运筹学第一部分 规划论学习总结

运筹学第一部分规划论学习总结

一、线性规划（LP）

1.1线性规划的基本概念

线性规划；目标函数，约束条件；可行解，可行域；最优解，最优值；

1.2 用图解法解两个变量的LP

知识要点：

1）图解法解LP的目的是理解LP的几何性质，不是为了求解，因为它只适用于简单的LP。

2）图解法最适合两个决策变量的LP（约束可以是等式或不等式）。对于一个变量的LP，图形在一维直线上，过分简单；对于三个变量的LP，图形在三维空间，过于复杂。

3）图解法的基本步骤：

（1）依次画出适合各约束的区域。重点是会画直线方程的图像。对不等式约束，再判断是直线划分的哪一个半平面。

（2）找出适应各个约束的公共区域，即LP的可行域。

（3）对于目标函数，画出几条等值线，并判断等值线的值上升的方向。

（4）平移目标函数等值线，找出使目标函数最优的点，即LP的最优解。

若找不到最优点，为无界解。

重点或难点：画对应直线方程的直线，注意斜率的符号。

1.3线性规划的图解法的灵敏性分析，对偶价格（影子价格）。

1.4有关LP的基本定理：

线性规划问题的可行域非空时（除无可行解时），其可行域是凸集。（它是有界或无界的凸多边形）

如果线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；（一定可以在其顶点达到，但不一定只在其顶点达到，有时在两顶点的连线上得到，包括顶点）

1.5 可行域与最优解及相互之间的关系：

可行域：空集非空（有界、无界）

最优解：无解唯一最优解无穷多最优解无界解

1.6线性规划的标准化

1）松弛量：对一个“≤” 约束条件中，没有使用完的资源或能力的大小称为松弛量（松弛或空闲能力）；加上一个松弛量

2）约束方程左边为“≥”不等式时，则可在左边减去一个非负剩余变量，变成等式约束条件。

3)右边的常量Bj ≤0时，两边都要乘以-1。

4)当变量XK <0时，可令XK= - XK, , XK, >0

5)当变量XK为无约束时，可令XK= XK,- XK,,，其中，XK, , XK,, ≥0。

6)令z,=-z，把求min z问题改求为max z, ，即可得到该问题的标准型。

1.7线性规划的计算机解法

（1）Excel求解线性规划问题

规划求解的主要步骤：

设置目标单元格－目标函数，需要最大化（或最小化）的单元格；

设置可变单元格－自变量，需要决定的数目；

约束－约束条件，可通过添加、修改、删除来灵活修改；

要注意，使用线性规划模型，需要修改选项，选中采用线性模型和假

定非负。

（2）Lindo_w

注意事项:

1) 基本程序架构lindo是这样的：

MAX 目标函数表达

ST

变量约束1

变量约束2

变量约束3

END

求解一个问题，送入的程序必须以MIN或MAX开头，以END 结束；然后按Ctrl + S（或按工具栏中的执行快捷键）进行求解；

2)低版本的LINDO要求变量一律用大写字母表示；

3) 目标函数及各约束条件之间一定要有"Subject to (ST) "分开.其中字母全部大写；

4) 变量名不能超过８个字符.

在LINDO命令中，约束条件的右边只能是常数，不能有变量；

5) 变量与其系数间可以有空格,不能有任何运算符号(如乘号"*"等).

6) 要输入<=或>=约束，相应以<或>代替即可.

7) 一般LINDO 中不能接受括号"()"和逗号",", 例:400(X1+X2) 需写成400X1+400X2;10,000 需写成10000.

8) 表达式应当已经过简化。不能出现 2X1+3X2-4X1,而应写成-2X1+3X2. LINDO 对目标函数的要求，每项都要有变量，例如，LINDO不认识MIN 2000-X+Y，要改为MIN –X+Y；

9)在LINDO中使用!构造注释语句

10)英文输入,M.

结果解释：

“LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6”表示LINDO在（用单纯形法）６次迭代或旋转后得到最优解。

“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)933400.0”表示最优目标值为933400。

“VALUE”给出最优解中各变量的值。

“SLACK OR SURPLUS”给出松弛变量的值。上例中SLK 2= 第二行松弛变量＝０（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）

“REDUCE COST”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目标函数的变化率，其中基变量的reduce cost 值应为０，对于非基变量Ｘj相应的reduce cost值表示Ｘj增加一个单位（此时假定其他非基变量保持不变）时目标函数减小的量（max 型问题）。

“DUAL PRICE”（对偶价格）列出最优单纯形表中判别数所在行的松弛变量的系数，表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率，输出结果中对应每一个约束有一个对偶价格。若其数值为Ｘ，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数将增加Ｘ个单位（max 型问题）。

灵敏度分析：如果做敏感性分析，则系统报告当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基保持不变。报告中INFINITY表示正无穷

1.8线性规划建模案例

人力资源分配问题

生产计划问题

套裁下料问题

投资问题

配料问题

二、单纯形法

1）单纯形法引入――运用简单例子，简单介绍单纯形法的基本思路。

2）介绍单纯形方法

（1）初等行变换

（2）迭代，旋转元，顶点到相邻顶点；

（3）换入变量的确定：非基变量检验数大于零

（4）换出变量的确定：最小比值法则（避免出现基变量为负的情形）

（5）判断最优：所有检验数非正

（6）判断无界解：有非基变量，检验数为正，对应该变量的单纯形表中的系数都非正。

（7）没有初始单位矩阵时，加人工变量，用两阶段法求解。若第一阶段结