数学分析期末考试题
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（5 分） (
∂ u ∂ x
∂u = − r sin θu x + r cosθu y ∂θ
1 ∂u ∂u ∂u ∂u 2 ) + ( ) 2 = ( ) 2 + 2 ( ) 2 （2 分） ∂y ∂r ∂x r ∂θ 1 1 cos 有界， x 2 + y 2 为无穷小， lim f ( x, y ) = 0 （5 分） ( x , y ) →( 0 , 0 ) x y
∫
π
2 0
sin 2 3θdθ =
πa 2
4
（7 分）
1 4π cos (7 分） 2 5
4、解： lim n
n→∞
1 1 = ，r=2（3 分） n 2 2
收敛域为（-3，1） ，级数的和为 5、解： 设极坐标方程为
1 （4 分） ， 1− x
= u x cosθ + u y sin θ
x = r cosθ , y = r sin θ
e 1
∫
e
∫ cos(ln x)dx = e sin 1 − e cos1 + 1 − ∫ sin(ln x)dx
1 1
e
e
（5 分）
∫ sin(ln x)dx = 2 (e sin 1 − e cos1 + 1) （2 分）
1
e
1
a2 2、 由对称性知，所求的面积为： 6 × 2
3、 解：上极限为 0.5，下极限为
， 而
三、1、解、由于 sin
1 1 1 1 1 1 lim lim( x 2 + y 2 ) sin cos = lim(lim x 2 sin cos + lim y 2 sin cos ) 0 0 0 x →0 y →0 x → y → y → x y x y x y
1 1 1 1 lim x 2 sin cos 极限不存在， lim y 2 sin cos 极限存在，故整体极限不存在，同理 y →0 y →0 x y x y
x →0 y → 0 y →0 x →0
x ≠ 0, y ≠ 0 x = 0或y = 0
，求
( x , y ) →( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) ， 问
lim lim f ( x, y ), lim lim f ( x, y ) 是否存在？为什么？
2、讨论反常积分 3、讨论 f n ( x) =
0
(a > 0, b > 0) （3 分）
2、证明：由于收敛
∑x
n =1
n
，故 lim x n = 0 （2 分） ，于是，总存在 ∃n0 使得 n ≥ n0 时，有
n→∞
∞ ∞
0 ≤ x n < 1 ，从而，当 n ≥ n0 时，有 0 ≤ x < x n （5 分） ，由于级数 ∑ x n 收敛，当然 ∑ x n
∞
( x + 1) n 的和 4、求幂级数 ∑ 2n n =1
5、 u = f ( x, y ) 为可微函数， 求 (
∂u 2 ∂u ) + ( ) 2 在极坐标下的表达式 ∂x ∂y
三、讨论与验证题： （每小题 10 分，共 30 分）
1 1 ⎧ 2 2 ⎪( x + y ) sin cos 1 、 已 知 f ( x, y ) = ⎨ x y ⎪ 0 ⎩
∫
+∞
0
1 dx 的敛散性。 x + xq
p
nx 1+ n + x
x ∈ [0,1] 的一致收敛性。
（每小题 10 分，共 20 分） 四、证明题： ，证 1、 设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数， f (0) = 0 ，记它的反函数f--1（y） 明
∫
a
0
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy ≥ ab
∫
+∞
p
敛（2 分） 3、解： lim f n ( x) = x = f ( x) （3 分） ， lim sup f n ( x) − f ( x) = lim sup
n→∞ n→∞ n →∞
x + x2 = 0 所以 1+ n + x
x
函数列一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、 证明：当 b = f ( a ) 时， 当 b > f ( a ) 时， 当 b < f ( a ) 时，
1≤i ≤ n
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
−I <ε
2、 S 的任意两点 x，y 之间，都存在 S 中的一条道路 r，则称 S 为连通集 3、 ∀ε > 0.∃N (ε ) > 0, 使得 ∀m > n > N ，成立 a n +1 + a n + 2 + " + a m < ε 二、 1、 sin(ln x ) dx = x sin ln x |1 −
2 n n =1 n = n0
收敛，故级数
n = n0
∑ xn2 收敛，从而 ∑ xn2 也收敛（3 分）
n =1
∞
∞
3
lim lim f ( x, y ) 不存在（5 分）
y →0 x →0
2
2、解：
1 +∞ 1 1 1 1 1 dx = ∫ p dx + ∫ ，对 ∫ p dx （2 分） dx ，由于 q q p q 0 0 x + x 1 0 x + xq x +x x +x 1 1 1 dx 收 敛 （ 4 分 ）； x min( p ,q ) p → 1( x → +0) 故 min( p, q) < 1 时 ∫ p q 0 x + xq x +x +∞ 1 1 max( p , q ) → 1( x → +∞) （ 4 分 ） 故 p ∫1 x p + x q dx ， 由 于 x x + xq +∞ 1 dx 收敛，综上所述 min( p, q) < 1 ， max( p, q) > 1 时，积分收 max( p, q) > 1 ∫ p 1 x + xq
0
b
(a > 0, b > 0)
∞
2、 设正项级数
∑ xn 收敛，证明级数 ∑ xn2 也收敛
n =1 n =1
∞
1
参考答案
一、1、设有定数 I， ∀ε > 0.∃δ > 0, 使得对任意的分法
a = x 0 < x1 < " < x n = b 和任意的点 ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] ，只要 λ = max(∆xi ) < δ ，成立
∫
a
0
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy = ab
0
bห้องสมุดไป่ตู้
(a > 0, b > 0) （4 分）
∫
a
0
f ( x)dx + ∫
f (a)
0
f −1 ( y )dy > ab
b
(a > 0, b > 0) （3 分）
∫
f −1 ( b )
0 ∞
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy > ab
数学分析期末考试题
一、叙述题： （每小题 5 分，共 15 分） 1、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 二、计算题： （每小题 7 分，共 35 分） 1、
∫ sin(ln x)dx
1
e
2、求三叶玫瑰线 r = a sin 3θ 3、求 x n =
θ ∈ [0, π ] 围成的面积
2nπ n cos 的上下极限 2n + 1 5
∂ u ∂ x
∂u = − r sin θu x + r cosθu y ∂θ
1 ∂u ∂u ∂u ∂u 2 ) + ( ) 2 = ( ) 2 + 2 ( ) 2 （2 分） ∂y ∂r ∂x r ∂θ 1 1 cos 有界， x 2 + y 2 为无穷小， lim f ( x, y ) = 0 （5 分） ( x , y ) →( 0 , 0 ) x y
∫
π
2 0
sin 2 3θdθ =
πa 2
4
（7 分）
1 4π cos (7 分） 2 5
4、解： lim n
n→∞
1 1 = ，r=2（3 分） n 2 2
收敛域为（-3，1） ，级数的和为 5、解： 设极坐标方程为
1 （4 分） ， 1− x
= u x cosθ + u y sin θ
x = r cosθ , y = r sin θ
e 1
∫
e
∫ cos(ln x)dx = e sin 1 − e cos1 + 1 − ∫ sin(ln x)dx
1 1
e
e
（5 分）
∫ sin(ln x)dx = 2 (e sin 1 − e cos1 + 1) （2 分）
1
e
1
a2 2、 由对称性知，所求的面积为： 6 × 2
3、 解：上极限为 0.5，下极限为
， 而
三、1、解、由于 sin
1 1 1 1 1 1 lim lim( x 2 + y 2 ) sin cos = lim(lim x 2 sin cos + lim y 2 sin cos ) 0 0 0 x →0 y →0 x → y → y → x y x y x y
1 1 1 1 lim x 2 sin cos 极限不存在， lim y 2 sin cos 极限存在，故整体极限不存在，同理 y →0 y →0 x y x y
x →0 y → 0 y →0 x →0
x ≠ 0, y ≠ 0 x = 0或y = 0
，求
( x , y ) →( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) ， 问
lim lim f ( x, y ), lim lim f ( x, y ) 是否存在？为什么？
2、讨论反常积分 3、讨论 f n ( x) =
0
(a > 0, b > 0) （3 分）
2、证明：由于收敛
∑x
n =1
n
，故 lim x n = 0 （2 分） ，于是，总存在 ∃n0 使得 n ≥ n0 时，有
n→∞
∞ ∞
0 ≤ x n < 1 ，从而，当 n ≥ n0 时，有 0 ≤ x < x n （5 分） ，由于级数 ∑ x n 收敛，当然 ∑ x n
∞
( x + 1) n 的和 4、求幂级数 ∑ 2n n =1
5、 u = f ( x, y ) 为可微函数， 求 (
∂u 2 ∂u ) + ( ) 2 在极坐标下的表达式 ∂x ∂y
三、讨论与验证题： （每小题 10 分，共 30 分）
1 1 ⎧ 2 2 ⎪( x + y ) sin cos 1 、 已 知 f ( x, y ) = ⎨ x y ⎪ 0 ⎩
∫
+∞
0
1 dx 的敛散性。 x + xq
p
nx 1+ n + x
x ∈ [0,1] 的一致收敛性。
（每小题 10 分，共 20 分） 四、证明题： ，证 1、 设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数， f (0) = 0 ，记它的反函数f--1（y） 明
∫
a
0
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy ≥ ab
∫
+∞
p
敛（2 分） 3、解： lim f n ( x) = x = f ( x) （3 分） ， lim sup f n ( x) − f ( x) = lim sup
n→∞ n→∞ n →∞
x + x2 = 0 所以 1+ n + x
x
函数列一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、 证明：当 b = f ( a ) 时， 当 b > f ( a ) 时， 当 b < f ( a ) 时，
1≤i ≤ n
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
−I <ε
2、 S 的任意两点 x，y 之间，都存在 S 中的一条道路 r，则称 S 为连通集 3、 ∀ε > 0.∃N (ε ) > 0, 使得 ∀m > n > N ，成立 a n +1 + a n + 2 + " + a m < ε 二、 1、 sin(ln x ) dx = x sin ln x |1 −
2 n n =1 n = n0
收敛，故级数
n = n0
∑ xn2 收敛，从而 ∑ xn2 也收敛（3 分）
n =1
∞
∞
3
lim lim f ( x, y ) 不存在（5 分）
y →0 x →0
2
2、解：
1 +∞ 1 1 1 1 1 dx = ∫ p dx + ∫ ，对 ∫ p dx （2 分） dx ，由于 q q p q 0 0 x + x 1 0 x + xq x +x x +x 1 1 1 dx 收 敛 （ 4 分 ）； x min( p ,q ) p → 1( x → +0) 故 min( p, q) < 1 时 ∫ p q 0 x + xq x +x +∞ 1 1 max( p , q ) → 1( x → +∞) （ 4 分 ） 故 p ∫1 x p + x q dx ， 由 于 x x + xq +∞ 1 dx 收敛，综上所述 min( p, q) < 1 ， max( p, q) > 1 时，积分收 max( p, q) > 1 ∫ p 1 x + xq
0
b
(a > 0, b > 0)
∞
2、 设正项级数
∑ xn 收敛，证明级数 ∑ xn2 也收敛
n =1 n =1
∞
1
参考答案
一、1、设有定数 I， ∀ε > 0.∃δ > 0, 使得对任意的分法
a = x 0 < x1 < " < x n = b 和任意的点 ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] ，只要 λ = max(∆xi ) < δ ，成立
∫
a
0
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy = ab
0
bห้องสมุดไป่ตู้
(a > 0, b > 0) （4 分）
∫
a
0
f ( x)dx + ∫
f (a)
0
f −1 ( y )dy > ab
b
(a > 0, b > 0) （3 分）
∫
f −1 ( b )
0 ∞
f ( x)dx + ∫ f −1 ( y )dy > ab
数学分析期末考试题
一、叙述题： （每小题 5 分，共 15 分） 1、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 二、计算题： （每小题 7 分，共 35 分） 1、
∫ sin(ln x)dx
1
e
2、求三叶玫瑰线 r = a sin 3θ 3、求 x n =
θ ∈ [0, π ] 围成的面积
2nπ n cos 的上下极限 2n + 1 5