3.暑期培训第三课《单调性与最值》练习(教师版)

函数单调性练习
1．已知f (x )＝－x －x 3
，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )
A ．至少有一实数根
B ．至多有一实数根
C ．没有实数根
D ．有唯一实数根
[答案] D
[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，
又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.
2．(2010·北京文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12
(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
[答案] B
[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12
(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12
x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.
3．(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514
，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 1<y 2<y 3
C ．y 2<y 3<y 1
D ．y 1<y 3<y 2
[答案] B
[解析] ∵y ＝0.5x 为减函数，∴0.513<0.514
， ∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，
∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.
4．(2010·广州市)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧ a －2x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调
递增，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(2，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵f (x )在R 上单调增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －2>0
a －21－1≤log a 1，
∴2<a ≤3，故选C.
5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a
的取值范围是( )
A ．a ≥0
B ．a ≤0
C ．a ≥－4
D ．a ≤－4
[答案] D
[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )
＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x
≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，
∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.
6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜c ＜a
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
[答案] D
[解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b .
7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．[－2,2]
C ．{2}
D ．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，
若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；
若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，
∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2，
∴a ＝2.
[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．
8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13
)＝0，则适合不等式f (log 127
x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(0，13
) C ．(0，＋∞) D ．(0，13
)∪(3，＋∞) [答案] D
[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127
x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13
.选D.
9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2
)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.
10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )
A ．最小值f (a )
B ．最大值f (b )
C ．最小值f (b )
D ．最大值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2
[答案] C
[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，
令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )，
∴f (－x )＝－f (x )．
对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，，
f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)
＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，
∴f (x )在R 上是减函数，
∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．
11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12
)＝________.
[答案] －8
[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x ，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4，
∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，
∴f (lg 12
)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8.
12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.
[答案] 3
[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.
13．函数f (x )＝ax －1x ＋3
在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－13 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13
. 14．(2010·江苏无锡市调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在
(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______． [答案] (1，1a )∪(0，a ) [解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12， ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12
， ∵0<a <1，∴0<t <a .
又f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0， ∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12
，
∵0<a<1，∴1<t<1
a ，
综上知，0<t<a或1<t<1
a .。