2021中考数学二轮复习题 图像信息问题
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_图形的相似_相似三角形的应用,解答题专训及答案
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_图形的相似_相似三角形的应用，解答题专训及答案备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_图形的相似_相似三角形的应用，解答题专训1、(2017宝应.中考模拟) 如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B 、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40 +5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．2、(2018绍兴.中考模拟) 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE的点E到窗下墙脚的距离CE=3.9 m，窗口底边离地面的距离BC=1.2 m，试求窗口的高度（即AB的值）．3、(2017福建.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．4、(2019萍乡.中考模拟) 如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF 为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度?5、(2016景德镇.中考模拟) 如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．（1）探索发现当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；（2）延伸拓展当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；（3）应用推广如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为A D边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．6、(2017曹.中考模拟) 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2） t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？7、(2017福田.中考模拟) 深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米，求旗杆的高度．8、(2019凤翔.中考模拟) 如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝16米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米.已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度.9、(2019陕西.中考模拟) 如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？10、(2017西安.中考模拟) 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．11、(2017西安.中考模拟) 某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE=1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE=4.8米．求小雁塔的高度．12、(2020陕西.中考模拟) 某数学课外活动小组的同学.利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28°；方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米.你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）13、(2020西安.中考模拟) 西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB.14、(2020四川.中考真卷) 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．15、(2020黄石.中考模拟) 白天，小明和小亮在阳光下散步，小亮对小明说：“咱俩的身高都是已知的.如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长.”晚上，他们二人有在路灯下散步，小明想起白天的事，就对小亮说“如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长”.你认为小明、小亮的说法有道理吗？说说你的理由.备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_图形的相似_相似三角形的应用，解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
通用版中考数学二轮复习专题2：图象信息类问题同步测试(有答案)
专题集训2 图象信息类问题一、选择题1．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( B )【解析】表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B 选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B.2．小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是( D ) A．小涛家离报亭的距离是900 mB．小涛从家去报亭的平均速度是60 m/minC．小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/minD．小涛在报亭看报用了15 min3．如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是( A )【解析】根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．故选A.二、填空题4．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为1，则最后输出的结果是__42__．【解析】n＝1时，n(n＋1)＝2＜15；n＝2时，n(n＋1)＝6＜15；n＝6时，n(n＋1)＝42＞15，输出结果．5．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．被移动石头的质量为__5__克．【解析】设被移动的石头重x 克，移动之前左右盘各重为a 克，作移动处理后，天平仍平衡．则a －x ＝a ＋x －10，得x ＝5.三、解答题6．为更新果树品种，某果园计划新购进A 、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种苗的单价为7元/棵，购买B 种苗所需费用y (元)与购买数量x (棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若在购买计划中，B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，当0≤x≤20时，把(0，0)，(20，160)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝b ，160＝20k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8，b ＝0，此时y 与x 的函数关系式为y ＝8x ；当x ＞20时，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6.4，b ＝32，此时y 与x 的函数关系式为y ＝6.4x ＋32.综上可知，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x≤20），6.4x ＋32（20＜x ） (2)∵B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤35x≥45－x，∴22.5≤x ≤35，设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347，∵k ＝－0.6，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35时，W 总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)7．一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶60千米，两车到达甲城后均停止行驶．两车之间的路程y (千米)与轿车行驶时间t (小时)的函数图象如图所示．请结合图象提供的信息解答下列问题：(1)请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；(2)求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D 的坐标；(3) 请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s (千米)与轿车行驶时间t (小时)之间的函数关系式．(不要求写出自变量的取值范围)解：(1)甲城和乙城之间的路程为180千米，设卡车的速度为x 千米/时，则轿车的速度为(x ＋60)千米/时，由B (1，0)得，x ＋(x ＋60)＝180解得x ＝60，∴x ＋60＝120，∴轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时(2)卡车到达甲城需180÷60＝3(小时)，轿车从甲城到乙城需180÷120＝1.5(小时)，3＋0.5－1.5×2＝0.5(小时)，∴轿车在乙城停留了0.5小时，点D 的坐标为(2，120)(3)s ＝180－120×(t －1.5－0.5)＝－120t ＋4208．某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值；(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m (kg)，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t ≤50），100t ＋15000（50<t ≤100）；y 与t 的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t ≤50和50<t ≤100时，y 与t 的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大？并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30.即a 的值为0.04，b 的值为30 (2)①当0≤t≤50时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1t ＋n 1, 把点(0，15)和(50，25)的坐标分别代入y＝k 1t ＋n 1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15，∴y 与t 的函数关系式为y ＝15t ＋15；当50<t≤100时，设y 与t 的函数关系式为y ＝k 2t ＋n 2，把点(50，25)和(100，20)的坐标分别代入y ＝k 2t ＋n 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30，∴y 与t 的函数关系式为y ＝－110t ＋30②由题意得，当0≤t≤50时，W ＝20000(15t ＋15)－(400t ＋300000)＝3600t ，∵3600>0，∴当t ＝50时，W 最大值＝180000(元)；当50<t≤100时，W ＝(100t ＋15000)(－110t ＋30)－(400t ＋300000)＝－10t 2＋1100t ＋150000＝－10(t －55)2＋180250，∵－10<0，∴当t ＝55时，W 最大值＝180250(元)；综上所述，当t 为55时，W 最大，最大值为180250元。
2021年重庆中考数学第22题新函数图像题专题训练
2021重庆中考数学第22题新函数图像题专题训练1.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=|2xx−2|的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：(1)请直接写出表中m，n的值，并在图中补全该函数图象；x…−5−4−3−2−1013234567…y=|2xx−2|…1074365m230266n1033145…(2)结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；(3)已知函数y=45x+185的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式45x+18 5≥|2xx−2|的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．2.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=−6x−6x2−2x+2性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：x…−5−4−3−2−1012345…y=−6x−6x2−2x+2…363715132417______12530−3______ −952417…(2)观察函数图象，写出该函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=−75x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−6x−6x2−2x+2≥−75x+1的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．x3−2x的图象与性质进行探究．3.根据我们学习函数的过程和方法，对函数y=14(1)如表是y与x的几组对应值：则m的值为______ ，n的值为______ ．(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质：______ ．x3−2x≥x，结合图象，直接写出x的取值范围______ ．(3)若144.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=|5xx2+4|性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)补全表：(2)在平面直角坐标系中，补全函数图象，根据函数图象，写出这个函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=52x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于x的方程|5xx2+4|=52x−1的近似解(保留1位小数，误差不超过0.2)．5.探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请结合表中的数据，画图并探究该函数y=−ax2+2的性质．x…−4−3−2−101234…y…−23−1211−2−4−6−4−2−b−23…(1)根据表中数据可得：a=______ ，b=______ ．(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质：______ ；(4)已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−ax2+2≤−23x−103的解集______ ．6.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−4x+6(x−2)2的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：x…−3−2−10323456…y (18)2574109m0−6−52n−98…(1)m=______ ，n=______ ；(2)同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；(3)根据函数图象，写出该函数的一条性质：______ ．(4)结合你所画的函数图象，直接写出不等式−x+2≤−4x+6的解集为______ ．(x−2)27.在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y 1={2−|x|(x <2)x−2x−1(x ≥2)的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出y 1与x 的几组对应的值如表： x…−3−2−1 01234 5 …y … m 0 1 2 1 0 n 2334…(1)根据表格中x 、y 的对应关系可得m = ______ ，n = ______ ；(2)用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______ ； (3)直接写出当函数y 1的图象与直线y 2=kx +1有三个交点时，k 的取值范围是______ ．8.小明结合自己的学习经验，对新函数y=bkx2+1的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x=0时，y=2；当x=1时，y=1．(1)函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：______ ．(2)函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m=______ ，n=______ ．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．x…−4−3−2−1−121212n4…y (2)171525m8528512515217…(3)函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质：______ ．(4)综合应用：已知函数y=|715x−815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|7 15x−815|≤bkx2+1．9.根据我们学习函数的过程与方法，对函数y=x2+bx+2−c|x−1|的图象和性质进行探究，已知该函数图象经过(−1,−2)与(2,1)两点，(1)该函数的解析式为______ ，补全下表：(2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：______ ．(3)结合你所画的图象与函数y=x的图象，直接写出x2+bx+2−c|x−1|≤x的解集______ ．x|ax+b|(a>0)的图象与性质进行探10.小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y=14究．已知该函数图象经过点(2,1)，且与x轴的一个交点为(4,0)．(1)求函数的解析式；(2)在给定的平面直角坐标系中：①补全该函数的图象；②当2≤x≤4时，y随x的增大而______(在横线上填增大或减小)；x|ax+b|的最大值是______；③当x<4时，y=14x|ax+b|有两个交点，则k=______．①直线y=k与函数y=1411.已知函数y=a−b|x−1|(a、b为常数)，当x=1时，y=1；当x=2时，y=0；请对该函数及其图象进行如下探究：(1)求函数的解析式；(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：______；根据函数图象解决下列问题：①若A(m,c)，B(n,c)为该函数图象上不同的两点，则m+n=______；x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1⋅x2>0，则k的取②若方程a−b|x−1|=12值范围是______．12.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y=x+a，探索函数图象和性质过程如下：x(1)上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a=______ ，m=______ ，n=______ ；(2)如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；(3)由函数图象，写出该函数的一条性质：______ ；(4)请在同一个平面直角坐标系中画出函数y=2x的图象，并直接写出不等式x+ax≤2x 的解集：______ ．13.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y={|x+1|(x≤1)2x(x>1)的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．(1)列表：x…−4−3−2−101234…y…3m10121n 12…其中，m=______，n=______．(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．(3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A(72,y1)，B(5,y2)，C(x1,52)，D(x2,6)在函数图象上，则y1______y2，x1______x2；(填“>”，“=”或“<”)②当函数值y=1时，求自变量x的值；(4)若直线y=−x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．14.学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，下面我们对函数y ={−2x (x <0)x 3−3x 2+2(x ≥0)的图象和性质进行探究，请将以下探究过程补充完整：(1)选取适当的值补全表格；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象：(2)结合图象，写出该函数的一条性质：______ ； (3)结合这个函数的图象与性质，解决下列问题：①若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)在这个函数的图象上，且0<x 3<3，−1<x 1<x 2<0，请写出y 1，y 2，y 3的大小关系：______ (用“<”连接)．②若直线y =2a +1(a 是常数)与该函数图象有且只有三个交点，则a 的取值范围为______ ．15. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)−a(a <0).小东结合上面的学习过程，对函数y =|32x −3|+12x −5的图象与性质进行了探究．(1)化简函数的表达式：当x ≥2时，y = ______ ，当x <2时，y = ______ ； (2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y =2x (x >0)的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|32x −3|+12x −5=2x 的近似解______ .(精确到0.1)16.已知函数y=a|x−2|+x+b(a,b为常数).当x=3时，y=0，当x=0时，y=−1，请对该函数及其图象进行探究：(1)a=______ ，b=______ ；(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．(3)已知函数y=−x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x−2|+x+b≥−x2+4x+5的解集．17.在画函数图象时，我们常常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象.小明根据学到的函数知识探究函数y1=|ax+4|−b的图象与性质并利用图象解决问题.小明列出了如表y1与x的几组对应的值：(1)根据表格，直接写出a=______ ，b=______ ；(2)在平面直角坐标系中，画出该函数图象，并根据函数图象，写出该函数的一条性质______ ；(3)当函数y1的图象与直线y2=mx−1有两个交点时，直接写出m的取值范围．18.已知y=a|2x+4|+bx(a,b为常数).当x=1时，y=5；当x=−1时，y=3．(1)a=______ ，b=______ ；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：______ ；(3)已知函数y=25的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+ |2x−2|4|+bx=25的近似解(精确到0.1)．|2x−2|。
2021年中考数学真题 二次函数图象性质与应用(共38题)-(原卷版)
13二次函数图象性质与应用（共38题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·山东泰安市·中考真题）将抛物线223y x x =--+的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）A ．(2,2)-B ．(1,1)-C ．(0,6)D ．(1,3)-2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值63．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0abc >B ．函数的最大值为a b c -+C ．当31x -时，0yD ．420a b c -+<4．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大5．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---6．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =-- D ．11y x =-和21y x =-+7．（2021·上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变8．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-9．（2021·天津中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；①24b ac <；①23c b <；①2()a b m am b +>+（1m ≠）；①若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）A ．y x =-B ．1y x =C ．2y xD ．1y x=- 12．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知6OA =，8OB =，2BC =，P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线2y ax =的交点，则a 的值为（ ）A ．4B ．92 C ．112 D ．513．（2021·四川资阳市·中考真题）已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-，线段AB 上有一动点(),M m n ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点．若12x m x <≤，则a 的取值范围为（ ）A ．342a -≤<-B ．342a -≤≤-C ．302a -≤<D ．302a -<< 14．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞4B ．a ＞0C ．0＜a ≤4D ．0＜a ＜415．（2021·浙江中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1PAB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；①当122x x <-时，12S S <；①当12221x x ->->时，12S S >；①当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A ．23πB ．12πC ．1116πD ．2132π 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题17．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y x x k =++与x 轴只有一个交点，则k =_______．18．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；①0a b c -+=；①y 的最大值为3；①方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．19．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．20．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________．21．（2021·安徽）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．22．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则b a的值是____． 23．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图（1），在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x AD =，y AE CD =+，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点()0,2，则图象最低点的横坐标是__________．24．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论：①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-；①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >． 其中正确的是__________（填写序号）．三、解答题25．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．26．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228=-++与x轴交于点A、B（其中Ay x x在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC'△与POB相似且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于x的一元二次方程20+-=．x x m（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）二次函数2y x x m =+-的部分图象如图所示，求一元二次方程20x x m +-=的解．28．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；①将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值． 29．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围． 30．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）b =________，c =________；（2）若点D 在该二次函数的图像上，且2ABD ABC S S =，求点D 的坐标；（3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且APC APB SS =，直接写出点P 的坐标． 31．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，二次函数()()1y x x a =--（a 为常数）的图象的对称轴为直线2x =．（1）求a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．32．（2021·浙江金华市·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．33．（2021·浙江温州市·中考真题）已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围， 34．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）35．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二次函数265=-+-．y x x（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当14≤≤时，函数的最大值和最小值分别为多少？x（3）当3≤≤时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．t x t+36．（2021·浙江中考真题）如图，已知经过原点的抛物线2=+与x轴交于另y x mx2一点A(2，0)．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．37．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？38．（2021·山东临沂市·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？。
2021年中考数学二轮专题练习 二次函数最值问题
中考专题 二次函数最值问题教学目标1．掌握在全体实数上和在范围上求最值的方法． 2．掌握二次函数含参求最值问题的分类方法． 3．规范解题过程．4．提高数学思维能力，提升解题熟练度．知识梳理1．二次函数在全体实数上求最值若没有范围要求，即在全体实数x 上，求y 的最值： 方法一：转化为顶点式k h x a y +-=2)(；方法二：利用坐标公式（ab2-，a b ac 442-）；方法三：先求出对称轴abx 2-=，再代入解析式求值； 2．二次函数在范围上求最值求范围内最值，需要结合函数图象进行判断： 如图，求21x x x ≤≤范围内y 的最值，方法一：通过图象可直接看出y 的最大值为2y ，最小值为3y ； 方法二：通过增减性，可判断在对称轴左侧13y y y ≤<，在对称轴右侧23y y y ≤<，所以在对称轴处y 取最小值3y ；然后根据开口向上，离对称轴越远，y 的值越大，所以12y y >，所以y 在2x 处取得最大值2y ．3．二次函数含参求最值问题 对于定轴动区间，或动轴定区间问题，都需要分类讨论： （1）开口向上，单求最小值时需要分三种情况：如图1，当对称轴在m 左侧时，y 在m x =处取最小值； 如图2，当对称轴在mn 之间时，y 在对称轴处取得最小值． 如图3，当对称轴在n 右侧时，y 在n x =处取最小值；提示三种方法都要熟练掌握，在解题时选择适当的方法，才能更快的解题．提示在全体实数上y 只存在最大值或最小值其中的一个．提示若取值范围变为21x x x <<，则y 将只存在最小值3y ，没有最大值．提示开口向下时，离对称轴越远，y 的值越小．提示开口方向不定时也需要讨论．提示在书写时要注意规范，同时要注意取等号位置的分配，如可分成： ①m a b <-2；①n a b m ≤-≤2；①n a b >-2； 或者： ①m a b ≤-2；①n a b m <-<2；①n ab ≥-2；（2）开口向上，单求最大值时可以分两种情况：如图4，当对称轴在mn 中点左侧时，y 在n x =处取最大值；如图5，当对称轴在mn 中点右侧时，y 在m x =处取最大值；提示（1）依据的是开口向上，离对称轴越远，y 的值越大．（2）在书写时要注意规范，同时要注意取等号位置的分配，如可分成： ①22n m a b +<-；①22nm a b +≥- 或者：①22n m a b +≤-；①22n m a b +>- （3）开口向上，既求最大值又求最小值时，需要分四种情况（即将（1）中的第二种情况再次讨论）：如图1，当对称轴在m 左侧时，y 在n x =处取最大值，y 在m x =处取最小值；如图4，当对称轴在mn 之间，且在mn 中点左侧时，y 在n x =处取最大值，y 在对称轴处取得最小值； 如图5，当对称轴在mn 之间，且在mn 中点右侧时，y 在m x =处取最大值，y 在对称轴处取得最小值； 如图3，当对称轴在n 右侧时，y 在m x =处取最大值，y 在n x =处取最小值； 提示在书写时要注意规范，同时要注意取等号位置的分配，做到不重不漏；思考①若开口向下，该如何进行分类？②若端点处取不到，最值问题存在着怎样的情况？ 这些问题就留待同学们自己思考探究吧题型探究题型1 顶点处最值例1（★）已知二次函数1)3(22+-+=x m mx y ，当1-=x 时，y 取得最大值，则=m ．例2（2021•道外区一模★）二次函数m x x y +-=22的最小值为2，则m 的值为 ．例3（★）抛物线kx x k y 2)1(2+-=23-+k 的图象最高点在x 轴上，则k 的值为 ．1-1（★）当0=x 时，函数c bx x y ++=22有最小值1，则=-c b ．2-1（2020秋•阜平县期中★）二次函数142+-=x mx y 有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．1±D ．21±题型2 转化求最值例4（2020秋•中站区期末★）已知点P （m ，n ）在抛物线332+--=x x y 上，则n m +的最大值是 ．4-1（2021•铁岭二模★）点M （a ，b ）在以y 轴为对称轴的二次函数22++-=mx x y 的图象上，则b a +的最大值为（ ） A ．49 B ．49- C ．2 D ．4155（2020秋•仙居县期末★）已知两个整数a ，b ，有3132=+b a ，则ab 的最大值是（ ） A ．35B ．40C ．41D ．426（2021•永嘉县模拟★）已知二次函数c bx x y ++=2的最小值是6-，它的图象经过点（4，c ），则c 的值是（ ） A ．2- B ．2- C ．2D ．67（★★）已知关于n 的函数bn an S +=2（n 为自然数），当9=n 时，0<S ；当10=n 时，0>S ．则n 取（ ）时，S 的值最小． A ．3B ．4C ．5D ．651（2020秋•丹阳期末★）若实数m 、n 满足2=+n m ，则代数式n m mn m -++22的最小值是 ．52（2021•江夏区校级模拟★）已知非负数a ，b ，c 满足2=+b a ，43=-a c ，设c b a S ++=2的最大值为m ，最小值为n ，则n m -的值为（ ） A ．9B ．8C ．1D ．31053（2020秋•丽水期末★）已知1-=t x ，3+=t y ，且22≤≤-t ，令xy S =，则函数S 的取值范围是（ ） A ．54≤≤-S B ．53≤≤-S C ．34-≤≤-SD ．04≤≤-S61（2020•南通二模★）已知二次函数ax ax y 42-=12-+a ，当a x ≥时，y 随x 的增大而增大．若点A （1，c ）在该二次函数的图象上，则c 的最小值为 ．71（2021•天宁区校级模拟★）若定义一种新运算：⎩⎨⎧--=⊗22b a abb a )3()3(b a b a <≥，例如：41414=⨯=⊗；4241045=--=⊗．则函数)1()3(+⊗+-=x x y 的最大值是 ．72（★★）已知：点A （m ，n ）在函数k k x y +-=2)(（0≠k ）的图象上，也在函数k k x y -+=2)(的图象上，则n m +的最小整数值是 ．73（★★）若min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，当=y min{2x ，2+x ，x -8}（0≥x ）时，则y 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7题型3 动c 求最值8（2020秋•洪山区期中★）二次函数c x x y +--=22在23≤≤-x 的范围内有最大值为5-，则c 的值是（ ） A ．2- B ．3C ．3-D ．6-81（2020•宝应县三模★）已知关于x 的二次函数m x x y +-=42在31≤≤-x 的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1题型4 “动开口”定轴定区间9（2021•瓯海模拟★）已知二次函数142--=ax ax y ，当1≤x 时，y 随x 的增大而增大，且61≤≤-x 时，y 的最小值为4-，则a 的值为（ ） A ．1 B ．43 C ．53-D ．41-10（★）已知二次函数122++=mx mx y （0≠m ）在22≤≤-x 时有最小值2-，则=m （ ） A ．3B ．3-或83C ．3或83-D ．3-或83-91（2020•乾县一模★）已知二次函数ax ax y 82-=（a 为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x 的值满足32≤≤x 时，其对应的函数值y 的最大值为3，则a 的值为（ ） A ．41- B ．41 C ．51-D ．5192（★）已知二次函数22322++-=m mx mx y ，当2-≤x ，y 随x 的增大而增大，且40≤≤x 时，y 的最小值是4，则m 的值为 ．101（★）已知二次函数a ax ax y 342+-=，若当41≤≤x 时，y 的最大值是4，则a 的值为 ．题型5 定开口定轴“动区间”11（★）已知函数322+-=x x y ，当m x ≤≤0时，有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A ．1≥m B ．20≤≤m C ．21≤≤mD ．2≤m12（★）当1+≤≤a x a 时，函数122+-=x x y 的最小值为4，则a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．4或3 D ．2-或3111（2021•历城区一模★）函数342-+-=x x y ，当m x ≤≤0时，此函数的最小值为3-，最大值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．20<≤mB ．40≤≤mC ．42≤≤mD ．4>m112（★）已知函数12-+=x x y 在1≤≤x m 上的最大值是1，最小值是45-，则m 的取值范围是（ ） A ．2-≥mB ．210≤≤mC ．212-≤≤-mD ．21-≤m113（2021•吴兴区校级模拟★）当a x ≤≤-7时，二次函数5)3(212++-=x y 恰好有最大值3，则=a ．121（2020秋•马鞍山期末★）当a x a ≤≤-1时，函数122+-=x x y 的最小值为1，则a 的值为 ．13（★★）求关于x 的二次函数222+-=x x y 在1+≤≤t x t 上的最小值（t 为常数）．14（2021•泉州模拟★★）已知函数522+-=ax x y ，当2≤x 时，函数值y 随x 的增大而减小，且对任意的111+≤≤a x 和112+≤≤a x ，1x ，2x 相应的函数值1y ，2y 总满足921≤-y y ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31≤≤-aB ．21≤≤-aC ．32≤≤aD ．42≤≤a15（★★）阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若m x ≤≤1，求二次函数762+-=x x y 的最大值．他画图研究后发现1=x 和5=x 时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：①二次函数762+-=x x y 的对称轴为直线3=x ， ①由对称性可知，1=x 和5=x 时的函数值相等． ①若51<≤m ，则1=x 时，y 的最大值为2； 若5≥m ，则m x =时，y 的最大值为762+-m m ． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当42≤≤-x 时，二次函数1422++=x x y 的最大值为 ；（2）若2≤≤x p ，求二次函数1422++=x x y 的最大值；（3）若2+≤≤t x t 时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则t 的值为 ． 131（★★）已知二次函数332+-=x x y 在1+≤≤t x t 时有最小值t ，则t 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．1或43 D ．3或43141（2021•历城区模拟★★）已知函数ax x y 22+-=，当2≤x 时，函数值y 随x 增大而增大，且对任意的111+≤≤a x 和112+≤≤a x ，1x ，2x 相应的函数值1y ，2y 总满足1621≤-y y ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．52≤≤aB ．53≤≤-aC ．2≥aD ．32≤≤a题型6 定开口“动轴”定区间16（2020•浙江自主招生★★）求函数122+-=ax x y 当10≤≤x 时的最小值．17（★）当12≤≤-x 时，二次函数2)(m x y --=12++m 有最大值4，则实数m 的值为 ．18（2020•吉林模拟★）已知，关于x 的二次函数2)1(2+-+=x a x y ，当x 的取值范围是40≤≤x 时，y仅在4=x 时取得最大值，则实数a 的取值范围是 ． 161（2021•平阴一模★★）已知二次函数mx x y 22-=（m 为常数），当21≤≤-x 时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是（ ）A ．23 B ．2或23-C ．23或2D ．23或23-或2 162（生★★）二次函数a ax x y ++=22在21≤≤-x 上有最小值4-，则a 的值为 ．171（★）已知二次函数m m x y 2)(2+-=（m 为常数），在自变量x 的值满足31≤≤x 的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为4，则m 的值为（ ） A ．2B ．2或3C ．2或3-D ．2或3或3-172（★）已知关于x 的二次函数11)(2+--=k x y ，当41≤≤x 时，函数有最小值k 2，则k 的值为 ．173（★★）对于题目“二次函数m m x y +-=2)(43，当m x m 232≤≤-时，y 的最小值是1，求m 的值．”甲的结果是1=m ，乙的结果是2-=m ，则（ ） A ．甲的结果正确 B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确181（2020春•江夏区校级期中★）已知关于x 的二次函数5)2(2+-+=x a x y ，当31≤≤x 时，y 在1=x 时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2≥a B ．2-≤a C ．6≥aD ．0<a题型7 最大最小共存19（2021•朝阳区一模★★）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42-++=a bx ax y （0≠a ）的对称轴是直线1=x ．（1）求抛物线42-++=a bx ax y （0≠a ）的顶点坐标；（2）当32≤≤-x 时，y 的最大值是5，求a 的值； （3）在（2）的条件下，当1+≤≤t x t 时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且3=-n m ，求t 的值．191（★★）当11≤≤-x 时，函数1222++--=n mx x y 的最小值是4-，最大值是0，求m 、n 的值．课堂总结课后检测A 组 基础巩固1．（2020•资中县一模★，3分）二次函数a x x y ++=42的最小值是3，则a 的值是（ ） A ．3B ．5C ．6D ．72．（★，3分）已知二次函数33222+++=a ax ax y ，当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且03≤≤-x 时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A ．1或2- B ．2或2- C ．2D ．13．（★★，3分）实数x ，y 满足0=+-m y x ，032=+-m xy ，若2)(y x a +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．a 只有最大值没有最小值B ．a 只有最小值没有最大值C ．a 既有最大值又有最小值D ．a 既没最大值也没最小值4．（★，3分）已知二次函数122+-=mx x y （m 为常数），当自变量x 的值满足21≤≤-x 时，与其对应的函数值y 的最小值为2-，则m 的值为（ ） A ．47或3或2- B ．47或2- C ．3或2-D ．以上均不对5．（2021•长清区二模★，3分）函数342-+-=x x y ，当m x ≤≤-1时，此函数的最小值为8-，最大值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．20<≤mB ．50≤≤mC ．5>mD ．52≤≤m6．（★，3分）已知1)3(+-+=a x x y 是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在51≤≤x 时，y 在1=x 时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9=aB ．5=aC ．9≥aD ．5≥a 7．（★，3分）二次函数b ax ax y +-=22中，当41≤≤-x 时，32≤≤-y ，则a b -的值为（ ）A ．6-B ．6-或7C ．3D ．3或2- 8．（★，3分）已知二次函数342+-=x x y ，当5+≤≤a x a 时，函数y 的最小值为1-，则a 的取值范围是 ． 9．（★，3分）已知二次函数222+-=x x y 在1+≤≤t x t 时的最小值是t ，则t 的值为 ． 10．（★，3分）已知关于x 的二次函数ax ax y 62-= 382+-+a a ，当21≤≤-x 时，有最大值5，则a 的值是 ．11．（★★，12分）已知函数n kx x m y +++=2)2( （1）若此函数为一次函数； ①m ，k ，n 的取值范围；②当12≤≤-x 时，30≤≤y ，求此函数关系式； ③当32≤≤-x 时，求此函数的最大值和最小值（用含k ，n 的代数式表示）；（2）若1-=m ，2=n ，当22≤≤-x 时，此函数有最小值4-，求实数k 的值．12．（★★，5分）已知二次函数aa ax x y 26922+---=（3131≤≤-x ）有最大值3-，求实数a 的值．B 组 进阶提升13．（★★，3分）已知点A （t ，1y ），B （2+t ，2y ）在抛物线221x y =的图象上，且22≤≤-t ，则线段AB 长的最大值、最小值分别是（ ） A ．52，2 B ．52，22C ．102，2D ．102，2214．（★★，3分）已知二次函数)5)(3(-++-=m x m x y n +，其中m ，n 为常数，则（ ）A ．1>m ，0<n 时，二次函数的最小值大于0B ．1=m ，0>n 时，二次函数的最小值大于0C ．1<m ，0>n 时，二次函数的最小值小于0D ．1=m ，0<n 时，二次函数的最小值小于0 15．（★★，3分）二次函数5)1(2+--=x y ，当n x m ≤≤且0<mn 时，y 的最小值为m 2，最大值为n 2，则n m +的值为 ．16．（★★，5分）已知二次函数22b bx x y ++=（b 为常数），若在自变量x 的值满足3+≤≤b x b 的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．。
专题16 二次函数与实际问题：图形问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题16 二次函数与实际问题：图形问题一、解答题1．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）32d =- 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分CP PM =，CM PM =，CM CP =三种情况，根据等腰三角形的性质分别进行求解； （3）根据三角形面积公式可得1·2BDE S BD DE ∆=⨯，1·2CEF S EF OD ∆=，由BDE CEF S S ∆∆=代入数据即可求解【详解】解：（1）抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(1,)a -，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，(1,0)M -，∴当CP PM =时，222(1)(3)a a -+-=，解得53a =， P ∴点坐标为：15(1,)3P -；∴当CM PM =时，222(1)3a -+=，解得a =P ∴点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM CP =时，由勾股定理得：2222(1)3(1)(3)a -+=-+-，解得6a =，P ∴点坐标为：4(1,6)P -．综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为(-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为3y x ，则点E 、F 的坐标分别为(,3)d d +、2(,23)d d d --+，11·(3)?(3)22BDE S BD DE d d ∆=⨯=⨯++， 211·(233)?()22CEF S EF OD d d d d ∆==⨯--+---，BDE CEF S S ∆∆=，∴211(3)?(3)(233)?()22d d d d d d ⨯++=⨯--+---， 解得0d =（舍去）或3-（舍去）或32-， 故32d =-． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、等腰三角形的性质、三角形面积计算，解题的关键是综合运用所学知识，注意题（2）要分情况考虑进行求解．2．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值．（2）当y ＝108时，求x 的值．【答案】（1）y ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD＝12（30﹣x）m，y＝12x（30﹣x）＝﹣12x2+15x＝﹣12（x﹣15）2+112.5，∵墙长为14m，∴0＜x≤14，则x≤15时，y随x 的增大而增大，∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；∴y的最大值为112m2；（2）当y＝108时，108＝12x（30﹣x），整理得：x2﹣30x+216＝0，解得：x1＝12，x2＝18（不合题意舍去），答：x的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 在第四象限时，求△BAP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围．【答案】（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）8；（3）222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【分析】（1）将点C 坐标代入表达式即可求出k 的值并得出解析式；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△BAP 的面积最大，根据解析式求出A 、B 的坐标，从而得到AB 的长，再利用三角形的面积公式计算面积即可；（3）分三种情况，0＜m ≤1，1＜m ≤2，m ＞2，分别进行计算即可．【详解】（1）∵点C （0，﹣3）在抛物线y =x 2﹣2x +k +1上，∴k +1=﹣3，解得：k =﹣4，∴此抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）令y =0，则0=x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB =4．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点为（1，﹣4），∴当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，此时S 12=⨯4×4=8， 即△BAP 面积的最大值是8；（3）∵P 为抛物线上一点且在y 轴的右侧，横坐标为m ，∴m ＞0，∴当0＜m ≤1时，h =﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）=﹣m 2+2m ；当1＜m ≤2时，h =（22﹣2×2﹣3）﹣（﹣4）=1；当m ＞2时，h =m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）=m 2﹣2m+1． 综上所述，222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【点睛】本题为二次函数的综合题，熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题的关键．4．如图，已知二次函数y =﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ．（1）求a 的值与△ABC 的面积；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP =S △ABC ．若存在，请求出P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=﹣3，S△ABC=6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣13）或（﹣1，﹣3）．【分析】（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，进而可求解△ABC的面积；（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．【详解】解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0解得：x1=a，x2=1，由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴a=﹣3，AB=4，∴OC=3，∴S△ABC12=AB•OC1432=⨯⨯=6；（2）∵a =﹣3，∴C （0，3），∵S △ABP =S △ABC ，∴P 点的纵坐标为±3，把y =3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=3，解得：x =﹣2或x =0（与点C 重合，舍去）；把y =﹣3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=﹣3，解得：x =﹣1x =﹣1，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值． （3）当2m =时，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233642y x x =-++；（2）3m =；（3）点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）22133332662324224BDC S HD OB m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3319624422AOC S =⨯⨯⨯=，即可求解； （3）分BD 是边、BD 是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点坐标公式即可求解．【详解】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点， ∴042601646a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：233642y x x =-++； （2）由抛物线的表达式可知，点()0,6C ，()2,0A -， ∴1126622AOC S OA OC =⨯⨯=⨯⨯=， 设直线BC 的函数表达式为：()0y kx e k =+≠，由点B 、C 两点的坐标得：406k e n +=⎧⎨=⎩， 解得：326k e ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的表达式为：362y x =-+， 如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，交x 轴于点F ，作CE BD ⊥交BD 于点E ．点D 的横坐标为()14m m <<， ∴236,342m m D m ，点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴2233336634224DH m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()4,0B ， ∴4OB =，()11112222BCD CDH BDH S S S DH CE DH BF DH CE BF DH OB =+=⋅+⋅=⋅+=⋅， ∴221133=3462242BCD SDH OB m m m m ⎛⎫=⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭， BCD △的面积等于AOC △的面积的34，∴2336=624m m -+⨯， ∴11m =（舍去），23m =，∴3m =；（3）当2m =时，点()2,6D ，设点(),0M p ，点(),N t n ， 则233642n t t =-++①， Ⅰ：当BD 是边时，点B 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点D ，同样点()M N 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点()N M ，∴206p t n -=⎧⎨+=⎩或206p t n +=⎧⎨-=⎩②， 联立①②并解得：426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去）或206p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩；∴点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0-； Ⅱ：当BD 是对角线时， 由中点坐标公式得：()()()()1124221160022p t n ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③，联立①③并解得：606p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去），∴点M 的坐标为()6,0；综上，点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图，已知抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(),0D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S =△△时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在；P 坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-；（3）d =．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由抛物线解析式求出()0,3C ，对称轴是直线1x =-，进而得出()1,0M -，设P 点坐标为()1,c -，则用勾股定理可知CP =CM ==PM =CP PM =、CM PM =、CM CP =三种情况，根据等腰三角形腰相等，分别求解即可；（3）由点B 、C 的坐标可知直线BC 的表达式为：3y x ，因为点(),0D d ，所以可知点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，则23EF d d =--，根据三角形面积公式可知 12BDE S BD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅，由BDE CEF S S =△△，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为()21221b x a -=-=-=-⨯-， ∴点()1,0M -，点P 在对称轴上，∴设P 点坐标为()1,c -，当0x =时，3y =，∴()0,3C ，∴CP =CM ==PM①当CP PM =时，=即()2213c c +-=，解得：53c =，∴P 点坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当CM PM =时，=即210c =，解得：c =，∴P 点坐标为(-或(1,-，③当CM CP =时，=即()21310c +-=，解得：16c =，20c =（不符合题意，舍去），∴P 点坐标为()1,6-，综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-； （3）设直线BC 的表达式为：y kx e =+，由点B 、C 的坐标可知，033k e e =-+⎧⎨=⎩， 解得：13k e =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x ，点(),0D d ，∴点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，∴()2222332333EF d d d d d d d d =--+-+=--+--=--， 12BDE SBD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅， ∴()()1332BDE S d d =++，()()21302CEF S d d d =--⨯-，BDE CEF S S =△△， ∴()()()()21133322d d d d d ++=---，∴112d +=，212d =，33d =-（不符合题意，舍去），∴d =． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本知识、等腰三角形的性质、三角形面积的计算，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类讨论，不要漏解．7．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 在点A 的右侧），点P 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式及点C ；（2）若点P 在第二象限内，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，当点P 运动到什么位置时，PE 最长是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，点C （1，0）；（2）点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b 、c 的值，以及点C 的坐标；（2）如图，设P 点横坐标为m ，求出P 点纵坐标以及点E 的纵坐标，求出PE 的长度，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值．【详解】解：（1）∵直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣4，0），B （0，4），将点A 、B 坐标代入抛物线解析式2y x bx c =-++得：16404b c c --+⎧⎨⎩＝＝， 解得：34b c -⎧⎨⎩＝＝， 则二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，令﹣x 2﹣3x ＋4＝0，解得：x 1＝-4，x 2＝1，则点C 坐标为（1，0）；（2）如图，设P 点横坐标为m ，则纵坐标为﹣m 2﹣3m ＋4，E 点纵坐标为m ＋4，则PE ＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣（m ＋4）＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣m ﹣4＝﹣m 2﹣4m ＝﹣（m ＋2）2＋4，当m ＝﹣2时，PE 有最大值4，此时点P 纵坐标为6，故当点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数与二次函数结合的问题，涉及考点较多，难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，抛物线y =x 2﹣mx ﹣3（m ＞0）交y 轴于点C ，CA ⊥y 轴，交抛物线于点A ，点B 在抛物线上，且在第一象限内，BE ⊥y 轴，交y 轴于点E ，交AO 的延长线于点D ，BE =2AC ．（1）用含m 的代数式表示BE 的长．（2）当m =D 是否落在抛物线上，并说明理由．【答案】（1）BE =2m ；（2）点D 在抛物线上，理由见解析．【分析】（1）先确定(0,3)C -，再解方程233x mx --=-得 (,3)-A m ，所以AC m =，从而得到22BE AC m ==；（2）先利用待定系数法求出直线OA 的方程为y =，再计算出x =233y x =-=，从而得到B ，3)，则确定D 点坐标(，3)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点D 在抛物线上．【详解】解：（1）当0x =时，233y x mx =--=-，则 (0,3)C -，当3y =-时，233x mx --=-，解得 10x =，2x m =，则(,3)-A m ，AC m ∴=， 22BE AC m ∴==；（2）点D 在抛物线上．理由如下：当m =时，点A 的坐标为3)-．设OA 的直线方程为y kx =，将A 3)-代入，得k =∴直线OA 的方程为y =，抛物线的解析式为23y x =-，而BE =B 点的横坐标为当x =2312633y x =-=--=，则 B ，3)，//BD x 轴，D ∴点的纵坐标为3，当3y =时，3=，解得x = D 点坐标为(3)，当x =233333y x =--=+-=，∴点D 在抛物线上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，已知90,30Rt OAB OAB ABO ∠=︒∠=︒，，斜边4OB =，将Rt OAB 绕点O 顺时针旋转60︒，得到ODC △，连接BC ．（1）填空：OBC ∠=_________︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB 边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路匀速运动，当两点相遇时运动停止，己知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）60；（2；（3）()222808384834 4.82x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【分析】（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，则△OBC 是等边三角形，即可求解；（2）证明△BOC 是等边三角形，BC=OB=4，而∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，故AC ==S △AOC 11222OA AB =⋅⋅=⨯⨯= （3）分880, 4.4 4.833x x x <≤<≤<≤三种情况，利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为：60；（2）如图1，904,30BAP OB ABO ∠=︒=∠=︒，，122OA OB AB ∴====，由旋转得：BOC 是等边三角形，4BC OB ==∴6090OBC ABC ABO OBC ∠=︒∠=∠+∠=︒，，∴AC ==∴11222AOCS OA AB =⋅⋅=⨯⨯=∴27AOC S OP AC ===． （3）①当803x <≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则12OE x NE x ===，，11 1.5222OMN S OM NE x x ∴=⋅⋅=⨯⨯．∴2y x =； ②当843x <≤时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，作MH OB ⊥于H ，则)8 1.5,8 1.5BM x MH x =-=-∴212y ON MH x =⨯⨯=+ ③当4 4.8x <≤时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==∴12y MN OG x =⋅⋅=综上所述，()222808384834 4.8x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【点睛】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形．（1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【答案】（1）409；（2）()254204S x=--+，当x＝4时，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−54x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴(8﹣y)：8＝y：10，解得：y＝409；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：8108GF x-=，解得：GF＝10﹣54 x，∴s＝GF•EF＝（10﹣54x）x＝﹣54（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0 2.5t <<）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=32；（2）存在，t=32时，最小值为215． 【分析】（1）分两种情况讨论：①当△AMP ∽△ABC 时，②当△APM ∽△ABC 时，对应边成比例求解，即可求出结论；（2）过P 作PH 垂直BC ，通过△BPH ∽△BAC ，求出PH 长，再用△ABC 的面积减去△BPN 面积即可表示四边形APNC 的面积解析式，化成顶点式找到最小值，即可求出结果；【详解】解：（1）以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解：t=32，②当△APM∽△ABC时，AM APAC AB=，即45245t t--=，解得t=0（不符合题意，舍去）综上所述，当t=32秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，理由如下：设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴，过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BPH∽△BAC，∴PH BP AC AB=∴2 45 PH t=解得PH=85tcm∴S=S△ABC-S△BPN=12×3×4-12×（3-t）85t=45（t-32）2+215（0<t<2.5）∵45>0，∴S有最小值，当t=32时，S最小值=215，∴存在t值使四边形APNC的面积S最小，t=32时，最小值为215．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，二次函数最值以及三角形面积问题等知识点，注意要分类讨论，以防漏解．12．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B 是该抛物线与y 轴的交点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）245y x x =--；（2）对称轴为直线x=2，顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）30【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；（3）连接AB 、BC 、CD 、OC ，根据解析式求出点B 的坐标，再利用面积和的关系求出答案.【详解】（1）∵二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0），∴4025200a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得15a c =⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的解析式为245y x x =--；（2）∵2245(2)9y x x x =--=--，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，,顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）如图，连接AB 、BC 、CD 、OC ，令245y x x =--中x=0，解得y=-5，∴B （0，-5）∵A （-1，0）、B （0，-5）、C （2，-9）、D （5，0），∴OA=1，OB=5，OD=5，∴四边形ABCD 的面积=AOB BOC COD S S S ++=11151525930222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，将二次函数的一般式化为顶点式，利用割补法求几何图形的面积，这是一道二次函数的基础题.13．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =49-x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求S 关于m 的函数表达式．（3）当S 最大时，△求点Q 的坐标．△若点F 在抛物线y =49-x 2+bx +c 的对称轴上，且△DFQ 的外心在DQ 上，求点F 的坐标．【答案】（1）244893y x x =-++；（2）23310S m m =-+；（3）△点Q 的坐标为（3，4）；△点F 的坐标为32⎛ ⎝⎭，或362⎛- ⎝⎭，． 【分析】 （1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；（3）△根据二次函数的最值，求出S 最大时的m 值，得出AQ 的长，即可求得点Q 的坐标；△根据三角形的外心性质，可得△DFQ 为直角三角形，且DQ 为斜边，由勾股定理列出关于三边的方程，求解后即可得到点F 的坐标．【详解】解：（1）将A （0，8）、C （6，0）两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：244893y x x =-++； （2）过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，∵A （0，8）、C （6，0），则OA ＝8，OC ＝6，∴AC 10=．则sin ∠ACB ＝35QE AB QC AC ==． ∴3105QE m =-， ∴3(10)5QE m =-， ∴21133(10)322510S CP QE m m m m =⋅=⨯-=-+； （3）△∵()221133315(10)3522510102S CP QE m m m m m =⋅=⨯-=-+=--+， ∴当m ＝5时，S 取最大值，即AQ ＝5，∵A （0，8）、C （6，0），∴点Q 的坐标为（3，4）；△∵抛物线244893y x x =-++的对称轴为x ＝32， ∵△DFQ 的外心在DQ 上，∴△DFQ 为直角三角形，且∠DFQ ＝90°当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ）， ∵点D 是AB 与244893y x x =-++的交点， 令y ＝8，则x ＝0或x ＝3，∴点D 的坐标为（3，8），则FD2＋FQ2＝DQ2，即()()22991644n n+++=8--4解得62n=±．∴满足条件的点F共有两个，坐标分别为36+22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或3622⎛-⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，解题时注意数形结合数学思想的运用．14．如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F、G点在AB、AC边上，求矩形DEFG的面积的最大值是多少？【答案】【分析】设EF=x，先求出三角形ABC的高AH的长，由矩形性质FG∥BC，推出△AFG∽△ABC利用性质得比例式FG AM=BC AH求出4x⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG=243x x-+利用函数的性质求出最值即可．【详解】过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt △ABH 中由勾股定理设EF=x ，则AM=x ，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，△FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ， ⊥FG AM =BC AH， ⊥234AMBC FG==AH 2x⋅，△S 矩形DEFG 244x xx x ⋅=+，⊥a =0<， 则抛物线开口向下，有最大值，x ==⎝⎭S 最大=【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．15．某农场拟建三间矩形饲养室，饲养室一面靠墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．【答案】（1）y=﹣4x2+60x，10≤x＜15；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，由矩形面积公式可以得到y关于x的函数表达式，再由y 的值大于0且小于或等于20可以得到自变量的取值范围；（2）令y=210，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后根据（1）中自变量的取值范围可以得到问题解答．【详解】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，∴y=x （60﹣4x ）=﹣4x 2+60x ，∵0＜60﹣4x≤20，∴10≤x ＜15；（2）不能，理由如下：当y=210时，﹣4x 2+60x=210，解得：或＜10，且10， ∴三间饲养室占地总面积不可能达到210平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，由题意列出二次函数解析式后再结合二次函数图象或一元二次方程的解作答是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其中()4,0A -，()2,0B ，()0,4C -．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）若点D 是y 轴上的点，且以A ，C ，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标． （3）点P 是抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，P ，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-；（2）1D (0，43)，2D (0，2)；（3）1P (-1，-1)，2P (-1，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【分析】（1）设出二次函数的交点式，将点C 带入求值即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①当ABC CAD ∽时，②当ABC CDA ∽时，求点D 的坐标即可；（3）根据菱形是四边都相等的平行四边形，分情况讨论即可；【详解】（1）∵A(-4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为()()42y a x x =+-，抛物线过C(0，-4)84a ∴-=-，12a ∴=，∴此抛物线解析式为2142y x x =+-； （2）∵A(-4，0)，B(2，0)，C(0，-4)4OA OC ∴==，2BO =，6AB ∴=ACO ∴为等腰直角三角形①当ABC CAD ∽时 则CD AC AC AB=6=，163CD ∴= 164433OD CD OC ∴=-=-= 1D ∴(0，43) ②当ABC CDA ∽时则CD AC AB AC=6CD ∴=6CD ∴= 642OD CD OC ∴=-=-=2D ∴(0，2)（3）∵抛物线对称轴为直线x=-1，设点P(-1，y)，∵A(-4，0)， C(0，-4)，()2222149AP y y =-++=+ ，()()()222201441CP y y =+++=++()()222040432AC =+++=①若AP=CP ，则()22y 9=y+41++ ，解得y=-1， △ 1P (-1，-1)，②若AP=AC ，则2y 9=32+，解得：1y ，2y =，∴ 2P (-1，3P (-1，③若CP=AC ，则()2y+41=32+，解得：1y ，2y =4-∴ 4P (-1，，5P (-1，-41P (-1，-1)，2P (-1，，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与直角三角形、二次函数与菱形的结合，解题的关键是注意分类讨论的情况；17．如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ．（1）若CE=3，求BD 的长；（2）如图2，当//ED AB 时，求AE 的长；（3）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）3或5；（2）12564；（3）218555y x x =-+，08x <<． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得BAD CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可得；（2）先根据平行线的性质、等量代换可得B C BAD CDE ∠=∠=∠=∠，再利用相似三角形的判定与性质可得AB BD BC AB=，从而可得2539,88BD CD ==，然后利用相似三角形的判定与性质可得CD CE BC AC =，由此即可得；（3）先根据线段的和差可得8,5CD x CE y =-=-，再利用（1）中相似三角形的性质可得y 关于x 的函数解析式，然后根据BC 的长即可得x 的取值范围．【详解】（1）设BD a =，则8CD BC BD a =-=-，5AB AC ==，B C ∴∠=∠，由三角形的外角性质得：B BAD ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，B C BAD CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABD DCE ∴~，AB BD CD CE∴=，即583a a =-， 解得3a =或5a =，经检验，3a =或5a =都是所列分式方程的解，则BD 的长为3或5；（2）设AE b =，则5CE AC AE b =-=-，由（1）可知，B C ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，//ED AB ，B CDE ∴∠=∠，B C BAD CDE ∴∠=∠=∠=∠，在ABD △和CBA △中，BAD C B B∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABDCBA ， AB BD BC AB ∴=，即585BD =， 解得258BD ， 2539888CD BC BD ∴=-=-=， 又//ED AB ，CDE CBA ∴~，CD CE BC AC ∴=，即395885b -=， 解得12564b =， 即AE 的长为12564； （3）,,8,5BD x AE y BC AC ====，8,5CD BC BD x CE AC AE y ∴=-=-=-=-， 由（1）已证：AB BD CD CE =， 585x x y∴=--， 化简整理得：218555y x x =-+， 点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），且8BC =， 08x ∴<<，故y 关于x 的函数关系式为218555y x x =-+，x 的取值范围为08x <<． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、可化为一元二次方程的分式方程的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．为了美化校园，某校综合实践小组准备利用校园内一面长15m 的墙和40m 的不锈钢管，把校园内的一片空地围成如图所示的由四个小矩形组成的矩形花圃，若设矩形花圃的宽为x m ，矩形花圃的面积为S 2m ，请解答下列问题：（1）求出S 2m 与()x m 函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当矩形花圃的宽为多少米时，矩形花圃的面积最大，并求出此时矩形花圃的面积．【答案】（1）2540S x x =-+，()58x ≤<；（2）当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【分析】（1）利用矩形面积公式结合图形求出S 2m 与()xm 函数关系式，进而利用040515x <-≤求出自变量x 的取值范围；（2）利用二次函数的增减性结合x 的取值范围得出答案．【详解】（1）由题意可知：矩形花圃的长为()405x m -， ()2405540S x x x x =-=-+，040515x <-≤，∴58x ≤<，∴自变量x 的取值范围为：58x ≤<；（2）2540S x x =-+()258x x =--()2225844x x =--+-()25480x =--+∴二次函数的对称轴为：直线4x =， 50a =-<，∴当4x >△，S 随x 的增大而减小，58x ≤<，∴当5x =△，S 有最大值，∴()()225548075S m =-⨯-+=．答：当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性以及不等式的应用，利用二次函数的增减性求出最值是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，直线210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点．点C 的坐标是()8,4，连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）抛物线上是否存在着一点P ，使PAB △的面积为25？若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点M ，使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形；（2）存在，P 的坐标为()15,50P -或()8,4P 或()0,0P 或()7,14P -；（3）()18,4M ，()20,0M ，()33,4M -．【分析】（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，由PAB △的面积为25求出PQ 的长，则可得217101066t t +-=，解得115t =-，28t =，30t =，47t =-，则可求得点P 的坐标； （3）根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==，由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意， 圆与抛物线共有四个交点为O ，A ，C ，3M ，由图象可得()184M ，，()200M ，，由3M 与()84C ，关于直线52x =对称可求解3M 的坐标． 【详解】解：（1）∵210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，当0y =时，即2100x -+=，解得5x =，△()50A ，， 当0x =时，10y =，△()010B ，． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．△2y ax bx c =++过()50A ，，()84C ，， 则25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， △该抛物线的解析式为21566y x x =-． △()5,0A ，()0,10B ，()8,4C ，△()()22250010125AB =-+-=； ()()222580425AC =-+-=；()()22208104100BC =-+-=；△222AC BC AB +=．△ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形（2）存在．理由如下：作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，设21566P t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则()210Q t t -+，， △2171066P Q PQ y y t t =-=+-， △1·252PAB S OA PQ ==△，△15252PQ ⨯⋅= 即10PQ = 即217101066t t +-= 即217101066t t +-=或217101066t t +-=- 解得：115t =-，28t =，30t =，47t =-；当15t =-时，2155066P y t t =-=，此时()1550P -，； 当8t =时，215466P y t t =-=，此时()84P ，；当0t =时，215066P y t t =-=，此时()00P ，； 当7t =-时，2155066P y t t =-=，此时()714P -，； △综上所述：当P 的坐标为()1550P -，或()84P ，或()00P ，或()714P -，时，PAB △的面积为25． （3）由抛物线的轴对称性可知：抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==， 若在抛物线找一点M 使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形，即M 为直角顶点；由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，△M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意，如图所示：圆与抛物线共有四个交点，分别为O ，A ，C ，3M由（1）可知，当M 与O 或C 重合的时候均符合题意，与A 重合A ，B ，M 三点不能组成三角形，△()184M ，，()200M ， 而AB 的中点即圆心在抛物线的对称轴上，所以抛物线与圆具备了公共的对称轴，直线52x =， △圆与抛物线的四个交点是关于直线52x =对称， △3M 与()84C ，关于直线52x =对称，△3522M Cx x += 解得33M x =-，△()334M -，综上可知：()184M ，，()200M ，，()334M -，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、勾股定理逆定理、圆周角定理等知识，解题的关键是能够熟练掌握待定系数法并准确灵活应用所学知识解决问题．20．如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，45A ∠=︒．30AB =，BC x =，其中530x ≤<．作DE AB ⊥于点E ，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G ．（1）用含有x 的代数式表示BF 的长；（2）设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式；（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）230BF x =-；（2）23604502S x x =-+-；（3）当20x 时，S 有最大值，最大值为150【分析】（1）由等腰直角三角形的性质解题； （2）由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；（3）将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。
专题三 图像信息问题-2021年中考数学二轮复习之重难热点提分专题(解析版)
专题三 图像信息问题1．（2020黑龙江）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用待定系数法分别求出BC 与FG 的解析式，再联立解答即可； （3）根据题意列式计算即可．【解析】（1）设ME 的函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），由ME 经过（0，50），（3，200）可得： {b =503k +b =200，解得{k =50b =50， ∴ME 的解析式为y ＝50x +50；（2）设BC 的函数解析式为y ＝mx +n ，由BC 经过（4，0），（6，200）可得： {4m +n =06m +n =200，解得{m =100n =−400， ∴BC 的函数解析式为y ＝100x ﹣400；设FG 的函数解析式为y ＝px +q ，由FG 经过（5，200），（9，0）可得： {5p +q =2009p +q =0，解得{p =−50q =450， ∴FG 的函数解析式为y ＝﹣50x +450， 解方程组{y =100x −400y =−50x +450得{x =173y =5003， 同理可得x ＝7h ，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173h ，7h ；（3）（9﹣7）×50＝100（km ），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ．2．（2020天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km ，图书馆离宿舍1km ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min 到食堂；在食堂停留16min 吃早餐后，匀速走了5min 到图书馆；在图书馆停留30min 借书后，匀速走了10min 返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm 与离开宿舍的时间xmin 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（∴）填表：25202330离开宿舍的时间/min离宿舍的距离/km0.20.7（∴）填空：∴食堂到图书馆的距离为km；∴小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；∴当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min．（∴）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．【分析】（∴）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；（∴）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；（∴）根据（∴）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式．【解析】（∴）由图象可得，在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），故当x＝2时，离宿舍的距离为0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km，在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km，故答案为：0.2，0.7，1；（∴）由图象可得，∴食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km ）， 故答案为：0.3；∴小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km /min ）， 故答案为：0.06；∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km /min ）， 故答案为：0.1； ∴当0≤x ≤7时，小亮离宿舍的距离为0.6km 时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min ）， 当58≤x ≤68时，小亮离宿舍的距离为0.6km 时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min ）， 故答案为：6或62； （∴）由图象可得， 当0≤x ≤7时，y ＝0.1x ； 当7＜x ≤23时，y ＝0.7； 当23＜x ≤28时，设y ＝kx +b ， {23k +b =0.728k +b =1，得{k =0.06b =−0.68， 即当23＜x ≤28时，y ＝0.06x ﹣0.68；由上可得，当0≤x ≤28时，y 关于x 的函数解析式是y ={0.1x(0≤x ≤7)0.7(7＜x ＜23)0.06x −0.68(23＜x ≤28)． 3．（2020襄阳）如图，反比例函数y 1=xm（x ＞0）和一次函数y 2＝kx +b 的图象都经过点A （1，4）和点B （n ，2）．（1）m ＝ ，n ＝ ；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围； （3）若点P 是反比例函数y 1=xm（x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ∴x 轴，垂足为M ，则∴POM 的面积为 ．【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式求出m ，得出反比例函数的解析式，把B 的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n ，即可得出B 的坐标；（2）分别把A 、B 的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y 1＜y 2时x 的取值范围； （3）根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得．【解析】（1）∴把A （1，4）代入y 1=mx （x ＞0）得：m ＝1×4＝4， ∴y =4x ，∴把B （n ，2）代入y =4x 得：2=4n ， 解得n ＝2； 故答案为4，2；（2）把A （1，4）、B （2，2）代入y 2＝kx +b 得：{k +b =42k +b =2，解得：k ＝﹣2，b ＝6，即一次函数的解析式是y ＝﹣2x +6．由图象可知：y 1＜y 2时x 的取值范围是1＜x ＜2；（3）∴点P 是反比例函数y 1=mx （x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ∴x 轴，垂足为M ， ∴S ∴POM =12|m |=12×4=2，故答案为2．4．（2020淮安）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x 小时后离甲地的路程为y 千米，图中折线OCDE 表示接到通知前y 与x 之间的函数关系．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时； （2）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度； （2）根据题意求出点E 的横坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．【解析】（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时； 故答案为：80；（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（240﹣80）÷80＝（小时）， ∴点E 的坐标为（3.5，240），设线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b ，则： {1.5k +b =803.5k +b =240，解得{k =80b =−40， ∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为80x ﹣40；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290÷80+0.5＝4.125（小时）， 12：00﹣8：00＝4（小时）， 4.125＞4，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．5．（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x ＝﹣2，函数有最大值4；当x =12是函数有最小值−94，进而求得它们的差；（3）由题意得x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0，因为a ＜2＜b ，a ≠b ，∴＝（m ﹣3）2﹣4×（m ﹣4）＝（m ﹣5）2＞0，把x ＝3代入（2﹣m ）x +2﹣m ＞x 2﹣x ﹣2，解得m ＜−12． 【解析】（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2； （2）∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12，∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）∴y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∴a＜3＜b∴a≠b∴∴＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∴a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜−12∴m的取值范围为m＜−1．26．（2020南充）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，∴当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；∴当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取∴∴中较大的最大值即可．【解析】（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，则{12k+b=16，20k+b=14，解得：{k=−14，b=19，∴z=−14x+19，∴z关于x的函数解析式为z={16，(0＜x≤12)z=−14x+19，(12＜x≤20)．（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，∴当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；∴当12＜x≤20时，w＝（−14x+19﹣10）（5x+40）=−5x2+35x+3604=−5（x﹣14）2+605，4∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．第11页共11页。
专题04 图形变化类规律问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题04 图形变化类规律问题一、单选题1．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（ ）A ．504B ．505C ．506D ．507【答案】B 【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值． 【详解】解：∵第∵个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第∵个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个； 第∵个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第∵个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；∵第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个∵412021n += ∵505n =． 故选择：B 【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．2．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个知形的面积为（ ）A ．14B ．114n - C ．14nD ．114n + 【答案】B 【分析】易得第二个矩形的面积为(21)2，第三个矩形的面积为(41)2，依此类推，第n 个矩形的面积为(221)2n -．【详解】解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的(22211)24⨯-=； 第三个矩形的面积是(23211)216⨯-=； ⋯故第n 个矩形的面积为：(2211111)()244n n n ---==．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n 个图形中小黑点的个数应该是（ ）A ．41n +B ．32n +C ．51n -D ．62n -【答案】A 【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可． 【详解】第1个图形，1+1×4=5个； 第2个图形，1+2×4=9个； 第3个图形，1+3×4=13个；第n 个图形，1+4n 个； 故选：A ．本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．4．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（）A．28B．30C．36D．42【答案】B【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，…，n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故选：B．【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．5．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有202个白色纸片，则n的值为（）A．66B．67C．68D．69【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有202张白色纸片，即可求得n的值．【详解】由图可得，第1个图案中白色纸片的个数为：1＋1×3＝4，第2个图案中白色纸片的个数为：1＋2×3＝7，第3个图案中白色纸片的个数为：1＋3×3＝10，…，第n个图案中白色纸片的个数为：1＋n×3＝3n＋1，令3n＋1＝202，解得，n＝67，故答案为：B．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答．6．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（）个小圆圈．A．2454B．2605C．2504D．2554【答案】D【分析】设第n个图形中有a n个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“a n＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝50即可求出结论．【详解】解：设第n个图形中有a n个小圆圈(n为正整数)观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，∵a n＝4+n(n+1)(n为正整数)，∵a50＝4+50×51＝2554故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“a n＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键．7．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒根数为（）A ．21nB ．2nC ．21n -D ．2(1)n +【答案】A 【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式． 【详解】第一个图形有：1+2=3根， 第二个图形有：1+2×2=5根， 第三个图形有：1+2×3=7根， 第四个图形有：1+2×4=9根，⋯⋯∵第n 个图形有：2n+1根； 故选：A ． 【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键．8．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（ ）A．360B．363C．365D．369【答案】C【分析】观察求出图案中地砖的块数，找到规律再求出黑色的地砖的数量即可.【详解】第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9＋1）＝5块，第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25＋1）＝13块，…第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有12[（2n﹣1）2＋1]，当n＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2＋1]＝12×730＝365.故选：C.【点睛】此题考查图形类规律的探究，有理数的混合运算，根据所给图案总结出图案排列的规律由此进行计算是解题的关键.9．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（），第2020个“五边形数”的奇偶性为（）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数【答案】B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性． 【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12=2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22=2314422⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35=2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ．【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 10．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第8个图中共有点的个数是（ ）个A ．108B ．109C ．110D ．112【答案】B 【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…，由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 3(1)12n n +=+个点，然后依据规律解答即可． 【详解】解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， …第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n=13(123)n ++++⋯+3(1)12n n +=+个点， ∵第8个图中共有点的个数38(81)11092⨯+=+=个，故选B.【点睛】此题考查图形的变化规律，根据图形得出数字之间的运算规律是解题的关键．11．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第7个图形共有（）个五星．A．14B．18C．21D．28【答案】C【分析】根据图形的变化发现规律即可求解．【详解】解：第一个图形中有1×3=3个五星，第二个图形中有2×3=6个五星，第三个图形中有3×3=9个五星，第四个图形中有4×3=12个五星，…根据规律可知第n个图形有3n个五星，所以第7个图形共有7×3=21个五星．故选：C．【点睛】考查了规律型：图形的变化类，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n 个图形有3n 个五星．12．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（ ）A ．()23n -个交点B ．()36n -个交点C ．()410n -个交点D ．()112n n -个交点 【答案】D【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n - 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n -1）=()112n n -故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点． 13．如图所示图形是由相同的小五角星按一定的规律排列组合而成，其中第一个图形有6个五角星，第二个图形有10个五角星，第三个图形有16个五角星，第四个图形有24个五角星，……，则第八个图形五角星的个数为（ ）A ．74B ．76C ．78D ．80【答案】B【分析】 根据已知图形得出第n 个图形中五角星个数为4+n(n+1)，据此可得．【详解】解：∵第一个图形中五角星的个数6=4+1×2，第二个图形中五角星的个数10=4+2×3，第三个图形中五角星的个数16=4+3×4，……，∵第八个图形中五角星的个数为4+8×9=76，故选B ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是将已知图形分割成两部分，并从中找到总个数的通项公式4+n(n+1)14．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）A ．210B ．236C ．249D ．251【答案】C【分析】 设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数．【详解】解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7∵a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则2215151?20+?20-12222n n +-==249 故选：C【点睛】本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算．二、填空题15．如图，45MON ∠=︒，正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，正方形2232A B B C ，正方形3343A B B C ，…，的顶点A ，123,,A A A ，在射线OM 上，顶点1234,,,,,B B B B B ，在射线ON 上，连接2AB 交11A B 于点D ，连接13A B 交22A B 于点1D ，连接24A B 交33A B 于点2D ，…，连接11B D 交2AB 于点E ，连接22B D 交13A B 于点1E ，…，按照这个规律进行下去，设四边形11A DED 的面积为1S ，四边形2112A D E D 的面积为2S ，四边形3223A D E D 的面积为3S ，…，，若2AB =，则n S 等于________．（用含有正整数n 的式子表示）．【答案】2429n +． 【分析】先证得∵ADC ~∵21B DB ，推出CD=23，143DB =，同理得到1143C D =，1283D B =，由∵1~EDB ∵21EB D ，推出∵ED 1B 边D 1B 上的高为43，计算出1649S =，同理计算得出26449S =⨯，236449S =⨯，找到规律，即可求解【详解】解：∵正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，且45MON ︒∠=，∵OAB ∆和11AA B ∆都是等腰直角三角形，∵12OB AB BB ===，∵1114A B OB ==，同理228A B =，∵正方形1ABB C ，正方形1121A B B C ，正方形2232A B B C ，边长分别为2，4， 8，∵12112//,//AC B B DB D B ，∵11224CD AC DB B B ==， ∵12DB CD =，∵11124,333CD CB DB ===， 同理：1112122223231481816,,,333333C D C B D B C D C B D B ======， ∵112//DB D B ，∵121DEB EB D ∆∆∽，设∵EDB 1和∵EB 2D 1的边DB 1和B 2D 1上的高分别为h 1和1h '， ∵11112413,823h DB h D B '=== ∵11124,h h B B '+== ∵1148,33h h '==， 设1112223,,D E D B B E B E D ∆∆∆的边11223,,DB D B D B 的高分别为123,,h h h , ∵1234816,,,333h h h === ∵11112211111114464442222339A B D DB E S S S DB h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=⨯-⨯⨯=; 同理求得：221212222122111188648842222339A B D D B E S S S D B h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=⨯-⨯⨯=⨯; 333232223233111161664161284222339A B D D B E S S S D B h ∆∆=-=⨯-⨯⋅=-⨯⨯=⨯； …224164424999n n n n S ++-=⨯==．故答案为：2429n．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键．16．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品．．．．．．，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉．．．．．．．．．．．．．．，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品________张．【答案】30【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．【详解】解：∵如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，∵43枚图钉最多可以展示20张画；∵如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，14-1=13（张），2×13=26（张），∵43枚图钉最多可以展示26张画；∵如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，10-1=9（张），3×9=27（张），∵43枚图钉最多可以展示27张画；∵如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，8-1=7（张），4×7=28（张），∵43枚图钉最多可以展示28张画；∵如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，7-1=6（张），5×6=30（张），∵43枚图钉最多可以展示30张画；∵如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，6-1=5（张），6×5=30（张），∵43枚图钉最多可以展示30张画；∵如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，5-1=4（张），4×7=28（张），∵43枚图钉最多可以展示28张画；综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．故答案为：30．【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．17．如图，每条边上有n（n≥2）个方点，每个图案中方点的总数是S．（1）请写出n＝5时，S＝_____________ ；（2）按上述规律，写出S与n的关系式，S＝__________________ ．【答案】16； 44n -．【分析】当2n =时，4(21)4S =⨯-=；当3n =时，4(31)8S =⨯-=，⋯，以此类推，可知当n n =时，4(1)S n =⨯-，即4(1)S n =-，根据解答即可．【详解】解：（1）2n =，()4421S ==⨯-；3n =，()8431S ==⨯-；4n =，()12441S ==⨯-；()()412S n n ∴=-≥．∵4n =，()45116S =⨯-=；（2）由（1）可得()4144S n n =-=-．【点睛】主要考查了图形类的规律，正确分析理解题目是解题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AD=2，CD=1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为_____．【答案】4 75 2【分析】利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面积，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积，继而即可求得矩形AB4C4C3的面积．【详解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，=∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似，∵矩形AB1C1C与矩形ABCD，∵矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为54，∵矩形ABCD的面积为1×2=2，∵矩形AB1C1C的面积为2×54=52，同理：矩形AB2C2C1的面积为52×54=258=2352，矩形AB 3C 3C 2的面积为258×54=12532=3552， ……∵矩形AB n C n C n -1面积为2152nn ， ∵矩形AB 4C 4C 3的面积为=4752， 故答案为：4752【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，根据求出的结果得出规律并熟记相似图形的面积比等于相似比的平方是解题关键．19．如图所示，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（n ）个图有________个相同的小正方形．【答案】n(n ＋1)【分析】通过观察可以发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大一的数，根据此规律解答即可.【详解】第(1)个图有2个相同的小正方形，2＝1×2，第(2)个图有6个相同的小正方形，6＝2×3，第(3)个图有12个相同的小正方形，12＝3×4，第(4)个图有20个相同的小正方形，20＝4×5，…，以此类推，第n 个图应有n(n ＋1)个相同的小正方形.【点睛】本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累.20．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第4个图案中有______个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有_______个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【答案】17 4n+1【分析】观察发现，后一个图案比前一个图案多涂4个有阴影的小正方形，根据规律写出第n个图案的涂阴影的小正方形的个数即可．【详解】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4=9个，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4=13个，第4个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4+4=17个，，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4（n-1）=4n+1（个），故答案为：17，4n+1．【点睛】此题考查图形类规律的探究，列代数式，有理数的加法计算法则，观察图形得到图形的变化规律，总结规律并解决问题是解题的关键．21．将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第11个图形的小圆个数是______．【答案】134【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有1×2+2=4个小圆，第2个图形有2×3+2=8个小圆，第3个图形有3×4+2=14个小圆，…，发现规律：第n个图形的小圆个数是n（n+1）+2．所以第11个图形的小圆个数是11×12+2=134．故答案为：134．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题．22．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作下去大在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)【答案】（1）32；（2）1 ()3n．【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为12=2条；第二阶段余下的线段的条数为22=4条；第三阶段余下的线段的条数为32=8条；第四阶段余下的线段的条数为42=16条；第五阶段余下的线段的条数为52=32条；故答案为32．（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为11()3； 第二阶段去掉的线段的长度和为211111=()33333⨯+⨯； 第三阶段去掉的线段的长度和为22311111()()()33333⨯+⨯=； 以此类推，第n 阶段去掉的线段的长度和为1()3n． 故答案为1()3n．【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．23．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图∵有4根火柴棍，图∵有12根火柴棍，图∵有24根火柴棍… …以此类推，则图∵中火柴棍的根数是_____________．【答案】220【分析】图形从上到下可以分成几行，第n 个图形中，竖放的火柴有n （n+1）根，横放的有n （n+1）根，因而第n 个图案中火柴的根数是：n （n+1）+n （n+1）=2n （n+1），把n=10代入就可以求出．【详解】设摆出第n 个图案用火柴棍为S n ．∵图，S 1=1×（1+1）+1×（1+1）；∵图，S 2=2×（2+1）+2×（2+1）；∵图，S 3=3×（3+1）+3×（3+1）；…；第n 个图案，S n =n （n+1）+n （n+1）=2n （n+1），则第∵个图案为：2×10×（10+1）=220．故答案为：220．【点睛】本题考查了规律型图形的变化，有一定难度，注意此题第n 个图案用火柴棍为2n （n+1），要拥有一定的推理与论证能力．24．如图，用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第2020个图形用的棋子个数是_______．【答案】6063个【分析】根据各图形中所用棋子个数的变化可得出变化规律“33n a n =+”，此题得解．【详解】设第n 个图形用的棋子个数为n a 个（n 为正整数），∵1123a =++，2234a =++，3345a =++，…，∵()()1233n a n n n n =++++=+，∵20203202036063a =⨯+=．故答案为：6063个．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中所用棋子个数的变化，找出变化规律“33n a n =+”是解题的关键．25．如图，正方形ABCD 的边长为1，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2···S ，按照此规律继续下去，则5S 的值为__________【答案】116【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理的内容发现S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，…，继而得出规律即可求得答案．【详解】观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，…， ∵S n =(12)n -1，当n=5时，S 5=411=126⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：116． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键∵ 26．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是___________．【答案】6【分析】求出各个层的正方体的表面积，求出它们的和，该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，求出正方体的个数至少个数．【详解】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长214()2⨯；第3层正方体的棱长为222⨯，每个面的面积为214()2⨯；第n 层正方体的棱长为12)2n -⨯，每个面的面积为114()2n -⨯； 若该塔形为n 层，则它的表面积为2151111244[4()4()4()]40()2222n n --+⨯+⨯+⋯+⨯=-因为该塔形的表面积超过39，所以该塔形中正方体的个数至少是6．故答案为：6．【点睛】本题是中档题，考查计算能力，数列求和的知识，正确就是解好数学问题的关键，常考题型． 27．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x 个如图1所示的图形拼出来的总长度y 会随着x 的变化而变化，y 与x 的关系式为y =______．【答案】52x +【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知：当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12；当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5；以此类推，可知：用x 个这样的图形拼出来的图形总长度为：()75152x x +-=+，∵y 与x 的关系式为52y x =+．【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y 与x 的关系式是解题的关键．28．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图中的数1，5，12，22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律，第40个图形表示的五边形数是_____．【答案】2380【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1＋4＝5，第3个五边形数为1＋4＋7＝12，第4个五边形数为1＋4＋7＋10＝22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第n 个五边形数为232n n -，把n ＝40代入计算即可． 【详解】第一个图形有1个，第二个图形有5＝2＋3个，第三个图形有12＝3＋4＋5个，第n 个图形五边形数为()2312312n n n n n n n n -⎡⎤+++++++⋯++-=⎣⎦故第40个图形表示的五边形数是：23404023802⨯-=个【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．29．如图，∵ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到∵A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到∵A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的∵A 2020B 2020C 2020的面积为_____．【答案】72020【分析】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，可得111A B C S △＝7S ∵ABC ，由此即可解题．【详解】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，∵A 1BC 、∵A 1B 1C 、∵AB 1C 、∵AB 1C 1、∵ABC 1、∵A 1BC 1、∵ABC 的面积都相等，所以，111A B C S △＝7S ∵ABC ，同理222A B C S △＝7111A B C S △＝72S ∵ABC ，依此类推，∵A 2020B 2020C 2020的面积为＝72020S ∵ABC ，∵∵ABC 的面积为1，∵202020202020A S B C ＝72020．故答案为：72020．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．30．（观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为______．【答案】364【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．【详解】因为1n =时，挖去三角形的个数是1个，即03个，2n =时，挖去三角形的个数是4个，即()0133+个，3n =时，挖去三角形的个数是13个，即()012333++个，所以图n 中挖去三角形的个数是()011333n -+++个，所以图∵中挖去三角形的个数是012345333333364+++++=个．故答案为：364．【点睛】本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．31．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线OA 开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含n 的代数式表示：第n 层共有______个点、射线OC 上第n 个数字是________．【答案】6n 231n n -+【分析】先分别求出第1、2、3层的点的个数，再归纳类推出一般规律即可得；先分别求出射线OC 上第1、2、3个数字，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】第1层共有的点的个数为6，第2层共有的点的个数为1262=⨯，第3层共有的点的个数为1863=⨯，归纳类推得：第n 层共有的点的个数为6n ；射线OC 上第1个数字为33021160=+=⨯++⨯，射线OC 上第2个数字为()1156221601=+=⨯++⨯+，射线OC 上第3个数字为()257182316012=+=⨯++⨯++，归纳类推得：射线OC 上第n 个数字为()2160121n n ++++++-，()()1112162n n n -+-=++⨯，()2131n n n =++-，231n n =-+，故答案为：6n ，231n n -+．【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律型问题、整式的乘法与加减法的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．32．（2020·达州市达川区中小学教学研究室）如图，有一个面积为1的正方形纸板，第一次剪掉这块正方形纸板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此类推．小明想到第n 次剪掉的面积是12n ，第n 次剪掉后剩下的面积也是12n ，小明受此启发，于是计算出202011112482++⋯+=_____________．【答案】2020112-【分析】 根据第1次剪掉的面积是12，第1次剪掉后剩下的面积是12；第2次剪掉的面积是14，第2次剪掉后剩下的面积是14；…第n 次剪掉的面积是12n ，第n 次剪掉后剩下的面积也是12n ；由此规律得出：利用1减去最后剩下的面积计算得出202011112482++⋯+的结果． 【详解】解：∵第1次剪掉的面积是12，第1次剪掉后剩下的面积是12； 第2次剪掉的面积是14，第2次剪掉后剩下的面积是14；。
初三数学第二轮总复习(4)图象信息问题
（２）过点Ｃ作CH ∥t 轴，分别交AD ，DF 与点Ｇ、Ｈ，设AC ＝x ，GH ＝y ，求出y 与x 之间的函数关系式．（2）； （３）若拍摄中心Ｃ设在离Ａ码头２５km 处，摄制组在拍摄中心Ｃ分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头Ｂ后，立即返回．①求船只往返Ｃ，Ｂ两处所用的时间； （3）① ；②20km②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心Ｃ有多远？6.改革开放以来，衢州的经济得到长足发展近来，衢州市委市政府又提出“争创全国百强城市"的奋斗目标己下面是衢州市1999—2004年的生产总值与人均生产总值的统计资料：请你根据上述统计资料回答下列问题：(1)1999—2004年间，衢州市人均生产总值增长速度最快的年份是 ．这一年的增长率为 ．(2)从1999年至2004年衢州市的总人口增加了约 万人(3)除以上两个统计图中直接给出的数据以外，你还能从中获取哪些信息?请写出两条．略7.2003年春季，我国部分地区SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．如图是某同学记载的5月1日到30日163h 8875y x =-+每天全国的SARS 新增确诊病例数据图．将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28．其中正确的有（ ）A ．0个；B ．l 个；C ．2个；D ．3个8.如图是某报纸公布的我国“九·五”期间国内生产总值的统计图，那么“九.五”期间我国国内生产总值平均每年比上一年增长（ ）A .0．575万亿元；B.0．46万亿元C .9．725万亿元；D .7．78万亿元；9.据信息产业部2003年4月公布的数字显示，我国固定电话和移动电话用户近年来都有大幅度增加，移动电话用户已接近固定电话用户根据右图所示，我国固定电话从_____年至____年的年增加量最大；移动电话从____年至____年的年增加量最大．10.某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为80cm 2三个项目的任务，三个项目的面积 比例和每人每分钟完成各项目的工作如下图所示： （1）从上述统计图中可知：每人每分钟能擦课桌椅 ;擦玻璃， 擦课桌椅，扫地拖地的面积分别是 m 2， m 2， m 2；（2）如果x 人每分钟擦玻璃的面积是y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ，（3）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13个人分成两组， 一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅。
2021年中考复习数学 专题训练：二次函数的图象及性质(含答案)
2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1<x2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．54. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.25. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a ＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. （2020·湖北孝感）将抛物线：y =-2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x 轴对称，则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．11. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，=-．则M、N的大小关系为M__________N．(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x 轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．16. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT －4所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确； 当–(x –m)2–m+1=0时，x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>.0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线得解析式：y =-2(x +1)+3，整理得y =+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．13. 【答案】2[解析]当y=0时，-x 2+x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x 2+x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-x 2+x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)，将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时，y=x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-x 2+x +2=1，解得x 1=1-，x 2=1+， ∴点P 的坐标为(1-，1)，点Q 的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题15. 【答案】解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A(1，0)，∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)，即该抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.16. 【答案】解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点M 的坐标为(m ，n)．∵△ABM 的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．17. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-，72b=，0c=．所以23722y x x=-+．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12y x=，设点P的坐标为1(,)2x x，那么237(,)22M x x x-+．解方程23712()222x x x--+=，得123x=，22x=．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+． 在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-． 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ． 因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==． 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+． 因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．。
湘教版2021年中考数学二轮复习专题16图形与坐标【含答案】
湘教版备考2021年中考数学二轮复习专题16图形与坐标一、单选题A A→B→C→D→A···A1.如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点的(2,−2)B(−2,−2)C(−2,6)D(2,6)坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁2020爬了个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）(−2,−2)(2,−2)(−2,6)(0,−2)A. B. C. D.2.如图所示，动点P在平面直角坐标系中，按箭头所示方向呈台阶状移动，第一次从原点运动到点（0，1），第二次接着运动到点（1，1），第三次接着运动到点（1，2），……，按这样的运动规律，经过2020次运动后，动点P的坐标是( )A. （2020，2020）B. （505，505）C. （1010，1010）D. （2020，2021）3.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，第n次移动到点A n，则点A2020的坐标是（）A. (1010，0)B. (1010，1)C. (1009，0)D. (1009，1)4.在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（）A. (1007，1)B. (1007，﹣1)C. (504，1)D. (504，﹣1)5.如图，在平面直角坐标系 中，点 ．点 第1次向上跳动1个单位至点 ，紧接xOy P(1,0)P P 1(1,1)着第2次向左跳动2个单位至点 ，第3次向上跳动1个单位至点 ，第4次向右跳动3个单P 2(−1,1)P 3位至点 ，第5次又向上跳动1个单位至点 ，第6次向左跳动4个单位至点 ，……，照此规律，P 4P 5P 6点 第2020次跳动至点 的坐标是（ ）P P 2020A. B. C. D. (−506,1010)(−505,1010)(506,1010)(505,1010)6.第一次：将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到A 1；第二次：作点A 1关于x 轴的对称点A 2；第三次：将点A 2绕点O 逆时针旋转90°得到A 3；第四次：作点A 3关于x 轴的对称点A 4…，按照这样的规律，点A 35的坐标是（ ）A. （﹣3，2）B. （﹣2，3）C. （﹣2.﹣3）D. （3.﹣2）7.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2)、……，根据这个规律,第2019个点的坐标为（ ）A. (45,10)B. (45,6)C. (45,22)D. (45,0)8.在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点P 的伴随点．已知xOy P(x,y)P ′(−y +1,x +1)点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 A 1A 2A 2A 3A 3A 4 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）A 1,A 2,A 3,⋯,A n ,⋯A 1(3,1)A 2019A. B. C. D. (0,−2)(0,4)(3,1)(−3,1)9.已知，平面直角坐标系中，A 1（1，1）、A 2（﹣1，1）、A 3（﹣1，﹣1）、A 4（2，﹣1）、A 5（2，2）、A 6（﹣2，2）、A 7（﹣2，﹣2）、A 8（3，﹣2）、A 9（3，3）、……、按此规律A 2020的坐标为（ ）A. （506，﹣505）B. （505，﹣504）C. （﹣504，﹣504）D. （﹣505，﹣505）10.如图，已致点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，且 .过点 作 A 1(0,1)A 2x ∠A 1A 20=30°A 2 ，交 轴于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ；过点 作 A 2A 3⊥A 1A 2y A 3A 3A 3A 4⊥A 2A 3x A 4A 4 ，交 轴于点 ；……；按此规律进行下去，则点 的坐标为（ ）A 4A 5⊥A 3A 4y A 5A 2021A. B. C. D. (0,31011)(−31011,0)(0,31010)(−31010,0)二、填空题11.如图，已知A 1（0，1），A 2（ ，），A 3（ ， ），A 4（0，2），A 5（ ，-1），A 6（ 32−12−32−123 ，-1），A 7（0，3），A 8（ ， ），A 9（ ， ）……则点A 2010的坐标是________ −3332−32−332−3212.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再P 1(22,22)OP 1将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 OP 1OP 2OP 2 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （n 为正整数），则点 OP 2OP 3OP 4OP 5OP n 的坐标是________． P 202013.规定：在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点 M(x 1 ， y 1)，N(x 2 ， y 2)之间的折线距离为 ．如图①点M(－2，3)与点 N(1，－1)之间的折线距离为 d(M,N)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|d(M,N)=________；如图②点 P(3，－4)，若点 Q 的坐标为(t ，3)，且 ，则t 的值为________． d(P,Q)=814.在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 ， 满足关系式 A(0,a)B(b,0)C(b,6)a b .若在第二象限内有一点 ，使四边形 的面积与三角形 的面积相a =b 2−16+16−b 2b +4+3P(m,1)ABOP ABC 等，则 ________， ________，点 的坐标为________．a =b =P 15.如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个点按如下规律排列：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），…， 则第 200 个点的横坐标为________．16.点P(x ，y)经过某种变换后到点 (-y+1，x+2)，我们把点 (-y+1，x+2)叫做点P(x ，y)的终结点，P ′P ′已知点 的终结点为 ，点 的终结点为 ，点 的终结点为 ，这样依次得到 、 P 1P 2P 2P 3P 3P 4P 1P 2、 、 … 若点 的坐标为(2，0)，则点 的坐标为________P 3P 4P n P 1P 202017.如图，在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 1OA 0＝60°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2 ， 使∠A 2A 1O ＝90°，∠A 2OA 1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt △OA 2A 3 ， Rt △OA 3A 4…，若点A 0的坐标是（1，0），则点A 13的横坐标是________．18.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上.向右.向下.向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，…那么点A 2016的坐标为________.19.如图，长方形ABCD 的各边分别平行于x 轴或y 轴，A ， B ， C ， D 的坐标分别为（﹣2，1）（2，1）（2，﹣1）（﹣2，﹣1）物体甲和物体乙分别由E （﹣2，0）和F （2，0）同时出发，沿长方形的边按逆时针方向同向行进，甲的速度每秒4个单位长度，乙的速度每秒1个单位长度，则两个物体第2019次相遇地点的坐标为________．20.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1 ， 第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2 ， 第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3 ， …，将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ， 观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A 2020的坐标是________三、解答题21.如图，已知A (－2，0)，B (4，0)，C (2，4)．D (0，2)（1）求三角形ABC 的面积；（2）设P 为坐标轴上一点，若 ，求P 点的坐标．S ΔAPC =12S ΔABC 22.对于平面直角坐标系xOy 中的点P （a ，b ），若点P′的坐标为（a+kb ，ka+b ）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（1）点P （﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为________；（2）若点P 的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P 的坐标；（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．23.如果△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得到△A1B1C1，而△A1B1C1关于y轴进行轴对称变换后，得到△A2B2C2，若△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，2）、C（-1，0），请你分别写出△A1B1C1与△A2B2C2各顶点坐标．四、作图题24.在平面直角坐标系中，顺次连结A（-3，1），B（-3，-1），C（3，-3），D（3，4）各点，你会得到一个什么图形？试求出该图形的面积．五、综合题25.五子连珠棋的棋盘是15行15列的正方形，规定黑子先下，双方交替进行，在任意一个方向上，先连成5个子的一方获胜，如图所示的是两人所下的棋局的一部分，A点的位置记作（8，3），执白子的一方若想再放一子便获胜，应该把子落在什么位置？A、B(−1,0)、(3,0)A、B26.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时先将点分别向上A、B C、D AC、BD、CD平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的对应点，连接 .（1）直接写出点 的坐标；C、D （2）在 轴上是否存在一点 ，使得三角形 的面积是三角形 面积的2倍？若存在，请求出x F DFC DFB 点 的坐标；若不存在，请说明理由.F 27.对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A ，给出如下定义：若存在点 B （不与点 A 重合，且直线 AB 不与 坐标轴平行或重合），过点 A 作直线 m ∥x 轴，过点 B 作直线 n ∥y 轴，直线 m ，n 相交于点 C ．当线段 AC ，BC 的长度相等时，称点 B 为点 A 的等距点，称三角形 ABC 的面积为点 A 的等距面积． 例如：如 图，点 A （2，1），点 B （5，4），因为 AC= BC=3，所以 B 为点 A 的等距点，此时点 A 的等距面积为 ．92（1）点 A 的坐标是（0，1），在点 B 1（2，3），B 2 (-1， -1) ， B 3 (-3， -2) 中，点A 的等距点为________．（2）点 A 的坐标是 (-3，1) ，点 A 的等距点 B 在第三象限，①若点 B 的坐标是 (-5， -1) ，求此时点 A 的等距面积；②若点 A 的等距面积不小于 2，请直接写出点 B 的横坐标 t 的取值范围．28.如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,0)，C(2,7)，连接 AC ，交y 轴于 D ，且a =3−125， . (b)2=5（1）求点D的坐标.（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.△QBC（3）如图3，若Q(m,n)是x轴上方一点，且的面积为20，试说明：7m＋3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由.29.在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为________；点B关于y轴的对称点B′的坐标为________；点C关于y轴的对称点C′的坐标为________．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．答案解析部分一、单选题1. A解：∵A 点坐标为（2，﹣2），B 点坐标为（﹣2，﹣2），C 点坐标为（﹣2，6）， ∴AB ＝2﹣（﹣2）＝4，BC ＝6﹣（﹣2）＝8，∴从A→B→C→D→A 一圈的长度为2（AB+BC ）＝24.∵2020＝84×24+4，∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A 左边4个单位长度处，即（-2，﹣2）.故A2. C解：由图可知，第一次从原点运动到点（0，1），第二次接着运动到点（1，1），第三次接着运动到点（1，2），第四次运动到点（2，2），第二次接着运动到点（2，3），第三次接着运动到点（3，3），……，不难发现，偶次运动到的点的横纵坐标都是次数的，12∴经过2020次运动后，动点P 的坐标是,即(1010，1010)．（20202，20202）故C ．3. A解：A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2020÷4＝505，所以A 2020的坐标为（505×2，0），则A 2020的坐标是（1010，0）．故A ．4. A解：观察点的坐标变化特征可知：A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（1，﹣1），A 5（2，﹣1），A 6（2，0），A 7（2，1），A 8（3，1），A 9（3，0），…发现规律：横坐标每3个为一组循环，纵坐标第6个为一组循环，3020÷3＝1006…2，3020÷6＝503…2，所以第3020个点的坐标为（1007，1），故A ．5. C解：经过观察可得： 和 的纵坐标均为1， 和 的纵坐标均为2， 和 的纵坐标均为P 1P 2P 3P 4P 5P 63，因此可以推知 点的纵坐标为 ；再观察图可知4的倍数的跳动都在y 轴的右P 20202020÷2=1010侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧． 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的P 1P 4P 8横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标为 （n 是4的倍数）．故点 的横坐标是 P n n ÷4+1P 2020 ；所以点 第2020次跳动至点 的坐标是 ．2020÷4+1=506P P 2020(506,1010)故C ．6. D解：由题意知A 1（﹣2，3）、A 2（﹣2，﹣3）、A 3（3，﹣2）、A 4（3，2）、A 5（﹣2，3）……∴每4个点的坐标为一周期循环，∵35÷4＝8……3，∴点A 35的坐标与点A 3的坐标一致，为（3，﹣2），故D.7. B解：将其左侧相连，看作正方形边上的点，如图所示．边长为0的正方形，有1个点；边长为1的正方形，有3个点；边长为2的正方形，有5个点；…，∴边长为n 的正方形有2n+1个点，∴边长为n 的正方形边上与内部共有1+3+5+…+2n+1=（n+1）2个点．∵2019=45×45-6，结合图形即可得知第2019个点的坐标为（45，6）．故B ．8. D解：A 1的坐标为（3，1），则A 2（-1+1，3+1）=（0，4），A 3（-4+1，0+1）=（-3，1），A 4（0，-2），A 5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点A 2019的坐标与A 3的坐标相同，为（-3，1），故D.9. A解：∵A 1（1，1）、A 2（﹣1，1）、A 3（﹣1，﹣1）、A 4（2，﹣1）、A 5（2，2）、A 6（﹣2，2）、A 7（﹣2，﹣2）、A 8（3，﹣2）、A 9（3，3）、……、∴得出：每4个点一循环∴ ，刚好循环505次结束2020÷4=505又∵A 4（2，﹣1）、A 8（3，﹣2）、A 12（4，﹣3）即：A 4（1+1，﹣1）、A 8（1+2，﹣2）、A 12（1+3，﹣3）∴A 2020（1+505，-505）∴A 2020（506，-505）故答案选：A10. C解：∵∠A 1A 2O=30°，OA 1=1，∴OA 2= ，3∴点A 2的坐标为（ ，0），3同理，A 3（0，-3，），A 4（-3 ，0），A 5（0，9），A 6（9 ，0），A 7（0，-27），…，33∴点A 4n+1的坐标为（0，32n ）（n 为正整数）.∵2021=505×4+1，∴点A 2021的坐标为（0，31010）.故C.二、填空题11. （ ，-335）−3355解：根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A 1、A 4、A 7……横坐标为0，纵坐标大1；A 2、A 5、A 8……，横坐标依次扩大为原来的2倍、3倍……；A 3、A 6、A 9……横纵坐标依次扩大为原来的2倍、3倍……。
2021重庆中考数学专题复习新函数图像题
2021重庆中考数学专题复习新函数图像题1.小明根据学习函数的经验，对函数y=1x−1+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数y=1x−1+1的自变量x的取值范围是______；(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=______，n=______；(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：______．②当函数值1x−1+1>32时，x的取值范围是：______．2.模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标．(2)画出函数图象函数y=4x (x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=−x．(3)平移直线y=−x，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长m的值为______；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．(4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为______．3.小东同学根据函数的学习经验，对函数y=|x−1|+|x+3|进行了探究，下面是他的探究过程：(1)已知x=−3时|x+3|=0；x=1时|x−1|=0，化简：①当x<−3时，y=______；②当−3≤x≤1时，y=______；③当x>1时，y=______；(2)在平面直角坐标系中画出y=|x−1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：______；(3)根据上面的探究，解决下面问题：已知A(a,0)是x轴上一动点，B(1,0)，C(−3,0)，则AB+AC的最小值是______．4.根据学习函数的经验，探究函数y=x2+ax−4|x+b|+4(b<0)的图象和性质：(1)下表给出了部分x，y的取值；x L−3−2−1012345L y L30−1030−103L 由上表可知，a=______，b=______；(2)用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y=x2+ax−4|x+b|+4的图象；(3)结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；(4)若方程x2+ax−4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．5.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式−画函数图象−利用函数图象研究函数性质−利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．小明根据学到的函数知识探究函数y1={|2x+4|(x<0)bx+1(x≥0)的图象与性质并利用图象解决问题．小明列出了如表y1与x的几组对应的值：x…−4−3−2−101234…y1…42m24243n45…(1)根据表格中x、y1的对应关系可得m=______，n=______；(2)在平面直角坐标系中，描出表格中各点，两出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质______．(3)当函数y1的图象与直线y2=mx+1有三个交点时，直接写出m的取值范围．6.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：在函数y=|2x+b|+kx(k≠0)中，当x=0时，y=1；当x=−1时，y=3．(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图形，直接写出不等式(3)已知函数y=12x−1的解集．|2x+b|+kx≤127.已知函数y=a−b|x−1|(a、b为常数)，当x=1时，y=1；当x=2时，y=0；请对该函数及其图象进行如下探究：(1)求函数的解析式；(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：______；根据函数图象解决下列问题：①若A(m,c)，B(n,c)为该函数图象上不同的两点，则m+n=______；x+k有两个不相等的实数解x1，x2，且x1⋅x2>0，则k的取②若方程a−b|x−1|=12值范围是______．8.设函数y=k1x+k2x−1，且k1⋅k2≠0，自变量x与函数值y满足以下表格：x…−2−32−1−121232252372…y…−113−135m−13131n133112335…(1)根据表格直接写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围______ ；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全函数图象，并写出该函数的一条性质：______ ．(3)结合函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+k2x−1≥x+1的解集为______ ．(x−2)2+|x−2|+3的图9.某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数y=−12象和性质．(1)下表是该函数y与自变量x的几组对应值；x…−2012346…y…−1m 3.53n3−1…其中，m的值为______ ，n的值为______ ．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数图象；(3)根据函数图象，写出该函数的一条性质______ ；(x−2)2+|x−2|+3=k有3个不相等的实数根，则k的值为(4)若关于x的方程−12______ ．10.已知函数y=6，请根据已学知识探究该函数的图象和性质．x2+1(1)列表，写出表中a、b、c的值：a=______ ，b=______ ，c=______ ．x…−3−2−10123…y…0.6a3b3 1.2c…(2)描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______ ．≥(3)已知函数y=x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6x2+1 x+2的解集：______ ．11.请你用学习函数及图象性质时积累的经验和方法研究函数y1={3x (x>0)−x|x+4|(x≤0)的图象和性质，并解决问题：(1)下表是x与y1的几组对应值．x…−5−4−3−2−100.51234…y1…503m3063n10.75…则m=______ ，n=______ ．(2)请你在下面平面直角坐标系画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质______ ；(3)进一步探究函数图象并解决问题：画出函数y2=12x+1的图象，结合你所画的函数图象，直接写出两函数图象交点坐标中的横坐标的值为______ .(精确到0.1)12.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=23x−2的图象与函数y2={2x+5,(x≤1)x+mx−6,(x>1)的图象在第一象限有一个交点A，且点A的横坐标是6．(1)求m的值；(2)补全表格并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，补充画出y2的函数图象；x−3−2−101 1.2 1.523456789y2−1157 5.2 3.5211219772133(3)写出函数y2的一条性质：______．(4)已知函数y1与y2的图象在第一象限有且只有一个交点A，若函数y3=23x+n与y2的函数图象有三个交点，求n的取值范围．13.已知函数y=a(x−1)2+bx+1(a≠0)，某兴趣小组对其图象与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x…−3−2−112345…y…−6−22−2−1−2m−385…(1)请根据给定条件直接写出a，b，m的值；(2)如图已经画出了该函数的部分图象，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补全该函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)若a(x−1)2+bx≥x−4，结合图象，直接写出x的取值范围．14.在某次数学活动中，小明根据学习函数的经验，研究函数y=3x2+2x+2的图象和性质．x…−5−4−3−2−32−1110−1910−120123…y (3)1731035a125300101330010112532b310317…(1)上表是该函数y与自变量x的几组对应值，直接写出a、b的值；(2)如图，在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表格中的各组对应值为坐标的点，观察描出的这些点的分布，作出该函数的图象；并写出该函数的一条性质；(3)已知函数y=|x+1|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程3x2+2x+2=|x+1|的解(结果精确到0.1)．15. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：y ={a|x|−2(−5≤x <4)b(x −6)2+2(x ≥4)，探索函数图象和性质过程如下：下表是y 与x 的几组值： 222222(1) 根据给定的条件，求这个函数的表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图象；并写出这个函数的一条性质；(3)若方程y −2=k 有三个不同的的实数根.请根据函数图象，直接写出k 的取值范围．16.大家都知道我们初中学过一次函数、反比例函数、二次函数这三种函数，现在我们把这三种函数组合成分段函数y={mx+1(−7≤x≤−3)−x(−3<x≤0)−12x2+2x(0<x≤4)，y与x的部分对应关系如下表；(1)解析式中的m=______ ，表格中的n=______ ；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中各点，并画出函数图象，根据函数图象，写出函数的一条性质：______ ．(3)若直线y=−k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：______ ．17.小林同学根据学习函数的经验，对函数y=2xx−a的图象进行了探究，下面是小林的探究过程，请你通过计算，补充完整．(1)如表列出了y与x的几组对应值，请写出a，m，n的值：a=______ ，m=______ ，n=______ ．53(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(3)结合函数的图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：______ ；②当2xx−a >23时，x的取值范围是：______ ．18.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y1={2x−1(x≤0)−|2x−4|+2(x>0)的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．(1)列表：x…−4−3−2−101234…y…−0.4−0.5m−1n0p0−2…其中，m=______ ，n=______ ，p=______ ；(2)在平面直角坐标系中，描出相应的点，画出函数的图象；(3)观察函数图象，写出该函数图象的一条性质；(4)已知函数y2=12x2−2的图象如图所示，结合你画的函数图象，直接写出不等式y1≤y2的解集为______ (保留一位小数，误差小于0.2)．+1的图象与性质进行了探究，下面是小19.小渡同学根据学习函数的经验，对函数y=2x−3渡同学的探究过程，请根据题意补充完整：(1)如表是y与x的几组对应值：52325则m=______ ，n=______ ．(2)在平面直角坐标系xOy中，补全此函数图象：+1>2x−5的图象关于平面直角坐标系中某一点成中心对称，(3)小渡同学发现y=2x−3这一点的坐标是______ ．+1>2x−5的解集．(4)根据函数图象，直接写出不等式2x−320.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y=|4xx+1|−4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)该函数的自变量取值范围是______ ；下表中p=______ ，q=______ ，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；x…−5−4−3−2−14−1201234…y=|4x x+1|−4 (1)43p4−83q−4−2−43−1−45…(2)根据函数图象写出该函数的一条性质：______ ．(3)已知函数y=−x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|4xx+1|−4<−x−1的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．。
(通用版)中考数学二轮复习专题2图象信息类问题课件
8．(2018·预测)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论 错误的是( ) C
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C．两车到第3秒时行驶的路程相等 D．在4至8秒内甲的速度都大于Байду номын сангаас的速度
9．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点 万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设 该运动员离开起点的路程s(千米)与跑步时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，
【解析】第(1)题表中一对数有什么实际含义？用什么方法就可以求得？ 解：.(1)y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2
(2)设李华从文化宫回到家里所需的总时间为 t 分钟， 1 2 1 79 2 则 t＝y1＋y2＝(2x＋2)＋(2x －11x＋78)＝2(x－9) ＋ 2 79 (x＝8，9，10，11.5，13)，∴当 x＝9 时，tmin＝ 2 ＝39.5. 故李华应选择 B 站出地铁，从文化宫回到家里所需的时间最短， 最短时间为 39.5 分钟
【解析】(1)图中点(10，0.9)有什么含义？可以得出去的速度吗？(2)如何
求出点A的坐标，可以求回来时对应的函数解析式？
解：方法一：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是： 55－(10＋30)＝15分钟，则小明回家的速度为：0.9÷15＝0.06(km/min)，故 他离家50分钟时离家的距离为0.9－0.06×[50－(10＋30)]＝0.3(km)
10．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折 线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时 出发 ， 当某一点运动到点 B 时 ， 两点同时停止运动．设运动时间为 x(s) ，
中考数学第二轮专题复习 2图象信息问题试题(共14页)
图象(tú xiànɡ)信息问题Ⅰ、综合问题精讲：图象信息题是指由图象〔表〕来获取信息．从而到达解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵敏，突出对考生搜集、整理和加工信息才能的考察．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图〞和“用图〞．解这类题的一般步骤是：〔1〕观察图象，获取有效信息；〔2〕对已获信息进展加工、整理，理清各变量之间的关系；〔3〕选择适当的数学工具，通过建模解决问题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】〔2021，〕HY开放以来，的经济得到长足开展近来，委政府又提出“争创全国百强城"的奋斗目枥己下面是1999--2021年的消费总值与人均消费总值的统计资料：请你根据上述统计资料答复以下问题：(1)1999—2021年间，人均消费总值增长速度最快的年份是．这一年的增长率为．(2)从1999年至2021年的总人口增加了约万人(准确到O．01)．(3)除以上两个统计图中直接给出的数据以外，你还能从中获取哪些信息?请写出两条．解：(1)2021，21．03％(2)4．51(3)参考信息例举：①②③④跨年度比拟的增长(zēngzhǎng)度和增长率的数据；⑤从增长趋势分析的数据．点拨：此题属于图表信息题，读懂两图的区别与联络，是解决此题的关键．【例2】〔2021，课改区〕在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余局部的高度y(cm)与燃烧时间是x(h)的关系如图2－1－2所示。
请根据图象所提供的信息解答以下问题：⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间是分别是_____；⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；⑶当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？解：⑴30cm，25cm；2h，2.5h；⑵设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为，由图可知，函数的图象过点〔2，0〕，〔0，30〕，∴解得设乙蜡烛(làzhú)燃烧时y与x之间的函数关系式为，由图可知，函数的图象过点〔2.5，0〕，〔0，25〕，∴解得⑶由题意得，解得∴ 当甲、乙两根蜡烛燃烧1h的时候高度相等。
2021年重庆年中考12题几何中长度的计算或二次函数图像分析综合专题(重庆育才试题集)
2021年重庆年中考12题几何中长度的计算或二次函数图像分析综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CB CA =，CD CE =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6=AE ，8=AD ，则AF 的长为（ ）A. 5B. 740C. 528 D. 62（育才2020级初三下中考模拟5月份）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x ＝1．下列说法，其中正确的是（ ）①abc ＜0②b 2﹣4ac ＞0；③a ﹣b +c ＜0；④b ﹣c ＞2aA ．①②B ．①③④C ．②④D ．①②④3（育才2020级初三下中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，90ABC BCD∠=∠=,,3,3AB BC==,把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若23tan CED∠=,则线段DE的长度A.63B.73C.32D.2754（育才2020级初三下中考模拟三））如图，将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，线段A1B1交BC于点G，若AB＝6，AD＝9，则CG的长度为．5（育才2019级初三下中考模拟一如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点F、E，若CD＝，BC＝4，则CE的长度为．6（育才2020级初三下中考模拟二练习）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 折叠后得到GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF =1，FD =2，则BC 的长为( )A.32B.26C.25D. 238（育才2020级初三下入学测试）如图，△ABC 中，∠ABC =45°，∠ACB =30°，BC =13+，点D 是线段BC 上一动点，连接AD ，把△ADC 沿AD 翻折得到△ADE ，点F 为AE 的中点，连接BF ，则线段BF 的最小值为（ ）．A ．22-B ．12-C ．13-D ．213-9（育才2020级初三上第二次月考）如图所示，抛物线c bx ax y 2的对称轴为23 x ，与x 轴的一个交点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，抛物线的顶点B 纵坐标21<<B y ，则以下结论： ①0 abc ；②04-2 ac b ；③0-3 b a ；④04<+c a ；⑤8121-<<-a ．其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）在正方形ABCD 中，AB =252+，E 是边BC 的中点，F 是AB 上一点，线段AE 、CF 交于点G ，且CE =EG ，将∆ABF 沿CF 翻折，使得点B 落在点M ，连接GM 并延长交AD 于点N ，则∆AGN 的面积为 ．11（育才2020级初三下开学试卷已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论错误的是（）A．4a+2b+c＞0 B．abc＜0 C．b＜a﹣c D．3b＞2c12（育才2020级初三上期末试卷）如图，正方形ABCD中，AD＝4，E在AB上且AB＝4BE，连接CE，作BF⊥CE于F，正方形对角线交于O点，连接OF，将△COF沿CE翻折得△CGF，连接BG，则BG的长为．13（育才2020级初三上开学测试）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．14（育才2020级初三上期中试卷）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则△ABE 的面积为（ ）A ．B ．C ．3D ．15（育才2020级初三下入学测试）如图，已知二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点在B （0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线1=x ，下列结论不正确的是（ ）A. 039=++c b aB. 034>-c bC. a b ac 442-<-D.6531<<a16（育才2019级初三是哪个期末测试）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，12BC =，点E 为BC 的中点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）．A ．165B ．185C ．245D ．365答案：1.故选：B ．2解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（3，0），其对称轴为直线x ＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0），且b＝﹣2a，由图象知：a＜0，c＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0，∴abc＜0故结论①②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故结论③错误；∵a﹣b+c＝0，a＜0，∴2a﹣b+c＜0，∴b﹣c＞2a，故结论④正确；故结论正确的有①②④，故选：D．3.解：B4.（解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠D＝∠C＝90°∵将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，∴AE＝A1E，A1D＝3＝A1C，∠EA1G＝90°∵A1E2＝DE2+A1D2，∴（9﹣DE）2＝DE2+9，∴DE＝4，∵∠DEA1+∠DA1E＝90°，∠EA1D+∠GA1C＝90°，∴∠DEA1＝∠GA1C，∠D＝∠C＝90°∴△A1DE∽△CGA1，∴∴∴GC＝故答案为：5.解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD＝AB，∵CD＝，BC＝4∴AB＝2，∴由勾股定理得AC＝＝2，∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAF+∠ACF＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACF＝90°，∴∠CAF＝∠BCD＝∠B，即∠B＝∠CAF，∴△ACE∽△BCA，∴＝，∴CE＝＝1．故答案为：1．6.∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．7.答案B8.答案B9.答案B10.答案：551611.解：（A）由于对称轴为x＝1，∴（0，y）与（2，y）关于x＝1对称，∵x＝0，y＞0，∴x＝2，y＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故A正确；（B）由图象可知a＜0，c＞0，∵x＝＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故B正确；（C）∵＝﹣1，∴2a＝b，∵b﹣a+c＝2a﹣a+c＝a+c，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a＞c，∴a+c＞2c＞0，∴b＞a﹣c，故C错误；（D）∵3b﹣2c＝6a﹣2c＞2a﹣2c＝2（a﹣c）＞0，∴3b＞2c，故D正确；故选：C．12.解：如图，连接BG，过B作BH⊥GF于H，由题可得，BE＝1，BC＝4，AE＝3，OC＝2，∴Rt△BCE中，CE＝，∵BF⊥CE，∠CBE＝90°，∴BF＝＝，∵Rt△BCE中，BF⊥CE；Rt△ABC中，BO⊥AC，∴BC2＝CF×CE，BC2＝CO×CA，∴CF×CE＝CO×CA，即，又∵∠OCF＝∠ECA，∴△COF∽△CEA，∴∠CFO＝∠CAB＝45°，由折叠可得，∠CFG＝∠CFO＝45°，∴∠BFH＝90°﹣45°＝45°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH＝BH＝BF＝，∵△COF∽△CEA，∴，即，∴OF＝＝GF，∴HG＝FG﹣FH＝，∴Rt△BHG中，BG＝＝．故答案为：．．13解：连接BF，∵BC＝12，点E为BC的中点，∴BE＝6，又∵AB＝8，∴AE＝＝＝10，由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH＝＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝＝＝，故选：D．14.解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．．15.答案：D．16.答案：D。
中考数学二轮专题复习8八 图象信息(含答案)
中考数学专题复习八 图象信息一、总体概述图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点，分为图象信息题、表格信息题和图表信息题三类图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题。
解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。
表格信息题是运用表格提供数据关系信息，解题中需要通过对表中的数据信息进行分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及他们之间的内在联系，然后运用所学的方程（组）、不等式（组）及函数知识等解决问题。
图表信息题既有图象又有表格，通常把要考察的问题放在图形和表格中，解题时要认真分析图形和表格中的数据，寻求它们之间的联系，找到它们之间的关系，从而找到解决问题的方法，这种题型在统计知识考察中常见。
二、典型例题【例题1】某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A 、B 、C 、D 四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：（1）请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；（2）若该市九年级共有60000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上（含合格）的人数． 【例题2】甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程s （km ）与行驶时间t （h ）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两人的速度各是多少？（2）求出甲距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式． （3）在什么时间段内乙比甲离A 地更近？30% 30%40%农村县镇城市各类学生人数比例统计图 等第 人数 类别 A B C D 农村 200 240 80 县镇 290 132 130 城市 240 132 48 各类学生成绩人数比例统计表(h)t 01 2 2.510 20 30 40 50 60 乙甲 (km)s图1单位：cm【例题3】某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图1是裁法一的裁剪示意图）设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法 二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的 板材刚好够用．（1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【例题4】已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．三、当堂达标答对题数 7 8 910 人 数420188根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A ．8、8 B ． 8、9 C ．9、9 D ．9、8 2．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④4．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有个点．1 O xy -1 1O xy -11O xy -11 Oxy -11 Oxy1第2题图 AB C DO yx1x = (30)A ， （1） （2） （3） （4） （5） ……5．如图是抛物线c bx ax y ++=2的一部分，其对称轴 为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B （3，0），则由图象可知，不等式c bx ax ++2＞0的解集是6．为推进阳光体育活动的开展，某校九年级三班同学组建了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动小组．经调查，全班同学全员参与，各活动小组人数分布情况的扇形图和条形图如下： （1）求该班学生人数；（2）请你补上条形图的空缺部分；（3）求跳绳人数所占扇形圆心角的大小．7．如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示．根据图象进行以下探究：⑴请在图①中标出 A 地的位置，并作简要的文字说明； ⑵求图②中M 点的坐标，并解释该点的实际意义．⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A 地的距离1y 与行驶时间x 的函数关系式．⑷A 地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．篮球 足球 25% 跳绳 乒乓球90°16 128 4 足球 篮球 乒乓球 跳绳 项目 y （千米） x （时）乙甲 图② 图①中考数学专题复习八 图象信息参考答案一、例题参考答案【例题1】解：（1）280，48，180．（2）抽取的学生中，成绩不合格的人数共有(804848)176++=，所以成绩合格以上的人数为20001761824-=， 估计该市成绩合格以上的人数为182460000547202000⨯=． 答：估计该市成绩合格以上的人数约为54720人．【例题2】解：（1）从函数图像可知：甲用2.5小时行走了50km ；乙用2小时行走了60km 。
专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练21二次函数的图像变换问题1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：{9a−3b+3=0a−b+3=0，解得：a=1、b=4．（2）解：连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），当x=0时，y=3，∴Q （0，3）；设直线OM 的解析式为y=kx ，∴-2k=-1，∴k= 12 ， ∴直线OM ：y= 12 x ，联立直线y=-2x+9，得：{y =12x y =−2x +9， 解得{x =185y =95． 则D （ 185,95 ）；曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×12×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−185|=845 ；（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x 上，可设其坐标为（h ， 12 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 12 h ；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有：h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454 （依题意，舍去正值） ②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：{y =−2x +9y =(x −h)2+12h ， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 12 h-9=0，则：△=（2h-2）2-4（h2+ 12 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜ −1−√1454 或h ＞4．2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.【答案】（1）②；④（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2 ，∴16＝4+16a2+4+16a2 ，∴a＝±12；（3）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝CE＝OE＝BE，∴S△ABE＝14S矩形ABCD＝14×12 √3＝3 √3，∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH＝ABsin∠ABE＝√32AB＝√32BE，∴√34BE2＝3 √3，∴BE＝2 √3，∴AH＝3，EH＝√3，∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y＝12x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，∴抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-32<b<0，①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2则顶点坐标为（0，-2）把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2（2）解：①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：因为y=x2−2mx+m2+2m−2=(x−m)2+(2m−2)，所以抛物线顶点为（m，2m-2）当x=m时，对于l1:y=2m，对于l2:y=2m+b因为−32<b<0所以2m−32<2m+b<2m所以2m−2<2m+b<2m即顶点在l1,l2的下方所以抛物线的顶点不在图像C上②解：设直线l1与抛物线交于A、B两点，且y A<y Bx2−2mx+m2+2m−2=x+m解得x1=m−1,x2=m+2因为y A<y B，且对于l1，y随x的增大而增大所以x A<x B所以x A=m−1，此时y A=2m−1设直线l2与抛物线交于C，D两点，且y C<y Dx2−2mx+m2+2m−2=x+m+b所以x2−（2m+1）x+（m2+m−2−b）=0所以Δ=[−（2m+1）]2−4×1×（m2+m−2−b）=4b+9因为b>−32所以4b+9>0，所以x=2m+1±√4b+92因为y c<y D，且对于l2，y随x的增大而增大，所以x C<x D所以x D=2m+1+√4b+92，此时y D=2m+1+√4b+92+m+b因为y A−y D=−3−2b−√4b+92，又因为−32<b<0所以−3−2b<0又因为√4b+9>0所以y A−y D<0，即y A<y D因为x A<m，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A′(x A′,y A′)，其中y A′=y A所以y A′<y D因为抛物线的开口向上，所以当x<m时，y随x的增大而减小，因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设(x0,y0)是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有x A<x0<m所以y0<y A又因为在抛物线上必存在其对称点(x0′,y0′)，其中y0′=y0所以y0′<y A也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方所以图像C上不存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b24.若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B在抛物线l1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l1，l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_解直角三角形的应用﹣方向角问题,填空题专训及答案
备考2021年中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训及答案备考2021中考数学二轮复习：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用﹣方向角问题，填空题专训1、(2016大连.中考真卷) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．2、(2018东胜.中考模拟) 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里（结果保留根号）．3、(2019辽阳.中考模拟) 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）.4、(2018吉林.中考模拟) 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度________．5、(2019张家港.中考模拟) 如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12千米至B 地,再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为________千米。
(结果保留根号)6、(2019新泰.中考模拟) 如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为________（结果保留根号）7、(2018滨州.中考模拟) 如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是________海里（结果保留根号）．8、(2017肥城.中考模拟) 如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？9、(2017天桥.中考模拟) 一艘轮船在小岛A的北偏东60°距小岛80海里的B处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西4 5°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时．10、(2018济宁.中考真卷) 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________ km．11、(2018潍坊.中考真卷) 如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)12、(2020黄石.中考模拟) 周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛处观看李四在湖中划船（如图），小船从处出发，沿北偏东方向划行200米到处，接着小船向正南方向划行一段时间到处.在处李四观测张三所在的处在北偏西的方向上，这时张三与李四相距________米（保留根号）.13、(2019荆州.中考真卷) 如图，灯塔在测绘船的正北方向，灯塔在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔在测绘船北偏西的方向上，则灯塔，间的距离为________海里（结果保留整数）.（参考数据，，，）.14、(2017邵阳.中考模拟) 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．15、(2018.中考模拟) 如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程________（结果保留根号）16、(2018宁夏回族自治区.中考真卷) 一艘货轮以18 ㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.17、(2020宁波.中考模拟) 如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为________米(精确到1米，参考数据 ≈1．414， ≈1．732)。
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)(吨y
O
8 2 4 10 3
A
B C 图像信息问题
【例题精讲】
例1.甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程s (km)与行驶时间t (h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲、乙两人的速度各是多少？ (2)求出甲距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式．
(3)在什么时间段内乙比甲离A 地更近？
例2、某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的运输量最多，乙车每小时的运输量最少，乙车每小时运6吨，下图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库的库存量y(吨)与工作时间x(小时)之间的函数图像，其中OA 段只有甲、丙两车参与运输，AB 段只有乙、丙两车参与运输，BC 段只有甲、乙两车参与运输。
(1)甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？ (2)甲车和丙车每小时各运输多少吨？
(3)由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问:8小时后，甲、乙两车又工作了几小
时，使仓库的库存量为6吨？
(h)
t 0
1 2 2.5
10 20 30 40 50 60
乙
甲 (km)
s
例3、如图①，A、B、C三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A、B、C三个容器的水量分别为y A、y B、y C(单位:升)，时间为t(单位:分)．开始时，B容器内有水50升．y A、y C与t的函数图象如图②所示．请在0≤t ≤10的范围内解答下列问题:
(1)求t＝3时，y B的值．(2)求y B与t的函数关系式，并在图②中画出其图象．
(3)求y A∶y B∶y C＝2∶3∶4时t的值．
图①
作业
1．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是( )
2．如图所示是二次函数2
y ax bx c =++图象的一部分，A 二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论:
①2
4b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=， 其中正确结论是( ) A ．②④ B ．①③
C ．②③
D ．①④
3．如图是抛物线c bx ax y ++=2
的一部分，其对称轴 为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为B(3，0)，则
由图象可知，不等式c bx ax ++2
＞0的解集是
4．如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y (千米)与行驶时间 x (时)
的关系如图②所示．
根据图象进行以下探究:
⑴请在图①中标出 A 地的位置，并作简要的文字说明；
1
O x
y -1 1
O x
y
-1
1
O x
y
-1
1 O
x
y
-1
1 O
x
y
1
第1题图
A
B C D
O
y
x 1x =
(30)A ，
y （千米） x （时）
乙 甲 图② 图①
⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A地的距离1y与行驶时间x的
函数关系式．
⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．
5.通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y(千克)与
z(千克)与市场价格x(元/千克)成正比例关系:400
z x
=(030
x
<<)．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．
(1)请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)根据以上市场调查，请你分析:当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
(3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？
元／千克)。