2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题17 同角三角函数的基本关系与诱导公式

专题17同角三角函数的基本关系与诱导公
式
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：
sin α
cos α
＝tan__α．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αCos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α
－sin__α
正切tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
高频考点一同角三角函数关系式的应用
例1、(1)若sin α＝－5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于()
A.12
5
B.－125
C.512
D.－
512
(2)已知sin αcos α＝1
8，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为(
)
A.－
3
2
B.32
C.－
34
D.34
(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝3
4，则cos 2α＋2sin 2α＝(
)
A.6425
B.4825
C.1
D.1625
解析
(1)∵sin α＝－
5
13
，且α为第四象限角，
∴cos α＝1－sin 2α＝
1213
，∴tan α＝sin αcos α
＝－5
12，故选D.
【方法规律】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α
cos α＝tan α可以实
现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【变式探究】(1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()
A.－1
B.－
22
C.22
D.1
(2)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋2sin αcos α的值为(
)
A.103
B.53
C.23
D.－2
解析
(1)α－cos α＝2，2α＋cos 2α＝1，
得2cos 2
α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2
＝0，
∴cos α＝－
22
.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π
4
＝－1.
(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－1
3，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α1＋tan 2α1＋2tan α
1－23＝103.
答案
(1)A
(2)A
高频考点二
诱导公式的应用
例2、(1)化简：sin(－1200°)cos 1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：
设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）
1＋sin 2α＋sin (1＋2sin α≠0)，求f .解
(1)原式＝－sin 1200°cos 1290°－cos 1020°sin 1050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝
32×32＋12×12
＝1.(2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α
1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝
2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1
tan α，
∴＝
1
14＝1
tan π6
＝ 3.
【方法规律】(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【变式探究】(1)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）
cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是(
)
A.{1，－1，2，－2}
B.{－1，1}
C.{2，－2}
D.{1，－1，0，2，－2}
(2)______.
高频考点三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、(1)已知＝3
3，则________.
(2)已知＝13，且－π<α<－π
2，则cos (
)
A.22
3
B.13
C.－
13
D.－
223
解析
(1)
∴tan π－
＝－＝－3
3
.
(2)＝π2
，
所以sin π
2－因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.
又＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π
12，
所以＝－22
3.
答案
(1)－
33
(2)D
【方法规律】(1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π
4
－α等.(2)常见的互补的角：
π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π
4
－θ等.
【变式探究】(1)已知＝12
，则________.
(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则()
A.12
B.32
C.0
D.－
12
解析
(1)＝π
2
，
∴cos π
2－＝12.
(2)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，
所以2
＝π＋56πsin 56π.
因为当0≤x <π时，f (x )＝0.
所以0＋12＝1
2.
答案
(1)12
(2)A
高频考点四、分类讨论思想在三角函数中的应用
例4、(1)已知sin α＝25
5
，则tan(α＋π)________.(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.解析
(1)∵sin α＝
25
5
＞0，∴α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)
tan α＋cos α
sin α
＝sinα
cosα＋
cosα
sinα＝
1
sinαcosα
.
①当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝5 5，
原式＝
1
sinαcosα＝
5
2
.
②当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－5 5，
原式＝
1
sinαcosα＝－
5
2
.
综上①②，原式＝5
2或－
5
2
.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝3
4
π，B＝5
6
π，不合题意．
综上，C＝7 12π.
答案(1)5
2或－
5
2
(2)7
12
π
【特别提醒】(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．
【方法技巧】同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利
用公式tan x＝sin x
cos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)
2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、
转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2tan π
4＝…；(4)运用相关角的
互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．
1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于1
3BC ,则cos A =（）
（A）
10
（B）
10
（C）10
-（D）10
-
【答案】C
2.【2016高考新课标2理数】若3
cos(
)45
πα-=，则sin 2α=（）
（A）
7
25
（B）
15（C）15
-
（D）725
-
【答案】D
【解析】2
237cos 22cos 1214
4525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
且cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.
3.【2016高考新课标3理数】若3
tan 4
α=，则2cos 2sin 2αα+=（）
(A)
6425
(B)
4825(C)
1
(D)
1625
【答案】A 【解析】
由3tan 4α=
，得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55
αα=-=-，所以2161264
cos 2sin 24252525
αα+=+⨯=，故选A．
4.【2016年高考四川理数】2
2cos
sin 88
ππ-=.
【答案】
2
【解析】由二倍角公式得2
2cos
sin 88ππ-
=cos 42
=π【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______.【答案】3
【解析】12
tan()tan 7tan tan() 3.2
1tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-=
==++-【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍
（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2
p
个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ．（1)求实数m 的取值范围；
（2)证明：2
2cos ) 1.5
m a b -=-(【答案】(Ⅰ)f()2sin x x =，(k Z).2
x k p
p =+
Î；(Ⅱ)（1
）(；
（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到
y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移
2p 个单位长度后得到y 2cos(2
x p
=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).
2
x k p
p =+Î
(2)1)f()g()2sin cos )
x x x x x x +=+=
+
)x j =+
（其中sin j j =
=
）
依题意，sin()=x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b
当且仅当|1<，故m 的取值范围
是(.
解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.
2)因为,a b 是方程)=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin()=
a j +sin()=
b j +.
当1£+=2(),+();2p
a b j a j p b j -=-+即
当时,3+=2(),+3();
2
p
a b j a j p b j -=-+即所以cos +)cos()
a j
b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()
a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(2
2
2
2
2cos ()sin()sin()[1] 1.
5m b j a j b j =-++++=--+=-【2015高考山东，理16】设()2
sin cos cos 4f x x x x π⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭
.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；
单调递减区间是()
3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
（II ）ABC ∆面积的最大值为23
4
+【解析】
（I ）由题意知()1cos 2sin 2222
x x f x π⎛
⎫++ ⎪
⎝⎭=-sin 21sin 21
sin 2222
x x x -=
-=-由222,22k x k k Z ππππ-
+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππ
ππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44
k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦；
单调递减区间是()
3,44k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得
1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以
3
cos 2
A =
由余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-
可得：
22
12b c bc +=+≥
即：2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立.
因此123sin 2
4bc A ≤
所以ABC ∆面积的最大值为23
4
+（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1
2.
(1)若0<α<π2，且sin α＝2
2
，求f (α)的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22
.
所以f (α)＝22×－12
＝12
.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12
cos 2x
＝22sin x 所以T ＝2π2
＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －
12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12
cos 2x
＝22sin x (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4
，从而f (α)＝22sin α＝22sin 3π4＝12
.(2)T ＝2π2
＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
（2014·重庆卷）已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ
>0，－π2φ
x ＝π3
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若
α
cos 【解析】(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图像关于直线x ＝π3
对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2
，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2
，所以φ＝－π6
.(2)由(1)得＝3sin(2×α2－π6)＝
34
，所以＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α
－π6＜π2
，所以
＝
154.因此＝sin α
＝sin （α－π6）＋π6
＝
cos π6＋sin π6
＝14×32＋154×12
＝3＋158
.（2013·全国卷）已知α是第三象限角，sin α＝－13
，则cot α＝________．
【答案】22
【解析】cosα＝－1－sin 2α＝－
223，所以cotα＝cosαsinα＝2 2.
（2013·四川卷）设sin 2α＝－sin α，αtan 2α的值是________．
【答案】3
（2013·新课标全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角，若＝12
，则sin θ＋cos θ＝________．【答案】－105
【解析】由＝12得1＋tan θ1－tan θ＝12
tan θ＝－13cos θ＝－3sin θ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1
10sin 2θ＝1，θ在第二象限，sin θ＝1010，cos θ＝－31010
，∴sin θ＋cos θ＝－
105.（2013·重庆卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.
(1)求C ；
(2)设cos Acos B ＝325，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α
＝25，求tan α的值．【解析】(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，
所以由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab
＝－22故C ＝3π4.(2)由题意得
（sin αsin A －cos αcos A ）（sin αsin B －cos αcos B ）cos 2α
＝25，因此(tan αsin A －cos A)(tan αsin B －cos B)＝25
，tan 2αsin Asin B －tan α(sin Acos B ＋cos Asin B)＋cos Acos B ＝
25，tan 2αsin Asin B －tan αsin (A ＋B)＋cos Acos B ＝25
.①
因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin (A ＋B)＝22.
因为cos (A ＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ，即325－sin Asin B ＝22.
解得sin Asin B ＝325－22＝210.
由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
（2013·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝()
A.2
B.2＋3
2
C.3D ．22－1
【答案】C
【解析】原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°
＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°
cos 40°
＝2cos （40°－30°）－sin 40°
cos 40°
＝2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°
cos 40°
＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.
1.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝(
)A.－513 B.513 C.－125 D.125
解析因为α是第四象限角，sin α＝－12
13，所以cos α＝1－sin 2α＝513，
故tan α＝sin α
cos α＝－125.
答案C
2.已知tanα＝1
2，且α
sinα＝()
A.－5
5B.5 5
C.25
5D.－25
5
解析∵tanα＝1
20，且α
sinα＜0，
∴sin2α＝sin2α
sin2α＋cos2α＝
tan2α
tan2α＋1＝
1
4
1
4＋1
＝
1
5，
∴sinα＝－5 5 .
答案A
3.1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝()
A.sin2－cos2
B.sin2＋cos2
C.±(sin2－cos2)
D.cos2－sin2
解析1－2sin（π＋2）cos（π－2）＝1－2sin2cos2
＝（sin2－cos2）2＝|sin2－cos2|＝sin2－
cos2.
答案A
4.向量a
tan
b＝(cosα，
1)，且a∥b，则
()
A.－1
3B.1
3
C.－2
3
D.－2
2
3
解析∵a
tan
b＝(cosα，1)，且a∥b，
∴1
3×1－tanαcosα＝0，∴sin
α＝
1
3，
∴
sinα＝－
1
3
.
答案A
5.
＝
1
3，则
()
A.1 3
B.22
3
C.－1
3D.－22
3
解析sin π2－
＝＝13.
答案A
6.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2α的值是()
A.12
B.2
C.－12
D.－2
7.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为()
A.－15
B.－35
C.15
D.35
解析sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.
答案B
8.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为(
)
A.－1
B.1
C.3
D.－3
解析∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)
＝a sin α＋b cos β＝3，
∴f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)
＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)
＝－a sin α－b cos β
＝－3.
答案D
9.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2，则θ等于()
A.－π
6 B.－π
3C.π
6 D.π
3
解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴tan θ＝3，∵|θ|＜
π2，∴θ＝π3.答案D
10.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为(
)A.1＋5
B.1－5
C.1±5
D.－1－5
11.已知α为钝角，＝34
，则________.
解析因为α为钝角，所以＝－74
，
所以cos π2－＝－
74.答案－74
12.化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）
tan （π＋α）·sin （－α－2π）
＝________.解析
原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案1
13.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.
解析sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋
sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912
.答案912
14.已知a ，则________.
解析∵cos π－a .
sin π2＋a ，
∴0.
答案0。