中学数学难题难题
平方差公式解决实际难题
平方差公式解决实际难题平方差公式是中学数学中非常重要的一条公式，它常常被用来解决各种实际问题。
通过平方差公式，我们可以简洁地表示和计算一系列数值之间的关系，进而解决实际难题。
本文将通过具体案例，向读者展示平方差公式在实际问题中的应用。
#### 案例一：建筑斜坡高度计算假设我们有一条斜坡，知道斜坡的水平距离和斜坡的高度差，我们想计算斜坡的高度。
这时候，我们可以利用平方差公式来解决这个难题。
设斜坡的水平距离为$a$，斜坡的高度差为$b$，斜坡的高度为$h$，则有：$$h^2 = a^2 + b^2$$通过平方差公式，我们可以很快地计算出斜坡的高度$h$。
这种方法不仅简洁高效，而且避免了繁杂的几何运算，为实际问题的解决提供了便利。
#### 案例二：电流电压关系计算在电路中，电流和电压之间的关系常常是我们需要研究的问题。
假设我们知道某电路中的电压为$V$，电流为$I$，电阻为$R$，我们想计算电流和电压的平方差。
利用欧姆定律，我们知道：$$V = IR$$则可以得到：$$V^2 = I^2R^2$$通过平方差公式，我们可以快速计算出电流和电压之间的关系，为电路分析提供了有效的工具。
#### 案例三：速度时间距离计算在物理学中，速度、时间和距离之间的关系是非常基础的问题。
假设我们知道某物体的速度为$v$，时间为$t$，我们想计算物体在运动过程中的位移。
根据物理学公式，我们有：$$s = vt$$则可以得到：$$s^2 = v^2t^2$$通过平方差公式，我们可以简单地计算出物体在运动过程中的位移，为实际问题的解决提供了便利。
通过以上案例的介绍，我们可以看到平方差公式在解决实际难题中的广泛应用。
通过简洁的数学推导，我们可以快速、准确地解决各种实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望读者在遇到实际难题时，能够灵活运用平方差公式，找到问题的解决路径。
初二几何证明挑战难题
初二几何证明挑战难题引言初二几何证明是中学数学的重要内容之一，是培养学生逻辑思维能力和推理能力的关键环节。
然而，有些几何证明问题对于学生来说是具有一定难度的，需要一些挑战性的问题来激发学生的研究兴趣和思考能力。
本文将介绍一些初二几何证明的挑战难题，旨在帮助学生提升自己的证明能力。
难题1：平行线性质证明题目描述给定平行线l1和l2，证明两个平行线的截线与这两条平行线的交点共线。
证明思路1.根据平行线的定义，我们知道两条平行线的截线是平行的。
2.假设截线AB与平行线l1和l2的交点分别为C和D。
3.通过截线AB，可以构造三角形ACD。
4.观察三角形ACD，可以发现AC和AD与平行线l1和l2平行。
5.根据平行线的性质，可以得出AC和AD平行。
6.根据平行线的性质，如果两条线分别与另外一条直线平行，那么这两条线也是平行的。
7.因此，AC和AD是平行的。
8.综上所述，截线AB与平行线l1和l2的交点共线。
难题2：等腰三角形性质证明题目描述给定等腰三角形ABC，证明等腰三角形的顶角的平分线与底边中点重合。
证明思路1.根据等腰三角形的定义，我们知道等腰三角形的两个底角相等。
2.设顶角A的平分线与底边BC的交点为D。
3.因为顶角A的平分线，所以∠BAD=∠CAD。
4.此外，因为等腰三角形ABC，所以∠BAC=∠ABC。
5.根据三角形内角和等于180度的性质，我们可以得知∠BAC+∠ABC+∠ACB=180度。
6.由于∠___∠ABC，所以∠BAC+∠BAC+∠ACB=180度。
7.综上所述，2∠BAC+∠ACB=180度。
8.因为∠BAC=∠CAD，所以2∠CAD+∠ACB=180度。
9.再考虑三角形ACD，我们可以得出∠CAD+∠CAD+∠ACD=180度。
10.综上所述，2∠CAD+∠ACD=180度。
11.由于2∠CAD+∠ACD=2∠CAD+∠ACB，所以2∠BAC+∠ACB=2∠CAD+∠___。
12.可以推导出∠BAC=∠CAD，即顶角A的平分线与底边BC 的交点D重合。
人教版中学七年级下册数学期末解答题难题(附答案)
人教版中学七年级下册数学期末解答题难题（附答案）一、解答题1．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．2．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图AB BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．2的虚线,（1）基础巩固：拼成的大正方形ABCD的面积为______，边长AD为______；（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的1-重合．以点B为圆心，BC边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；（3）变式拓展：⨯的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的①如图4，给定55正方形吗？若能，请在图中画出示意图；②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规．．．．．表示面积为13的正方形边长所表示的数．3．如图，用两个面积为2200cm的小正方形拼成一个大的正方形．（1）则大正方形的边长是___________；（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2360cm？4．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件.（1）求正方形工料的边长；（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2，问这块正方形工料是否合格？（参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.236）5．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．（1）求原来正方形场地的周长；（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．二、解答题6．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．7．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED=．（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AE D、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD 的度数．8．已知：直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，作射线EG平分∠BEF交CD 于G，过点F作FH⊥MN交EG于H．（1）当点H 在线段EG 上时，如图1 ①当∠BEG ＝36︒时，则∠HFG ＝ ．②猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．（2）当点H 在线段EG 的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．9．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有BDF GDF ∠=∠，求AENCDG∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数． 10．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线． （1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．三、解答题11．已知：直线1l∥2l，A为直线1l上的一个定点，过点A的直线交2l于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线2l上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l上，且在点B的左侧．2（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出 ABM的度数；（2）射线AF为∠CAD的角平分线．① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数．12．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP 的数量关系，并说明理由．AB CD，点E，F分别为AB，CD上一点．13．已知：如图1，//（1）在AB ，CD 之间有一点M （点M 不在线段EF 上），连接ME ，MF ，探究AEM ∠，EMF ∠，∠MFC 之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在AB ，CD 之两点M ，N ，连接ME ，MN ，NF ，请选择一个图形写出AEM ∠，EMN ∠，MNF ∠，NFC ∠存在的数量关系（不需证明）．14．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN∠与ADB ∠的度数；（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒；（3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠”改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n∠=∠， 1CBD CBN n ∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）15．如图所示，已知//AM BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC 、BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C 、D ，且60CBD ∠=︒ （1）求A ∠的度数．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，求ABC ∠的度数．四、解答题16．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中∠ONM ＝30°，∠OCD ＝45°．（1）将图①中的三角板OMN 沿BA 的方向平移至图②的位置，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；（2）将图①中的三角板OMN 绕点O 按逆时针方向旋转，使∠BON ＝30°，如图③，MN 与CD 相交于点E ，求∠CEN 的度数；（3）将图①中的三角板OMN 绕点O 按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．（直接写出结果） 17．如图，在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点.（1）若40A ∠=︒，则BOC ∠= ︒； （2）若A n ∠=︒，则BOC ∠= ︒；（3）若A n ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点，ABO ∠的平分线与ACO ∠的平分线交于点1O ，，2016O BD ∠的平分线与2016O CE ∠的平分线交于点2017O ，则2017O ∠=︒.18．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；【问题迁移】如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC 与α、β之间的数量关系，并说明理由．（图1）（图2）19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）仔细观察，在图2中有个以线段AC为边的“8字形”；（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数；（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．20．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形．其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．【参考答案】一、解答题1．正方形纸板的边长是18厘米 【分析】根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得： ， ∴，取正值，可得，解析：正方形纸板的边长是18厘米 【分析】根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为2x 厘米，即得正方形纸板的边长是2x 厘米，根据题意得：2162x x ⋅=，∴281x =，取正值9x =，可得218x =， ∴答：正方形纸板的边长是18厘米． 【点评】本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．2．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长； （2）根据大正方形的边长结合实解析：（1）10，10；（2）101-；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果； （3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形． 【详解】解：（1）∵图1中有10个小正方形， ∴面积为10，边长AD 为10； （2）∵BC=10，点B 表示的数为-1， ∴BE=10，∴点E 表示的数为101-； （3）①如图所示：②∵正方形面积为13， ∴13如图，点E 表示面积为13的正方形边长．【点睛】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．3．（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见解析 【分析】（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据解析：（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析 【分析】（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ⋅=，求出18x =得到51820x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形. 【详解】（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形， ∴大正方形的面积为4002cm ， ∴40020cm = 故答案为：20cm ；（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，54360x x ⋅=，解得：18x 551820x =，答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形. 【点睛】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.4．（1）正方形工料的边长是 5 分米；（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.【详解】试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3解析：（1）正方形工料的边长是 5 分米；（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.【详解】试题分析：（1的值即可；（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x•2x=18，求出长方形的长和宽和5比较即可得出答案．试题解析：（1）∵正方形的面积是 25 平方分米，∴正方形工料的边长是 5 分米；（2）设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米，则3x•2x=18，x2=3，x1，x2=5，，即这块正方形工料不合格．5．（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用．【分析】（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长×4，由此解答即可；（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为解析：（1）原来正方形场地的周长为80m；（2）这些铁栅栏够用．【分析】（1）正方形边长=面积的算术平方根，周长=边长×4，由此解答即可；（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．【详解】解：（1（m），4×20=80（m），答：原来正方形场地的周长为80m；（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．由题意有：3a×5a=300，解得：a，∵3a表示长度，∴a＞0，∴a∴这个长方形场地的周长为 2(3a+5a)=16a（m），∵∴这些铁栅栏够用．【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出长方形和正方形的周长．二、解答题6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF ＝∠BFE ＝2γ，∵∠FBG ＝2∠ECF ，∴∠FBG ＝2γ，∴∠ABE +∠DCE ＝∠BEC ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣β，∴∠GBE ＝∠ABE ﹣∠ABF ﹣∠FBG ＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°﹣β，∴∠CBG ＝∠CBE +∠GBE ，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE ＝∠FBG +∠GBE ＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．7．（1）70°；（2），证明见解析；（3）122°【分析】（1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得；（2）过过作，根据平行线的性质得到，，即；（3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线解析：（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠，证明见解析；（3）122°【分析】（1）过E 作//EF AB ，根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，即可求得AED ∠；（2）过过E 作//EM AB ，根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI x ∠=，则3BAE x ∠=，通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒，由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒，求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．【详解】解：（1）过E 作//EF AB ，//AB CD ，//EF CD ∴，25EAF AEH ∴∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：70︒；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．理由如下：过E 作//EM AB ，//AB CD ，//EM CD ∴，180EAF MEH ∴∠+∠=︒，180EDG AED MEH ∠+∠+=︒，180EAF MEH ∴∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAP BAP ∠∠=，设EAP x ∠=，则3BAE x ∠=，32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒，DKE AKP ∠=∠，又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒，22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒， DP 平分EDC ∠，224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒，//AB CD ，EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，即33224x x =︒+-︒，解得28x =︒，28226EDK ∴∠=︒-︒=︒，1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键．8．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．解析：（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．【详解】解：（1）①∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°，∵∠BEG=36°，∴∠HFG=18°．故答案为：18°．②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，∴2∠BEG-∠HFG=90°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（1）见解析；（2）；（3）75°【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以；（3）75°解析：（1）见解析；（2）12【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．【详解】解：（1）∠C=∠1+∠2，证明：过C作l∥MN，如下图所示，∵l∥MN，∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l∥PQ，∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，∴∠C=∠1+∠2；（2）∵∠BDF=∠GDF，∵∠BDF=∠PDC，∴∠GDF=∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，∴∠CDG +2∠PDC =180°，∴∠PDC =90°-12∠CDG ，由（1）可得，∠PDC +∠CEM =∠C =90°，∴∠AEN =∠CEM ， ∴190(90)90122CDG AEN CEM PDC CDG CDG CDG CDG ︒-︒-∠∠∠︒-∠====∠∠∠∠， （3）设BD 交MN 于J ．∵BC 平分∠PBD ，AM 平分∠CAD ，∠PBC =25°，∴∠PBD =2∠PBC =50°，∠CAM =∠MAD ，∵PQ ∥MN ，∴∠BJA =∠PBD =50°，∴∠ADB =∠AJB -∠JAD =50°-∠JAD =50°-∠CAM ，由（1）可得，∠ACB =∠PBC +∠CAM ，∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．10．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°【分析】（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解； （2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；（3），过，分别作，，根据解析：（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°【分析】（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．【详解】解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠，12BCN BCE ∴=∠，12BCM BCD ∠=∠，180BCE BCD ∠+∠=︒， 111()90222MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，CN 是BCE ∠的平分线，2BCE BCN ∴∠=∠，2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，又180BCE BCD ∠+∠=︒，2BCD BCM ∴∠=∠，又CM 在BCD ∠的内部，CM ∴平分BCD ∠；（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，则有//////QG AB PH CD ，BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠， ⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒，180ABQ FBP ECQ DCP ∴∠+∠+∠+∠=︒，BPC BQC BPH CPH BQG CQG ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠180ABQ FBP ECQ DCP =∠+∠+∠+∠=︒，180BPC BQC ∴∠+∠=︒不变．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．三、解答题11．（1）；（2）①，见解析；②或【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可；（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分类讨论点在的左右两侧的情况，解析：（1）125︒；（2）①2ABD EAF ∠=∠，见解析；②30或110︒【分析】（1）由平行线的性质可得到：DEA EAN =∠∠，MBA BAN =∠∠，再利用角的等量代换换算即可；（2）①设EAF α∠=，AED=DAE=β∠∠，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出ABD ∠对比即可；②分类讨论点D 在B 的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即可．【详解】．解：（1）设在1l 上有一点N 在点A 的右侧，如图所示：∵12//l l∴DEA EAN =∠∠，MBA BAN =∠∠∴50AED DAE EAN ==︒∠＝∠∠∴255050125BAN BAD DAE EAN =++=︒+︒+︒=︒∠∠∠∠125BAM =︒∠（2）①2ABD=EAF ∠∠．证明：设EAF α∠=，AED=DAE=β∠∠．∴+=+FAD EAF DAE αβ=∠∠∠．∵AF 为CAD ∠的角平分线，∴22+2CAD FAD αβ==∠∠．∵12l l ，∴EAN=AED=β∠∠．∴2+22CAN CAD DAE EAN αβββα=--=--=∠∠∠∠．∴=22ABD CAN EAF α∠∠==∠．②当点D 在点B 右侧时，如图：由①得：2ABD EAF ∠=∠又∵180ABD ABM +=︒∠∠∴2180ABM EAF +=︒∠∠∵150ABM EAF ∠+∠︒＝∴18015030EAF =︒-︒=︒∠当点D 在点B 左侧，E 在B 右侧时，如图：∵AF 为CAD ∠的角平分线 ∴12DAF CAD =∠∠ ∵12l l∴AED NAE =∠∠，CAN ABE =∠∠∵DAE AED NAE ==∠∠∠ ∴11()22DAE DAE NAE DAN =+=∠∠∠∠ ∴11()(360)22EAF DAF DAE CAD DAN CAN =+=+=︒-∠∠∠∠∠∠ 11802ABE =︒-∠ ∵180ABE ABM +=︒∠∠ ∴11180(180)9022EAF ABM ABM =︒-︒-=︒+∠∠∠ 又∵150EAF ABM +=︒∠∠ ∴1190(150)16522EAF EAF EAF =︒+⨯︒-=︒-∠∠∠ ∴110EAF =︒∠当点D 和F 在点B 左侧时，设在2l 上有一点G 在点B 的右侧如图：此时仍有12DAE DAN =∠∠，12DAF CAD =∠∠∴11(360)1802211180(180)9022EAF DAE DAF CAN ABG ABM ABM=+=︒-=︒-=︒-︒-=︒+∠∠∠∠∠∠∠∴110EAF =︒∠综合所述：30EAF ∠=︒或110︒ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．12．（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝∠AMP ，见解析 【分析】1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论； （2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝解析：（1）2α；（2）EF ⊥PQ ，见解析；（3）∠NEF ＝12∠AMP ，见解析 【分析】1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，可得AB ∥CD ∥PR ，进而可得结论；（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF ＝180°，进而可得EF 与PQ 的位置关系； （3）结合（2）和已知条件可得∠QNE ＝∠QEN ，根据三角形内角和定理可得∠QNE ＝12（180°﹣∠NQE ）＝12（180°﹣3α），可得∠NEF ＝180°﹣∠QEF ﹣∠NQE ﹣∠QNE ，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过点P 作PR ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；∠AMP，理由如下：（3）如图③，∠NEF＝12由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠QNE＝12（180°﹣∠NQE）＝12（180°﹣3α），∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣12（180°﹣3α）＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+3 2α＝12α＝12∠AMP．∴∠NEF＝12∠AMP．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．证明：过点M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵MP∥AB，∴∠1=∠2．∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；证明：过点M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．（1）120º，120º；（2）160；（3）【分析】（1）过点作，，根据，平行线的性质和周角可求出，则，再根据，，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果； （2）同理（1）的求法，解析：（1）120º，120º；（2）160；（3）()1360n m n-⋅- 【分析】（1）过点,C D 作CGEF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12CAD FAC ∠=∠，12CBD CBN ∠=∠，可得 1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据 ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠，13CBD CBN ∠=∠求解即可；（3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n∠=∠， 1CBD CBNn ∠=∠求解即可； 【详解】解：（1）如图示，分别过点,C D 作CGEF ，DH EF ，∵EF MN ， ∴EFMNCGDH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴120CBN GCB ∠=∠=︒，∵1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒， 又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒， ∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒． （2）如图示，分别过点,C D 作CGEF ，DH EF ，∵EF MN ，∴EFMN CGDH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴120CBN GCB ∠=∠=︒，∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒， 又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒， ∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒． 故答案为：160； （3）同理（1）的求法 ∵EFMN ，∴EFMNCGDH ，∴ACG FAC m ∠=∠=︒，∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒， ∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN nn ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m nN n CB ︒-︒-︒-︒-︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n-︒∠=∠-∠=︒-=︒，∴()1n ADH FAD m n-∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m nn n--∠=∠+∠=-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：()1360n m n-⋅-． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．15．（1）；（2）不变化，，理由见解析；（3） 【分析】（1）结合题意，根据角平分线的性质，得；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；（2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解解析：（1）60A ∠=；（2）不变化，2APB ADB ∠=∠，理由见解析；（3）30ABC ∠= 【分析】（1）结合题意，根据角平分线的性质，得ABN ∠；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；（2）根据平行线的性质，得APB PBN ∠=∠，ADB DBN ∠=∠；结合角平分线性质，得2APB ADB ∠=∠，即可完成求解；（3）根据平行线的性质，得ACB CBN ∠=∠；结合ACB ABD =∠∠，推导得ABC DBN ∠=∠；再结合（1）的结论计算，即可得到答案．【详解】（1）∵BC ，BD 分别评分ABP ∠和PBN ∠， ∴1122CBP ABP DBP PBN ∠=∠∠=∠，，∴2ABN CBD ∠=∠ 又∵60CBD ∠=， ∴120ABN ∠= ∵//AM BN ， ∴180A ABN ∠+∠= ∴60A ∠=； （2）∵//AM BN ，∴APB PBN ∠=∠，ADB DBN ∠=∠ 又∵BD 平分PBN ∠ ∴2PBN DBN ∠=∠， ∴2APB ADB ∠=∠；∴APB ∠与ADB ∠之间的数量关系保持不变； （3）∵//AD BN ， ∴ACB CBN ∠=∠ 又∵ACB ABD =∠∠， ∴CBN ABD ∠=∠，∵ABC CBN ABD DBN ∠+∠=∠+∠ ∴ABC DBN ∠=∠由（1）可得60CBD ∠=，120ABN ∠=∴()112060302ABC ∠=⨯-=．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质，从而完成求解．四、解答题16．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠CEN的度数.（3）画出图形，求出在MN⊥CD时的旋转角，再除以30°即得结果.【详解】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，∴∠BON＝∠N，∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°，∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°－45°=135°；（3）如图，MN⊥CD时，旋转角为360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．【点睛】本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第（3）小题，解题的关键是画出适合题意的几何图形，弄清求旋转角的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角∠DOM放在四边形DOMF中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去∠DOM的度数. 17．（1）110（2）（90 +n）（3）×90°+n°【分析】（1）根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系，然后求解即可；（2）根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平解析：（1）110（2）（90 +12n）（3）201712×90°+20182018212n°（1）根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系，然后求解即可；（2）根据BO 、CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的角平分线，用n °的代数式表示出∠OBC 与∠OCB 的和，再根据三角形的内角和定理求出∠BOC 的度数； （3）根据规律直接计算即可. 【详解】解：（1）∵∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=140°，∵点O 是∠AB 故答案为：110°；C 与∠ACB 的角平分线的交点， ∴∠OBC+∠OCB=70°， ∴∠BOC=110°． （2）∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BO 、CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的角平分线， ∴∠OBC +∠OCB ＝12∠ABC +12∠ACB ＝12（∠ABC +∠ACB ） ＝12（180°﹣n °） ＝90°﹣12n °，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+12n °． 故答案为：（90+12n ）； （3）由（2）得∠O ＝90°+12n °，∵∠ABO 的平分线与∠ACO 的平分线交于点O 1，∴∠O 1BC ＝34∠ABC ，∠O 1CB ＝34∠ACB ，∴∠O 1＝180°﹣34（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣34（180°﹣∠A ）＝14×180°+34n °，同理，∠O 2＝18×180°+78n °，∴∠O n ＝112n +×180°+11212n n ++- n °，∴∠O 2017＝201812×180°+20182018212-n °，故答案为：201712×90°+20182018212-n °．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．18．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【问题探究】解：∠DPC=α+β如图，过P作PH∥DF∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=α，∠PDF=∠2∵∠DPC=∠2+∠1=α+β【问题迁移】（1）70（图1）（图2）(2) 如图1，∠DPC=β -α∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=β，∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．∴∠DPC=β -α如图2，∠DPC= α -β∵DF∥CE,∴∠PDF=∠1=α∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．∴∠DPC=α - β19．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．【详解】解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，故答案为3；（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），∵∠C=100°，∠B=96°∴∠P=（100°+96°）=98°；（3）∠P=（β+2α）；理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P ，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B ，∴∠C ﹣∠P=∠BDC ﹣∠BAC ，∠P ﹣∠B=∠BDC ﹣∠BAC ，∴2（∠C ﹣∠P ）=∠P ﹣∠B ，∴∠P=（∠B+2∠C ），∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=（β+2α）；（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为360°．20．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°【分析】（1）由和是的角平分线，证明即可；（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；（3）根据“准互余三角解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°【分析】（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90ABC A ∠+∠=︒，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴2ABC ABD ∠=∠，∴290ABD A ∠+∠=︒，∴ABD △是“准互余三角形”；（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，∴290B C ∠+∠=︒，∴ABC 是“准互余三角形”，故①正确；②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，∴ABC 不是“准互余三角形”，故②错误；③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，∵三角形是“准互余三角形”，∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，∴90αβ+<︒，∴180()90γαβ=︒-+>︒，∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，故③正确；综上所述，①③正确，故答案为：①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；如图①，当2∠A +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠A =20°，∴∠APB =110°；如图②，当∠A +2∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，∵∠ABC =50°，∴∠A +∠APB =50°，∴∠APB =40°；如图③，当2∠APB +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，。
中学数学：常见难题解析与解题技巧
中学数学：常见难题解析与解题技巧引言数学作为一门基础学科，对于中学生来说常常是一道难以逾越的难题。
面对复杂的概念和抽象的符号，许多学生感到困惑和挫败。
然而，通过合适的学习方法和解题技巧，数学难题可以成为一个巨大的成长机会。
本文将探讨一些中学数学常见难题的解析和解题技巧，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
1. 直线方程解析： - 直线方程是中学数学中的一个重要概念，也是难点之一。
直线方程可以用不同的形式表示，如一般式、斜截式和截距式等。
学生在学习直线方程时，经常会陷入迷惑，不知道如何把握和运用不同的形式。
解题技巧： - 理解直线的斜率和截距对于解题非常重要。
斜截式方程 y = mx+ b 中的 m 表示斜率，b 表示 y 轴截距。
而截距式方程 y = kx + c 中的 k 表示斜率，c 表示 y 轴截距。
了解斜率和截距的意义，可以帮助学生更好地理解直线方程的含义和运用。
2. 因式分解解析： - 因式分解是中学数学中常见的难题之一。
在因式分解中，学生需要将一个多项式拆分成更简单的因子，以便于后续计算和运用。
然而，因式分解的具体步骤和方法常常让学生感到困惑。
解题技巧： - 在因式分解中，寻找最大公因数是一个重要的技巧。
通过找到多项式中的最大公因式，并将其提取出来，可以简化多项式的形式。
此外，学生还可以运用二次平方差公式或特殊因式公式来进行因式分解。
通过掌握不同的因式分解方法，学生可以更快地解决难题。
3. 三角函数解析： - 三角函数是中学数学中一个重要但也有些难度的概念。
学生在学习三角函数时，需要理解正弦、余弦和正切等概念，同时还要掌握它们的性质和应用场景。
由于三角函数涉及到很多公式和计算，学生常常在应用过程中感到困惑。
解题技巧： - 在解决三角函数问题时，学生需要掌握常见的三角函数公式和性质。
例如，正弦定理、余弦定理和正切函数的定义等。
熟练掌握这些公式和性质，可以帮助学生更好地理解和运用三角函数。
高二数学学科的难点及解决方法
高二数学学科的难点及解决方法高二数学学科是中学阶段数学学科的重要部分，对学生的思维能力、逻辑推理能力以及数学基础的综合能力提出了更高的要求。
然而，由于数学本身的抽象性和复杂性，许多学生在高二数学学科中面临着各种难题。
本文将探讨高二数学学科的难点，并提供一些解决方法，帮助学生更好地应对这些困难。
一、高二数学学科的难点1. 抽象性概念和符号运算高二数学学科中出现了许多抽象的概念和符号运算，例如集合论、矩阵、复数等。
这些概念和运算通常超出了学生的日常思维范围，使得学生难以理解和运用。
2. 难度递增的题目与高一相比，高二数学学科的题目难度递增，涉及的知识点更多、更复杂。
学生需要具备扎实的基础知识和较强的综合运用能力，才能应对这些难题。
3. 推理证明和问题解决能力要求提高高二数学学科强调推理证明和问题解决能力的培养，要求学生能够灵活运用所学知识解决实际问题，并清晰准确地进行推理证明。
这对学生的思维能力和逻辑推理能力提出了更高的要求。
二、解决方法1. 扎实基础知识巩固基础知识是解决高二数学学科难点的基础。
学生应该通过复习和练习，不断加强对基础知识的掌握，如函数、三角函数、数列等。
可以通过做大量的练习题，加深对知识点的理解和运用。
2. 理解抽象概念和符号运算对于高二数学学科中的抽象概念和符号运算，学生可以通过多阅读相关的教材和参考书籍，结合实际例子进行理解。
还可以请教老师和同学，参加数学学习小组，共同讨论和解答问题，加深对这些抽象概念和符号运算的认识和掌握。
3. 多做题目，提升综合能力高二数学学科的难题通常需要学生综合各个知识点进行解答，因此，学生可以通过多做各种类型的题目，提升自己的综合能力。
可以选择不同难度的题目，从简单到复杂地进行练习，逐渐增加难度，培养解题思路和方法。
4. 注重思维训练和问题解决能力培养学生可以参加数学建模、数学竞赛等活动，培养自己的思维能力和问题解决能力。
同时，学生还可以尝试举一反三，将数学知识应用到现实生活中的问题中，培养自己的实际应用能力。
初二数学最难练习题
初二数学最难练习题初二数学作为中学数学学习的重要阶段之一，通常要求学生掌握并熟练运用一系列基础数学概念和技巧。
然而，在初二数学中，也存在着一些让学生们感到困惑和挑战的难题。
本文将介绍几个初二数学中最难的练习题，分析其难点所在，并给出解题思路和方法。
一、函数的概念与运用难题一：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，请计算当x = 3时，f(x)的值。
思路与解法：这道题要求我们根据给定的函数，求出当x等于3时，f(x)的值。
我们只需要将x值代入函数中，即可计算出f(x)。
依据给定函数f(x) = x^2 - 2x + 1，将x替换为3，即可得到f(3) = 3^2 - 2*3 + 1 =9 - 6 + 1 = 4。
因此，当x = 3时，f(x)的值为4。
二、平面几何的问题难题二：在平面坐标系中，连接A(2, 4)和B(6, 8)两点的线段AB，求线段AB的中点坐标。
思路与解法：线段AB的中点坐标就是连接A和B的直线的中垂线的交点坐标。
首先，我们需要求出直线AB的斜率k。
根据坐标(2, 4)和(6, 8)可以计算出斜率k = (8 - 4) / (6 - 2) = 1。
由于中垂线的斜率是直线AB斜率的负倒数，所以中垂线的斜率k' = -1 / k = -1。
然后，我们选择坐标A(2, 4)作为中垂线上的一点，根据斜率k' = -1和已知点A(2, 4)，可以得到中垂线的方程为y - 4 = -1(x - 2)。
解得中垂线的方程为y = -x+ 6。
将中垂线方程与直线AB方程联立求解，可以得到交点坐标。
解方程组得到x = 4，将x = 4代入中垂线方程得到y = 2。
因此，线段AB 的中点坐标为(4, 2)。
三、代数方程的求解难题三：解方程组2x + 3y = 5和3x - 4y = 7。
思路与解法：对于这个方程组，我们可以使用消元法或代入法来求解。
这里我们使用消元法。
首先，我们给方程1乘以3，方程2乘以2，得到6x + 9y = 15和6x - 8y = 14。
突破中学数学常见难点的十个窍门
突破中学数学常见难点的十个窍门中学数学对于许多学生来说是一个难以逾越的难点。
诸如代数、几何、三角函数等概念，以及复杂的公式和问题，经常让学生感到困惑。
但是，只要你掌握了一些窍门和技巧，中学数学并不是无法攻克的难题。
本文将介绍十个帮助你突破中学数学常见难点的窍门，让你轻松驾驭数学学习。
窍门一：理解基础概念要掌握中学数学，首先必须理解基础概念。
比如，代数中的变量、系数和常数之间的关系；几何中的角度、边长和面积的定义等。
通过深入理解这些基础概念，可以建立起扎实的数学基础，更好地应对难题。
窍门二：掌握数学公式数学公式是中学数学中的关键。
掌握公式的来源、推导和应用是解决难题的基础。
例如，对于代数中的二次方程或三角函数中的正弦定理和余弦定理，要理解其由来和应用场景，才能更好地处理相关题目。
窍门三：多做题熟能生巧，多做题是突破数学难点的重要途径。
通过反复练习，可以熟练掌握各类题型的解题方法，提高解题速度和准确度。
选择一些经典的难题进行攻破，加深对相关知识点的理解。
窍门四：注重记忆记忆是数学学习的基础。
通过将重要的定理、公式和解题方法记忆于心，可以迅速应用于实际问题中。
背诵数学知识点，可以通过编写记忆卡片、整理笔记等方法进行，帮助你更好地掌握数学学习的要点。
窍门五：理清思路解决数学难题需要清晰的思维逻辑。
在解题过程中，要理清思路，分析问题的关键点，确定解题方法。
可以适当画图、列方程、寻找规律等方法，帮助整理思路，找到解题的突破口。
窍门六：归纳总结数学问题具有一定的规律和模式。
在解题过程中，归纳总结常见的解题方法和技巧，可以为以后的解题提供借鉴和思路。
通过整理笔记、总结题目类型等方式，帮助你更好地掌握数学问题的解决方法。
窍门七：灵活运用多种方法解决数学难题，不拘一格。
可以灵活运用多种方法，寻找最适合的解题思路。
比如，在解决代数方程时可以采用因式分解、配方法和二次公式等多种方法，根据具体情况选择最佳方法进行解题。
窍门八：注重学习实践数学学习需要不断实践。
七年级上学期数学难题难度训练含答案解析
七年级上学期数学难题难度训练含答案解析七年级上数学难题训练1一．主观题（共12小题，每题1分）1.为了解某学校学生的个性特长发展情况，在全校范围内随机抽查了部分学生参加音乐、体育、美术、书法等活动项目（每人只限一项）的情况，并将所得数据进行了统计，结果如图所示。
1）求在这次调查中，一共抽查了多少名学生？2）求出扇形统计图中参加“音乐”活动项目所对扇形的圆心角的度数。
3）若该校有n名学生，请估计该校参加“美术”活动项目的人数。
2.某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）。
请你根据图中所给的信息解答下列问题：1）请将以上两幅统计图补充完整。
2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有x人达标。
3）若该校学生有y人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？3.下列调查中，哪些用的是普查方式，哪些用的是抽样调查方式？1）了解一批空调的使用寿命。
2）出版社审查书稿的错别字的个数。
3）调查全省全民健身情况。
4.为了了解家庭日常生活消费情况，XXX记录了他家一年中7周的日常生活消费费用。
数据如下（单位：元）：230 195 180 250 270 455 170请你估算一下XXX家平均每年（每年按52周计算）的日常生活消费总费用。
5.某班有学生50人，根据全班学生的课外活动情况绘制的统计图（如图），求参加其他活动的人数。
6.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需要6小时，乙单独做需要4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需要多长时间才能完成工作？7.有一火车要以每分钟600米的速度过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多5秒时间，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求两座铁桥的长分别为多少。
8.XXX收购了一批质量为x的该种山货，质量比粗加工的质量倍还多，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量为y，求粗加工的该种山货质量。
解析初一数学常见难题的解题思路
解析初一数学常见难题的解题思路初一数学是中学阶段的开端，对于学生来说，往往面临着许多难题。
本文将解析初一数学常见难题的解题思路，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
一、整数运算整数运算是初一数学中的基础内容，但很多学生常常在整数运算中出现错误。
解题思路如下：1. 加减法：在进行整数加减法时，可以使用数轴的思想进行辅助。
例如，对于求解-5+3的结果，可以从原点出发，向左走5步，再向右走3步，最终停在-2这个位置，得出结果为-2。
2. 乘法：乘法中的正负数相乘要注意以下几点：两个正数相乘为正数，两个负数相乘为正数，一个正数和一个负数相乘为负数。
例如，-2乘以-3，即-2 * -3 = 6。
3. 除法：除法运算中，除数不能为零。
对于正负数的除法，可以先将正负号忽略，将数值进行运算，最后再根据规则决定结果的正负号。
例如，-12除以3，即-12 ÷ 3 = -4。
二、代数式与方程代数式与方程是初一数学中的重要内容，对于解题思路可以分为以下几个方面：1. 代数式的化简：化简代数式要运用基本运算法则，如乘法分配律、加法结合律等。
通过合并同类项、提取公因式等方法，将代数式简化为最简形式。
例如，化简表达式2x + 3x - 5x + 4为x - 5。
2. 解方程：解一元一次方程的基本思路是通过逆运算的方式将未知数的系数和常数项求解出来。
例如，对于方程3x + 5 = 11，可以先将5从等式两边减去，得到3x = 6，再将6除以3，得到x的解为2。
3. 求未知数：在一些实际问题中，需要求解未知数。
这种题型通常需要根据已知条件建立方程，再通过解方程的方法求解出未知数的值。
例如，已知一个长方形的周长为42，宽是3，求长的长度。
可以设长为x，则2(x + 3) = 42，解方程可得x = 18。
三、几何初一几何常见的难题一般涉及到图形的性质、计算面积和周长等内容。
解题思路如下：1. 图形性质：在解题过程中，要善于利用图形的性质来推导解题。
初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题
初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
初一数学应用题难题
初一数学应用题难题1、某商店有两进价不同的耳机都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）A 、赔8元B 、赚32元C 、不赔不赚D 、赚8元2、如图是某中学初中各年级学生人数比例统计图，已知八年级学生540人，那么该校七年级学生人数为（）（A ）405 （B ）216 （C ）473（D3243．（创新题）在解方程组2,78ax by cx y +=??-=?时，哥哥正确地解得3,2.x y =??=-?，弟弟因把c 写错而解得2,2.x y =-??=?，求a+b+c 的值．4..某班有若干学生住宿，若每间住4人，则有20人没宿舍住；若每间住8人则有一间没有住满人，试求该班宿舍间数及住宿人数？5.小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地。
后来，小宝借来一副质量为6年级百分比10%20%30%40%50%千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地。
猜猜小宝的体重约有多少千克？（精确到1千克）6.已知某工厂现有70米，52米的两种布料。
现计划用这两种布料生产A、B两种型号的时装共80套，已知做一套A、B型号的时装所需的布料如下表所示，利用现有原料，工厂能否完成任务？若能，有几种生产方案？请你设计出来。
7.用若干辆载重量为七吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下10吨货物，若每辆汽车装满7吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？8.已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0．6米，B种布料0．9米；做一套N型号时装需A 种布料1．1米，B种布料0．4米；若设生产N型号的时装套数为X，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案9、某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件.(1)求A、B型号衣服进价各是多少元？(2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案.10、儿童公园的门票价格规定如下表：某校七(1)、(2)两个班共104人去游儿童公园，其中(1)班人数较少，不到50人，(2)班人数较多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，问：(1)两班名有多少学生？(2)如果两联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？11、某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元。
克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门
克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门数学方程和不等式是中学数学中较为重要的内容，掌握解题的方法和技巧对于学生来说是至关重要的。
然而，很多学生在解题过程中会遇到各种困难和挑战。
本文将为大家介绍克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门，希望能对广大学生有所帮助。
窍门一：理解问题在解题之前，首先要充分理解题目的意思。
仔细阅读题目，分析关键信息，确定所给数据的含义和问题的要求，这样才能够有针对性地解题。
如果对问题理解不清，很容易误解题意，导致得出错误答案。
窍门二：列方程或不等式针对不同类型的问题，我们需要根据题目的要求来列方程或不等式。
通过转化问题为代数表达式，可以将问题转化为数学问题，进而解决。
例如，一些关于长方形面积或者速度问题可以通过列方程的方法得到解答。
窍门三：化简方程或不等式方程或不等式可能会比较复杂，为了方便求解，我们需要对其进行化简。
这可以通过移项、合并同类项、提取公因数等方法来实现。
化简之后，方程或不等式的形式会更加简单，易于处理。
窍门四：选择适当的解题方法解方程与不等式有多种方法，如因式分解、配方法、代入法、图像法等。
在解题过程中，我们需要根据具体情况选择适当的方法。
需要注意的是，有些问题可能可以用多种方法解答，我们可以根据个人的理解和习惯进行选择。
窍门五：多做练习掌握数学方程与不等式的解题技巧需要反复练习。
通过做大量的练习题，能够熟悉题型，加深对解题方法的理解。
同时，通过练习，我们还能够发现一些解题的规律和技巧，提高解题的速度和准确性。
窍门六：注意特殊情况在解题过程中，有时会遇到一些特殊的情况，例如分式方程、绝对值方程或不等式等。
对于这些特殊情况，我们需要根据具体情况选择相应的解题思路和方法。
熟悉这些特殊情况的解题方法，能够帮助我们更好地解决难题。
窍门七：培养逻辑思维能力解题不仅仅是运用一些方法和技巧，更需要有良好的逻辑思维能力。
在解题过程中，我们需要分析问题、归纳规律、推理论证，这些都离不开逻辑思维的运用。
克服中学数学三视图难题的九个窍门
克服中学数学三视图难题的九个窍门数学是一门重要而又有趣的学科，它不仅是我们学习科学和技术的基础，也是培养我们思维逻辑能力的重要途径之一。
在数学学习中，中学生经常会遇到各种难题，其中数学三视图问题是一个令人头疼的难题。
本文将给大家介绍克服中学数学三视图难题的九个窍门。
1. 控制思维：克服三视图难题的第一步是要控制好自己的思维。
在解题过程中，我们需要对题目进行细致的分析，理清思路，将问题转化为简单易懂的形式。
同时，我们还需运用逻辑推理，合理排除一些无关信息，减轻解题的复杂程度。
2. 观察细节：克服三视图难题的关键在于观察。
我们需要仔细观察图形的细节，例如线段的长度、角度的大小、形状的特点等等。
通过仔细观察，我们可以发现一些隐藏在题目中的关键信息，从而更好地理解和解决问题。
3. 运用标记：当我们在解题过程中遇到一些困难和疑惑时，可以尝试使用标记的方法来辅助解题。
例如，我们可以在图形上标记出一些重要的线段或角度，以帮助我们更好地掌握图形的结构和特点。
标记可以帮助我们减少遗漏和错误，提高解题的准确性。
4. 建立数学模型：为了更好地理解和解决三视图难题，我们可以尝试建立数学模型。
通过将图形映射到数学坐标系中，我们可以用数值具体地描述和分析图形的特征和变化。
数学模型可以帮助我们理清思路，准确分析问题，找到解题的有效方法。
5. 利用推理：在解决三视图难题时，我们往往需要进行逻辑推理。
通过观察和分析，我们可以找到一些规律和性质，从而进行合理的推理和推导。
推理可以帮助我们更好地理解问题，发现解题的线索，提高解题的效率和准确性。
6. 刻意练习：克服三视图难题需要通过刻意练习来提高自己的解题能力。
我们可以多做一些相关的练习题，尝试不同的解题方法和思路。
通过反复练习，我们可以熟悉题目的要求和解题的思路，提高解题的速度和准确性。
7. 寻求帮助：当我们遇到难以解决的三视图难题时，我们可以寻求他人的帮助。
可以向老师、同学或家长请教，听取他们的建议和经验。
中学数学难题竞赛题精讲,不规则五边形问题
中学数学难题竞赛题精讲，不规则五边形问题1. 什么是不规则五边形不规则五边形是指五边形的边长和角度大小不完全相等的图形。
与规则五边形相比，不规则五边形的边长和角度可能有所不同，使得它的形状更加复杂。
2. 如何计算不规则五边形的周长计算不规则五边形的周长需要将其五个边的长度相加。
首先，通过测量或给定的条件确定五个边长的数值，然后将它们相加即可得到不规则五边形的周长。
3. 如何计算不规则五边形的面积计算不规则五边形的面积可以使用面积公式。
由于不规则五边形的形状复杂，我们一般将其分解为多个简单形状的组合来计算面积。
其中一种常用的方法是将不规则五边形分解为三角形和梯形，并计算它们各自的面积，最后将这些面积相加得到不规则五边形的总面积。
4. 如何判断不规则五边形的对称性不规则五边形一般没有对称轴，即没有任何一条直线可以将其分为两个完全相同的部分。
因此，我们可以通过观察不规则五边形的边长和角度是否对称来判断其对称性。
如果边长和角度都不对称，则可以确定该不规则五边形没有对称性。
5. 如何确定不规则五边形的内角和外角不规则五边形的内角和外角是指五边形内部和外部的角度。
内角是指不规则五边形内部的角度，而外角是指五边形外部的角度。
为了计算不规则五边形的内角和外角，我们可以利用不规则五边形的角度和角度和的性质。
首先，通过测量或给定的条件确定五个角度的数值，然后将它们相加即可得到不规则五边形的内角和。
对于外角，我们可以利用外角和与内角和的关系来计算。
6. 如何确定不规则五边形的重心不规则五边形的重心是指五边形内部的一个点，使得从五个顶点到该点的线段长度相等。
为了确定不规则五边形的重心，我们可以使用几何方法或计算方法。
几何方法是通过绘制五边形的中位线，即连接相邻顶点中点的线段，在其交点处即为重心。
计算方法是通过计算五个顶点的坐标并取平均值来得到重心的坐标。
希望以上解答对您有帮助！如有更多问题，请随时提问。
勾股定理难题
勾股定理难题作为中学数学中常见的工具定理之一，勾股定理在几何分析和数学证明中都发挥了重要的作用。
然而，虽然该定理简单易懂，但也存在一些难题需要深入思考和探究。
难题一：勾股定理证明勾股定理是一个重要的几何定理，其基本内容在高中数学教学中被广泛的传授，它表达的是一个直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
但是，在实际应用问题中，我们对勾股定理的理解往往仅仅满足于表面层次，而对于定理的证明，我们往往感到十分困难。
在数学中，证明是一项非常重要的任务。
如果可以证明某个定理，那么可以证明这个定理是真实有效的。
在勾股定理的证明中，我们需要运用的基本知识有数学分析，三角函数，纯数学运算等，其中还包括几何知识和直观图像等。
难题二：勾股定理的正确应用除了勾股定理本身的证明难题，正确应用勾股定理也是一个难题。
由于勾股定理的广泛应用，我们应该了解何时应该使用它，以及如何正确应用该定理。
在实际问题中，如果错误地应用勾股定理，将会导致问题解决的错误结果。
以一个典型例子来说，如果我们需要求一个飞机飞行的航迹，经常会遇到需要求解三角形的三个角度以及长度的问题，此时勾股定理就能够发挥作用，但是，如果我们将三角形直接代入公式计算，而没有首先检查它是否确实是一个具有直角的三角形，就会发生计算错误。
这就需要我们在应用时要仔细思考，避免使用不恰当的的定理和方法。
难题三：勾股定理的综合运用勾股定理的应用不仅仅局限于计算直角三角形的三个边长和三个角度等问题，还可以应用到平面分析、建筑设计和机械制造等范畴中。
在实际的工作中，我们需要将勾股定理与其他的工程和技术原理相结合使用，以便更好地解决问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一个建筑物的倾斜角度，就需要有一定的勾股定理知识，以便能够应用该定理进行计算。
此外，还有汽车设计与制造、航空工程、电子科技等领域均需要使用勾股定理。
勾股定理虽然看似简单，但在实际运用中却有着诸多的难题。
我们希望大家能够在学习中注重探究定理的原理，深刻理解其本质；在实际应用中，注重思考，确保定理的正确应用，以达到最优的解决问题的效果。
中学生逆向思维巧解数学难题
中学生逆向思维巧解数学难题中学生逆向思维巧解数学难题(一)一、数学概念的反问题例1 若化简|1-某|--的结果为2某-5，求某的取值范围。
分析：原式=|1-某|-|某-4|根据题意，要化成：某-1-(4-某)=2某-5从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：1-某≤0，且某-4≤0∴某的取值范围是：1≤某≤4二、代数运算的逆过程例2 有四个有理数：3,4-6,10，将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次)，使结果为24。
请写出一个符合要求的算式。
分析：不妨先设想3某8=24，再考虑怎样从4，-6,10算出8，这样就找到一个所求的算式：3(4-6+10)=24类似的，还有：4-(-6某10)÷3;10-(-6某3+4);3(10-4)-(-6)等。
三、逆向应用不等式性质例3 若关于某的不等式(a-1)某>a2-2的解集为某<2，求a的值。
分析：根据不等式性质3，从反方向进行分析，得：a-1<0，且a2-2=2(a-1)∴所求a值为a=0。
四、逆向分析分式方程的检验例4 已知方程---=1有增根，求它的增根。
分析：这个分式方程的增根可能是某=1或某=-1原方程去分母并整理，得某2+m某+m-1=0如果把某=1代入，能求出m=3;如果把某=-1代入，则不能求出m;∴m的值为3，原方程的增根是某=1。
五、图形变换的反问题例5 △ABC中，AB分析：我们曾经把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°，本题正好相反。
由此得到启发，再应用等腰梯形的性质，得到如下做法：作AD⊥BC，垂足为D点，在BC上截取DE=BD，连结AE，则∠AEB=∠B。
过AC中点M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切线。
剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ。
逆向思维的训练(二)(一)两极颠倒法在一般情況下，我们遇到或认识了两极中的一极，我们不妨再去有意认识一下与之对立的另一极，一个新的天地就可能展望在我们面前。
突破中学数学二次函数的八个难题
突破中学数学二次函数的八个难题第一难题：求二次函数的顶点坐标在解决二次函数的问题时，确定顶点是至关重要的一步。
顶点的坐标可以通过将二次函数标准形式转化为顶点形式来得到。
标准形式为y = ax^2 + bx + c，而顶点形式为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
为了确定顶点坐标，可使用以下公式：h = -b / (2a)k = c - b^2 / (4a)这样，我们就可以通过计算得到二次函数的顶点坐标。
第二难题：求二次函数与坐标轴的交点要求二次函数与x轴的交点，只需令y = 0，然后解方程。
同样地，要求二次函数与y轴的交点，只需令x = 0，再解方程。
通过解方程，我们可以找到二次函数与坐标轴的交点的坐标。
第三难题：求二次函数的对称轴对称轴是二次函数的一个重要概念。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴方程为x = -b / (2a)。
我们可以通过计算得到对称轴方程，从而确定二次函数的对称轴。
第四难题：求二次函数的焦点坐标对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其焦点坐标为[(h, k + 1 / (4a))]，其中(h, k)为顶点坐标。
通过计算顶点坐标，我们可以得到二次函数的焦点坐标。
第五难题：求二次函数的图像方向图像方向用来描述二次函数的开口方向。
要确定二次函数的图像方向，需要根据a的值进行判断。
若a > 0，则图像开口向上；若a < 0，则图像开口向下。
第六难题：求二次函数的最值最值是指二次函数的最大值或最小值。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值的计算方法如下：最小值：当a > 0时，二次函数的最小值为顶点的y坐标；最大值：当a < 0时，二次函数的最大值为顶点的y坐标。
通过计算可以得到二次函数的最值。
第七难题：求二次函数与直线的交点要求二次函数与直线的交点坐标，需要将直线方程代入二次函数方程，并解方程得到交点坐标。
解决数学难题的技巧与方法
解决数学难题的技巧与方法数学是一门需要理性思维和逻辑推理的学科，对于很多中学生来说，解决数学难题常常是一项具有挑战性的任务。
然而，只要我们掌握一些有效的技巧和方法，就能够轻松地解决数学难题。
本文将为大家介绍几种解决数学难题的技巧与方法，帮助中学生们提高数学解题的能力。
首先，理清题意是解决数学难题的关键。
在解题之前，我们应该仔细阅读题目，理解题目所要求的内容。
有时候，数学题目的语言描述可能会比较复杂，容易让人产生困惑。
这时，我们可以通过画图、列方程等方式将题目中的信息进行整理和梳理，帮助我们更好地理解题目的意思。
只有理清题意，我们才能够有针对性地进行解题。
其次，建立数学模型是解决数学难题的重要方法。
数学问题往往可以通过建立数学模型来进行求解。
我们可以将实际问题转化为数学符号和方程，通过分析和运算得出最终的结果。
例如，对于一道与比例相关的题目，我们可以设未知数，并建立相应的比例方程，然后利用已知条件进行求解。
通过建立数学模型，我们可以将抽象的数学问题转化为具体的计算过程，从而更好地解决数学难题。
第三，掌握基本的数学运算技巧是解决数学难题的基础。
数学运算是数学解题的基本工具，掌握基本的数学运算技巧对于解决数学难题至关重要。
例如，对于代数方程的求解，我们需要熟练掌握因式分解、配方法、消元法等技巧。
对于几何问题的解决，我们需要了解几何定理和公式，并能够熟练地运用它们。
通过不断练习和巩固基本的数学运算技巧，我们可以提高解题的效率和准确性。
此外，与他人交流和合作也是解决数学难题的有效方法。
有时候，我们可能会遇到一些困难问题，自己难以解决。
这时，我们可以与同学或老师进行交流和讨论，互相借鉴和启发。
通过与他人的合作，我们可以从不同的角度去思考问题，发现解题的新思路和方法。
此外，与他人交流还可以帮助我们发现自己的不足之处，并及时进行补充和提高。
最后，坚持练习和积累是提高数学解题能力的关键。
解决数学难题需要不断地进行练习和积累。
突破中学数学代数学的八个难题
突破中学数学代数学的八个难题代数学是中学数学的重要组成部分，也是许多学生认为困难的内容之一。
在代数学的学习中，有一些常见的难题，让学生感到头疼。
本文将介绍突破这些难题的八种方法。
一、概念理解不清晰代数学是建立在一系列概念基础之上的。
然而，有些学生对于代数学中的关键概念理解不够清晰，导致后续学习困难重重。
要突破这一难题，首先应该明确代数学的基本概念。
例如，理解清楚代数表达式、方程式、函数等基本概念的含义，可以借助图像、实例等多种方式进行解释和理解。
二、运算符使用混乱代数学中的运算符是学生常常容易混淆的地方之一。
比如，学生经常把加法的运算符“+”和减法的运算符“-”搞混，导致运算结果错误。
为了解决这个问题，学生需要仔细学习和理解各种运算符的含义和使用规则，进行大量的练习和巩固。
三、方程式解法不当解方程是代数学中的重要内容之一，也是学生感觉较为难以掌握的部分。
要突破这个难题，学生需要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程等常见方程的解法。
此外，还可以通过合理的变量取法、逆向思维等方法，帮助学生提高解方程的能力。
四、函数图像分析不准确函数图像分析是代数学中的一项重要任务，可是学生在这个方面常常会犯错误。
为了提高学生的函数图像分析能力，可以引导学生多画图，注重观察函数图像的特点和变化规律。
同时，学生还可以通过练习解析函数的性质和变化趋势，来加深对函数图像的认识。
五、代数运算符号应用错误代数运算符号的错误使用也是让学生陷入难题的原因之一。
例如，代数式中的乘法运算符“×”容易被忽略或误用。
为了避免这个问题，学生需要时刻注意代数运算符号的正确使用，仔细核对计算步骤和结果。
六、代数方程推理不严谨代数方程的推理和证明是学生在代数学学习中进一步发展逻辑思维和推理能力的重要环节。
然而，许多学生在代数方程的推理过程中常常推理不严谨、逻辑混乱。
为了改善这一问题，学生需要通过大量的练习，逐步提高代数方程推理的能力。
七、代数公式运用困难代数公式的灵活应用是学生在代数学中常常遇到的难题。
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中学数学难题难题第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。
问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。
第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。
第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。
第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np。
第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。
第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。
第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数。
第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。
第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。
试利用屈折排列推导正割与正切的级数。
第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角。
第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。
第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。
第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数。
第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。
第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。
第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法。
第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零。
第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。
第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。
第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。
第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。
第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交。
第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius画一个与三个已知圆相切的圆。
第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。
第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。
第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。
第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角。
第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形。
第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi{/color]设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项。
假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。
这个方法叫作阿基米德算法。
[color=blue]第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。
（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。
第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。
第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。
第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。
第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线。
第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points过四个已知点作抛物线。
第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。
第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。