概率论与数理统计试题

07试题一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()24E X ⎡⎤+=⎣⎦5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}22P X -≥≤ .6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时,()()22123422Y a X X a X X =++-~()22χ.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( )~(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()|P A B ; (D) ()P AB2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( )(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( )(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤=,5{1}{1}9P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 135. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差()32D X Y -= ( )-(A) 40; (B) 34; (C) ; (D)6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~()2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是统计量的是( )(A) 1max k k nX ≤≤; (B) 1min k k nX ≤≤; (C) X μ-; (D)1nkk X σ=∑三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,,(1) 求恰有2位同学不及格的概率；(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.2．已知连续型随机变量X 的分布函数为220,0(),0x x F x A Be x -≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x;(3) )2PX <<#3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0,A x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩其他（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（3）X 和Y 是否独立5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01(,)0,y x y y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y《6 . 设总体X 概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他，1θ>-未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样本. 求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ 06试题一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） 1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P AB =,则()|P A B =2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 '3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2210x Xx ++=有实根的概率为_________5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得{}212P X <<≥ .二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A = 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 ~3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=,2{0}{0}5P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 454．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩，则{}1P X Y +≥=＿＿＿＿ (A) 11e --; (B) 21e --; (C) 212e --; (D) 110.5e -- 5. 设总体X ,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是(A) X ; (B) 123X X X +-; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D)1nii X=∑三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.2．已知随机变量X 的密度为,01()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其它,且{1/2}5/8P x >=,%求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21,01,02;(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ；（3）求概率{}P X Y >.4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2U X Y =+,2V X Y =-, 求随机变量U 与V 的相关系数UV ρ5 . 设总体X ~(100,)b p 为二项分布，01p <<未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样本. 求参数p 的矩估计量和极大似然估计量。

'四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立2. 设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2D X σ=,12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, 样本均值11n i i X X n ==∑,样本方差()22111n ii S X X n ==--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估计量)|@06答案一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1. 2/3 2．17/45 3．35 4．5/6 5. 4/5二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）1. (B) 2．(D) 3．(C) 4．(D) 5. (D)三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分） ！1．解:设A 表示“顾客买下该箱产品” ，i B 分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”0,1,2i = 则()0P B =80％，()1P B =10％()2P B =10％，，()0|P A B =1，()4191420|C P A B C =，()4182420|C P A B C =，(3分)由全概率公式得：()()()2|iii P A P A B P B ===∑448/475，(7分)由贝叶斯公式得：()()()000||()P A B P B P B A P A ==95/112 (10分)2．解: (1) 由1()/2f x dx a b +∞-∞==+⎰, {}1/25/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞=>==+⎰解得1,1/2a b == (4分) (2) 0.5,01()0,x x f x +<<⎧=⎨⎩其它,当0x <时, (){}0F x P X x =≤=，当01x ≤<时, (){}()()200.5/2xF x P X x x dx x x =≤=+=+⎰, 当1x ≥时, ()1F x =， 所以()()20,0/2,011,1x F x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩ (10分)3．解: （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰222/3,010,x x x ⎧+≤≤=⎨⎩其他()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰1/3/6,020,y y +≤≤⎧=⎨⎩其他 (4分)《(2) 当02y ≤≤时, ()|(,)|()X Y Y f x y f x y f y ==262,0120,x xy x y ⎧+≤≤⎪=+⎨⎪⎩其他当01x <≤时, ()|(,)|()Y XX f x y f y x f x =223,02620,x xyy x x⎧+≤≤⎪=+⎨⎪⎩其他 (8分) (3) {}P X Y >(,)x yf x y dy >=⎰120017/243x dx x xy dy ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ (10分) 4 .解: ()()E X E Y λ==,()()D X D Y λ==,()3E U λ=,()3E V λ=()()5D U D V λ==,()()(),43Cov U V D X D Y λ=-=, (8分)UV ρ,Cov U V =/5 (10分)5 .解：由()100E X p X ==，得p 的矩估计量ˆ100Xp= (4分) 似然函数为1001001()(1)i i i nx x x i L p Cp p -==-∏，()()()()1001ln ()ln ln 100ln 1inx i i i L p C x p x p ==++--∑^由()()ln ()0d L p dp=，得极大似然估计量ˆ100Xp= (10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1. 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，(2分)所以()()()P A B C P AC BC -=-()()P AC P ABC =-()()()()()P A P C P A P B P C =-()()P A B P C =-即()()PA B C -()()P A B P C =-,所以事件A B -与C 也相互独立 (5分)2. 证明：()E X μ=，()2D X σ=，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本，所以()E X μ=，()2/D X nσ=，所以()()22111ni i E S E X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑()()22111n i i E X nE X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑()()222211/1n i n n n σμσμ=⎡⎤=+-+⎢⎥-⎣⎦∑2σ=，即2S是参数2σ的无偏估计量(5分)07答案一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）&1. 2． 3. ()(1,040,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他4． 54 5. 1/2 6. 1/20二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1. (C) 2．(B) 3．(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C) 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1．解:设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =，由题意,,A B C 相互独立 (2分)(1) 事件“恰有2位同学不及格” 为: D ABCABC ABC =，所以()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++= (6分)(2)()()|()P BD P B D P D = ()()()P ABC P ABC P D +==33/47 (10分)2．>解: (1) 由()F x 右连续性得()()00F F +=，即0A B +=, 又由()1F +∞=得，1A =，解得1,1A B ==- (5分)(2) ()22,0()0,xxe x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩其它, (8分)(3) )2PX <<()2F F=-12ee --=- (10分)3．解: 由于随机变量X 与Y 相互独立,所以Z X Y =+的密度函数为()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰(2分)1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩ (10分)4．解: （1）由(,)1f x y dy +∞-∞=⎰，得1/4A = (2分)(2)()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰1/4,020,x x dy x -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 /2,020,x x ≤≤⎧=⎨⎩其他 (5分)()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰221/4,201/4,020,yy dx y dx y -⎧-≤<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪⎩⎰⎰其他()()2/4,202/4,020,y y y y +-≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 (9分)(3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立(10分)5 .解: ()3/8E X =,(2分) ()3/4E Y =,(4分) ()3/10E XY = (6分)，所以(),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=3/160, (10分)6 .解：(1)由1()2E X X θθ+==+，得θ的矩估计量21ˆ1X X θ-=- (5分) (2)似然函数为()1()1nii L xθθθ==+∏，()()1ln ()ln 1ln nii L n x θθθ==++∑由()()ln ()0d L d θθ=，得极大似然估计量21ˆ1/ln nii n Xθ==--∑ (5分)四、证明题（本大题共2小题，每小题4分，共4分）1. 证明： 因为()()()()P AB P BC P AB BC P ABC +=+,又由于AB BC B ⊂,ABC AC ⊂，所以()()P ABBC P B ≤，()()P ABC P B ≤,所以()()()()P AB P BC P B P AC +≤+,即()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ (4分)。