弹簧问题

弹簧问题（动力学）
知识升华
一、弹簧的弹力
1、弹簧弹力的大小
弹簧弹力的大小由胡克定律给出，胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比。

数学表达形式是：F=kx 其中k是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数。

说明：
①弹力是一个变力，其大小随着弹性形变的大小而变化，还与弹簧的劲度系数有关；
②弹簧具有测量功能，利用在弹性限度内，弹簧的伸长（或压缩）跟外力成正比这一性质可制成弹簧秤。

2、弹簧劲度系数
弹簧的力学性质用劲度系数描写，劲度系数的定义因弹簧形式的不同而不同，以下主要讨论螺旋式弹簧的劲度系数。

（1）定义：在弹性限度内，弹簧产生的弹力F（也可认为大小等于弹簧受到的外力）和弹簧的形变量（伸长量或者压缩量）x的比值，也就是胡克定律中的比例系数k。

（2）劲度系数的决定因素：劲度系数的大小由弹簧的尺寸和绕制弹簧的材料决定。

弹簧的直径越大、弹簧越长越密、绕制弹簧的金属丝越软越细时，劲度系数就越小，反之则越大。

如两根完全相同的弹簧串联起来，其劲度系数只是一根弹簧劲度系数的一半，这是因为弹簧的长度变大的缘故；若两根完全相同的弹簧并联起来，其劲度系数是一根弹簧劲度系数的两倍，这是相当于弹簧丝变粗所导致；
二、轻质弹簧的一些特性
轻质弹簧：所谓轻质弹簧就是不考虑弹簧本身的质量和重力的弹簧，是一个理想化的模型。

由于它不需要考虑自身的质量和重力对于运动的影响，因此运用这个模型能为分析解决问题提供很大的方便。

性质1、轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受到的力大小是相同的。

其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。

如图1和2中相同的轻弹簧，其端点受到相同大小的力时，无论弹簧是处于静止、匀速还是加速运动状态，各个弹簧的伸长量都是相同的。

性质2、两端与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化——弹簧缓变特性；有一端不与物体相连的轻弹簧上的弹力能够在瞬间变化为零。

如在图1、2、3、4、中撤出任何一个力的瞬间，弹簧的长度不会变化，弹力的大小也不会变化；但是在图5中撤出力F的瞬时，弹簧恢复原长，弹力变为零。

说明：①上述结论可以通过弹簧和物体组成系统的振动周期公式加以理解，弹簧恢复原长需要四分之一个周期，并且物体的质量越大劲度系数越小，恢复时间就越长。

物体的质量非常小时，可以认为无限短的时间就可以恢复原长。

②重的弹簧可以等价于轻弹簧连接着一个物体，弹簧自由端的恢复也仍然需要一点时间。

性质3、弹簧的形变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向相反。

分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。

性质4、弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx ，是一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。

以简谐运动为模型分析动力学问题会减少错误带来方便。

例如一个质量为M的物体从高处自由下落在一个弹簧上，试分析物体的运动情况。

由简谐运动的知识知道，物体一旦接触弹簧其运动就进入了简谐振动过程，必定存在一个平衡位置（如图中O的位置，重力等于弹力），物体靠近平衡位置的阶段必定是速度增大、加速度减小，远离平衡位置的阶段，必定是速度减小、加速度增大。

经典例题透析
类型一：关于弹簧的伸长量和弹力的计算
解决这类问题的方法是：
（1）根据物体所处的运动状态，运用牛顿定律或平衡条件求出弹簧受到的弹力，然后由胡克定律计算弹簧的形变量或原长等。

（2）由物体的运动情况和几何关系求出弹簧的形变量，然后用胡克定律计算弹力，进而求解物体的运动情况。

值得注意的是：弹簧可能产生拉力也可能产生压力，同一弹力弹簧可能有两个长度；轻质弹簧上的弹力大小处处相等。

1、对轻弹簧的理解
1、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上；②中弹簧的左端受大小也为F 的拉力作用；③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量都为零，以
依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）
A. B. C. D.
答案：D
思路点拨：要比较四种不同物理情景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理情景中弹力的大小和弹簧的劲度系数．由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧各处所受的弹力，弹簧只是传递物体间的相互作用．可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将等大地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= k△x，则四个弹簧的伸长量△x 相同．解析：首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处处拉力都相同.因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为0，而加速度不是无穷大，所以合力必为0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同.按题意又可知大
小皆为F.其次，弹簧的伸长量，K为劲度系数.由题意知四个弹簧都相同，即k 都
相同.故可知伸长量必相同
总结升华：本题通过对四种不同物理情景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力．
①②两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同．常有学生错误地认为第②种情形中弹簧所产生的弹性形变比第①种情形中弹
簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第①种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第①种情形与第②种情形的受力情况是等效的，其实在第①种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第①②两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第③④两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但轻弹簧中产生的弹力大小处处等于外力F的大小，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。

认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些，是错误的。

没有注意到轻弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件。

举一反三：
【变式】如图所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L0＝10 cm，劲度系数k＝500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m＝__________。

（g取10m/s2）
解析：首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程：
答案：1kg
2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变
在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性，以防漏解。

解决这类问题的方法是：以与弹簧相联系的物体为研究对象，进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能的状态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。

对物体应用平衡条件求出弹力，或者结合胡克定律求出弹簧的伸长量、压缩量以及弹簧的长度与原长。

2、如图所示，a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑
轮的轻绳，它们均处于平衡状态.则:（）
A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态
B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态
C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态
D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态
解析：研究a、N、c系统由于处于平衡状态，N可能处于拉伸状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态；研究a、M、b系统由于处于平衡状态，M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态)，而N可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析，本题只有A、D正确.
答案：A、D
举一反三：
【变式】如图所示，重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120。

，已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G，则弹簧C对质点的作用力大小可能为（）
A.2G
B.G
C.0
D.3G
解析：弹簧A、B对M的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力，二是压缩时对M的弹力.
若A、B两弹簧都被拉伸，两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下，大小为3G，此时弹簧C必被拉伸，对M有竖直向上的大小为3G的拉力，才能使M处于平衡状态.
若A、B两弹簧都被压缩，同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的弹力.A、B两弹簧不可能一个被拉伸，一个被压缩，否则在题设条件下M不可能平衡.选项B、D正确
答案：BD.
3、如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1
和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面
的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（）
A.
B.
C.
D.
解析：原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1，则有：；
当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块m2，
则有：
因此下面的木块移动的距离为
故本题选C
答案：C
总结升华：缓慢向上提，说明整个系统一直处于动态平衡过程.
3、弹簧测力计的原理
解决弹簧测力计的问题，首先明确弹簧测力计的原理——弹力的大小与弹簧的形变量成
正比，弹力的增量与弹簧形变量的增量也成正比，即、，因此弹簧秤的刻度是均匀的。

4、量得一只弹簧测力计3N和5N两刻度线之间的距离为2.5cm。

求：
（1）这弹簧测力计3N、5N刻度线与零刻度线之间的距离。

（2）这弹簧测力计所用弹簧的劲度系数。

思路点拨：由求出劲度系数，然后根据胡克定律由劲度系数求出弹力是3N、
5N时弹簧的伸长量，即为所求。

解析：弹簧秤的刻度值应与该刻度线到零刻线的距离成正比。

设3N、5N刻度线到零刻度线的距离分别为x1、x2，劲度系数为k。

根据胡克定律F=kx；可得得
=。

由可得。

答案：3N刻度线到0刻线的距离为3.8cm，5N刻线到0刻线的距离为6.3cm，弹簧的劲度系数为80N/m。

举一反三：
【变式】如图所示，弹簧秤外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一重物质量为m，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧秤，使其向上做匀加速运动，则弹簧秤的读数为：
A.mg；
B. ；
C.；
D.
思路点拨：弹簧秤的弹簧上任意位置弹力大小就是弹簧秤的示数，也就是说弹簧秤的示数指示等于弹簧上任一端所受拉力的大小。

解析：对弹簧和物体组成的系统应用牛顿第二定律得：
对吊钩上的物体用牛顿第二定律得：
解得：弹簧秤对物体的拉力
由牛顿第三定律知：弹簧秤上的弹簧受到的拉力大小
也就是说弹簧秤的示数是
答案：D
总结升华：弹簧秤的外壳有质量有重力，切不能认为弹簧秤壳受到的拉力等于弹簧秤上的弹簧受到的拉力。