高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面、平面与平面平行的性质正式版

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直线与平面、平面与平面平行的性质

【知识梳理】

1.线面平行的性质定理

(1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (2)图形语言:

(3)符号语言:

⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β=b ⇒a ∥b

(4)作用:线面平行⇒线线平行.

2.面面平行的性质定理

(1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

(2)图形语言:

(3)符号语言:

⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ=a β∩γ=b ⇒a ∥b

(4)作用:面面平行⇒线线平行.

【常考题型】

题型一、线面平行的性质及应用

【例1】 如图所示,已知三棱锥A —BCD 被一平面所截,截面为▱EFGH ,求证:CD ∥平面EFGH .

[证明]∵EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.

又GH⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,

∴EF∥平面BCD.

而平面ACD∩平面BCD=CD,EF⊂平面ACD,

∴EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,

∴CD∥平面EFGH.

【类题通法】

运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线,然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.【对点训练】

1.求证:如果一条线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

已知:α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.

证明:如图,过a作平面γ交α于b.

∵a∥α,∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β,

∴a∥c,∴b∥c.

又b⊄β且c⊂β,∴b∥β.

又平面α过b交β于l,∴b∥l.

∵a∥b,∴a∥l.

题型二、面面平行的性质及应用

【例2】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别

交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证:MN∥平面α.

[证明]过A作AE∥CD交平面α于点E,取AE的中点P,

连接MP,PN,BE,ED,AC.

∵AE∥CD,∴AE,CD确定平面AEDC.

则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC.

∵α∥β,∴AC∥DE.

又∵P,N分别为AE,CD的中点,

∴PN∥DE.∵PN⊄α,DE⊂α,∴PN∥α.

又∵M,P分别为AB,AE的中点,

∴MP∥BE.又∵MP⊄α,BE⊂α,

∴MP∥α.∵MP,PN⊂平面MPN,且MP∩PN=P,

∴平面MPN∥α.

又∵MN⊂平面MPN,∴MN∥α.

【类题通法】

1.把握面面平行性质定理的关键

(1)成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面均相交.

(2)定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.

2.面面平行的性质定理的几个推论

(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两平行平面间的平行线段相等.

(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

【对点训练】

2.如图所示,在矩形ABCD 中,AB =2BC =2a ,E 为AB 上一点,将

B 点沿线段E

C 折起至点P ,连接P A 、PC 、P

D ,取PD 中点F ,若有AF

∥平面PEC ,试确定E 点的位置.

解:取PC 的中点G ,连接GE ,GF .如右图.

由条件知GF ∥CD ,

EA ∥CD ,∴GF ∥EA ,则G ,E ,A ,F 四点共面.

∵AF ∥平面PEC ,

平面GEAF ∩平面PEC =GE ,

∴AF ∥GE .∴四边形GEAF 为平行四边形.

∵GF =12CD ,∴EA =12CD =12

BA , ∴E 为AB 的中点.

题型三、线面平行和面面平行的综合问题

【例3】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,如图.

(1)求证:平面AB 1D 1∥平面C 1BD ;

(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ,F ,

并证明:A 1E =EF =FC .

[解] 证明:(1)因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD 綊B 1C 1,

所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形,所以AB 1∥C 1D .

又因为C 1D ⊂平面C 1BD ,AB 1⊄平面C 1BD .

所以AB 1∥平面C 1BD .

同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,

所以平面AB1D1∥平面C1BD.

(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.

又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;

连接AC交BD于O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.

因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,

平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,

平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,

即A1E=EF;

同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,

即CF=FE,

所以A1E=EF=FC.

【类题通法】

1.在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.

2.要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.【对点训练】

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