高考数学圆锥曲线的经典性质50条

For pers onal use only in study and research; not for commercial use

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For pers onal use only in study and research; not for commercial

use

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

椭圆

点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角.

PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

若

F0(X

若

P0(X0

2

x

,y0)在椭圆一亍

a

2

、x

,y0)在椭圆一2

a

2

2

2

2

y

-

b

y

-

b

=1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂•辔=1.

a b

=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦

2 x 椭圆

一2 a

2

x 椭圆一

2 a

2

2

2

2

y

b

y

-

b

=1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 -

=1 ( a > b> 0)的焦半径公式：

P1P2的直线方程是°2 - =1.

a b

戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2

tan—

|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点，

A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF.

2 2 2

2

-2

y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2

y^ - ―02

-

a b

a b a b

双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)

2 2

5.

若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1.

a b

a b

2 2

6.

若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2

^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P

2，则切点弦

P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y

=

11. AB 是椭圆

即

K

AB

2

2

a 2

b 2

b 2X 0

—2 。

a y °

=1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB =

b 2

~2 ，

a

12.

F 0(X o ，

y o )在椭圆

2 2

7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止

a 2

b 2

13.

F 0(x 0,y °)在椭圆

1 .

a b a b

X 2 y 2

双曲线 2 2 =1 ( a > 0,b > 0)的左右焦点分别为

F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点 .F 1PF 2 ，则双曲线的焦点

角形的面积为

a b

2

二b cot

2

x 2 y 2 双曲线— 2 =1 (a > 0,b > o )的焦半径公式：(F 1 ( -C,0) , F 2

(C,0)

a b

当M (冷，y °)在右支上时，| MR 卜a , | MF 2卜ex g — a . 当 M(x g ,y o )在左支上时，|MF 1|=-ex g a ,| MF 21= -ex^ - a

设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点,

则MF 丄NF.

2 2

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和AQ 交于点N ,_则MF 丄NF.

11.

2

X

AB 是双曲线—

a

2

y b 2

=1 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦，

M

(X 0,y 0)为AB 的中点，_则K OM

b 2X 0 12. 若

P 0(X Q

, y 0)在双曲线

13. 若P 0(x o , y 0)在双曲线

2

2

a 2

b 2

2

2 2

, 2_ 1

a b

X o X y o y 2 _

a 2

x (a > 0,b > 0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2 一

a 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

高三数学备课组

椭 圆

(a > 0,b > 0)内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 K AB ■ ■ 2―-，即 K

AB 2

ay 。

ay 。

2

2

=准 __y_ -2 — a b 2 2 y x °x y °y

b

a 2

b 2 b 2 7.

8.

9.

S.F 1

PF

2

1.

P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是