广东省连平县忠信中学立体几何多选题试题含答案

广东省连平县忠信中学立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F
分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）
A ．1AC 与EF 相交
B ．11//B
C 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒
D ．点1B 到平面DEF 的距离为
32
2
【答案】BCD 【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】
对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直
线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；
对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．
D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．
又
11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，
11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；
对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0C ，
0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．
(1EF ∴=-，
1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；
对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，
0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨
⊥⎩，
，
，即·0·
0n DE n DF ⎧=⎨
=⎩，
，，得00.
x z y +=⎧⎨
=⎩，
取1x =，则1z =-，(1
n ∴=，0，1)-， 设点1B 到平面DEF 的距离为d ． 又
1(1DB =-，
2，2)，
1·102
DB n d n
-+
∴=
=
=
， ∴点1B 到平面DEF 的距离为2
，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
2．已知正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若
||AE =AC DF ⊥，则（ ）
A ．点E 的轨迹是一个圆
B ．点F 的轨迹是一个圆
C ．EF 21-
D ．A
E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为1530
15
【答案】ACD 【分析】
对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =
+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；
选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =
+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面
1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；
对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以
AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；
对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d
=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正
确； 对于D:
建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D
因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-
设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1
·
220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩
不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：
22|
||sin |cos ,|||||5315
n AE n AE n AE πθα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4
π
θ=时，sin α221530
1515
=
， 故D 正确
故选：CD 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
3．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得1CN A
B ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是
43
π 【答案】BD 【分析】
对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；
对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），11
2
NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．
对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．
对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体
积是
4
3π． 【详解】
对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥，
如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；
对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），
11
2
NE AB =
（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
2
2212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 选项正确．
对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，
111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，
从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．
对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最
大，
此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12BO =
，2DM =，故22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，
体积是
4
3
π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】
本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.
4．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）
A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4
π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】
点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】
A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，
由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以
DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角
形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；
若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，
在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；
B 选项中，因为截面总与P
C 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABC
D 所成的锐角为定值，
不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故
MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC
中，MN =2，NQ=2，故在直角三角形MNQ 中，2
cos 2
NQ MNC MN ∠=
=
，故4
MNC π
∠=
，故B 正确；
C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM
PE EPM
=
=∠，故E 为PD 的中点，同理，F
是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1
222
EF BD =
=，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1
//,2
GH BD GH BD =
，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面
PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以
PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:
依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()
2
2
321h =-=，
面积是
1
22122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；
D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，211
24
M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分13
4
P ABCD V V -=
，所以123=V V ，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.
5．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．113
P AA D V -=
B ．点P 必在线段1B
C 上 C ．1AP BC ⊥
D ．AP ∥平面11AC D
【答案】BD 【分析】 对于A ，111
1111113326
P AA D AA D
V S CD -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可. 【详解】
对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ， 所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以111
1111113326
P AA D AA D
V S CD -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C 所以11(1,1,),(1,1,1),(1
,0,1)AP x z BD BC =-=--=--,
因为1AP BD ⊥，
所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，
所以(,0,)CP x x =,
所以1
CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；
对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，
所以111AP BC x x ⋅=-+=，
所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；
对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D ,
所以11(1
,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
， 令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，
所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，
所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，
故选：BD
【点睛】
此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.
6．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点
B ．平面1D MN 与B
C 的交点是BC 的三点分点
C ．平面1
D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点
D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1
【答案】BC
【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于
,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，
连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，
连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111////,22
NE CC DD NE CC DD ==， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，
,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，
,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ， 则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236
BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，
点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，
点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.
做出线段BC 的另一个三等分点P '，
做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体
从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为22
B ．侧棱与底面所成的角为4π
C ．棱锥的高与底面边长的比为2
D ．侧棱与底面所成的角为3
π 【答案】AB
【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254h a =，然后可得侧面积为2
42108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.
【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a
可得21183V a h ==，即254h a = 所以其侧面积为2222
244215410842244a a a h a a a a
⋅⋅+=+=+ 令()24
2108f a a a =+，则()2
3321084f a a a ⨯'=- 令()2
3
3210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(
)0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()
32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小
此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为22
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO =
所以4SAO π∠=
，故B 正确，D 错误 故选：AB
【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
8．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（ ）
A ．BF ⊥平面EAB
B ．该二十四等边体的体积为203
C ．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D ．PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为
2 【答案】BCD
【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．
【详解】
解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，
90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，
所以A 错；
对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为3112028111323
-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；
对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，
即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；
对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，
所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，
其正弦值为22
PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。