第三节 控制系统的传递函数

U c ( s) 1 U r ( s) RCs 1
(2.67)
当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： 1 G(s) Ts 1 式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。
图2-17 G(s)=
s2 ( s 3)( s 2s 2)
2
零极点分布图
4. 若取式(2.69)中s = 0，则：
G (0) b0 a0
常称为传递系数（或静态放大系数）。从微分方程式(2.68)看， s=0相当于所有导数项为零，方程蜕变为静态方程
a0c b0 r
或
b0 c r a0
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压uc(0)，得:
RCsU c ( s) RCuc (0) U c ( s) U r ( s)
式中 Uc(s)—— 输出电uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压ur(t)的拉氏变换。 由上式求出Uc(s)的表达式:
U c ( s) 1 RC U r (s) uc (0) RCs 1 RCs 1
(2.77)
系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。
式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+„+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+„+a1s+a0为传递函数的分母多项式。 传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t=0 时的值也为零。
(2.68)
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，… an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：
[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s) =[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)
dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(2.76)
式中n 无阻尼自然振荡频率，n=1/T； ——阻尼比，0＜＜1。 图2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
图2-22 振荡环节的单位阶跃响应曲线
（六）延滞环节 延滞环节是线性环节， t 称为延滞时间（又称死时）。具 有延滞环节的系统叫做延滞系统。 如图2-23所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间t 后 才出现阶跃信号，在0＜1＜t 内，输出为零。
第三节
控制系统的传递函数
第三节 控制系统的传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质
三、典型环节及其传递函数
引言

控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模 型，在给定外作用及初始条件下，求解改变， 便需要重新列写并求解微分方程。
（四）微分环节 理想微分环节传递函数为: G(s) = T s (2.74)
输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)， 是个脉冲函数。 理想微分环节的实例示于图2-21(a)、(b)。(a)为测速发电机。 图中(b)为微分运算放大器。 在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：
图2-15表示各分量的变化曲线， 电容电压uc (t)即为两者的合成。
图2-15 RC网络的阶跃响应曲线
在式(2.65 )中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用， 则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur (t) 和初始电压uc (0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则 有: 1 U c ( s) U r ( s) (2.66) RCs 1 当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为:
图2-23 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下： c(t)= r(t－t)
其拉氏变换为:
C ( s) r (t t )e dt r ( )e s ( t )d
st 0 0
et s R( s)
式中 = tt，所以延滞环节的传递函数为:
G ( s ) e t s
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) C ( s) G( s) k R( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
(2.70)
式中k为常数，-z1,…,-zm 为传递函数分子多项式方程 的m个根，称为传递函数的 零点；-p1,…,-pn为分母多 项式方程的n个根，称为传 递函数的极点。 一般zi,pi可为实数，也可 为复数，且若为复数，必共 轭成对出现。将零、极点标 在复平面上，则得传递函数 的零极点分布图，如图2-17 所示。图中零点用“ ”表 示，极点用“* ”表示。
传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在
复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究 系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典 控制理论中最基本也是最重要的概念
一、传递函数的概念
图2-14所示的RC电路中电 容的端电压uc(t)。根据克希 霍夫定律，可列写如下微分 方程：
T1s G (s) T2 s 1
(2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。
图2-21 微分环节
（五）振荡环节 振荡环节的传递函数为：
2 n 1 G ( s) 2 2 2 2 T s 2T s 1 s 2 n s n
由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数：
C ( s ) bm s m bm1s m 1 b1s b0 M ( s ) G( s) n n 1 R( s ) an s an 1s a1s a0 D ( s )
(2.69)
(2.63)
(2.64)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0· 1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
uc (t ) u0 (1 e

t RC
) uc (0)e

t RC
(2.6 5)
式中第一项称为零状态响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。
图2-16 传递函数
传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 对传递函数作如下定义： 线性（或线性化）定常系统在零初始 条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递
函数。
若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：
b0 /a0恰为输出输入时静态比值。 5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输 入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。
三、典型环节及其传递函数
控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种 基本环节，也就是典型环节。 （一）比例环节 比例环节的传递函数为： G(s)= K (2.71) 输出量与输入量成正比，比 例环节又称为无惯性环节或 放大环节。
图2-19 惯性环节
（三）积分环节 它的传递函数为:
G( s) 1 Ts
(2.73)
当积分环节的输入为单位 阶跃函数时，则输出为t/T，它 随着时间直线增长。T称为积 分时间常数。T很大时惯性环 节的作用就近似一个积分环节。
图2-20(b)为积分调节器。积 分时间常数为RC。
图2-20 积分环节
图2-18 比例环节
图2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图2-18(b) 所示。
（二）惯性环节 传递函数为如下形式的环节为惯性环节：
K G(s) Ts 1
(2.72)
式中 K——环节的比例系数； T——环节的时间常数。 当环节的输入量为单位阶跃 函数时，环节的输出量将按指 数曲线上升，具有惯性，如图 2-19(a)所示。
i(t ) R uc (t ) ur (t )
(2.60)
1 uc (t ) i (t )dt (2.61) C 消去中间变量i(t)，得到输入ur(t) 与输出uc(t)之间的线性定常微分 方程: duc (t ) RC uc (t ) ur (t ) (2.62) dt
图2-14 RC电路
二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式(2.69)可知，传递函数具 有以下性质： 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低 于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.69)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：