数学数学广角试题答案及解析

数学数学广角试题答案及解析
1.在1到100这100个自然数中，数字1共出现次．
【答案】21
【解析】本题可根据自然数的排列规律按数段进行分析：
1～9中，数字1出现了1次；10～19页中，1出现了11次；20～99页中，1出现了1×8=8次，再加上100百位上的1，共出现了1+11+8+1=21次．
解：解：1～9中，数字1出现了1次；
10～19中，1出现了11次；
20～90中，1出现了1×8=8次；
100：1次．
共出现了1+11+8+1=21次．
故答案为：21．
点评：本题主要考查了数字变化类的一般规律问题，要认真分析，找出题中的隐含条件，从而求解．完成时要注意11这个特殊情况．
2.求各位数字不同的三位数，使它等于所有由它的数字组成的两位数之和．
【答案】满足题意的三位数为132、264、396，其和为792
【解析】可设该三位数是abc，则由题意知：
abc=ab+bc+ca+ba+cb+ac=10a+b+10b+c+10c+a+10b+a+10c+b+10a+c=11（a+b+c）×2 即
100a+10b+c=11（a+b+c）×2，整理得即4b+7c="26a" 因为b≤9，c≤9，所以4b+7c≤99，即
26a≤99，所以a=1或2或3，然分别设当a=1或2或3时，代入数据进行解答即可．
解：设该三位数是abc，则由题意知：
abc=ab+bc+ca+ba+cb+ac=10a+b+10b+c+10c+a+10b+a+10c+b+10a+c=11（a+b+c）×2；
所以100a+10b+c=11（a+b+c）×2
即4b+7c="26a"
因为b≤9，c≤9
所以4b+7c≤99，即26a≤99
所以a=1或2或3
当a=1时，4b+7c=26，解得b=3，c="2"
当a=2时，4b+7c=52，解得b=6，c="4"
当a=3时，4b+7c=78，解得b=9，c="6"
所以满足题意的三位数为132、264、396，
其和为132+264+396=792．
答：满足题意的三位数为132、264、396，其和为792．
点评：根据题意及数位知识列出等式，并由此进行分析是完成本题的关键．
3.一个四位数的各位数字之和是3，并且是7的倍数，这个四位数是．
【答案】2100
【解析】四位数的各位数字之和是3，那么有3种情况①千位上的数字是3，其它位上的数字都
是0；②有两位上的数字是1或2，其它位上是0；③千位上是1，百位、十位、个位这三位上有
1位是0，其它两位上的数字是都是1；分别找出这些数，然后再找出7的倍数即可．
解：①千位上的数字是3，其它位上的数字都是0；
这个数是3000，3000不是7的倍数；
②有两位上的数字是1或2，其它位上是0；有以下数字：
1002，1020，1200，2001，2010，2100；
这些数字中只有2100是7的倍数，符合条件．
③千位上是1，百位、十位、个位这三位上有1位是0，其它两位上的数字是都是1；有以下数字：1011，1101，1110；
这些数都不是7的倍数；
符合条件的数只有2100．
故答案为：2100．
点评：解决本题关键是根据各个位上的数字和是3，找出可能的数字组合，得出四位数，再根据
是7的倍数这一条件取数即可．
4.找出满足下面三个条件的四个三位数：
（1）是奇数；（2）三个数字都是这个数的因数；（3）数字不能重复．
则这四个三位数从小到大排列是．
【答案】135，175，315，735
【解析】由于这个数是奇数，且组成这个三位数的数字都是这个数因数，由此可得这组成这个三
位数的数定一定不是0、2、4、6、8；只能是奇数1、3、5、7、9，然后再根据能被3、7、9整
除数的特征进行分析组合发现135，175，315，735 这四个数正好满足上述三个条件．
解：由题意可知，组成这四个三位数的数字只能是奇数1、3、5、7、9，
由于能被3、9整除数的特征为：这个数的各位数字之和能被3或9整除的话，这个数就一定能
被3或9整除．
由于1、3、5、7、9这5个数中任意三个数组合在一起的和都不能被9整除，所以这几三位数中
一定没有9；
这几个数中如果没有5的话，剩下的1、3、7组合在一起的和也不能被3整除，所以这三个数中
一定有5；
能被5整除数的特征是个位数是0或5，所以这四个三位数的个位数一定是5：
又能被7整除数的特征为：将这个数的个位数截去，用剩下的数减去减去个位数的2倍的差如果
是7的倍数，则这个数能被7整除；
由此根据能被3、5、7整除的特征将1、3、5、7进行组合可得：
135，175，315，735 这四个数正好满足上述三个条件．
则这四个三位数从小到大排列是：135，175，315，735．
故答案为：135，175，315，735．
点评：先根据已知条件确定组成这四个三位数的数字只能是奇数，并据此进行分析是完成本题的
关键．
5.两个整数相加时，得到的数是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且三个数字相同．请写出所有满足上述条件的两个整数．
【答案】37，18；73，4
【解析】三位数中，三个数相同的都是111的倍数（111，222，…999），又111=37×3，3个
数字相同的三位数必能被37整除．所以这两个整数中必有一个数是37，然后再根据所给条件求
出另一个数即可．
解：由于111=37×3，3个数字相同的三位数必能被37整除，
所以这两个整数中必有一个数是37，且另一个数大于或等于3．
又两个整数相加时，得到的数是一个两位数，且两个数字相同，
比37大的两位数中，数字相同的是44，55，66，77，88，99；
然后用这此数分别减37，得出数再乘37进行验证，
经过筛选，18×37=666，74×3=222．
即这两个整数是37，18；73，4．
故答案为：37，18；73，4．
点评：首先根据两个数的积是三位数且三个数字相同，确定其中的一个数是37是完成本题的关键．
6.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9不重复地排成一列，构成一个九位数，使得：1与2之间
所有数字之和为6；2与3之间所有数字之和为14；3与4之间所有数字之和为38；4与5之间
所有数字之和为9．满足上述条件的最小的九位数是．
【答案】371628594
【解析】1～9的和为1+2+3+…+9=45，3与4之间所有数字之和为38，45﹣38=7=3+4，所以3和4中间包括了其他的所有数，根据数位知识可知，高位上的数越小，其值就越小，要取最小的
九位数，所以3排在第一位，4排在最后一位，即这个数是3…4；4与5之间所有数字之和为9，9=1+8=2+7=3+6（因为3排首位，不可能，舍去），又4排在末位，则如果是5184（或5814）
或5274（或5724）都会使得1与2之间所有数字之和为6无法满足，所以5和4中间只能是9，（3…594），剩下未排数字1，2，6，7，8，同理根据所给条件即能求出这个数是多少．
解：1+2+3+…+9=45，
3与4之间所有数字之和为38=45﹣（3+4），
所以3和4中间包括了其他的所有数，
要取最小的九位数，所以3排在第一位，4排在最后一位，
即这个数是3…4；
4与5之间所有数字之和为9，9=1+8=2+7=3+6（3排首位，不可能，舍去），
如果是5184（或5814）或5274（或5724）都会使得1与2之间所有数字之和为6无法满足，
所以5和4中间只能是9，（3…594）；
剩下未排数字1，2，6，7，8，
2与3之间所有数字之和为14，
只有1+6+7满足（从1，6，7，8中取），即1，6，7排在3和2中间，
又1与2之间所有数字之和为6，只能是中间一个数字6，
即37162…594，剩下8填进去就是371628594．
则满足条件的最小的九位数是371628594．
故答案为：371628594．
点评：首先求出1～9的和，然后根据已知条件求出首位数字与个数字后，以此为突破口进行分
析是完成本题的关键．
7.如果某正整数不论从左边或右边读起都相同（例如36563，2002等）那么称该数为“回文数”，
能被101整除的最大五位回文数是．
【答案】49894
【解析】由于能被101整除的数可以表示为 abc×100+abc．则这样的五位数为abc00+abc=ab
（c+a）bc，根据回文数的特点可知，a=c，则a+c不能进位，又求能被101整除的最大五位回
文数是多少，则a与c最大可取4，b最大取9，则这个能被101整除的最大五位回文数是49494．
解：能被101整除的数可以表示为 abc×100+abc，
这样5位数为ab（c+a）bc．
由于a=c，a+c不进位．
则a="c" 最大取4，b取最大9，
ab（c+a）bc=49894，
即这个能被101整除的最大五位回文数是49894．
故答案为：49894．
点评：首先根据能被101整除数的特点表示出这个数，然后根据回文数的特点进行分析是完成本
题的关键．
8.初一（1）班有45名同学上体育课，他们在操场上排成一排面向教师，并从1到45报完数后，教师叫报偶数的人向后转，接着叫报3的倍数的人向后转，则这时面向教师的学生有名．【答案】15
【解析】自然数中，能被2整除的数为偶数．则从1到45报完数后，报偶数的人数为45÷2=22个…1人；这45人中，报3的倍数人数有45÷3=15个．而同时能被2与3整除的数有45÷（2×3）=7人…3人．根据容斥原理可知，向后转的学生共有22+15﹣7=30人，此时面向老师的学生共
有45﹣30=15人．
解：报偶数的人数为：45÷2=22个…1人；
报3的倍数人数有：45÷3=15个；
同时能被2与3整除的数有：
45÷（2×3）
=45÷6，
=7人…3人．
45﹣（22+15﹣7）
=45﹣30，
=15（人）．
答：这时面向教师的学生有15名．
故答案为：15．
点评：完成本题的关键是要注意第一次向后转的报偶数的人中还包含有部分报3的倍数的人．
9.（2012•鹤庆县模拟）刘丽星期日休息时想帮妈妈做些事情：烧开水需5分钟，扫地需6分钟，用洗衣机洗衣服需25分钟，打酱油需5分钟、晒衣服需5分钟，经过合理安排，她做完这些事
至少花分钟．
【答案】30
【解析】为了合理的安排时间，烧开水需5分钟，扫地需6分钟，打酱油需5分钟，这三项工作
可以在洗衣服的同时进行，这样就节省了5+6+5=16分钟，由此可以设计出刘丽的做这几件事情
的具体程序，从而求得需要的最少时间．
解：为节约时间具体工序如下：
25+5=30（分钟），
答：至少花30分钟．
故答案为：30．
点评：此题属于合理安排时间问题，奔着既节省时间，又不使每道工序相互矛盾是解决此类问题
的关键．
10.若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）不产生进位现象，便称n为“连绵数”．例如
12是“连绵数”，因为12+13+14作竖式加法不产生进位现象；而13不是“连绵数”．那么不超过1000的“连绵数”共有（）
A．46个B．47个C．48个D．49个
【答案】C
【解析】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出不
超过1000的“连绵数”的个数．
解：根据题意个位数需要满足要求：
因为：n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，
所以个位数可取0，1，2三个数，
十位数需要满足：3n＜10，
那么n＜
所以十位可以取0，1，2，3四个数，
百位数需要满足：3n＜10，
那么n＜，
所以百位可以取0，1，2，3四个数，
故不超过1000的连绵数共有3×4×4=48个．
故选：C．
点评：本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数、百位上需
要满足的要求着手．
11.星期日，小红准备帮妈妈做家务，他负责整理房间、洗菜、擦地、烧开水，所需时间如下表：
A.29分
B.17分
C.18分
【答案】B
【解析】烧开水需要12分钟时间，在这同时可以整理房间和擦地，可以节省12分钟，剩下再需
要5分钟洗菜，即可完成任务．
解：12+5=17（分钟），
答：小红做完这些家务至少需要17分钟．
故选：B．
点评：此题属于合理安排时间的问题：奔着节约时间，而又不使每道程序互相矛盾的原则设计安排．
12.一只锅一次可煎两块饼，煎一面需2分钟，煎5块饼至少要用（）
A.5分钟
B.10分钟
C.20分钟
【答案】B
【解析】先煎前2张饼，煎一面需2分钟，共需4分钟，剩下的三张饼分别为a、b、c；前2分
钟煎a、b的正面，中间2分钟煎a的反面和c的正面，这样a煎好了，后2分钟煎b、c的反面，2×3=6分钟也就烤好了，这样煎5张饼至少需要4+6=10分钟，据此解答．
解：2×2+2×3，
=4+6，
=10（分钟）；
答：煎5块饼，至少需要10分钟．
故选：B．
点评：在烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰．
13.有1个不同的自然数，它们的平方是2000的因数．
A．3B．6C．10D．12 E． 20．
【答案】B
【解析】本题可先将2000分解因数后再根据它因数的情况确定这多少个个不同的自然数，它们
的平方是2000的因数．
解：2000=1×2×2×2×5×5×5×2=1×4×4×25×5=1×16×25×5=100×4×5=400×5=．
由此可发现，共有6个有不同自然数，它们的平方是2000的因数：
即12=1，22=4，42=16，52=25，102=10，202=400．
即1，2，4，5，10，20．
故选：B．
点评：将2000分解因数后，根据其因数情况进行分析是完成本题的关键．
14.（2012•中山模拟）如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7
个不同的数组成的．那么，这样的四位数是多能有（）个．
A．17B．42C．24D．168
【答案】D
【解析】由于一个四位数与一个三位数的和为1999，所以四位数首位必须为1，又和的后三位为9，所以相加时没有出现进位现象，找出合适的组合，0和9，2和7，3和6，4和5（因为
1+8=9，又四位数的首位是1，不能重复，则数字8不能用在这），因此考虑三位数可能的情况，三位数一定下来，四位数只有唯一的可能．由于0不能为首位，所以这个三位数首位有7种选法，当百位数确定时，则十位数有6种选法，当前两位确定时，则个数数有4种选法，根据乘法原理
可知，这样的四位数是多能有7×6×4=168个．
解：由于其和为1999，则这个四位数的首位一定为1，
和的后三位为9，所以相加时没有出现进位现象，和为9的组和有：
0和9，2和7，3和6，4和5；（1和8组合在本题中不符题意）
由于两个数的和一定，因此三位数一定下来，四位数只有唯一的可能．
由于0不能为首位，所以这个三位数首位有8﹣1=7种选法，
则十位数有8﹣2=6种选法，个数数有=﹣4=4种选法，
根据乘法原理可知，这样的四位数是多能有7×6×4=168个．
故选：D．
点评：完成本题要注意三位数一定下来，四位数只有唯一的可能，所以当三位数确定一个数时，
实际上也确定了四位数上相应位数上的数，如三位数的首位确定为2，则同时确定了这个四位数
的百位数7．
15. 50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报l，跳过一人第三位同学报2，
跳过两人第六位同学报3，…这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是．【答案】8
【解析】报数的过程就是：1﹣2﹣﹣3﹣﹣﹣4﹣﹣﹣﹣5﹣﹣﹣﹣﹣6…，可以理解为：1个人报
一个1，2个人报一个2，3个人报一个3，4个人报一个4，5个人报一个5，6个人报一个6…
到报2008的同学时候，总共经过（1+2+3+4+5+…+2008）个人，即2017036个人，50个人为
一轮，则是第36个人（余数），（1+2+…+n）=36时，n=8将这些学生按报数方向依次编号：1、2、3、49、50、512008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951101、51的和编号为
1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为，报2008的同学的编号为2017036，他
的最小编号为36，我们知道36=1+2+3+4+5+6+7+8，所以报2008的同学第一次报8．所以报2008的同学第一次报的是8．
解：将这些学生按报数方向依次编号：1、2、3、49、50、512008，
这样第n次报数的人的编号为，
则报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，即：（1+2+…+n）=36时，n=8，
所以报2008的同学第一次报8．
故答案为：8
点评：总结出“第n次报数的人的编号为”是解决此题的关键，考查了学生的思维和推理能力．
16.强强和方方酷爱卡片游戏，方方手上有分别写着1，2，3，…50的50张红色卡片，强强每
次从方方手中抽出若干张卡片交给方方（自己不看），方方算出这些卡片上各数之和除以18的
余数，再将余数写在一张黄色卡片上，并将黄色卡片与红色卡片放在一起．若干次后，方方手中
还剩下一张黄色卡片和两张红色卡片．最后强强抽出两张红色卡片，并看到上面的数分别是3和18．强强能猜出黄色卡片上的数吗？如果能，请求出这个数；如果不能，请说明理由．
【答案】强强能猜出黄色卡片上的数，该数字为12
【解析】根据题意可知，强强每次操作后，方方手中卡片上的数字和除以18的余数不变，那么
前面每次操作的数字和是1+2+3+…+50﹣3﹣18=1254，那么余数是：1254÷18=69…12，又因
为18的余数小于18，即黄色卡片上的数字只能为1～17，所以，黄色卡片上的数字为12；据此
解答．
解：强强每次操作后，方方手中卡片上的数字和除以18的余数不变，
（1+2+3+…+50﹣3﹣18）÷18，
=1254÷18，
=69…12，
又因为黄色卡片上的数字只能为1～17，
所以黄色卡片上的数字为12；
答：强强能猜出黄色卡片上的数，该数字为12．
点评：本题关键是明确每次操作后，方方手中卡片上的数字和除以18的余数不变．
17.，，，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足
﹣﹣﹣a=1787．求：这四位数．
【答案】满足条件的abcd是2009或2010
【解析】据题意可知，abcd﹣abc﹣ab﹣a=a×1000+b×100+c×10+d﹣a×100﹣b×10﹣c﹣a×10
﹣b﹣a．整理后可得：889a+89b+9c+d=1787，然后据a的取值范围，按a为不同数值的情况进
行分析即可．
解：由于abcd﹣abc﹣ab﹣a=1787，
所以a×1000+b×100+c×10+d﹣a×100﹣b×10﹣c﹣a×10﹣b﹣a．
整理后可得：889a+89b+9c+d=1787；
先看a，a只有等于1或2，如果a=1，89b+9c+d=1787﹣889=898，
b最大为9，898﹣9×89=97，9c+d最大是9×9+9=90＜97，所以a=1是不成立的．
如果a=2，89b+9c+d=1789﹣2×889=9，
那么 b=0，9c+d=9，如果c=0，d=9，如果c=1，d=0．
所以满足条件的abcd是2009或2010．
点评：完成本题的关健是先据数位知识及已知条件求出a的取值范围，然后再进行推理分析得出结论．
18.（最佳安排）烤面包的架子上一次最多只能烤两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤5个面包最少需要多少分钟？（可用文字叙述）
【答案】烤5个面包最少需要10分钟
【解析】先同时烤两个，正反面共需2×2=4分钟；再烤后三个，先烤第一个与第二的正面需2分钟，然后烤第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后烤第二个的反面与第三个的反面需2分钟，烤完3个共需2×3=6分钟，5个共需6+4=10分钟．
解：先同时烤两个，正反面共需：2×2=4（分钟）；
再同时烤3个共需：3×2=6（分钟），
5个共需：6+4=10（分钟）．
答：烤5个面包最少需要10分钟
点评：本题实际上是烙饼问题的一个拓展，在一个锅一次最多能同时烙2个饼的烙饼问题中，饼的个数与所需时间的关系为：所需时间=个数×烙一面所用时间．
19.王老师、刘老师、杨老师和张老师四人用同一台复印机复印资料，王老师要4分钟，刘老师要1分钟，杨老师要3分钟，张老师要2分钟，怎样安排四个人的顺序使他们花的时间最少？最少时间是多少？
【答案】先让刘老师复印，再让张老师复印，再让杨老师复印，最后让王老师复印，这样才能使这四个人交费和等候所用的时间总和最少；最少需要20分钟
【解析】先让需要时间最少的刘老师先复印，依次顺序是：张老师、杨老师、王老师．
解：1×4+2×3+3×2+4×1，
=4+6+6+4，
=20（分钟），
答：先让刘老师复印，再让张老师复印，再让杨老师复印，最后让王老师复印，这样才能使这四个人交费和等候所用的时间总和最少；最少需要20分钟．
点评：本题主要考虑让复印需要时间最少的老师先复印，这样才能使他们等的时间总和最少．
20.妈妈用一只平底锅烙饼，每次最多只能烙4张饼，两面都要烙，每面2分钟．烙完10张饼最少要用几分钟？你是怎样想的？
【答案】烙完10张饼最少要用10分钟
【解析】此类问题中，尽量使每次都有4张饼在烙，由此进行合理安排即可解决问题．
解：总共只要10分钟，10张饼分成2组，第一组4个，第二组6个；第一组，先烙一面，2分钟，全部翻面，再2分钟，4张熟；
第二组，先烙4个，两分钟后，全部翻面，取出两个，再加两个，两分钟后好了两个，取出；后放的翻面，放入之前的两个，再过两分钟全好；
至少：2×2+2×3=10（分钟）；
答：烙完10张饼最少要用10分钟．
点评：此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有4张饼在烙是解答本题的关键．
21.用一只平底锅煎饼，每次能同时煎3张饼，两面都要煎，每面2分钟．如果要煎12张饼，几分钟能尽快煎完？如果要煎50张饼，几分钟能尽快煎完？
【答案】煎熟50张饼至少要68分钟
【解析】（1）先求12张饼需要分成几组，每组烙2次，每次2分钟，用乘法即可解决．
（2）若3张3张的煎，那么就需要煎50÷3=16（组）…2（张），就要17次，共用时间：
（2+2）×17=68分，最后一次只煎2张．
解：（1）12÷3=4（组），
2×2×4=16（分）；
答：最少要用16分钟．
（2）50÷3=16（组）…2（张），
按17组计算时间，为：
2×2×17=68（分钟）；
答：煎熟50张饼至少要68分钟．
点评：解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用工．
22.理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
【答案】甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发这样安排可以使这五人理发和等候所用时间的总和最少，最少要用128分钟．
【解析】本道题目含有两个时间因素：理发时间和等候时间，问题的关键在：
（1）五位顾客合理分给甲乙使理发时间最短．
（2）每组中按理发时间从小到大顺序排列使等候时间最短．
解：五位顾客的理发时间分别是：10，12，15，20和24分钟．分给两位理发师如下：
第一种方案：甲依次给理发时间需要10，15，24分钟的客人理发，
乙依次给理发时间需要12，24分钟的客人理发有，理发和等候总时间：
（10×3+15×2+24）+（12×2+20）
=84+44
=128（分）．
甲的理发时间：10+15+24=49（分），
乙的理发时间：12+20=32（分），
五人全部理完需要：49分钟．
经过调整第二种方案：甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发．理发和等候的总时间：
（10×3+12×2+20）+（15×2+24）
=74+54
=128（分）．
甲的理发时间：10+12+20=42（分），
乙的理发时间：15+24=39（分），
五人全部理完需要：42（分）．
42（分）＜49（分）
因此第二种方案更合理．
答：甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发这样安排可以使这五人理发和等候所用时间的总和最少，最少要用128分钟．
点评：本道题目较难，因为这里有两个理发师，所以要分情况来讨论．是提高学生思维比较好的
题目．
23.幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第3个，从后面数，小林是第5个，这一排
共有几个小朋友？
【答案】这一排共有7个小朋友
【解析】“从前面数，小林是第3个”说明小林和他前面同学一共是3人，这个“3”里面包括小林，
也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第5个”，说明小林和他后面同学一共是5人，这个“5”
里面包括小林，也包括他后面的同学．如果“5+3”的话，小林就算了两次，所以还要从“5+3”里面
去掉小林多算的那一次．即5+3﹣1=7（个）．
解：3+5﹣1=7（人），
答：这一排共有7个小朋友．
点评：此题是考查了学生用前后表示具体位置的方法．
24. A是质数，且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，试求100以内满足要求的质数A．
【答案】100以内满足要求的质数A是5
【解析】观察给出的式子：A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，6、8、12、14都是2的倍数、12还是3的倍数，14是7的倍数，所以A不可能是2、3、7，而6，8，12，14分别被5除余1，3，2，4，因此A如果不是5的话，必然被5除有余数，所以A=5满足条件．
解：因为A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，6、8、12、14都是2的倍数、12还是3的倍数，14是7的倍数，
所以A不可能是2、3、7，而6，8，12，14分别被5除余1，3，2，4，
因此A如果不是5的话，必然被5除有余数，
所以A=5满足条件．
答：100以内满足要求的质数A是5．
点评：解答此题是根据给出的式子的特点，利用排除的方法和数的整数的特点及质数的意义求出
符合条件答案．
25.把1到1997这1997个数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上（如图）．从1开始按顺时
针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；…（每隔一个数，擦去一个数）转圈擦下去，最后剩
的是哪个数？
【答案】最后剩下的数应是1947
【解析】如果依照题意在上图中进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难的．我们还应从
最简单的情况入手分析，归纳出解决问题的规律，再用此规律解题．
解：如果是2个数1，2，最后剩下1；如果是3个数1，2，3，最后剩下3；如果是4个数1，2，3，4，最后剩下1；如果是5个数1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6个数1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1﹣7，7个数，最后剩下7；如果是1﹣8，8个数，最后剩下1．
我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩下的都是1．实际上，当数的个数为2n时（n≥2），
当擦完一圈后还剩2n﹣1个数，把问题化成2n﹣1个数的情况．不断作下去，最后化为2个数的情况，显然最后剩下的数为1（1为起始数）．
由于210=1024，211=2048，210＜1997＜211，1997﹣1024=973．
这就是说，要剩210个数，需要先擦去973个数．按题意，每两个数擦去一个数，当擦第973个
数时，最后擦去的数是：973×2=1946．
下一个起始数是1947，所以，最后剩下的数应是1947．
点评：从数字和操作规律分析，找出解决问题的规律，然后运用总结的规律解决问题．
26.十个连续的自然数，上题的答数是其中第三大数是9．把这10个数填到如图方格中，每格填
一个数，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等．那么，这个和数的最小值是多
少．
【答案】和的最小值是44
【解析】10个连续的自然数中第三个的数是9，说明这10个数是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，假设中间的两个方格的数是a、b，3个2×2的正方形中4个数之和为k，则有：
7+8+9+…+16+a+b=3k，
115+a+b=3k，
38+=k，
a+b+1必须是3的倍数，当a+b+1=7+10+1=18，或者a+b+1=8+9+1=18时，k最小=38+6=44．解：如图所示：
．
和的最小值是44．
点评：此题考查了凑数谜，设出未知数，列出等式，凑数，即可得解．
27.（1）从1～6中选出5个数，填入下式，使得算式的结果尽量大，求出这个结果．
○×（○﹣○）×（○﹣○）
（2）49名探险队员过一条小河，只有可乘7人的小皮划艇一个，过一次河需3分钟，全体队员
渡到对岸，至少需要多少分钟？
【答案】至少需要45分钟
【解析】（1）要求积最大，需使式中两个差较大，显然6、5做被减数，6﹣1=5，5﹣2=3，积
为5×3=15，
而6﹣2=4，5﹣1=4，积为4×4=16，所以算式为：4×（5﹣1）×（6﹣2），解答即可；
（2）7个人划船过河用3分钟，到对岸后须有一人将船划回来，再运7人过去，即往返一次运6
人过河，用时6分钟；
49人，要8次过河，但最后不用返回，所以7次返回，共用时6×8﹣3，解答即可．
解：（1）4×（5﹣1）×（6﹣2），
=4×4×4，
=64；
（2）7个人划船过河用3分钟，到对岸后须有一人将船划回来，再运7人过去，即往返一次运6
人过河，用时3×2=6分钟；
49人，要8次过河，但最后不用返回，所以7次返回，
6×8﹣3，
=48﹣3，
=45（分钟）；
答：至少需要45分钟．
点评：解答此题的关键：（1）根据题意，并结合数字大小特点，进行分析、进而得出结论；
（2）第二题，应明确：到对岸后须有一人将船划回来，再运7人过去，即往返一次运6人过河，用时6分钟；49人，要8次过河，但最后不用返回，是解答本题的关键．
28.烤面包．怎样才能尽快吃上面包？
【答案】5分钟
【解析】若先把两个面包烤至熟，势必在第三个时，架子上只有一个造成浪费，所以应把个面包
两面错开烤，设这三个面包为A、B、C．烤A和B的第一面，需要2分钟；然后把A翻面，B
拿出换上C，1分钟后A完成拿出，继续烤C；最后一分钟放入B的第二面，C翻面；
如下图示：
第一个两分钟﹣﹣A B的第一面；
第二个两分钟﹣﹣A的第二面，C的第一面；
第三个一分钟：B，C的第二面．
即共需要2+2+1=5分钟．
解：由题意设计如下：
第一个两分钟﹣﹣A、B的第一面；
第二个两分钟﹣﹣A的第二面，C的第一面；
第三个一分钟：B，C的第二面．
即共需要2+2+1=5分钟．
点评：解决本题关键是烤箱内始终有两块面包．。