高等数学上黄立宏习题六答案详解
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高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)
习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数:
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
2(1)2,5xy y y x '==;
解:由2
5y x =得10y x '=代入方程得
22102510x x x x ⋅=⋅=
故是方程的解.
(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;
解:3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解.
2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;
解:22
2
2e e (2)e ,(24)e x
x
x
x
y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x
≠. 故不是方程的解.
12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+
解:12122211221122e e ,e e x
x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+
代入方程得
1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=
故是方程的解.
3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解:
22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=
证:方程2
2
x xy y C -+=两端对x 求导:
220x y xy yy ''--+=
得22x y
y x y
-'=
-
代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解.
2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==
证:方程ln()y xy =两端对x 求导:
11
y y x y
''=
+ (*) 得(1)
y
y x y '=
-.
(*)式两端对x 再求导得
22211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-
⎢⎥--⎣⎦
将,y y '''代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线:
220(1),5;x x y C y =-==
解:当0x =时,y =5.故C =-25
故所求曲线为:2
2
25y x -=
21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==
解: 2212(22)e x
y C C C x '=++
当x =0时,y =0故有10C =. 又当x =0时,1y '=.故有21C =. 故所求曲线为:2e x
y x =. 5. 求下列各微分方程的通解:
(1)ln 0xy y y '-=;
解:分离变量,得
d 1
d ln y x y y x
=
积分得
11d ln d ln y x y x =⎰⎰
ln ln ln ln y x c =+ ln y cx =
得 e cx
y =.
(2)y '=
解:分离变量,得
=积分得
=⎰
得通解: .c -=-
(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;
解:分离变量,得
e e d d 1e 1e y y
y x
y x =-+ 积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln y
x
c --=+- 得通解为 (e 1)(e 1)x
y c +-=.
(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;
解:分离变量,得
cos cos d d 0sin sin x y
x y x y
+= 积分得 lnsin lnsin ln y x c += 得通解为 sin sin .y x c ⋅=
(5)y xy '=;
解:分离变量,得
d d y
x x y
=
积分得 2
11ln 2
y x c =
+ 得通解为 2112
e
(e )x c y c c ==
(6)210x y '++=;
解: 21y x '=--
积分得 (21)d y x x =--⎰
得通解为 2
y x x c =--+.
32(7)4230x x y y '+-=;
解:分离变量,得 2
3
3d (42)d y y x x x =+
积分得 3
4
2
y x x c =++ 即为通解.
(8)e x y y +'=.
解:分离变量,得 e d e d y
x
y x -=
积分得 e d e d y x y x -=⎰⎰
得通解为: e
e y
x c --=+.
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
20(1)e ,0x y x y y -='== ;
解:分离变量,得 2e d e d y
x
y x =
积分得 21e e 2y
x
c =
+. 以0,0x y ==代入上式得1
2c =
故方程特解为 21e (e 1)2
y
x =+.
π2
(2)sin ln ,e x y x y y y ='== .
解:分离变量,得
d d ln sin y x
y y x
=