八年级下数学讲义-勾股定理

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人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理

下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
第1课时勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2

初二数学复习讲义——-勾股定理

２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
（1）已知，．求的长
（2）已知，，求的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在中，，，，于，＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用

（3）判断当 a＝2，b＝4 时△ABC 的形状，并求出对应的 c2 的取值范围．
解：（3）∵c为最长边，2＋4＝6， ∴4≤c＜6， ∴16≤c2＜36， a2＋b2＝22＋42＝20， ①a2＋b2＞c2，即 c2＜20， ∴当16≤c2＜20 时，这个三角形是锐角三角形； ②a2＋b2＝c2，即 c2＝20， ∴当c2＝20 时，这个三角形是直角三角形； ③a2＋b2＜c2，即 c2＞20， ∴当20＜c2＜36 时，这个三角形是钝角三角形．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时
D
北 N
A东
间为 3 h．
B
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向
角的定义作答即可．
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形；当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
北 N
A东
最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； B
解：（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
M
∴AC CD2 AD2 452 602 75（km）． C

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13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理-逆定理(有答案)

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲勾股定理－逆定理第一部分知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

人教版八年级数学下册勾股定理讲义

c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点一、勾股定理的概念知识概念：勾股定理是指，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为“勾股形”，因此把这个定理称为“勾股定理”。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，因此这个定理也叫做“毕达哥拉斯定理”在Rt △ACB 中，根据勾股定理：222a b c +=中国古代数学家赵爽的证明方法：将四个全等的直角三角形摆成如图所示的图形4AGB S ∆+S 正方形EFGH =ABCD S 正方形，2214()2ab b a c ⨯+-= 化简可证a 2+b 2＝c 2例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=3， b=4，求c (2)已知a=9，b=40，求c (3)已知a=6，c=10，求b1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=5， b=12，求c (2)已知a=7，b=24，求c (3)已知a=8，c=17，求b2、如图，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边。

（1）已知c ＝25，b ＝15，求a（2）已知a ＝6，∠A ＝60°，求b 、c知识概念：满足勾股定理的三个正整数称为勾股数例2、下列属于勾股数的有_________①3，4，5 ②6，8，10 ③9，12，15 ④12，16，20 ⑤5，12，13 ⑥7，24，25 ⑦9，40，41⑧10，24，26 ⑨1，1，2 ⑩0.3，0.4，0.5如果三个数满足勾股定理，那么它们的k 倍也满足勾股定理1、下列哪一组属于勾股数（）A 、0.6，0.8，1B 、112，2，122C 、1，2，3D 、15，20，252、在△ABC中，∠C=90°，若c=10，a:b=3:4，则ab=______3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=______4、已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A、3B、1C、3+2D、3+35、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里6、请用数轴上表示出代表2的数7、如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________例3、已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠B=90°，则（）A、a2+b2=c2B、a2+c2=b2C、b2+c2=a2D、a+b=c例4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是________8、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.9、如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.10、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_________11、若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（）A．25 B．7 C．7或25 D．9或1612、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．2013、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？15、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小明头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?16、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?。

免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理

4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
0
1
八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。

八年级下册数学讲义勾股定理

第十七章勾股定理17.1 勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的证明在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．3．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为、a 、，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为a b -a b +A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________；（2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．学_科网11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ；（2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积；（3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ；（5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：．22222()AB AC BD AD +=+13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．。

初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3. 勾股数222满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得x26282．所以x 628236 64 100 10 ．当x 为直角边时，由勾股定理，得x2 62 82．所以x 826264 36 28 2 7 ．所以这个三角形的第三边为10或2 7 ．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ ABC的周长．【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD 2 AB2 AD2 152 122 81．∴ BD 81 9 ．同理CD2 AC 2 AD2 132 122 25．∴ CD 25 5 ．①当∠ ACB >90°时， BC ＝BD － CD ＝9－ 5＝4．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ ACB <90°时， BC ＝BD ＋ CD ＝9＋ 5＝14．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝ 42．综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．2、如图所示，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，M 为 AB 上一点．求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 ．222(AD 2 DM 2)【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：变式】已知，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 为 BC 上任一点，求证： AB 2 AD 2 BD CD .【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM 2 、作 CD ⊥ AB ．【答案与解析】证明：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ． ∵ AC ＝BC ， CD ⊥AB ，∴ AD ＝ BD ．∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ CD ＝ AD ＝ DB ．BM 2、 CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要 22 AM 2 BM 2 2 AD DM 2AD DM AD 2 2AD DMDM 2 AD 2 2AD DM DM 2(CD 2 DM 2)在 Rt △ CDM 中， CD 22 DM 2 CM AM 2BM 2CM【答案】解：如图，作 AM ⊥BC 于 M ，∵ AB ＝AC ，∴ BM ＝ CM, 则在 Rt △ABM 中：AB 2 AM 2 BM 2 ⋯⋯①在 Rt △ ADM 中：222AD 2 AM 2 DM 2⋯⋯②由①－②得： AB 2 AD 2 BM 2 DM 2 BM DM BM DM＝（MC ＋DM ）?BD ＝ CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝20，BC ＝32，D 是 BC 上的一点，且 AD ⊥AC ，求 BD 的长．【思路点拨】由于 BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且△ ACD 尽管是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点 A 作AE ⊥BC 于 E ，这时可以从 Rt △ ABE 与 Rt △ ADE 、 Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得 AE 、 DE 的长，从而求出 BD 的长．【答案与解析】解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．∵ AB ＝ AC ， 11∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 32 16．22 在 Rt △ ABE 中， AB ＝20，BE ＝16，2 2 2 2 2∴ AE 2 AB 2 BE 2 202 162 144 ，AE ＝ 12，在 Rt △ADE 中，设 DE ＝ x ，则 AD 2 AE 2 DE 2 144 x 2 ，∵ AD ⊥ AC ，2 2 2 2 2 2∴ AD 2 AC 2 CD 2 ，而 144 x 2 202 (16 x)2 ．解得： x ＝ 9．∴ BD ＝BE － DE ＝16－9＝7．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝ 6 2， AE ⊥ BC 于 E ，求 AE 的长．S 1、 S 2、S 3表示，则不难证明 S 1 S 2 S 3 ．S 1、 S 2、S 3表示，那么 S 1、 S 2、 S 3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，请你确定 S 1、 S 2、 S 3 之间的关系并加以证明．解：连接 AD ．∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ 6 2 ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝ 22.5又∵∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝45°， AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝ 45°，∴ AE ＝ DE由勾股定理得： AE 2 DE 2 AD 2 ，2AE 2 (6 2) 2， AE 62 26． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用(1)S 1 S 2 S 3 ； (2) S 1 S 2 S 3 ．证明如下：显然， S 1 3c 2，S 23 a 2，S 3 3b 2， 444所以 S 2 S 3 3 (a 2 b 2) 3 c 2 S 1．2 3 4 4 1 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果Δ ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 2 b 2 c 2 50 断Δ ABC 的形状 .【答案与解析】解：由 a 2 b 22 c 50 6a 8b 10c ，得： 2 a 6a9 2 b 2 8b 16 2 c 10c 25 0 ∴ (a 3)2 2 (b 4)2(c 5)2 0 ∵ (a3)2 0，(b 4)20，(c 5)2 0 ∴a3, b 4, c 5. 2 2 2∵ 3242 52, 2 2 2∴a b c .由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的用到.答案与解析】解：设 Rt △ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b、 c ，则 a 2 b 2 2 c ．正五边形等．6a 8b 10c ，判 , 在证明中经常要类型三、勾股定理的实际应用的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．答案与解析】解：如图②③所示．在图②中，由勾股定理，得 AB 2 32 112 130 ．在图③中，由勾股定理，得 AB 2 62 82 100 ．因为 130>100，所以图③中的 AB 的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【高清课堂勾股定理全章复习例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B .（ π取3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长 202 (5 )2 25. 、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．。

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

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知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
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解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
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方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

初二数学--勾股定理讲义(经典)

第一、二讲勾股定理复习【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

人教版八年级数学下册期末复习勾股定理讲义

八年级下册期末复习(二)勾股定理考点梳理考点一：勾股定理的内容勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2 b 2c 2.例题如果直角三角形的两条直角边长为a ， b ，则斜边c _______________ 考点二：勾股定理的证明例题1我国3世纪汉代的赵爽是如何证明勾股定理的？例题2古希腊数学家毕达哥拉斯是如何证明勾股定理的？例题3学习美国第20任总统詹姆斯？加菲尔德的证法并完成练习•如图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别是a 和》斜边长为c.图②是以c 为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能说明勾股定理的图形.aa①(1) 画岀拼成的图形的示意图，写出它是什么图形; (2) 用这个图形说明勾股定理.考点三：“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，这个图案还被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽•下面看一道典例：如图是用4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4，若用x, y 表示直角三角形的两条直角边x y ，下列四个说法： 1 x 2 y 2 49; 2 x y 2; 3 2xy 4 49; 4 x y 9•其中正确的是 ____________________________________ .练习 1大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,则a 2 b 2______ ；a 3 b 3•2记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为EC.若 S S2 £ 10,则 S2 ____________ .考点四：利用勾股定理解直角三角形例题1已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3和4，则第三边长为练习 (1)求图中直角三角形中未知边的长度.a —;b —;c _____________________ .b '(3)如图，一个圆锥高2.4m,底面半径为0.7m,求母线AB的长.(4)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为考点五：利用勾股定理求两点间距离例题如图，在平面直角坐标系中有两点 A 5,0和B0,4，求这两点间的距离.例题在平面直角坐标系中, A 2,0，B 5,8，则AB练习1在平面直角坐标系中,点P 4,3到原点的距离是2在平面直角坐标系中, A1, 1 , B 2,3，则AB考点六：利用勾股定理解非直角三角形ABC 中，AB 2, AC 3, BC 4,求BC边上的高AD.例题1 如图，在三角形2如图，S ABC例题练习三角形的三边长分别为10, 17, 21，则最长边上的高为例题3 ABC 中，AB AC, AD是ABC的角平分线，AB 5, AD 3,则BC练习如图，在ABC中，AB AC BC,高AD h.求AB.考点七：利用勾股定理在数轴上确定无理数例题1在数轴上作出表示• 2的点.例题2在数轴上作出表示2 2的点•例题3在数轴上作出表示.5的点.例题4在数轴上作出表示..5 1的点.练习1在矩形ABCD中，AB 3,AD 1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长练'习为半径画弧交数轴的正半轴于点M,则M的坐标为_____________ .考点八：利用勾股定理解决最短路径问题(展开思想)例题1如图，圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到的最短路程是多少？(结果保留小数点后一位)一2例题2 如图，圆柱底面周长为6cm,高为6cm, PC - BC,蚂蚁从A点爬到P点，最短距离多少?3练习如图，长方体ABCD - A' B'C'D'中，AB 5,BC 4,BB' 3,求A到C'的最短爬行距离求证：1 ACE BCD;2 AD2AE2DE2.练习1 如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA CB,CE CD, ACB的顶点A在DE 上.求证：AE2 AD2 2AC2.(提示：连接BD)练习 2 如图，在ABC中，CD AB于点D，且有AC2 AD ?AB.求证：CD 2 AD ? BD. 考点十二：勾逆定理例题1什么是勾股数？例题2下列哪些是勾股数？3,4,5111 .—厂4,5,6 8,15,17 - - - 1,1, . 2 1^ 3,23 4 52m m2 1 m21（m为正整数）例题3证明：勾股数的正整数倍仍是勾股数.练习已知三边长分别为a,b, c的Rt ，现将各边长增加1，还是Rt吗？例题4下列各组数中，可作为直角三角形三边长的是( ）A.10,24,25B.9,15,20C.9,40,41 C.9,80,81 例题1 如图，Rt ABC中，AB 9,BC 6,M为BC的中点,求BN的长.例题2 如图，矩形ABCD中，AB 8, BC 10,求CE的长.例题3 如图，Rt ABC中，AB19,BC 6,BC' AB,求BE 的长.3D考点十：利用勾股定理证明线段间的数量关系例题1定理“对顶角相等.”有逆定理吗？分析：将其改为“如果……那么……”的形式： ____________________________因此，其逆命题是： _______________________________________________ 注：每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。

八年级数学下册知识点总结-勾股定理(20201124220506)

第十八章勾股定理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2= C）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a+b = c，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形2 2 2 2 2 2 （若c >a +b，则△ ABC是以/ C为钝角的钝角三角形；若c <a +b，则△ ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

2 2 24. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a, b, c有下列关系：a+b = c , ?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5. ?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

初二勾股定理讲义

c b a D C A B第一讲勾股定理复习讲义知识点一、勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,，则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=.2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数.常见勾股数如下（必须熟记）：3、常见平方数（必须熟记）：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=； 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=； 529232=； 576242=； 625252=4、勾股定理证明（等面积法）（1）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：222c b a =+。

（2）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：222c b a =+。

例题1.例题1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或变式练习：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则以AB 为边的正方形的面积为（）A ．9B ．16C ．25D ．53, 4, 56, 8, 10 9, 12, 15 12, 16, 20 15, 20, 25 5, 12, 1310, 24, 26 7, 24, 25 8 ,15 , 17 9, 40, 41例题2.两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A ．（a +b ）2＝c 2B ．（a ﹣b ）2＝c 2C ．a 2﹣b 2＝c 2D ．a 2+b 2＝c 2 变式练习：“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若ab ＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A ．9B ．6C ．5D ．4例题3.如图1-1-1，在Rt ABC ∆中，ACB B A ABC ∠∠∠︒=∠,,,90所对的边分别为a,b,c.（1）若;,15,4:3:b c b a 求==（2）若.8,6的长及斜边上的高，求c b a ==变式练习：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD ⊥AB 于D ．（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．知识点二、勾股定理的逆定理勾股定理的概念(1)语言表述：在一个直角三角形中，的平方和等于的平方．(2)公式表述：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．则有.2．勾股定理的应用在直角三角形中，知道其中任意的都可以求出第三边．即：c＝，a＝，b＝.例题1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算变式练习：1.若直角三角形的两边为3和4，则第三边的长为2.若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为cm．例题2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a、b、c、d的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形e的面积是()A．13 B．26C．47 D．94图1 图2变式练习：1.在直线上依次摆着7个正方形(如图6)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．2.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的面积是．知识点三、折叠问题【例题】1．如图7，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A．53B．52C．4 D．5 图7 图82．某同学在制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，请你根据①②步骤计算EC的长为．变式练习：1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4 B．3 2 C．4.5 D．52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．知识点四、勾股定理中最短路径问题例题1.如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.例题2.如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5，如果一直蚂蚁要从圆柱体的底面的A点，沿圆柱体表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长越为_______(л取3)例题3.如图①，一只蚂蚁在长方体的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少米？例题4.如图，︒AOB,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、=∠30Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_________变式练习：1.如图，长方体的底面边长分别为1cm,3cm,高为6cm。

人教版八下数学家之勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式1】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴ a ==；（2）设3a k =，5c k =．∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．【变式2】（2015秋•永登县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．【答案】解：（1）+1=n+1Sn=（n是正整数）；故答案是：；（2）∵OA12=1，OA22=（）2+1=2，OA32=（）2+1=3，OA42=（）2+1=4，∴OA12=，OA2=，OA3=，…∴OA10=；故答案是：；（3）S12+S22+S32+…+S102=（）2+（）2+（）2+…+（）2=（1+2+3+ (10)=．即：S12+S22+S32+…+S102=．类型二、勾股定理的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明222AN BN AC -=．【答案与解析】解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，所以2222AN BN AM BM -=-．因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=，所以222AN BN AC -=．【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．3、作长为、、的线段.【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作.【答案与解析】作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）作以AB 为一条直角边，另一直角边为1的Rt ，斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1cm 、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可. 类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2015春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h ．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h ）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC 的距离，直角三角形ABC 中，有斜边AB 的长，有直角边AC 的长，那么BC 的长就很容易求得，根据小汽车用2s 行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；据勾股定理可得：（m ）∴小汽车的速度为v==20（m/s ）=20×3.6（km/h ）=72（km/h ）；∵72（km/h ）＞70（km/h ）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ．【高清课堂勾股定理例3】5、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ， ∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ， EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =.【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．。

八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型!

八年级数学下册【勾股定理】基础知识+规律方法指导+重要题型！基础知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

八年级下册勾股定理专题讲义

八年级下册勾股定理专题讲义1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：cbaHG F EDCB A4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简得证：222a b c +=方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，化简得证：222a b c +=方法三：a bcc baE D CBA1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证：222a b c +=３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形,当考察对象不是直角三角形时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a②可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即：222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13等③用含字母的代数式表示：若a ，b ，c 为勾股数，则k a ，k b ，k c 也可构成直角三角形（k ＞0）题型一：直接考查勾股定理例１.在△ABC 中，90C ∠=︒.⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长． ⑵已知17AB =，15AC =．求BC 的长．分析：直接应用勾股定理222a b c +=练习１.在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为．练习2.边长为a 的正三角形的面积为．练习3.一长方体盒子长，宽，高分别是4米，3米，12米，盒内可放的棍子最长为．练习4.一只蚂蚁从长为4 cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_________cm ．中考链接：（2008昆明，14，3分）如图，有一个圆柱，高为16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是_________cm .（π取3） A B（2012昆明，20，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D处与C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米，求荷塘宽BD 为多少米？(结果保留根号)运算技巧总结：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在△ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝．⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为．⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为．分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来中考链接：（2011昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则AD=（2008昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB= 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则DB 的值为_________第9题图E D CBA题型三：实际问题中应用勾股定理例4.如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m．AB CDE分析：根据题意建立数学模型，如图8AB=m，2CD=m，8BC=m，过点D作DE AB⊥，垂足为E，则6AE=m，8DE=m练习1.如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．练习2.一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距海里．练习3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度为米．练习4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为________．A D E练习5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草．练习6.如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？题型四：折叠类问题（解决折叠问题的关键是寻找图中相等的线段）例5.已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A.6B.8C.10D.12练习1.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？• A BE FD中考链接：（2012昆明，22改编，4分）如图，把矩形ABCD 沿直线MN 折叠，D 点与B 点重合，连接BM 、DN. 若AB=2，AD=6，求MD 的长．（2014昆明，14改编，3分）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EF=cm ．（2015昆明，22改编，4分）如图，AH 是圆的直径，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．若CD=10，EB=5，求圆的直径．第14题图Q H GFE DCBA6.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边．①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形．②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边．7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：D CB A ADB CDCAB题型五：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为直角三角形．① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =练习1.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？练习题型六：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例7.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =．D CBA练习1.如图,已知:∆ABC 中,CD ⊥AB 于D, AC=4, BC=3, BD=59 (1) 求CD 的长;(2) 求AD 的长;(3) 求AB 的长;(4) 求证：∆ABC 是直角三角形．。

八年级勾股定理讲义

勾股定理一．知识点拨勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9，40,41；9,12,15；3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二．题型精析题型一直角三角形中已知两边，求第三边。