九上数学培优证明二、三习题1

合集下载

北师大版九年级上册数学同步培优第二章一元二次方程用因式分解法求解一元二次方程

【点方法】选择解一元二次方程的方法的顺序为：
直接开平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要求一般不用配方法．解：x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0. x－3＝0或x＋1＝0. ∴x1＝3，x2＝－1.
(2)【2021·常德】x2－x－2＝0；
解：x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0. ∴x1＝2，x2＝－1.
∴x＝
－b±
b2－4ac 2a
－2± 9 －2±3 ＝__2_×_1____＝____2____，
∴x1＝___12_____，x2＝__－__52____.
(4)用因式分解法解方程：x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得__x_(x_＋__2_)_－__3_(_x_＋__2_)＝__0____，因式分解，得__(_x_＋__2_)(_x_－__3_)_＝__0___，于是得_x_＋__2_＝__0_或__x_－__3_＝__0___，解得x1＝___－__2___，x2＝__3______.
返回
9．【2021·嘉兴】小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x －3)2的过程如下框：小霞：
小敏：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
两边同除以(x－3)，得提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
3＝x－3，则x－3＝0或3－x－3＝0，
则x＝6. 解得x1＝3，x2＝0.
解：原方程化成__(_x_－__3_)2_＝__3__，开平方，得__x_－__3_＝__±__3__． ∴x1＝_3_＋___3___，x2＝_3_－___3___.
(2)用配方法解方程：3x2－x－4＝0.
解：移项，得_3_x_2_－__x_＝__4___，二次项系数化为1，得_x_2_－__13_x_＝__43_．配方，得_x_2_－__13_x_＋__16__2_＝__43_＋__31_6__，即_x_－__16__2_＝__43_96__．开平方，得__x_－__16_＝__±_76___．

北师大版九年级数学上册测试题及答案证明二B

北师大版九年级数学上册测试题及答案证明二BSANY GROUP system office room 【SANYUA16H-北九上第一章证明（二）水平测试（B ）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1.两个直角三角形全等的条件是（）（A ）一锐角对应相等；（B ）两锐角对应相等；（C ）一条边对应相等；（D ）两条边对应相等.2.到ABC ∆的三个顶点距离相等的点是ABC ∆的（）. （A ）三边垂直平分线的交点；（B ）三条角平分线的交点；（C ）三条高的交点；（D ）三边中线的交点.3.如图，由21∠=∠，DC BC =，EC AC =，得ABC ∆≌EDC ∆的根据是（）（A ）SAS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SSS4.ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ， 75=∠BDC ，则A ∠的度数为（）（A ）35° （B ）40° （C ）70° （D ）110°5.下列两个三角形中，一定全等的是（）（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；（B ）两个等边三角形；（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.A B 24 7 （第7题）（第3题）6.适合条件A ∠=B ∠ =C ∠31的三角形一定是（）（A ）锐角三角形；（B ）钝角三角形；（C ）直角三角形；（D ）任意三角形.7.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A 处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）.（A ）3米（B ）4米（C ）5米（D ）6米8. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）.（A ）等腰三角形; （B ）等边三角形; （C ）直角三角形;（D ）等腰直角三角形.9.如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B 、B '分别在边AP 、AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB =B A '，那么该条件不可以是（）(A)AC B B ⊥' (B)C B BC '=(C)ACB ∠=B AC '∠ (D)ABC ∠ =C B A '∠10.如图，AO FD ⊥于D ，BO FE ⊥于E ，下列条件：①OF 是AOB ∠的平分线；②EF DF =；③EO DO =；④OFD ∠=OFE ∠.其中能够证明DOF ∆≌EOF ∆的条件的个数有（）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空 (本大题有10小题，每小题3分，共30分．将答案填在题中横线上)11.在ABC ∆中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 .12.如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度.（第9题）(第10题)13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 . 14. ABC ∆中， 90=∠C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ,若7=DC ，则D 到AB 的距离是 . 15.如图，ABC ∠＝DCB ∠，需要补充一个直接条件才能使ABC ∆≌DCB ∆．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“DC AB=”；乙“DB AC =”；丙“D A ∠=∠”；丁“ACB ∠＝DBC ∠”．那么这四位同学填写错误的是 .16. 用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，假设“ ”，则与“ ”矛盾，所以原命题正确．17.补全“求作AOB ∠的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE .②分别以D 、E 为圆心，以为半径画弧，两弧在AOB ∠内交于点C .③作射线OC 即为AOB ∠的平分线.18.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处(如图)，上午9时行到C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里(结果保留根号).19.在ABC ∆中，A ∠＝90°，AC AB =，BD 平分B ∠交AC于D ，BC DE ⊥于E ，若10=BC ，则DEC ∆的周长是 .20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522cm 和42cm ，则直角三角形的两条直角边的和是 cm . A B CD （第15 (第18 (第20题)三、解答题(本大题有6小题，共60分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)21.（8分）已知：如图，A ∠= 90=∠D ，BD AC =.求证：OC OB =.22.（8分）如图，OCB OBC ∠=∠，AOC AOB ∠=∠，请你写一个能用全部已知条件才能推出的结论，并证明你的结论. 23.（10分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝CD ．求证：BD ＝DE .24.（10分）已知：如图，ABC ∆中，AC AB =， 120=∠A .(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC 、AB 于点M 、N (保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.25. （本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且CDE BAE ∠=∠．求证：CD AB =.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证CD AB =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．A B C OA B C AB C D E现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．26．（12分）已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，可以说明：ACN ∆≌MCB ∆，从而得到结论：BM AN =．现要求：（1）将ACM ∆绕C 点按逆时针方向旋转180°，使A 点落在CB 上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所得到的图形中，结论“BM AN =”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）所得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并说明你的结论的正确性．参考答案一、DAABCDDCBD 二、11.PC PB PA ==； 12. 80或 20； 13. 75；； 15.乙；16.三角形的三个内角都小于 60，三角形的内角和是 180；17.大于DE 21的长为半径；18. 320；；20. 10.三、21由A ∠= 90=∠D ，BD AC =，BC BC =知BAC ∆≌CDB ∆，因此有DC AB =.又DOC AOB ∠=∠（对顶角），A ∠= 90=∠D ，所以BAC ∆≌CDB ∆，所以OD AO =.又BD AC =，所以BO BD AO AC -=-，即OC OB =.22.∵ ∠OBC =∠OCB ，∴ OB =OC .又∵ ∠AOB =∠AOC ，OA =OA ， ∴ △AOB ≌△AOC ，∴AB =AC .23. BD 是正三角形ABC 的AC 边的中线得AC BD ⊥，BD 平分ABC ∠，30=∠DBE .由CE CD =知∠CDE ＝∠E .由∠ACE ＝ 120°，得∠CDE ＋∠E ＝60°，所以∠CDE ＝∠E ＝300，则有BD ＝ DE ．24.（1）作图略；（2）连接AM ，则BM =AM .∵ AB =AC ，∠BAC =120°，∴ ∠B =∠C =30°于是 ∠MAB =∠B =30°，∠MAC =90°.∴ .21CM AM =故CM BM 21=，即CM =2BM .A C M NBC NF A B C D E EF =DE （3） FG A B C D E （1 A B C D E CF ∥AB （2） F25.方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G. ∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE.∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG.∴AB=CD.方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F.∴∠F=∠BAE.又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=C E，∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF. ∴AB=CD.方法三：延长DE至点F，使EF=DE.又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED. ∴B F=CD，∠D =∠F. 又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F. ∴AB=BF.∴AB=CD.26.（1）作图略.（2）结论“AN=BM”还成立.证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB.∴AN=BM.（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形.证明：∵∠DAB =∠MAC=60°，∠DBA=60°∴∠ADB=60°.∴△ABD是等边三角形.∵∠ADB =∠AMC=60°，∴ND∥CM.∵∠ADB =∠BNC=60°，∴MD∥CN.∴四边形MDNC是平行四边.。

九年级数学上册-第一单元证明二全单元练习-北师大版

北师九上第一单元证明（二)全单元练习1.1你能证明它们吗目标:1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式.2、经历“探索－发现－猜想－证明"的过程。

能用综合法证明等腰和等边三角形的相关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义与应用。

重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

难点：能够用综合法证明等腰和等边三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明时辅助线做法)，并解决实际问题。

章节训练导航：1。

等腰、等边、直角三角形的性质 2。

反证法一、填空题1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________。

2。

由在同一三角形中“等角对等边"“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.3。

等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________。

4.一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.5。

等腰三角形的一边长为23,周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.6。

等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________。

7。

如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________。

图1 图28。

如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ，若∠A =40°,则∠ACD =_______，∠DCB =_______,若∠A =α，则∠BCD =_________，由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是∠BCD =_________。

9.△ABC 中,若∠A =∠B =21∠C ,则此三角形为_________三角形。

10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离是3.8 cm ，则BC =_______ cm.11。

[原创]初三上册证明(二)单元测试题doc初中数学

［原创］初三上册证明(二)单元测试题 doc 初中数学汪国刚贵州省贵阳市开阳县宅吉中学550307(A 〕1 组(B 〕2 组2. 图2中的两个三角形全等，那么/(A) 72 (B) 60 (C) 58 (D) 503. 一个等腰三角形的两边长分不为4.如图3,在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° BC = 3,AC = 4,AB 的垂直平分线 DE 交BC 的延长线于点E ,那么CE 的长为〔〕6. 如图5，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.假如它们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65。

，那么在大量角器上对应的度数为〔〔A 〕50°(B 〕60°(C) 65°7. 如图6,为估量池塘岸边 A B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点米，OB =10米，A 、B 间的距离不可能是①AB DE ， BC EF ， AC DF ; ②AB DE ， B E ， BC EF ; ③ B E ， BC EF ， C F ; ④AB DE ， AC DF ， B E .(B) 9(C) 12(D) 9 或 123 (A)27(B)625(C)T5. 如图 4 , Rt A ABC ACD 55° ,那么/ B 的度数是(A 〕35°且DE // AB ,假设(B 〕45 ° (C) 55 °(D)80O ,测得OA〔会员：wangguogang09总分值120分时刻：100分钟、选择题〔每题3分，共30分〕1.如图1，给出以下四组条件:其中，能使 △ ABC DEF 的条件共有(C 〕3 组度数是2和5，那么它的周长为ACB 90° , DE 过点〔A〕20 米〔B〕15 米(C〕10〔D〕5 米米8. 如图7 ,△ ABC 、△ ADE 及\EFG 差不多上等边三角形，D 和G 分不是AC 和AE 的中点，假设AB=4时，那么多边形 ABCDEFG 的周长是〔丨.〔A 〕12〔B 〕15〔C 〕18〔D 〕219. 如图8所示，A 、B 、C 分不表示三个村庄， AB = 1000米，BC = 600米，AC = 800米, 在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心 P 的位置应在〔〕〔A 〕BC 中点〔B 〕AB 中点〔C 〕AC 中点〔D 丨/ C 的平分线与AB 的交点10. 如图9(1)、图(2)、图⑶分不表示甲、乙、丙三人由 A 地到B 地的路线图.甲的路线为：A C B;乙的路线为：A D E F B ，其中E 为线段AB 的中点；丙的路线为：A I J K B ，其中J 在AB 上，且AJ ＞JB 那么依照9图⑴、(2)、⑶的数据,、填空题〔每题4分，共32分〕的条件是 ____________ 〔写出一个即可〕12. 某楼梯的侧面视图如图11所示，其中AB 4米， BAC 30° C 90°因某种活动要求铺设红色地毯，那么在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为.13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，腰长为4 cm ,那么其腰上的高为____________ c m .14. ________________________________________________________________________ 命题”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的逆命题是 __________________________________ 15. 如图 12,在△ ABC 中，AB AC 12cm , BC 6cm, D 为 BC 的中点，动点 P从B 点动身，以每秒1 cm 的速度沿B A C 的方向运动•设运动时刻为 t ，那么当t 秒时，过D 、P 两点的直线将 △ ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2倍.16. 在厶ABC 中，/ C=90°，Z ABC 的平分线BD 交AC 于点D,假设BD=10厘米，BC=8厘(A)甲=乙=丙 (B)甲＜乙＜丙 (D )丙 <乙 < 甲11.如图 10, AB AD , BAEDAC ，要使 △ ABC △ ADE ，可补充判定三人行进路线长度的大小关系为().(C)乙 < 丙< 甲 A J E(3)图12米，那么点D到直线AB的距离是___________ 厘米.22. (6分〕电信部门要修建一座电视信号发射塔 .按照设计要求，发射塔到两个城镇 A 、B的距离必须相等，到两条高速公路 m 和n 距离也必须相等.那么发射塔应该建立在什17•点P 是线段 AB 的垂直平分线上的点， PA=2 , / PAB=60 18.图甲是我国古代闻名的”赵爽弦图〃的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的 •在Rt A ABC 中，假设直角边AC = 6, BC = 6,将四个直角三角形中边长为 6的直角边分不向外延长一倍，得到图乙所示的”数学风车〃，那么那个风车的外围周长〔图乙中的实线〕是 _______________ 三、简答题〔共58分〕 19.〔6 分〕如图 13, AC 平分/ BAD /20. (8 分〕在△ ABC 中，AB AC ,腰直角三角形 ABD 和ACE ，使 BAD CAE 90°21.〔1〕求 DBC 的度数；〔2〕求证：BD CE .(8分〕在一次数学课上，汪老师在黑板上画出如图②BE=CE ③/ B=Z C,④/ BAE=/ CCDE.要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件你试着完成汪老师提出的要求，并讲明理由.15,并写出了四个等式：①AB=DC , ,推出△ ADE 是等腰三角形.请么位置？在如图16上标出它的位置23. (7分〕如图17,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落子BC 边上是F 点处,AB=8，BC=10求图中阴影部分的面积图卯24. (7 分〕求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的中点的距离相等25.(8 分〕如图18,A ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 到点E ,使CE=CD 求证：〔1〕DB=DE.〔2〕假如把BD 改为△ ABC 的角平分线或高，能否得出同样的结论？26. 〔 8 分〕：如图 19, AF 平分/ BAC , BC 丄AF , PB 分不与线段 CF , AF 相交于P , M . 垂足为E ,点D 与点A 关于点E 对称,(1)求证：AB=CD ;⑵假设/ BAC=2 / MPC ，请你判定/ F 与/ MCD的数量关系，并讲明理由.、/ 图MS1SED /JW答案提示：一、选择题1.C2.D3.C4.B5.A6.A7.B8.D 9.B 10.A二、填空题11.答案不唯独(如 AC=AE 或/ C= / E 或/ B= / D) 12. (2+2 3) 13. 2. 314. 三角形一边上的中线等于这边上的一半，那个三角形是直角三角形15. 7 或 17 16. 6 17. 2 18. 76 三、简答题19. v AC 平分/ BAD ,•••/ BAC= / DAC.又•••/ 1 = / BAC+ / BCA ，/ 2= / DAC+ / DCA. •••/ 1 = / 2, BAC+ / BCA= / DAC+ / DCA.•••/ BCA= / DCA •/ AC=AC24. 略25.〔 1〕vA ABC 是等边三角形，•/ A=Z ABC =Z ACB=60 .v BD 是厶ABC 中线，依照等腰三角形”三线合一"，因此/ DBC=30 , 1v DC=CEE=Z CDl 60 ° =30°20. 21. 22.• △ BAC ◎△ DAC • AB=AD /〕△ ABD 是等腰直角三角形，BAD 90° ,因此/ ABD = 45° ,AB = AC,因此/ ABC = 70°，因此/ CBD = 70 ° +45°= 115°. (2)AB = AC, BAD CAE 90° ,AD = AE,因此△ BAD CAE,因此 BD = CE . 略如图16发射塔应该建立点 P 处.23. 依照题意，在Rt △ ABF 中，AF=BC=10 ,AB=8，由勾股定理可知， FC=10-6=4.设 CE=x ，那么 BF=6.因此 DE=8-x , 勾股定理可得，(8 x)2 42 , 解得，x=3.因此四边形ADEF 的面积=2S 2 1ADE210 (8 3)=50. 因此阴影部分面积为： s 阴影S矩形ABCDS 四边形 ADEF =80 —50=30.2•••△ DBE是等腰三角形，因此DB=DE.〔2〕同样能够. 理由略26. 〔1〕提示：证厶ABE ◎△ ACE〔ASA〕即可得;〔2〕/ F=2 / MCD，理由略.。

北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形正方形的判定

又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC， ∴∠ABG＋∠BMC＝90°.∴CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形．由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2. ∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4 2 ，BE＝5 2 . ∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73.∴GE＝ 73 .
在△BEA和△DFA中，∠BEA＝∠DFA，∠B＝∠D，
AE＝AF，∴△BEA≌△DFA(AAS)，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．
返回
9．【教材P27复习题T8拓展】【2021·兴安盟】如图，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，连接EF，EF与AD相交于点H.
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：∵四边形AFHE和四边形ABCD都是正方形，
∴AE＝EH＝FH，AB＝BC＝13.
设AE＝x，则BE＝x＋7.
在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，即132＝x2＋(x＋7)2，
整理，得(x＋12)(x－5)＝0. ∴x＋12＝0或x－5＝0.
解得x＝5(x＝－12舍去)，
解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形．又∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形．
返回
提优分类练
10．【2021·扬州】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC 于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
【点方法】由正方形的性质可得四边形
BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证
得四边形BEDF为菱形，再根据勾股定理
计算DE的长，可得结论．

北师大版数学九年级上第一章证明二测试题及答案(A)

化丸上第一章《证明二》水平测试（A ）A. 4cmB. 5cm如图3,在等边MBC 中，分别是BC,AC 上的点，且BD = CE, AD 与BE 相交于点P,那么ZI + Z2的度数是（如图4.在®8C 中，AB=AC ・匕4 = 36。

・BD 和CE 分别是匕ABC 和匕ACB 的平分-、精心选一选，慧峨识金（每题3分，共30分） 1.2. 3. 如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成二片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的方法是带（）去配. A.① B.② C.③ D.①和② 以下说法中，正确的选项是＜）. A. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C. 两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等如图2, ABLCD. △A8£）、都是等腰三角形，如果CD 二Scm, BE=3cm,那么AC 於为（）・ C. 8cm D. V34cm4. A. 45°B. 55°C. 60°D. 75° 6.7. 距离相等，那么诃供选择的地址有（）.A ・1处B ・2处C ・3处 D. 4处如图6, A 、C 、E 三点在同一条宜线上，ADAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如卜,结论：① AACE^ADCB ：② CM=CN：③ AC = DN.其中，正确结论的个数是（ A. 3个 B. 2个 D. 0个线，FL 相交于点P.在图4中, 等腰三角形（不再添如我度和字母）的个数为《 ). 如图5,。

农匕表示三条相瓦交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公却的8.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A, C, E在同一•条直线上(如图7), 可以证明WC3EDC、得ED二AB.因此，m DE的K就是AB的长，在这里判定MBC^AEDC的条件是( ).A. ASAB. SASC. SSS D・ HL9.如图8,将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置.，BE交AD于点F.求证：重曲局部(即ABDF )是等腰三角形.证明：.・•四边形ABCD是长方形，.・・AD〃,清思考:以上证明过程中.涂果局部正确的应该依次是以下四项中的哪两项？ ( ).①/1 = Z2：②匕1 =匕3：③匕3 =匕4：④ZBDC = ZBDED.③④10.如图9,己知线段小力作等腰左ABC.使AB=AC,且RC=Q. BC边上的高AD=h.张红的作法是：(1)作线段«C=«： (2)作线段I3C的垂直平分线MN. MN与RC相交于点D： (3)在直线材N上截取线段/;： (4)连结AC,那么为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是( ).A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)二、细心填一填,一修定音(每题3分，共30会)I.如图10,，在和ZiDCB中，AC=DB. 假设不增加任何字母与辅助线，要使AABC^ADCB,那么还需增加一个条件是2.如图11,在RtSABC N8AC = 90七A8 = AC,分别过点0.C作经过点A的直线的垂线段BD, CE,假设BD=3丽米，CE=4 fii米，那么DE的K为______ .于 ________ ・4. m 13.在等腰中，AB=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,假设^BCE的周长为50,那么底边BC的长为 _________ .5.在AABC中，AB=AC, AB的垂宜平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,那么底角B 的大小为 _______ ・6. 在4i 正明二》—章中.我们学习了很多定理.例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等：④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等：⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是 ______ .（斌序号）7. 如图14,有一张宜角三角形纸片，两宜角边AC=5cm, BC=IOcm,将AABC 折叠，点B与点A 垂合，折痕为DE,那么CD 的长为 ________ ・8. 如图15.在AAfiC 中，AB 二AC, ZA = 120°. D 是BC 上任意•点，分别做DE1ABDE 是AB 的中垂线, 于点E,假设BE = 4,那么=. 10.如图17,有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小祓想在A 处立一个标牌'少走 _______ 步，踏之何忍？ ”但小颖不知在“ ___ ”处应填什么数字，清你带助她坟上好吗？（供设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1. （7分）如图18,在AA8C 中，匕ACB = 9（）0. CD 是AB 边上的高, 2. （7 分）如图 19.在 AABC 中,ZC = 90°. AC=BC. AD 平分 /CAB 交BC于点D, DEXAB 于点E,假设AB=6cm.你能否求的周长？假设能，请求出：假设不能，请说明理由.3. <10分〉如图20.。

九年级数学第一章证明二练习题及答案全套

一、填空题1、如图1；若⊿ABE ≅⊿ADC ；则AD = AB ；DC = ；∠D = ∠； ∠BAE = ∠ ；2、如图2；在△ABC 中；AD ＝DE ；AB ＝BE ；∠A ＝80°则∠DEC ＝．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ；则周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________；一个底角为50°；则顶角等于_________；5、如图；∠AOB 是一钢架；且∠AOB=10°；为了使钢架更加牢固；需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等；则最多能添加这样的钢管根。

二、选择题6、给出下列命题；正确的（）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（）A 、腰相等的两个等腰三角形B 、一个角对应相等的两个等腰三角形C 、斜边对应相等的两个直角三角形D 、底相等的两个等腰直角三角形8、已知如图3；在△ABC 中；AB ＝AC ；BC ＝BD ；AD ＝DE ＝EB ；则∠A 的度数是（）（A ）30°（B ） 36°（C ）45°（D ）54° 9、如图4；在△ABC 中；AB=AC ；∠A=36；BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线；且交于点F ；则图中的等腰三角形有（）（A ）6个（B ）7个（C ）8个（D ）9个 10、如图5；等边△ABC 中；BD=CE ；AD 与BE 相交于点P ；则∠APE 的度数是（）（A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程：已知：如图；D 是△ABC 中BC 边上一点；EB=EC ；∠ABE=∠ACE ；求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中；⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确；请写出每一步推理根据；若不正确；请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；12、已知：线段a 、h (如图)求作：△ABC ；使AB=AC ；且BC=a ；高AD=h .请你用尺规作图；并补全作法作法：(1)作线段BC= .(2)作 .(3) .(4)连结 .则△ABC 为所求等腰三角形.§证明(二)一、填空题1、等腰三角形底边上的__________；底边上的__________；顶角__________；均把它分成两个全等三角形2、已知△ABC ；如下左图所示；其中∠B =∠C ；则_______=________..3、如上中图；在△ABC 中；AB =AC ；∠A =120°；D 是BC 的中点；DE ⊥AC ；则∠C =__________°;CE ∶EA =__________.4、如上右图；已知AD 是△ABC 的外角平分线；且AD ∥BC ；则∠1__________∠B ； ∠2__________∠C ；△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中；∠A =∠B=21∠C ；则△ABC是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°；且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍；那么这个三角形是（）7、如下左图；在△ABC 中；AB =AC ；∠C =2∠A ；BD 是∠ABC 的平分线；则图中共有等腰三角形（）8、如上右；△BD C ′是将矩形ABCD ；沿对角线BD 折起得到的；图中（包括实线、虚线图形）；共有全等三角形（） B 、3 对9、如下左图；在△ABC 中；∠B =∠C =40°；D ；E 是BC 上两点；且∠ADE =∠AED =80°；则图中共有等腰三角形（）10、如上右图；已知△ABC 中；CD 平分∠ACB 交AB 于D ；又DE ∥BC ；交AC 于E ；若DE =4 cm ；AE =5 cm ；则AC 等于（） A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm 三、解答题11、已知；如左下图；△ABC 中；AD 是∠BAC 的平分线；DE ∥AC 交AB 于E ；DF ∥AB 交AC 于F ；AE =6；求四边形AFDE 的周长.12、如图；DE ∥BC ；CG =GB ；∠1=∠2；求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示；△ABC 中；∠ACB =90°；CD ⊥AB ；垂足是D ；∠A =60°.求证：BD =3AD .§证明(二)EC DAD CBA 21EBDAC一、填空题1、已知；等腰△ABC；AB=AC：（1）若AB=BC；则△ABC为_________三角形；（2）若∠A=60°；则△ABC为_______三角形；（3）若∠B=60°；则△ABC为_______三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中；成轴对称图形的是__________.3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴；等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC；等边△DEF的对称轴.4、如图上右图；已知△ABC是等边三角形；AD∥BC；CD⊥AD；垂足为D；E为AC的中点；AD=DE=6cm则∠ACD=_____°；AC=______cm；∠DAC=_______°；△ADE是______三角形.5、如左下图；△ABC是等边三角形；AD⊥BC；DE⊥AB；垂足分别为D；E；如果AB=8 cm；则BD=_______cm；∠BDE=_____°；BE=______cm. 6、如右上图；Rt△ABC中；∠A=30°；AB+BC=12 cm；则AB=__________cm.二、选择题7、下列说法不正确的是三条对称轴AB只有一条对称轴8、下列命题不正确的是C.若一个三角形有三条对称轴；那么它一定是等边三角形°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt△ABC中；如右图所示；∠C=90°；∠CAB=60°；AD平分∠CAB；点D到AB的距离DE=3.8 cm；则BC等于A. cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如下图；在△ABC中；∠A=20°；D在AB上；AD=DC；∠ACD∶∠BCD=2∶3；求：∠ABC的度数.11、如下图；在△ABC中；∠B=90°；M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC；交∠BAC的平分线于点D；求证：MD=MA.12、如右图；已知△ABC 和§证明(二)△BDE都是等边三角形；求证：AE=CD.一、判断题1.如果一个命题正确；那么它的逆命题也正确3.在直角三角形中；任意给出两条边的长可以求第三边的长二、填空题4、Rt△ABC中；∠C=90°；如图下左图；若b=5；c=13；则a=__________；若a=8；b=6；则c=__________.5、等边△ABC；AD为它的高线；下中图所示；若它的边长为2；则它的周长为__________；AD=__________；BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.5、上右图所示；正方形ABCD；AC为它的一条对角线；若AB=2；则AC=__________；若AC=2；则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.6、如右图；△ABC中；∠A+∠C=2∠B；∠A=30°；则∠C=__________；若AB=6；则BC=__________.7、若直角三角形的三条边长分别是6；8；a 则（1）当6；8均为直角边时；a=__________；（2）当8为斜边；6为直角边时；a=__________.三、选择题8、如右图；等腰直角△ABC；AB=2；则S△ABC等于( )B.1 D.29、若三角形的三边分别为a；b；c；则下面四种情况中；构成直角三角形的是()A.a=2；b=3；c=4 B.a=12；b=5；c=13C.a=4；b=5；c=6D.a=7；b=18；c=1710、如左下图；在△ABC中；AD⊥BC于D；BD=5；DC=1；AC=5；那么AB的长度是A.27B.27C.1011、如右上图；AB⊥BC；DC⊥BC；E是BC上一点；∠BAE=∠DE C=60°；AB=3；CE=4；则AD等于( )8 B.24四、解答题12、已知；如下图；等边三角形ABC；AD为BC边上的高线；若AB=2；求△ABC的面积.13、已知：如下图；△ABC中；CD⊥AB于D；AC=4；BC=3；DB=59.（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.§证明(二)14、如右图；为修铁路需凿通隧道AC；测得∠A=50°；∠B=40°；AB=5 km；BC=4 km；若每天凿隧道0.3 km；问几天才能把隧道凿通？一、填空题1、如图；Rt△ABC和Rt△DEF；∠C=∠F=90（1）若∠A=∠D；BC=EF；则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（2）若∠A=∠D；AC=DF；则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（3）若∠A=∠D；AB=DE；则Rt△ABC≌Rt △DEF的依据是__________.（4）若AC=DF；AB=DE；则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.（5）若AC=DF；CB=F E；则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.2、如右图；在Rt△ABC和Rt△DCB中；AB=DC；∠A=∠D=90°；AC与BD交于点O；则有△__________≌△__________；其判定依据是__________；还有△__________≌△__________；其判定依据是__________.3、已知：如图下左图；AE⊥BC；DF⊥BC；垂足分别为E；F；AE=DF；AB=DC；则△__________≌△__________（HL）.4、已知：如上中图；BE；CF为△ABC的高；且BE=CF；BE；CF交于点H；若BC=10；FC=8；则EC=__________.5、已知：如上右图；AB=CD；DE⊥AC于E；BF⊥AC于F；且DE=BF；∠D=60°；则∠A=______°.二、选择题6、如下左图；O是∠BAC内一点；且点O到AB；AC的距离OE=OF；则△AEO≌△AFO 的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中；∠C=∠C′=90°；如上右图；那么下列各条件中；不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5；BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5；∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5；BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5；∠A=∠A′=40°8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) 面三、证明题9、如下图；CD⊥AD；CB⊥AB；AB=AD；求证：CD=CB.10、已知：如下图；CD、C′D′分别是Rt △ABC；Rt△A′B′C′斜边上的高；且CB= C′B′；CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.§证明(二)11、如下图；已知∠ABC=∠AD C=90°；E是AC上一点；AB=AD；求证：EB=ED.一、填空题1、如下左图；已知直线MN是线段AB的垂直平分线；垂足为D；点P是MN上一点；若AB=10 cm；则BD=__________cm；若P A=10 cm；则PB=__________cm；此时；PD=__________cm.2、如下中图；在△ABC中；AC的垂直平分线交AC于E；交BC于D；△ABD的周长是12 cm；AC=5cm；则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.3、如上右图；在Rt△ABC中；∠C=90°；∠B=15°；DE是AB的中垂线；垂足为D；交BC于E；BE=5；则AE=_________；∠AEC=_________；AC=__________ .4、已知线段AB及一点P；P A=PB=3cm；则点P在__________上.5、如果P是线段AB的垂直平分线上一点；且PB=6cm；则P A=__________cm.6、如图下左图；P是线段AB垂直平分线上一点；M为线段AB上异于A；B的点；则P A；PB；PM的大小关系是P A________PB________PM.7、如图下中图；在△ABC中；∠C=90°；∠A=30°；BD平分∠ABC交BC于D；则点D 在__________上.8、如图上右图；BC是等腰△ABC和等腰△DBC 的公共底；则直线AD必是__________的垂直平分线.二、选择题9、下列各图形中；是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形10、如下左图；AC=AD；BC=BD；则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACB11、如上右图；△ABC中；AB的垂直平分线交AC于D；如果AC=5 cm；BC=4cm；那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部；那么；这个三角形是三、解答题13、如右图；P是∠AOB的平分线OM上任意一点；PE⊥CA于E；PF⊥OB于F；连结EF.求证：OP垂直平分EF .§证明(二)一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心；以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆；必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图；点P为△ABC三边中垂线交点；则P A__________PB__________PC.6、如右上图；在锐角三角形ABC中；∠A=50°；AC、BC的垂直平分线交于点O；则∠1_______∠2；∠3______∠4；∠5______∠6；∠2+∠3=________度；∠1+∠4=______度；∠5+∠6=_______度；∠BOC=_______度.7、如左下图；D为BC边上一点；且BC=BD+AD；则AD__________DC；点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图；在△ABC中；DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线；则∠B__________∠1；∠C__________∠2；若∠BAC=126°；则∠EAG=__________度.9、如左下图；AD是△ABC中BC边上的高；E是AD上异于A；D的点；若BE=CE；则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC；则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图；∠BAC=120°；AB=AC；AC 的垂直平分线交BC于D；则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P；使得P A=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系；并总结规律：当△ABC为锐角三角形时；点P在△ABC 的__________；当△ABC为直角三角形时；点P在△ABC 的__________；§1.3.2证明(二)当△ABC 为钝角三角形时；点P 在△ABC 的__________；反之也成立；且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个. 四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点；那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴二、填空题5、如图下左图；AD 平分∠BAC ；点P 在AD 上；若PE ⊥AB ；PF ⊥AC ；则PE __________PF .6、如图下中图；PD ⊥AB ；PE ⊥AC ；且PD =PE ；连接AP ；则∠BAP __________∠CAP.7、如图上右图；∠BAC =60°；AP 平分∠BAC ；PD ⊥AB ；PE ⊥AC ；若AD =3；则PE =______. 8、已知；如图（4）；∠AOB =60°；CD ⊥OA 于D ；CE ⊥OB 于E ；若CD =CE ；则∠COD +∠AOB =__________度. 9、如图（5）；已知MP ⊥OP 于P ；MQ ⊥OQ 于Q ；S △DOM =6 cm 2；OP =3 cm ；则MQ =__________cm.三、选择题10、下列各语句中；不是真命题的是( ) P11、下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截；截得的同位角相等12、如左下图；在△ABC 中；∠ACB =90°；BE 平分∠ABC ；DE ⊥AB 于D ；如果AC =3 cm ；那么AE +DE 等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图；已知AB =AC ；AE =AF ；BE 与CF 交于点D ；则①△ABE ≌△ACF②△BDF ≌△CDE ③D 在∠BAC 的平分线上；以上结论中；正确的是① ② ①和② D.①；②与③ 四、解答题§证明(二)14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图；已知BE⊥AC于E；CF⊥AB于F；BE、CF相交于点D；若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.一、判断题1、在同一平面内；到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内；到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1）；点P为△ABC三条角平分线交点；PD⊥AB；PE⊥BC；PF⊥AC；则PD__________PE__________PF.7、如图（2）；P是∠AOB平分线上任意一点；且PD=2cm；若使PE=2cm；则PE与OB的关系是__________.8、如图（3）；CD为Rt△ABC斜边上的高；∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F；FG ⊥AB；垂足为G；则CF__________FG；∠1+∠3=__________度；∠2+∠4=__________度；∠3__________∠4；CE__________CF.9、如右图；E、D分别是AB、AC上的一点；∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M；∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB；NH⊥ED；NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC；MP⊥AB；MQ⊥AC∵EN平分∠BED；DN平分∠EDC∴NF__________NH；NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC；CM平分∠ACB∴__________=__________；__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质；找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中；找到距三边所在直线．．距离相等的点.§证明(二)12、如下图；一个工厂在公路西侧；在河的南岸；工厂到公路的距离与到河岸的距离相等；且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC 中；∠C =90°；AD 平分∠BAC ；交BC 于D ；若BC =32；且BD ∶CD =9∶7；求：D 到AB 边的距离.班级：_______姓名：________得分：__________ 一、填空题°；则其余两角分别为_________. 2.一个等腰三角形的两边长为5和8；则此三角形的周长为_________.3.如下左图；△ABC 中；∠C =90°；AM 平分∠CAB ；CM =20 cm ；则点M 到AB 的距离是_________.4.如上右图；等边△ABC 中；F 是AB 中点；EF ⊥AC 于E ；若△ABC 的边长为10；则AE =_________；AE ∶EC =_________.5.如下左图；△ABC 中；DE 垂直平分BC ；垂足为E ；交AB 于D ；若AB =10 cm ；AC =6 cm ；则△ACD 的周长为_________.6.如上右图；∠C =90°；∠ABC =75°；∠CDB =30°；若BC =3 cm ；则AD =_________ cm.7.如下左图；B 在AC 上；D 在CE 上；AD =BD =BC ；∠ACE =25°；∠ADE=_________.1 cm ；那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如上右图；在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ；OT =OS ；PT 和QS 相交于点C ；则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等；这个命题的逆命题是________________；这个逆命题是_________命题. a 、b 、c ；且a 2－bc =a (b －c )；则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题3；则它的边长为（）面A.4B.3n °；那么它的一腰上的高与底边的夹角等于单元测试证明(二)（）A.290 nB.90－2nC.2n °－n ° a 、b 、c 组成的三角形；不是直角三角形的是（） A.a =3；b =4；c =5B.a =1；b =34；c =35 C.a =9；b =12；c =15 D.a =3；b =2；c =5 15.直角三角形的三边长为连续自然数；则它的面积为（） B.16.△ABC 中；∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3；最小边BC =4 cm ；最长边AB 的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm右图；△ABC 中； AB =AC ；BC =BD ； AD =DE =EB ；则∠A 的度数为（）°B.45°C.36°°△ABC 中；AC =2BC ；周长为60；则BC 的长为（）B.12C.15或12 5 cm 、12 cm ；其斜边上的高是（） A.13 cmB.1330 cm C.1360 cm D.9 cm 20.直角三角形中；以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20；则以斜边为边长的正方形的面积为（） A.25 B.50 C.100a ；顶角是底角的4倍；则腰上的高是（） A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；则此三角形一定是（）ABC 中；∠A =120°；BC 中点为D ；过D 作DE ⊥AB 于E ；AE =4 cm ；则AD 等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.下列说法中；正确的是（）右图；AB ⊥CD ；△ABD 、△BCE 都是等腰三角形；如果CD =8；BE =3；那么AC 长为（） A.8 B.5C.3D.34°的直角三角形拼成下右图；其中两条长直角边在同一直线上；则图中等腰三角形的个数是（） A.4 B.3 C.2 D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）B.在一个三角形中；如果两边相等；那么它们所对的角也相等C.同位角相等；两直线平行*28.已知一个直角三角形的周长是4+26；斜边上中线长为2；则这个三角形的面积为（） A.5B.2C.45三、解答题29.已知：如图；AB =AC ；DE ∥AC ；求证：△DBE 是等腰三角形.30.已知：如图；在Rt △ABC 中；∠C =90°；∠BAD =21∠BAC ；过点D 作DE ⊥AB ；DE 恰好是∠ADB 的平分线；求证：CD =21DB .n 2+n ；n +21和n 2+n +21(n ＞0)；求证：这个三角形是直角三角形.32.如图；△ABC 中；AB =AC ；∠1=∠2；求证：AD 平分∠BA C.33.如图；以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ；连结DC ；以DC 当边作等边△DCE ；B 、E 在C 、D 的同侧；若AB =2；求BE 的长.*34.①在△ABC 中；AB =AC ；AB 的垂直平分线交AC 于N ；交BC 的延长线于M ； ∠A =30°；求∠NMB 的大小.②如果将①中的∠A 的度数改为70°；其余条件不变；再求∠NMB 的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A 改为钝角；对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC 3.高线中线平分线 4.30 3∶三、1.解：∵AD 平分∠BAC ；∴∠EAD =∠F AD ；且DF ∥AE∴∠EAD =∠ADF ；∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理；可得AE =ED ；∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中；⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDA EDA ADAD FAD EAD ∴△ADE ≌△ADF （ASA ） ∴AE =AF ；DE =DF综上；AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2；∴AD =AE 又∵DE ∥BC ；∴∠1=∠B ；∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ；∴AB －AD =AC －AE即DB =EC∴在△DBG 和△ECG 中；⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CG BG C B EC DB ∴△DBG ≌△ECG （SAS ）∴DG =GE ；∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ；∴∠ADC =90°；又∵∠A =60°；∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中；AD =21AC ；又∵∠ACB =90°；在Rt △ACB 中； ∴∠B =30°；∴AC =21AB ∴AD =4AB ；则AD =31BD ；即BD =3AD . 等腰三角形判别一、1.（1）等边（2）等边（3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8三、1.解：∵AD =DC ；且∠A =20°；∴∠A =∠ACD =20°；又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3∴∠BCD =30°；∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110°2.证明：∵MD ⊥BC ；且∠B =90°； ∴AB ∥MD ；∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ；∴∠D =∠MAD ； ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形； ∴AB =BC ；∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形；∴BE =BD ；∠DBE =60°； ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD中；⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB ∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；∴AE =CD 1.2.1勾股定理一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.63 1 3 22 2 2° 35.(1)10 (2)27.四、1.解：∵△ABC 为等边三角形；且AD ⊥BC ；∴AD 平分∠BAC ；即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1；而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3∴△ABC 的面积为3.2.（1）解：在Rt △DCB 中；DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512（2）解：在Rt △ACD 中；AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516（3）解：AB =AD +DB=516+59=5 （4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25；AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°； ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°；∠B =40°；∴∠C =90°；∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 直角三角形全等的判定一、1.（1）AA S （2）ASA （3）AA S （4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF三、1.证明：连结AC ；CD ⊥AD ；CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中⎩⎨⎧==AC AC ABAD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .（本题也可用勾股定理直接证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ；C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中；⎩⎨⎧''=''=CB BCD C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL )∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中；⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ).3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中；⎩⎨⎧==AC AC ADAB ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE中；⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC ∴△DCE ≌△BCE （SAS ）；∴EB =ED 线段的垂直平分线一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.530°AB ABBC四、证明：∵PE ⊥OA 于E ；DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中；⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFOPEO ∴△PEO ≌△PFO ；∴PE =PF ；EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上； ∴OP 垂直平分EF . 三角形三条中垂线交于一点一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= = 2.= = = 50 50 80 100 3.= AC 4.= = 72° 5.BED CED BAD C AD °三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可.2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ；∴DF =DE ∴D 在∠A 的平分线上；∴AD 平分∠BAC . 1.4.2三角形三角的平分线交于一点一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = = 4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线平分线四、解：过点D 作DE ⊥AB ；则DE 是点D 到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7； ∴CD =BC ·16732167⨯==14 而AD 平分∠CAB ；∴DE =CD =14 第一章单元测试卷°；55°或70°；40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm ° 8.22或2134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。

九上数学培优证明二三习题

E D CAB培优三试题（9月26日）1、已知：如图，点D 是△ABC 内一点，AB ＝AC ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.3、在ΔABC 中，DB 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ，过D 作直线EF //BC ，交AB 、AC 于E 、F ，若AB =8，AC =7，则ΔAEF 的周长等于多少？第3题图4、等腰ΔABC 中，BC 边上的高AD =BC 21,试求∠BAC 的度数．（不写过程） 5、在ΔABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B 等于 .F DE CBA【折叠问题】6、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°7、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来。

（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是。

【证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略】1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。

（角也亦然） 2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。

（角也这样）3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。

九年级数学上证明二三部分训练题试题

九年级数学上证明二三局部训练题1. 如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF,AE=BC, 且 AE ∥BC.求证：〔1〕△AEF ≌△BCD ；(2) EF ∥CD.【证明】〔1〕因为AE ∥BC,所以∠A=∠B. 又因AD=BF,所以AF=AD+DF=BF+FD=BD 又因AE=BC,所以△AEF ≌△BCD.(2)因为△AEF ≌△BCD,所以∠EFA=∠∥CD.2. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3) 在〔2〕的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 【证明】〔1〕过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 那么AM=BC=2.又tan ∠ADC=2,所以212DM ==.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即△ECF 是等腰直角三角形.BCFDAEEBFCDA〔3〕设BE k =,那么2CE CF k ==，所以22EF k =. 因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒. 所以22(22)3BF k k k =+=∴sin ∠BFE=133k k =。

3. ：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．〔1〕求证：△ADE ≌△CBF ；〔2〕假设四边形 BEDF 是菱形，那么四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．解：〔1〕∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF ． ∴△ADE ≌△CBF ．〔2〕当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE ＝BE ．∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形．4. 如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． (1)求证：四边形AFCE 是平行四边形．(2)假设去掉条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由．〔1〕证：∵四边形ABCD 是平行四边形∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°∴∠ADE=∠CBF=60°∵AE=AD，CF=CB∴△AED，△CFB是正三角形在ABCD中，AD=BC，DC∥AB，DC=AB∴ED=BF ∴ED+DC=BF+AB即 EC=AF 又∵DC∥AB即EC∥AF ∴四边形AFCE是平行四边形〔2〕上述结论还成立证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC∥=AB∴∠ADE=∠CBF ∵AE=AD，CF=CB ∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF ∴∠AED=∠CFB 又∵AD=BC ∴△ADE≌△CBF∴ED=FB ∵DC=AB∴ED+DC=FB+AB即EC=FA ∵DC∥AB∴四边形EAFC是平行四边形………………9分5. 两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如下图放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．解：△EMC是等腰直角三角形．证明：由题意，得DE=AC，∠DAE＋∠BAC900.∠DAB=900.连接AM．∵DM=MB∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450.∴∠MDE=∠MAC=1050∴△EDM≌△CAM∴EM=MC, ∠DME=∠AMC又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900∴CM⊥EM所以△EMC是等腰直角三角形6. ，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.〔1〕求证：△AGE≌△DAB〔2〕过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数. 解：〔1〕∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴△AGD是等边三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝ABDAB CG EF∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，∴△AGE≌△DAB〔2〕由〔1〕知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG-----〔6分〕∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形∴EF＝BD，∴EF＝AE．∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF,即∠AEF＝∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

九年级上册证明(二)测试题

九年级上册证明(二)测试题九年级数学第一章证明(二) 测试题班次学号姓名一 .填空题(每小题3分):1．如图,修建抽水站时,沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道,若量得水管AB的长度为80米,那么点B离水平面的高度BC的长为米.2.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形是三角形.3.如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是或.4.命题:〝全等三角形的对应角相等〞的逆命题是______________________________________.这条逆命题是______命题(填〝真〞或〝假〞)5.如图,一个顶角为40_ordm;的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则_________;6.在△ABC中,已知AB＝AC,AD是中线,∠B＝70°,BC＝15cm, 则∠BA C＝,∠DAC＝,BD＝cm;7.已知,如图,O是△ABC的∠ABC.∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC = 10,则△ODE的周长为.8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB相交于D点,则∠BCD的度数是.9.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D.若DC=7,则D到AB的距离是.10.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD的长为.二. 选择题(每小题3分)1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2,则它的顶角等于( )A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中,一定全等的是( )(A)有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形(B)两个等边三角形(C)有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形(D)有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形3.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的( )A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4.△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于点D若BC=a,则AD等于( )A.aB.aC.aD.a5.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )A.30°B.36°C.45°D.70°三.解答题(每题12分)1.如图,AD⊥CD,AB=10,BC=20,∠A=∠C=30°.求:(1).∠A BC的度数(2).AD.CD的长.2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠A=120°.(1).用直尺和圆规作AB的垂直平分线,分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹,不写作法).(2).猜想CM与BM之间有何数量关系,并证明你的猜想.四.证明题(每题10分)1.已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD. 求证:D在∠BA C的平分线上.2.已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使 CE ＝ CD．求证:BD ＝ DE．五.(本题11分)阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE．求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示,请任意选择其中一种,对原题进行证明．。

九年级数学上册证明(二)单元测试题

九年级数学第三章证明（二）测试卷（时间：40分钟;满分：100分）班别：学号：姓名：成绩：一、单项选择题（本大题包括8小题;每小题4分;共32分）1．如图;在□ABCD 中;对角线AC;BD 交于点O;下列式子中一定成立的是（）A.AC ⊥BD B ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD 2．顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A ．菱形B ．正方形C ．矩形D ．等腰梯形 3．下列命题中错误．．的是（） A ．平行四边形的对边相等 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．矩形的对角线相等 D ．对角线相等的四边形是矩形4．如图;在菱形ABCD 中;E;F 分别是AB;AC 的中点;如果EF=2;那么菱形ABCD•的周长是（）A ．4B ．8C ．12D ．16 5．正方形具有而菱形不一定．．．具有的性质是（） A ．对角线相等 B ．对角线互相垂直平分 C ．对角线平分一组对角 D ．四条边相等 6．已知四边形ABCD 是平行四边形;下列结论中不正确．．．的是（） A ．当AB=BC 时;它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时;它是菱形C ．当∠ABC=90°时;它是矩形D ．当AC=BD 时;它是正方形 7．如图;梯形ABCD 中;AD ∥BC;AD=AB;BC=BD;∠A=100°;则∠C=（） A ．80° B ．70° C ．75° D ．60°8．如图;边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′;图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．33C ．1－33D ．1－34二、填空题（本大题包括5小题;每小题4分;共20分）9．已知菱形ABCD 的面积是212cm ;对角线AC = 4 cm;则菱形的边长是 .10．如图;点E;F 是菱形ABCD 的边BC;CD 上的点;请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母）;使AE=AF;你添加的条件是________________________________________．11．如图;在矩形ABCD 中;对角线AC;BD 交于点O;已知∠AOD=120°;AB=2.5;则AC 的长为 .B CDAPABCD第7题第1题第4题第10题第11题第12题第8题第13题12．如图;已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点;且BP = BC ;则∠ACP 度数是． 13．如图;梯形ABCD 中;AB ∥DC;∠ADC+∠BCD=90°;且DC=2AB;分别以DA;AB;BC 为边向梯形外作正方形;其面积分别为123S S S ，，;则123S S S ，，之间的关系是．三、解答题（每小题8分;共48分）14．已知：如图;E;F 是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点;AE=CF ．求证：EB ∥DF ．15、证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：求证：证明：16．如图;在矩形ABCD 中;点E 是BC 上一点;AE=AD;DF ⊥AE;垂足为F ．线段DF 与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上;然后再加以证明．即DF=________．（写出一线段即可）17．如图;四边形ABCD 中;AB ∥CD;AC 平分BAD ;CE ∥AD 交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形;（2）若点E 是AB 的中点;试判断△ABC 的形状;并说明理由．18．如图;在△ABC 中;点O 是AC 边上的一个动点;过点O 作直线MN ∥BC;设MN 交∠BCA的角平分线于点E;交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO=FO;（2）当点O 运动到何处时;四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．19．如图;在△ABD 中;AB=AD;AO 平分∠BAD;过点D 作AB 的平行线交AO 的延长线于点C;连接BC.A B C E F M N O(N)(M)DCB AO （1）求证：四边形ABCD 是菱形.（2）如果OA;OB （OA>OB ）的长（单位：m ）是一元二次方程27120x x 的两根;求AB 的长以及菱形ABCD 的面积.（3）若动点M 从A 出发;沿AC 以2 m / s 的速度匀速直线运动到点C;动点N 从B 出发;沿BD 以1 m / s 的速度匀速直线运动到点D;当M 运动到C 点时运动停止. 若M;N 同时出发;问出发几秒钟后;△MON 的面积为214m ？。

九上证明二练习题及答案C

九上证明二练习题及答案CThe document was prepared on January 2, 2021北九上第一章《证明（二）》水平测试（C ）一、精心选一选（每小题3分，共30分）1．等边三角形的高为23，则它的边长为（）A ．4B ．3C ．2D ．52．等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）A ．290n B ．90－2 n C ．2 n D ．90°－n°3．下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（）A ．a=3，b=4，c=5B ．a=1，b=34，c=35 C ．a=9，b=12，c=15 D ．a=3，b=2，c=54．直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．125．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm ，最长边AB 的长是（）A ．5cmB ．6cmC ．5cmD ．8cm6．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，则∠A 的度数为（）A ．55°B ．45°C．36° D ．30°7．等腰△ABC 中，AC=2BC ，周长为60，则BC 的长为（）A ．15B ．12C ．15或12D ．以上都不正确8．直角三角形两直角边分别是5cm 、12cm ，其斜边上的高是（）A ．13cmB ．1330cmC ．1360cm D ．9cm 9．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）A ．25B ．50C ．100D ．6010．等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）A ．23aB ．33aC ．63aD ．21a 二、耐心填一（每小题3分，共30分）1．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________．2．一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________．3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB，CM=20cm ，则点M 到AB 的距离是_________．4．如图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE=_________，AE ：EC=_________．5．如图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则△ACD 的周长为_________．6．如图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3cm ，则AD=_________cm ．7．如图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD=BD=BC ，∠ACE=25°，∠ADE=_________．8．等腰直角三角形一条边长是1cm ，那么它斜边上的高是_________cm ．9．如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ=OP ，OT=OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形．10．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题．三、认真答一答（每小题10分，共60分）1. 已知：如图10，AB=AC ，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．2．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAD=21∠BAC，过点D 作DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD=21DB ．3．已知三角形的三边分别是n 2+n ，n+21和n 2+n+21（n ＞0），求证：这个三角形是直角三角形．4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC．5．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB=2，求BE 的长．6．①在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A=30°，求∠NMB 的大小．②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小．③你感到存在什么样的规律性试证明．（请同学们自己画图）④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改参考答案一、1．A 2．C3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．B 10．D二、1．55°，55°或70°，40° 2．18或21 3．20cm 4．25 1：3 5．16cm 6．67．75° 8．22或21 9．4 10．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形真、1．略 2．略 3．略 4．略 5．1 6．①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。

九年级数学上册证明(2)同步练习试题

轧东卡州北占业市传业学校证明〔2〕同步练习考标要求1能用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定解有关几何问题2 继续了解证明的根本步骤和书写格式，培养推理意识和表达能力。

重点：用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定证明有关几何问题证明有关几何问题难点：用角平分线的性质和等腰三角形的性质、判定解决实际问题一选择题〔每题5分，共25分〕1如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA,PD ⊥OA,假设PC=4，那么PD 等于〔〕 A 4 B 3 D 2 C 12 如图，在以下三角形中，假设AB=AC,那么能被一条直线分成两个小等腰三角形的是〔〕A ①②③B ①②④ C②③④ D ①③④ 3 △ABC 为等腰三角形，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于O,OE ∥AB 交BC 于E ， OF ∥AC,交BC 于F,那么图中等腰三角形有〔〕A 6B 5C 4D 3 4 同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB,当跷跷板的一头着地时， ∠OAC=25°，那么当跷跷板的另一头B 着地时④③CBA CBA 108°90°第2题图DC PBOA②CBA45°①CBA36°第1题图∠AOA ’等于〔〕A 2 5°B 50 °C 60°D 130°5如图，AC 平分∠BAD,CM ⊥AB,且AB+AD=2AM,那么∠ADC 与∠ABC 〔〕 A 相等 B 互补 C 和为150° D 和为165°二填空题〔每题5分，共256 如图，：AB ∥CD, ∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点AB 、CD 间的距离是________.7 如图，，∠C=90°，AD 平分∠BAC,点D 到AB 的距离是3cm,那么DC=_____cm 8 〔2007年〕一个等腰三角形的一个外角等于110°，那么这个三角形的三个角应该是 _____________________________________ 9 如图，△ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，那么△ABC 一定是__________三角形 10 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AD=DE=EB ， BD=BC ，那么∠A=___°.三解答题〔每题10分，共11：如图，OP是∠AOC 和∠OB=OD。

九年级数学上册证明二单元测试题北师大版

证明（一）检测题一、选择题1 、如图，在ABC 中，90C ∠=。

，EF//AB,150∠=。

，则B ∠的度数为（）A ．50。

B.60。

C.30。

D.40。

2、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°3、如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（） A ．AB 中点 B ．BC 中点C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB 的交点4、如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠5、如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离1 232C不可能是（） A ．5米B ．10米C ． 15米D ．20米6、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（） A ．7 B ．9 C ．12 D ．9或127、下列命题中，错误的是（）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形8、如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（）A ．30B ．40C ．50D ．609、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP10、如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE=（） A ．2B ．3C ．22D ．2311、如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是ADCEBOBAP（）①1A ∠=∠，②CD DBAD CD =，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶， ⑤ACBD AC CD =·· A ．1 B ．2 C ．3 D ．412、（2009年某某）如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤ 二、填空题13、（2009年某某市）如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。

九上数学培优证明二、三习题2

三角形、平行四边形综合练习题1一、选择题1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶ 7, 则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点．（）（A ）高（B ）角平分线（C ）中线（D ）边的垂直平分线3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个（）（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ；（3）BD=CD ；（4）AD ⊥BC ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个二、填空题4．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 _______或；若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或．第4题第5题第6题5.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.6.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=ACBB8、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于E、F。

你认为OE与OF有怎样的关系？请证明你的结论。

【九年级】九年级上册第一章证明(二)单元试题(北师大附答案)

【九年级】九年级上册第一章证明（二）单元试题（北师大附答案）第一章证明（二）检测题（本试卷满分120分，时间120分钟）一、（每小题3分，共30分）1.以下主张：① 等腰三角形的角平分线、中线和高度重合；② 等腰三角形两边的高度相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）a、 1 B.2 C.3 D.42.如图所示，△abc是等腰三角形，点d是底边bc上异于bc中点的一个点，∠ade＝∠dac，de=ac.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）a、平行四边形是指一组相对边平行的四边形和另一组相对边相等的四边形b.有一组对边平行的四边形是梯形c、具有相等对边和相等对角线的一组四边形是平行四边形d.对角线相等的四边形是矩形3.如图所示，在△ ABC，D点在AC的一侧，则∠a的度数为（）a、30°b.36°c.45°d.70°4.下列命题,其中真命题有（）① 4的平方根是2；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③ 连接任意四边形每边中点的四边形是平行四边形a.0个b.3个c.2个d.1个5.如果已知等边三角形的高度为2，则其边长为（）a.4b.3c.2d.56.在△ 美国广播公司，∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3，最短边C，则最长边AB的长度为（）a.5cb.6cc.cd.8c7.如果等腰三角形底边长度为a，顶角为底角的4倍，则腰部高度为（）a.ab.ac、广告8.下列说法中，正确的是（）a、两个相等的三角形对应于两条边和一条对角线是全等的b.有一边对应相等的两个等腰三角形全等c、两边和一边的中线对应于两个相等三角形的同余d.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等9.已知直角三角形的周长是2，斜边上的中心线的长度是2，那么个三角形的面积为（）a、 5b。

二c.d.110.如图所示△ ABC，AB的垂直平分线在D点与AC相交，在E点与AB相交。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

培优三试题（9月26日）
1、已知：如图，点D
是△ABC 内一点，AB ＝AC ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．
2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －BC=2. 求AB 与BC 的长.
3、在ΔABC 中，DB 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ，过D 作直线EF //BC ，交AB 、AC 于E 、F ，若AB =8，AC =7，则ΔAEF 的周长等于多少？第3题图
4、等腰ΔABC 中，BC 边上的高AD =
BC 2
1
,试求∠BAC 的度数．
（不写过程） 5、在ΔABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B 等于 .
F D
E C
B
A
【折叠问题】
6、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．
(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°
7、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来。

（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是。

【证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略】
1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。

（角也亦然） 2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。

（角也这样）
3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。

（角也这样）
4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。

（角也可用）
5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

Q
例1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别为BC 、CD 上的点。

（1）若∠PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ 。

（2）若△PCQ 的周长等于正方形周长的一半，求证：
∠PAQ=45°
例2（长截短）：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠A 的平分线AD 交BC 于D 。

求证：AC=AB+BD
(尝试用不同方法解决)
例3 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF.
例4已知，AD是△ABC的中线，BF交AC于F,交AD于E,且AE=EF,求证：AC=BF.（图形同上）
答案
2、分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．
3、ΔAEF的周长等于15．
4、分类讨论：共三种情况（1）∠BAC=90°；（2）∠BAC=75°；（3）∠BAC=15°．
5、70°或20°，P52页。

5、分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。

6、分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。

问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。

另外，还可以从另一个角度分析。

由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。

这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。

问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。

因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO 中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。

下面的这个题目就是用这个思路解决的。

大家可以尝试一下。

例1证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。

∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABE=∠ABC=∠D=90°，AB=AD
在△ABE和△ADQ中
∵AB=AD，∠ABE=∠D，BE=DQ
∴≅∴=∠=∠∠=∴∠+∠=∴∠+∠=∠=∠=∆∆ABE ADQ
AE AQ BAE QAD PAQ BAP QAD BAP BAE EAP PAQ ，°°°，
即°
45454545
在和中
，，即∆∆∆∆AEP AQP AE AQ EAP PAQ AP AP AEP AQP EP PQ
EP EB BP DQ BP PQ
PB DQ PQ =∠=∠=∴≅∴=∴=+=+=+=
Q
（2）延长CB 至E ，使BE=DQ ，连接AE 由（1）可知∆∆ABE ADQ ≅
∴=∠=∠∴∠+∠=∠+∠=∴++=+∴=-+-=+=+====∴≅∴∠=∠=AE AQ BAE QAD
DAQ BAQ BAE BAQ PCQ PC QC QP BC CD
PQ BC PC CD QC BP DQ BP EB EP AEP AQP AE AQ EP PQ AP AP AEP AQP
EAP PAQ ，°的周长等于正方形周长的一半在和中
，，°
9045 ∆∆∆∆∆()()
例2证明：在AC上截取OA=AB，连接OD，∵∠3=∠4，AD=AD
∴△ABD≌△AOD，∴BD=DO
∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C
∴∠2=∠C
∴OD=OC=BD
∴AC=OA+OC=AB+BD。