微分方程习题PPT课件

C,
7
原方程的通解为
1
y3
3
7
x3
2
Cx3 .
7
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例3
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
解 P (2x) 6x ,
y y y3
y4
Q ( y2 3x2 ) 6x , ( y 0 )
x x y4
y4
P Q , y x
方程为全微分方程.
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其中 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
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注意： 全微分方程 P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
x
y
u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
Q( x, y)dy
y0
x0 P( x, y0 )d x,
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
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公式法:
若 1 (P Q y
Q) x
f (x)
若
1 P
(Q x
P ) y
g(
y)
则 ( x) e f ( x)dx;
则 ( y) e g( y)dy .
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察 直接找出积分因子．
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y
x
P Q , y x
非全微分方程.
利用积分因子法: 原方程重新组合为
( x2 y2 )(dx dy) 2( ydx xdy),
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y
dx dy 2 ydx xdy x2 y2
d( )
2
1
x (y
)2
,
x
1 y
x
y
ln 1
x y
ln C ,
x
故方程的通解为 e x y C x y . x y
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
1
z y 3,
原式变为 3z 2 z 3 x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
对应齐方通解为 z Cx3 ,
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利用常数变易法
2
设 z C(x)x3,
代入非齐方程得
2
C( x)x3 x2 ,
C(
x)
3
7
x3
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x],
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(2) 利用分项组合法求解:
原方程重新组合为
2x 3x2
1
( dx dy) dy 0,
y3
y4
y2
即得
x2
1
d( ) d( ) 0,
y3
y
故方程的通解为
x2 1 C. y3 y2
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(3) 利用曲线积分求解:
( x,y) 2x dx y2 3x2 dy C,
常见的全微分表达式
xdx
ydy
d
x2
2
y2
xdy x2
ydx y2
d arctan
y x
xdy x2
ydx
d
y x
xdy ydx d ln xy
xy
xdx x2
ydy y2
d 1 ln( x 2 2
y 2 )
xdy x2
ydx y2
d 1 ln 2
x x
y y
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
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解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
y1n z
e (1n)P( x)dx ( Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
(6) 全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
所求通解为 xy cos y C . x
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4
例2 求通解 xy 2 y 3x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
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非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
(1) 利用原函数法求解:
设原函数为u( x, y), 则 u 2x , x y3
u( x, y) x2 ( y),
y3
两边对 y 求导,
u 1 3x2 3x2 ( y),
y y2 y4
y4
解得 ( y) 1 ,
y2
( y) 1 ,
y 故方程的通解为
x2 1 C.
y3 y2
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(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
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y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
通解为 u( x, y) C .
用直接凑全微分的方法.
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(7) 可化为全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
非全微分方程 (P Q). y x
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
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定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
maxl
,
n
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
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7、欧拉方程
形如
xn y(n)
p x n1 1
y ( n1)
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数)，叫欧拉方程.
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
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(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
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例5 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
dP 1 P 2
P
,
dy 2 y
解得， 1 P2 C1 y,
P C1 y 1,
即 dy dx
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y sin y
y
x cos
x y
),
xx x
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令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
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通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
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dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
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(4) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭
复根 i
[(C0 C1x Ck1xk1)cos x (D0 D1x Dk1xk1)sin x]ex
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６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
等.
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而 y1*与 y2*分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
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５、二阶常系数齐次线性方程解法 形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
y (0,1) 3
y4
即
x 2x
y y2 3x2
dx
dy C,
1 0 3
1
y4
x2
1 y
y 1
x2 y3
y 1
C.
故方程的通解为
x2 1 C. y3 y2
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例4 求通解 ( x2 y2 2 y)dx ( x2 y2 2x)dy 0.
解 P 2 y 2, Q 2x 2,
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
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推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
一、主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量
二阶常系数线性 方程解的结构
3.齐次方程
特征方程法
4.可化为齐次
方程 5.全微分方程
待 定 系
特征方程的根 及其对应项
6.线性方程
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
7.伯努利方程
高阶方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变
降
换阶
高阶方程
作变换
分离变量法
全微分方程
积分因子
常数变易法
特征方程法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
幂级数解法 待定系数法
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1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
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8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
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二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.