最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有答案解析(3)

最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有答案解析(3)
一、选择题
1．解方程组：2223,44 1.
x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】
分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可. 详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩
由②得：()2
21x y -=
即：21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩
分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.
2．阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如
的方程组． 如：由（2）得
，代入（1）消元得到关于的方程： ，
将代入得：，方程组的解为
请你用代入消元法解方程组：
【答案】解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
，
把，分别代入得：，
，
【解析】
这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可
3．解方程组：
（1）
4
{
526
y x
x y
=-
+=
；（2）
358
{
32
x y
x y
+=
-=
【答案】（1）
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
；（2）
【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解：(1) ①代入②得x=2
把x=2代入①得y=-2
∴
(2) ①-②得y=1
把y=1代入①得x=1
∴
“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.
4．如图，要建一个面积为45 m2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m的门.求这个养鸡场的长与宽.
【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.
【解析】
试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：
322245x y xy +-=⎧⎨=⎩
，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；
∵x <14，
∴不合题意，舍去；
当y =5时，x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.
5．解方程组：2256021
x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩ ①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，
得60x y +=或0x y -=，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021
x y x y -=⎧⎨-=⎩ ， 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩
所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，11x y =⎧⎨=⎩ .
6．解方程组：22229024
x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩ 【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩
＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩
＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．
【详解】
原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩
＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020
x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020
x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.
7．计算：
（1
（2）解方程组：3534106
x y x y -=-⎧⎨-+=⎩
（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
6234 211
1 32
x x
x x
-≥-
⎧
⎪
-
-
⎨
-<
⎪⎩
【答案】（1）
1
2
-；（2）
3
5
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
；（3）
211
37
x
-≤≤.
【解析】
【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.
【详解】解：（1）原式=-3+4-
3
2
=
1
2
-
（2）
353
4106
x y
x y
-=-
⎧
⎨
-+=
⎩
①
②
①×2+②，得x=0
把x=0代入①式 y=
3
5
所以，方程组的解是
3
5
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
（3）
6234
211
1
32
x x
x x
-≥-
⎧
⎪
⎨--
-<
⎪⎩
①
②
由①式得，x≥-
2
3
由②式得，x＜
11
7
所以，不等式组的解集是
211
37
x
-≤≤，
把解集在数轴上表示：
【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.
8．解方程组：
22
4;
20.
x y
x xy y
+=
⎧
⎨
+-=
⎩
【答案】1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】
【分析】
把22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.
【详解】
由②得：()()20x y x y +-=
所以200x y x y +=-=或 44200
x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 1212
82,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】
考查二元二次方程组的解法，把方程22
20x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.
9．解方程组：223020
x y x y -=⎧⎨+=⎩.
【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.
【详解】
由方程①，得x ＝3y③，
将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，
整理，得y 2＝2，
解这个方程，得y 1
，y 2
④，
将④代入③，得x 1＝
，2x ＝﹣
所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】
该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.
10．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②
, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩
或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
33
22x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
11．解方程组：222449{0
x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{
1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3
x y ==-. 【解析】
【分析】
先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
【详解】
2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩①②
由①得：（x+2y ）2＝9，
x +2y ＝±3，
由②得：x （x+y ）＝0，
x ＝0，x +y ＝0，
即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩
， 解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩
， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨
=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
12．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】1144x y =⎧⎨
=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．
【详解】
解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．
∴x −y ＝0或x−2y ＝0，
原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220
x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，22
63x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．
13．解方程组： 2223412916
x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可
【详解】
2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，
2x ﹣3y ＝±4，
即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 解得： 121
2117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
． 【点睛】
本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组
14．已知正比例函数()()249m n y m n x
m -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比
例函数的解析式.
【答案】19y x =-
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.
【详解】 解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩
， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩
，
∴函数解析式为：19y x =-.
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.
15．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，2223
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
16．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y
⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分
别求出对应的x 的值即可；
（2）设1A x y =+，1B x y
=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．
【详解】
解：（1）由1x y -=得：1x y =+，
将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()2
21120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，
解得：1y =或12
y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12
x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； （2）设1A x y =+，1B x y
=-， 则原方程组变为：5121526
A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656
A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
是方程组的解． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．
17．（探究证明）
(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，
H.，求证：=EF AD GH AB ； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM
； （联系拓展）
(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM
的值．
【答案】（1）证明见解析；(2)11 15；（3）
45. 【解析】
分析：(1)过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ，根据矩形的性质证明△PDA ∽△QAB ；(2)根据(1)的结论可得BN AM
；(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于R ，交BC 的延长线与S ，SC ＝x ，DS ＝y ，在Rt △CSD ，Rt △ARD 中，用勾股定理列方程组求出AR ，AB ，结合(1)的结论求解.
详解：(1)如图1，过点A 作AP ∥EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于Q ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ．
∴四边形AEFP ，四边形BHGQ 都是平行四边形，
∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．
又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT ＋∠AQT ＝90°．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP ＋∠DPA ＝90°，
∴∠AQT ＝∠DPA .∴△PDA ∽△QAB .
∴AP AD
BQ AB
＝，∴
EF AD
GH AB
＝.
(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，
∴由(1)的结论可得
EF AD
GH AB
＝，
BN AD
AM AB
＝，
∴
11
15
BN EF
AM GH
＝＝.
(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得
DN AR
AM AB
＝．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，
∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，
在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，
由②﹣①得x＝2y﹣5③，
2225
25
x y
x y
⎧
⎨
-
⎩
＋＝
＝
，解得
3
4
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
5
x
y
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
(舍)，
所以AR＝5＋x＝8，则
84
105
DN AR
AM AB
＝＝＝.
点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.
18．解方程：
【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，
························································ （2分） 代人得
19．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩
【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩
①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得 （x+y ）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩
，
所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩
． 【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
20．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
①② 【答案】114,2x y =⎧⎨
=⎩，22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】 先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩
答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．。