特征向量;(2)所有特征值的重数与其几何重数相等(特征值λ的几何重数指的就是()0E A X λ-=的基础解系所含解向量的个数);(3)最小多项式没有重根;(4)初等因子都就是1次因式、7、5、3、若矩阵可对角化,如何对角化？7、6、线性变换的值域与核7、6、1、线性变换的值域与核的定义、值域与核就是子空间,它们中的元素有什么特征？7、6、2、值域如何用生成子空间来表示？值域的维数(线性变换的秩)与线性变换的矩阵的秩的关系如何？,值域的维数与核的维数(线性变换的零度)的与为多少？并会证明这两种关系、7、7、不变子空间7、7、1、不变子空间的定义、线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一个线性变换,该限制与原变换之间的区别就是什么？举出一些特殊的不变子空间、7、7、2、会用定义证明一个子空间就是一个线性变换的不变子空间、7、7、3、不变子空间在矩阵A 相似于一个准对角矩阵方面的应用、7、8、若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义,任何方阵都唯一存在若尔当标准形,即相似于一个若尔当矩阵、7、9、最小多项式最小多项式的定义,性质,求法,与不变因子的关系,应用、第八章λ-矩阵8、1、矩阵A 的特征矩阵及其初等变换,数字矩阵相似的条件,A 的不变因子、行列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系,以及若尔当标准形的求法、 8、2、A 的有理标准形的求法、8、3、利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A 相似于一个若尔当矩阵证明某些命题、第九章欧几里得空间9、1、定义及基本性质9、1、1、内积的定义及其简单性质,欧式空间的定义,向量的正交的定义,会求向量的内积、长度、夹角、9、1、2、柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式,勾股定理(会推导)、 9、1、3、内积的矩阵表示(会推导)9、1、4、基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质(正定),不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系(合同)(会推导)、9、2、标准正交基9、2、1、标准正交基的定义,如何判定一组基就是标准正交基？标准正交基的度量矩阵,内积在标准正交基下的矩阵表示、9、2、2、正交向量组扩充为正交基(或单位正交向量组扩充为标准正交基)的应用(书上有哪些结论的证明与习题的证明用到了该性质？)9、2、3、掌握施密特正交化过程及相应的向量表示,即:1212(,,,)(,,,)n n T ηηηεεε=L L其中12,,,n εεεL 就是任一组基,12,,,n ηηηL 就是由12,,,n εεεL 经施密特正交化后得到的标准正交基,矩阵T 就是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。
高代第1-2章总复习
数学科学学院2010 /2011学年（下）学期《高等代数(1)》总复习资料第一章基本概念一、本章小结这一章五节所讨论的四个方面的内容:既有复习、归纳、整理的意思,又有在原有的基础上提高的意思,并为今后的学习作了必要的准备.第一个问题,即第一节所讲的集合及运算是数学中的基本内容之一,这不仅是以后学习做了必要的准备,而且也为从整体上去考虑问题树立了一个初步的理念.第二个问题,即第二节所讲的映射,是高等代数中的另一个基本概念之一,尤其是其中的逆映射概念及其性质,是我们后序章节中利用和重点讨论的对象.第三个问题即第三节所讲的自然数集的最小数原理为根据所导出的数学归纳法,是数学中常用的证明问题的方法.第四个问题,即第四节所讲的从整数集合除法不能施行而导出了整数的带余除法和因数分解理论,这不仅复习了数的基础知识,而且也是第二章讨论多项式的整除性和因式分解理论提供了一个模式,甚至于把整数的整除性和因数分解理论平行迁移到多项式中去,很容易地就得出多项式的整除理论和因式分解理论,这为学好多项式理论奠定了基础.第五个问题,即第五节所讲的数域和数环,让我们形成一个理念,运算是代数学的基本课题.能够进行某种运算是一个数集的重要特性,特别是能够进行四则混合运算的数集对我们来说尤其重要,我们把它称为数域.以后各章节所用的数都是数域中的数.最后我们澄清了复数中的比较大小问题.二、本章的基本概念集合、子集、交集、并集、差集、笛卡儿积集；代数运算；整数与因数，最大公因数、最小公倍数；互质(互素)，质数；数环与数域.三、本章的主要结果1．自然数的最小数原理;2．第一、二数学归纳法原理;3．整数整除的性质;4.带余除法定理;5．最大公因数的性质:(1)若(,),,,;d a b then u v Z ua vb d =∃∈+=(2)若(,),|,|,|.d a b c a c b thenc d =且(最大公因数的定义). 6．互质(互素)的基本性质:(1)(,)1,,1a b u v Z ua vb =⇔∃∈+=;(2) |,(,)1|a bc a b a c =⇒;(3) 121212|,|,(,)1|a b a b a a a a b =⇒;7.质数的基本性质:(1) 若p 是一质数,那么它与任一整数a 只有两种关系:|,(,)1p a or a p =;(2) 若p 是一质数,|,p ab 那么|p a 或者|p b ,其中,a b 为任意整数;(3) 若p 是一质数,12|...,s p a a a |i p a 某一.8.因数唯一分解定理;9.标准分解式的意义(1)设整数a 的标准因数分解式为:1212...,r m m m r a p p p =那么整数b 是a 的正因数的充分必要条件是:1212...r l l l r b p p p =,其中0,1,2,...,i i l m i r ≤≤=;(2)设整数,a b 的标准因数分解式分别为:12121212......,t t t r m m m m m m t t t r a p p p q q q ++++=12121212......t t st n n n n n n t t t s b p p p q q q ++++= 其中(1,2,...,),(1,2,...,),(1,2,...,)i i i p i t q i t t r q i t t s ==++=++都是两两不同的质数.令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i t ==,则整数(,)a b 就是1212(,)...t l l l t d a b p p p ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则整数[,]a b 就是121212121212[,].........t t st t t r n n n k m m k k m t t t r t t s a b p p p q q q q q q ++++++++=. 而且我们有(,)[,]a b a b ab =.注1 在不考虑相伴数的前提下,两个整数的最大公因数和最小公倍数是唯一的.注2 这里给出的最大公因数和标准因数分解式的意义,在第二章讨论一元多项式理论时可以平行地加以迁移.10.数域的基本性质:任何数域都包含有理数域,或者说有理数域是最小的数域;11.质数有无穷多个.12.设整数,a b 不全为0,且11,,0.a a d b b d d ==>则11(,)1(,)a b a b d =⇔=;13.空集是任意集合的子集!14.以有限集合的子集为元素所构成的集合:集合的幂集,注意其元素的个数的记数方法:四、本章的主要方法1.数学归纳法;2.辗转相除法.五、本章的主要运算及题型1.利用数学归纳法证明与自然数有关的命题;2.利用集合等相关的定义,证明集合运算的基本性质;3.两个集合相等的证明方法;4.单射、满射及可逆映射的证明方法;5.最大公因数的判定、计算及证明方法;6.互素的证明.五、典型例题及补充习题例1 试用数学归纳法证明:)14(31)12(...53122222-=-++++n n n . 例2已知},|2{1Q b a b a F ∈+=与},|3{2Q b a b a F ∈+=都是数域,其中Q 是有理数域,试证明21F F ≠.例3已知,f g 都是R R →的映射,其中2:|sin ,:|cos 1,f x x g x x x R →→+∀∈试分别写出(),(),()f g x g f x f R注3 复习课后习题及作业.第二章 多项式理论一、本章小结这一章用八节讨论一元多项式的理论,前六节是在一般数域上讨论一元多项式的整除性、带余除法、因式分解的理论和根等问题.第七、八节是在具体数域上讨论一元多项式的因式分解和根的求解问题. 从本章的内容来看,整除是基础,中心问题是多项式的因式分解,而因式分解与根是紧密联系的.因此学习这一章要紧紧抓住整除、分解、根这三个问题及其联系.第四节的因式分解定理充分体现了这一点.最后两节介绍了多元多项式的基本概念和运算,重点讨论了对称多项式的基本理论以及它的应用.多元多项式是一元多项式的发展,而一元多项式又是多元多项式的特殊情形.因而一元多项式理论是多元多项式的基础.值得注意的是:对称多项式理论在中学数学的教学中具有非常广泛的应用.二、本章的基本概念一元多项式、多项式的整除、带余除法、商式、余式、最大公因式；多项式的互质、不可约多项式、重因式、多项式的导数、多项式的典型分解式、多项式函数与多项式的根、本原多项式;多元多项式、多元多项式的字典排列法、对称多项式、齐次多项式、初等对称多项式.三、本章的主要结果1．整除的基本性质、多项式的带余除法定理:()()()(),()()()0f x g x q x r x r x g x or r x =+∂<∂=;2．最大公因式的性质：(1)若()((),()),(),()[],()()()()();d x f x g x then u x v x F x u x f x v x g x d x =∃∈+= 注意 (),()[]u x v x F x ∈不是唯一的!(2)若()((),()),()|(),()|(),()|().d x f x g x c x f x c x g x then c x d x =且(最大公因式的定义);3．两个多项式互素的充分必要条件,即:((),())1(),()[],()()()()1f x g x u x v x F x u x f x v x g x =⇔∃∈+=.4．互素多项式的两个基本性质:(1)若()|()(),((),())1,()|()f x g x h x f x g x then f x h x =;(2)若121212()|(),()|(),((),())1,()()|()f x g x f x g x f x f x then f x f x g x =.5.不可约多项式的基本性质:(1)若()p x 是不可约的,那么它与任一多项式()f x 只有两种关系:()|(),((),())1p x f x or p x f x =.(2)若()p x 是不可约的,且()|()(),()|(),()|()p x f x g x then p x f x or p x g x .(3)若()p x 是不可约的,且12()|()()(),()|()s i p x f x f x f x then p x f x 某一.6.重因式定理: 若()p x 是()f x 的k 重不可约因式,则()p x 是'()f x 的1k -重;因式.由此可得: ()f x 没有重因式((),'())1f x f x ⇔=.7.余式定理;8.因式唯一分解定理;9.数域F 上的n 次多项式在F 中最多有n 个根;10.代数基本定理:n 次多项式在复数域C 中恰好有n 个根(重根按重数计算);11.在复数域C 中,任一n 次多项式可以唯一分解为一次不可约多项式的乘积;12.韦达公式;13.虚根成对定理;14.在实数域R 中,任一n 次多项式都可以唯一分解为一次与二次不可约多项式的乘积;15.整系数多项式在有理数域Q 上可约的充分必要条件是它在整数环上可约;16.艾森斯坦因判断法;注意:这种方法只是给出了一种判断有理系数多项式不可约的充分条件!17.若有理数,(,)1r r s s=是整系数多项式 120120()...,(0)n n n n n f x a x a x a x a a a --=++++≠的根,则0|,|.n r a s a18.典型分解式的两个重要应用:(1)设多项式()f x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r m m m r f x ap x p x p x a =≠为多项式()f x 的首项系数,其中0,(),1,2,...,i i m p x i r ≥=均为给定数域上的互不相同的且首项系数为1的不可约多项式;同时设另一个多项式()g x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r n n n r g x bp x p x p x b =≠为其首项系数;那么多项式()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是,1,2,...,i i m n i r ≥=;(2)设多项式(),()f x g x 的标准因式分解为:12121212()()()...(),()()()...()r r m m m n n n r r f x ap x p x p x g x bp x p x p x ==令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i r ==,则((),())f x g x 就是1212()((),())()()...()r l l l r d x f x g x p x p x p x ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则[](),()f x g x 就是[]1212(),()()()...()rk k k r f x g x p x p x p x = 且当1a b ==时,我们有((),())[(),()]()()f x g x f x g x f x g x =.注1 在不考虑相伴多项式的前提下,两个多项式的最大公因式和最小公倍式是唯一的.注2 这里给出的最大公因式和标准因式分解的意义,是第一章讨论的整数的最大公因数与因数分解相关结论的平行地迁移.19.首项定理;20.和与积的次数定理;21.对称多项式基本定理;四、本章的主要方法1.多项式的带余除法;2.辗转相除法;3.分离重因式法;4.综合除法;5.关于整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因判断法;6.求整系数多项式的有理根的方法;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式两种方法：(1)首项除首项的方法;(2)适用于齐次对称多项式的待定系数法.*8.分母有理化方法.五、本章的主要运算及题型1.多项式的带余除法计算:()()()()f x g x q x r x =+;注意:在这一章,多项式的带余除法计算是最基本的运算,是各类其他运算的基础.2. 利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式()((),())d x f x g x =以及[]F x 中的(),()u x v x ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+.3.两个多项式互质的证明;4.最大公因式的判定、计算及证明方法;5.重因式的判定及计算;6.有理根的判定及计算;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式;五、典型例题及补充习题例1设F 为有理数域,且设,951624)(234++--=x x x x x f 452)(23+--=x x x x g .求出F 上的多项式)(),(x v x u ,使得())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+.解 对)()(x g x f 与施行辗转相除法,得到以下一串等式:),936(2)()(2+--+⋅=x x x x g x f211()(639)(1),33g x x x x x ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭ )1)(96(9362+-+=+--x x x x ,由此得出()1)(),(-=x x g x f .进而可得2211111(639)()[()()2]()3333111()(223)()333x x x x g x f x g x x x g x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=--+-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭由此可以推得)322(31)(,3131)(2--=+-=x x x v x x u . 注 3 利用多项式带余除法求两个多项式的最大公因式可以任意改变被除式与除式的系数,但求满足等式())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+的(),()u x v x 时,则不能任意改变其中的系数.例2试求以()()x a x b --除多项式()f x 所得的余式,其中.a b ≠解 令()f x 为一n 次多项式，被()()x a x b --除所得的余式或者为一次多项式或者为常数.令(),()()()()()r x Ax B then f x x a x b q x r x =+=--+.因而(),().f a Aa B f b Ab B =+⎧⎨=+⎩ 解得:11[()()],[()()].A f a f b B af b bf a a b a b=-=---所以 11()[()()][()()].r x f a f b x af b bf a a b a b=-+--- 例3求多项式5432()57248f x x x x x x =-+-+-在有理数域、实数域和复数域上的典型分解式.解 多项式可能的有理根为：1,2,4,8±±±±；由综合除法可知,2是多项式的3重根.在有理数域上：543232()57248(2)(1)f x x x x x x x x x =-+-+-=-++ 在实数域上：32()(2)(1)f x x x x =-++在复数域上：311()(2)22f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例4 证明:如果(),()f x g x 不全为零,且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x += 那么((),())1u x v x =.证明 设()((),())d x f x g x =,且11()()(),,()()()f x d x f x g x d x g x ==.由题意可知(),()f x g x 不全为零,所以多项式()0d x ≠.因而由()()()()u x f x v x g x f x gx +=得11()()()()1u x f x v x g x +=,所以((),())1u x v x =. 证毕 例5设(),()f x g x 为数域F 上多项式,证明()(),()1f x g x = 的充分必要条件是()()(),()()1f x g x f x g x +=.证明 必要性 ((),())1f x g x =,则(),()u x v x ∃,使得()()()()1u x f x v x g x +=所以有(()())()()(()())1u x v x f x v x f x g x -++=,()(()())(()())()1u x f x g x v x u x g x ++-=即((),()())f x f x g x +=((),()())g x f x g x +=1,再从互素的性质可得 (()(),()())1f x g x f x g x +=.充分性 显然(略) 证毕例6证明:α是多项式()f x 的k 重根的充要条件是:(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.证明 必要性 设α是多项式()f x 的k 重根,则有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x ,从而α是多项式'()f x 的1k -重根,是多项式''()f x 的2k -重根,…,(1)()k f x -的单根,但α不是多项式()()k f x 的根.故有(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.充分性 若(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.则必有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .事实上,由()'()0,f f αα==知()x α-是()f x 的重因式,设其重数是m ,于是有()()(),m f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .若m k >,则有()()0k f α=,与已知矛盾; 若m k <,则有(1)()0k f α-≠,与已知矛盾; 故m k =,即α是多项式()f x 的k 重根. 证毕基础练习1、设F 上一个数域,()[],,,0.f x F x a b F a ∈∈≠证明()f x 在数域F 上不可约的充分必要条件是:多项式()()g x f ax b =+在F 上不可约.2、设1()()()f x d x f x =,1()()()g x d x g x =.证明：如果((),())()f x g x d x =,且()f x 和()g x 不全为零,则11((),())1f x g x =.3、求多项式5432221228226x x x x x +----的有理根.4、请把n 元对称多项式3123x x x ∑表示成初等对称多项式的多项式.。
《高代》复习提纲)
第四章矩阵矩阵在本课程中起者承上启下的作用。
尤其是以下几章的学习有重要作用。
矩阵是代数研究对象的进一步扩充。
要求：1．掌握矩阵的加法和乘法的条件、方法和运算规律；掌握数与矩阵的乘法、矩阵的转置的运算规律。
2．掌握初等矩阵的定义、初等矩阵与矩阵初等变换的关系；3．掌握可逆矩阵的定义、判别方法及逆矩阵的求法；4．理解矩阵乘积行列式的求法；重点：：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。
难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。
第五章二次型本章介绍二次型的概念，化二次型为标准形的方法。
这些内容是线性代数的重要研究对象。
在数学的其它分支和物理学中有重要应用，对中学数学教学有直接指导作用。
要求；I．掌握二次型及二次型的矩阵的概念及二次型矩阵的求法；2．掌握矩阵合同的定义及性质；3．理解二次型的标准型的概念及化为标准型的方法；4．弄清二次型的标准形不唯一的原因，会确定复二次型和实二次型的规范形，理解它们的唯一性，掌握实二次型和实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数和符号差的概念；重点：二次型，二次型的秩，矩阵的合同，实二次型的标准型，惯性定理，第六章线性空间线性空间和下章的线性变换是高等代数的重要理论部分，但其内容抽象、难度较大。
要求：．1、掌握定义线性空间的“228”条件，和线性空间的四条简单性质2、掌握向量线性相关，无关概念，性质及判别方法；3、掌握子空间的概念和判别方法；掌握由向量组生成的子空间的概念及其基与维数的确定，知道每个有限维线性空间都是由它的基向量组生成的，掌握子空间的交、和等概念；理解子空间的交与和与一般集合交并与并的异同，4、掌握线性空间的维数、基和向量的坐标的概念及其相互关系。
会判定向量组是否可以作为空间的基；会求向量在给定基下的坐标，熟练掌握同一向量在两组不同基下的坐标的转换公式；过渡阵概念，性质及求法；重点：向量空间、线性相关、线性无关、子空间、子空间的运算、基、维数、坐标、过渡矩阵。
高等代数考试大纲
8.把握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的条件。明白得矩阵的秩的概念，了解矩阵的秩与行列式的关系，和矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩的关系。了解n阶方阵非退化的概念及充分必要条件，把握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方式。
考试要求
1.明白得线性变换的概念，了解线性变换的性质。
2.熟悉线性变换的运算及其性质。
3.明白得线性变换的矩阵，了解线性变换与矩阵的对应。
4.明白得线性变换及其矩阵的特点值、特点向量、特点多项式的概念及性质，会求线性变换及矩阵的特点值和特点向量。
5.了解关于特点多项式的Hamilton-Caylay定理，了解矩阵的迹。
6.明白得线性变换的特点子空间、线性变换的不变子空间的概念。
7.明白得矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。把握将矩阵化为对角矩阵的方式。
8.明白得线性变换的值域、核、秩、零度的概念。
(八)λ-矩阵
考试内容
λ-矩阵的概念；λ-矩阵的初等变换；λ-矩阵间的等价概念及等价的充分必要条件；λ-矩阵在初等变换下的标准形；λ-矩阵的行列式因子、不变因子及二者之间的关系；矩阵相似的条件；初等因子的概念；复方阵的假设当标准形。
矩阵的概念；矩阵的大体运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算
考试要求
1.明白得n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。
2.明白得向量组线性相关、线性无关的概念、熟练把握判定向量组线性相关、线性无关的方式。
考试内容
内积的概念及其性质；欧几里德空间的概念；正交基和标准正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化进程；正交矩阵；正交变换及其性质；正交子空间、正交补及其性质；实对称矩阵的特点值、特点向量及相似对角矩阵；欧几里德空间的同构。
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高等代数复习纲要
一． 基本概念
等价关系与等价类, 整数模m 同余类 运算, 映射 （左逆，右逆，逆）
半群，群，域，线性空间； 同构，同态 线性子空间，线性子空间的交，和，直和
线性相关与线性无关，向量组的表出与相抵，线性空间的基与维数
线性映射，线性变换，线性函数。
线性空间),(21V V L , 对偶空间的定义与维数 线性映射的像集与核，原像集。
线性映射的秩
线性映射在原像空间的基与像空间的基下的矩阵（矩阵作为线性映射的“坐标”） 向量坐标在基变换下的变换公式:
1V 2V σ
→, 1V 基 },,{1n εε , 2V 基 },,{1m e e , 则σ的矩阵表示)(n m A ⨯定义为:
=),,(1n σεσε A e e m ),,(1
在基},,{1n εε 中坐标为x 的向量的σ像在基 },,{1m e e 中的坐标x A y = 基变换的过度矩阵，线性映射的矩阵在基变换下的变化:
V V σ
→, 从基 },,{1n εε 到基 },,{1n e e 的过渡矩阵C , σ在基 },,{1n εε 下的矩阵
为A , 则σ在基 },,{1n e e 下的矩阵为AC C
1
-
行列式的公理定义
矩阵的秩（所对应的映射的秩，列秩，行秩，行列式秩） 矩阵的相抵标准形
矩阵的特征多项式，矩阵的特征子空间 (即特征向量生成的子空间λV )， 矩阵的相似与复矩阵的Jordan 标准形的叙述 内积空间, 么正基, 正交补, 正交变换, 正交矩阵 双线性型与矩阵的对应，二次型与对称矩阵的对应 对称矩阵的正交相似标准形，对称矩阵的相合标准形 二次型的正定与半正定, 正定矩阵与半正定矩阵
正定与半正定的判别与标准形，惯性指标与相合不变量
二． 基本方法 标准形化
用乘初等矩阵来施行初等变换
分块技术（用乘初等分四块矩阵来施行分四块初等变换） 用初等变换作对角化与三角形化
分四块初等变换作准对角化与准三角形化
Gauss 消元法（初等行变换）-- 用于：解线性方程组，求逆，求秩，求核，求补空间 幺正化及其矩阵形式 (可逆矩阵的QR 分解) 行列式计算（准三角形化） 配平方求相合标准形
三． 基本事实与公式
)dim (21W W +
1V 2V σ
→, 则 )dim (ker )(dim 1σσ+=r V
))(),(m in()(dim )()(2τσσττσr r r V r r ≤≤-+ 及其矩阵形式
1V 2,V τ
σ→, 则 )()()(τστσr r r +≤+及其矩阵形式
Laplace 展开式与1-A 用伴随矩阵*A 来表示
||||||B A AB =的证明
)()()()(A A r A r A r AA r T
T T ===的证明
线性方程组: 0=x A 有菲零解的条件, 基础解系, 通解 b x A =的有解条件与通解. Cramer 公式
V V σ
→, σ与其矩阵表示A 的特征值与相应的特征向量.
特征值λ的几何重数(即λV dim ) ≤ λ的代数重数 (即根的重数) 相似于对角矩阵的条件。