离散数学试卷(2012年)
三峡大学603离散数学2012年真题
第1页共2页三峡大学2012年研究生入学考试试题(A 卷)科目代码：603科目名称：离散数学（考生必须将答案写在答题纸上）1（10分）求r p q p ⌝∧→∨的主析取范式和主合取范式。
2（10分）用真值表判断公式))()(())((r p q p r q p →→→→→→是否为永真式。
3（10分）给定解释I ：定义域D 为自然数集，0=a ，y x y x f +=),(，xy y x g =),(，谓词),(y x P 为“y x =”。
在解释I 下，求公式))),,(()),,(((x a y g P y a x f P y x →∀∀的真值。
4（10分）构造下面推理的证明：前提：))()((x Q x P x ∨∀，)(x P x ⌝∃，))()((x R x Q x ∨⌝∀，))()((x R x S x ⌝→∀结论：)(x S x ⌝∃5（10分）化简下式：)))()((()(D C D C B B A 6（10分)设R 是A 上一个二元关系，)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个。
证明若R 是A 上一个等价关系，则S 也是A 上的一个等价关系。
7（15分）+∈Z n ，},1,,2,1,0{n n X -= ，X X A ⨯=，定义A 上关系R 为><><d c R b a ,,当且仅当(i)c a <，或者(ii)d b c a ≤=,。
（1）证明R 是集合A 上的偏序关系；（2）确定偏序集),(R A 的所有极大元和极小元；（3）若1=n ，求出偏序关系R 。
8（15分）设},,,,,,,{},,,,{><><><><==d c c b a b b a R d c b a A （1）求R 的关系矩阵和关系图；（2）利用关系矩阵运算求R 的传递闭包。
《离散数学(本)》试卷分析
《离散数学（本）》试卷分析一、定量分析（一）试卷结构1、客观题单选题共 5 题，总分值 15 ，占全卷比例 15%填空题共 5 题，总分值 15 ，占全卷比例 15%2、主观题逻辑与公式翻译共 2 题，总分值 12 ，占全卷比例 12%判断说明题共 2 题，总分值 14 ，占全卷比例 14%计算题共 3 题，总分值 36 ，占全卷比例 36%证明题共 1 题，总分值 8 ，占全卷比例 8%（二）题型及章节分布（三）章节、题型分值分布（四）卷面及格率统计二、定性分析（一）教学与考试的相关度在同一考纲的指引下、统一使用中央电大教材、练习题。
平时教学辅导与考试范围吻合。
试卷内容都在考试大纲和期末复习指导及练习题范围的覆盖下，教学大纲、复习指导、练习与考试内容三者目标基本一致。
（二）试题特点本次试卷的题型分为6种：填空题15；单项选择题15分；逻辑与翻译题12分；判断说明题14分，计算题36分，证明题8分。
绝大部分试题难易程度适当，与教学要求一致；注重学员能力的提高，符合成人教育提高学员分析问题的能力的基本要求；区分度合理；试题类型、基本知识、基本理论、基本方法的比例符合本学科特点。
能够达到科学考察课上学习效果、平时知识积累的目的。
题量适当，考生能在规定时间完成答卷。
（三）学生复习及考试情况多数学生在学习期间都比较认真，积极参加集中辅导和网上辅导，能够独立完成作业，及时地进行自学，达到了预期的部分效果。
考生整体的答题情况较为合理，多数考生都能够把握住大多数考点。
（四）阅卷情况整个阅卷过程程序规范，教师资格符合要求，评分标准统一，保证了阅卷的公正性，每位阅卷老师严格按照试题要求仔细批阅，阅卷质量能够得到保证。
三、问题及对策1、问题（1）有些学生的初等数学基础较差，学习这门课程比较吃力。
（2）学生供学矛盾突出，到课率不高，数学知识的逻辑性比较强，不坚持连续听辅导课，知识不能很好衔接，出现断条，为后学知识学习和知识的系统掌握带来困难。
2012离散数学II2试卷A答案
中国民航学院2012－2013 学年第 1学期《离散数学》期末试卷A课程编号：03401519 试卷类型： 考试形式：闭卷 考试日期：2012年12月28日(15:30-17:30) 南3-203，211注意事项：1.试卷答在答题纸上，后一页为草稿纸，可以撕下；2.不准携带任何书籍、资料、纸张等。
一 (30分) 选择 (答案写在答题纸上)1）下列运算中，哪种运算关于整数集不能构成半群()(1) a 。
b-max (a, b):(2) a 。
b=b;(3) a 。
b=2ab; (4) a 。
b=∣a-b ∣ 答案:〔(4)〕 2）设I 是整数集，+，·分别是普通加法和乘法，则〈I ，+，·〉是(1)域(2)整环和域 (3)整环;(4)含零因子环.答案〔(3)]3）下面哪个哈斯图表示的偏序关系不能构成格如图1-1所示()d fc (1) (2)d f (3) (4)图 1-1答案:〔(2))4）给定无向图G=(V,E)如图1-2所示，则其割点为（)a1a6a5a3图 1-2(1) a1； (2)a5； (3 )a4； ( 4)a6 ,.答案:[(3)]5）图1-3中哪一个图可一笔画出()(1)(2)(3) (4)图 1-3答案:[(1)」6）完全图K 4的所有非同构的生成子图中有几个是3条边的(1) 1 ;（2）3; :( 3) 4 ;（4）2 答案:〔(2)〕二(20分)填空(答案写在答题纸上)1）设(G ,*)是非零实数乘法群，f:G →G 是同态映射F(x)=1/x ，则f(G)=__,ker(f)=__答案.(G: {1}]2）有限群的阶数为____时，它无非平凡子群，根据_______答案〔素数;拉格朗日定理〕3）在任何图G=(V .E)中。
结点v 的度数为____________图G 的最大度△(G)=____________________.图G 的最小度δ(G) =________________________ 答案.[结点u 关连的边数,max{deg(v)︱v ∈V};min{deg(v)v ∈V))4）G是有向图，当且仅当G中有一条至少通过每个结点的回路.G为____________________图.当R仅当G中有一条通过每个结点的路时，G为________________________图答案:〔强连通，单侧连通]三简答题(30分)1) (10分) 一个群能否同构于它的一个真子群?为什么?解:一个群能同构于它的一个真子群.例如:<I,+>是群.若令E={偶数}，则<E.+>是<I,+>的真子群，设f：I→E,f(k)=2k,则<I.+>与<E,+>同构，即<I,+>≌<E,+>2) （10分）设a，b，c，d是格<L,∧,∨>的任意四个元，证明：(a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c)证明：⑴∵ a≤a∨b a≤a∨c ∴a ≤(a∨b)∧(a∨c)∵ b∧c≤b≤ a∨b b∧c≤c≤ a∨c∴ b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c)于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c)由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
2012年全国各高校离散数学试题
2012年各高校离散数学试题答案一、填空（每题5分共20分）1、数集A={1,2,3}与运算“min ”构成的代数系统的单位元是 3 。
2、一个连通的(n,m)平面图的面数为k ，则m ，n ，k 满足的Euler 公式为 n-m+k=2 。
3、设T 是一棵完全二元树，有n 个结点，n 0片树叶，则n 和n 0满足如下的公式 2n 0-1。
4、减法“-” 不是 正整数集N 上的二元运算。
二、单项选择（每题5分共10分） 1.⊆ρI ×I, i 1ρi 2⇔ ︱i 1-i 2︱≦10,则ρ是 b 。
(a) 反自反的；(b)对称的；(c)反对称的；(d)传递的。
2. 下列各图是Euler 图的是 d。
（a ） （b ） （c ） （d ） 三、设A={1},B={2,3},求A ×2B(8分)。
解：因}}3,2{},3{},2{,{2φ=B ， 4分 则})}3,2{,1(}),3{,1(}),2{,1(),,1{(2φ=⨯B A 。
8分 四、证明：集合论中的德·摩根律：(A ∩B)/=A /∪B /(8分)。
证 )B A (a '⋂∈∀,则B A a ⋂∉,所以B a A a ∉∉或,即B a A a '∉'∈或, 2分 因此B A a '⋃'∈, 故B A B A '⋃'⊆'⋂)(. 5分 同理B A a '⋃'∈∀,则B a A a '∉'∈或,所以B a A a ∉∉或,因此B A ⋂∉a , 7分 即)B A (a '⋂∈∀, 故)('⋂⊆'⋃'B A B A . 8分 五、设X={1,2,3,4}上的关系R={(1,1)，(2,3)，(3,2)}, 求R 的传递闭包t(R)。
(10分)。
解法一==R R R 2)3,3(),2,2(),1,1{(， 3分==R R R 23{(1,1)，(2,3)，(3,2)}， 5分 R R R 34==)3,3(),2,2(),1,1{(， 7分则=⋃⋃⋃=432)(R R R R R t )3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1{( 10分 解法二⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000001001000001R M ，(3分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧=00000100001000012R R R M M M ， (4分) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∧=000000100100000123M M M R R (5分)，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧=000001000010000134M M M R R (6分) 则432432)(R R R R R R R R t M M M M M M ∨∨∨==⋃⋃⋃⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000011001100001,(7分) 因此=)(R t )3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1{(。
2012年大学《离散数学下》试卷A
安徽大学20 10 —20 11 学年第 2 学期《离散数学(下)》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）考场登记表序号一、单选题（每小题2分，共20分）1、设>< ,G为群，其中G是实数集，运算 为kbaba++=，k为G中固定常数，则在群>< ,G中，关于运算 的幺元以及元素x的逆元分别为（）A．e和x- B．-e和xk- C．k和kx2- D．k-和)2(kx+-2、设f是>*<,G到>⊗<,H的群同态，那么下列命题错误的是（）A．同态f的核是>*<,G的正规子群 B．>⊗<),(Gf的幺元必是>⊗<,H的幺元C．>⊗<),(Gf的零元可以不是>⊗<,H的零元 D．同态象>⊗<),(Gf是>⊗<,H的子群3、设21:RRf→是环同态满射，baf=)(，那么下列结论错误的是（）A．若a是零元，则b是零元 B．若a是幺元，则b是幺元C．若a不是零因子，则b不是零因子 D．若2R是不交换的，则1R不交换4．设 R为实数集合，2(),,aM R a b R Rb⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为实数域关于矩阵的乘法运算( )A.可交换且有幺元B.可交换且无幺元C.不可交换且有幺元D.不可交换且无幺元5．下面哈斯图为分配格的是（）A. B. C. D6．在布尔代数1,0,',,,⊕*B中任取两元素ba,，下列命题与a b≤不一定等价的是（）题号一二三四五六七总分得分阅卷人院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分A.*a b a =B.a b b ⊕=C.'*0a b =D. '1a b ⊕=7．布尔代数,*,,',0,1B <⊕>上定义的n 元布尔表达式所对应的不同主析取范式总个数为（ ） A.2nB.||||nB B C.2||nB D.||n B8．设G 是连通平面图，G 中有6个顶点8条边，则G 的面的数目是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．3个 D ．5个 9．下列各图不是哈密尔顿图的为( )A. B, C. D.10．完全二部图4,5K 删去（ ）条边可以得到树。
2离散数学
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x）F（x）→G（x）前提引入(2) F（y）→G（y）US（1）．14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．16．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={<x，y>|x∈A，y∈A 且x+y≤3}，试求R，S，R∙S，R-1，S-1，r(R)．17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G是G的补图)．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P∧⌝Q．（6分）12．设P：今天下雨，（2分）⌝P．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误．（3分）（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．错误．（3分）集合A的最大元不存在，a是极大元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（P∨Q）→（R∨Q）⇔⌝（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）⇔(⌝P ∧⌝Q )∨（R ∨Q ）⇔(⌝P ∨R ∨Q )∧(⌝Q ∨R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式（12分）16．R =∅, （2分） S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分） R ∙S =∅，（6分）R -1=∅，（8分） S -1= S ，（10分） r (R )=I A ．（12分） 17．（10分）权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分） 因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数，（6分） 所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等．（8分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式． 12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试ο οο ο ο ο ο ο ο1 2 23 34 75 12（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试 （1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分） 11．设P ：今天考试，Q ：明天放假．（2分） 则命题公式为：P ∧Q ．（6分）12．设P ：我去旅游，Q ：我有时间，（2分）则命题公式为：P →Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分） 13．错误．（3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图．（7分） 14．错误．（3分）集合A 的最大元与最小元不存在， a 是极大元，f 是极小元，．（7分） 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）∃x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→，（3分）∀z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分） （2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ，（9分）约束变元为x 与z ．（12分） 16．（1）A -B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分） （3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100（6分） （3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，（1分） 因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，（3分） 所以A ⊆B ．（5分）设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，（6分）因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．（7分） 故得A=B ．（8分）试卷代号：1009国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题（半开卷）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）一、单选题：在下列各题的备选答案中选择一个正确的。
2012-2013(1)离散数学试卷及答案B卷
浙江工业大学期终考试命题稿2010 /2011 学年第 1 学期命题注意事项：一、命题稿请用A4纸电脑打印，或用教务处印刷的命题纸，并用黑墨水书写，保持字迹清晰，页码完整。
二、两份试题必须同等要求，卷面上不要注明A、B字样，由教务处抽定A、B卷。
三、命题稿必须经学院审核，并在考试前两周交教务处。
浙江工业大学2012/2013 学年第1学期试卷课程＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿一、选择 15分（每小题 3分）1．下列语句是命题的是（ A ）。
A、离散数学是重要的一门必修课。
B、1+101=110？C、我正在说谎。
D、全体起立！2．图的邻接矩阵为( C )。
A、 B、 C、 D、3．下列排列能构成图的顶点度序列的是（ A ）。
A、1,2,2,3,4B、2,3,4,5,6,7C、2,1,1,1,2D、3,3,5,6,04．设，则IA =（ D ）。
A、 A ；B、A×IA；C、IA×A；D、。
5．下述命题公式中，是重言式的为（ C ）。
A、；B、；C、；D、。
二、填空题15分（每小题 3分）1已知一棵无向树T有三个3度顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点, 则T中有 5 个1度顶点。
2．设A={1，2，3，4}，A上二元关系R={<2,2>,< 2,3>, < 3,2>, <3,1>}，则S(R)={<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,1>,<1,3>}。
3．A={1，2，3，4，5，6}，A上二元关系，则用列举法给出T={<2,1>,<3,1>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<4,2>,<6,3>,<5,1>, <6,2>}。
2012-2013年离散数学A卷
一、选择题（每小题 2 分，共 20分）1.下列命题为假．命题的是（）A.如果2是偶数，那么雪是白的B.如果2是偶数，那么雪是黑的C.如果2是奇数，那么雪是白的D.如果2是奇数，那么雪是黑的2．谓词公式∀x(P(x)∨∃yR(y))→Q(x)中变元x是（）A.自由变元B.约束变元C.既不是自由变元也不是约束变元D.既是自由变元也是约束变元3.若个体域为整数域，下列公式中值为真的是（）A.∀x∃y(x+y=0)B.∃y∀x(x+y=0)C.∀x∀y(x+y=0)D.⎤∃x∃y(x+y=0)4.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（）A.P⊃QB.P⊇QC.Q⊃PD.Q=P5．设A, C, B, D为任意集合，以下命题一定为真的是（）A. A∪B= A∪C =>B=CB. A×C= A×B =>B= CC. A∪(B×C) = (A∪B)×(A∪C)D. 存在集合A,使得A ⊆ A ×A6．半群、群及独异点的关系是（）A.{群}⊂{独异点}⊂{半群}B.{独异点}⊂{半群}⊂{群}C.{独异点}⊂{群}⊂{半群}D.{半群}⊂{群}⊂{独异点}7．设集合A={1，2，3}，下列关系R中不．是等价关系的是（）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}8. 函数f:R→R,f(x)= x2-2x+1,则f(x)是（）函数。
苏州大学2012年离散数学期末考试题及答案
苏 州 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第二学期期末考试《 离散数学 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分 注：P={1,2,3,….}1.(6’)用题中所提供的变元将下面一段论述转化成命题公式，然后给出形式化证明。
如果天气干燥，那么我将去远足或游泳。
我去游泳当且仅当天气暖和。
所以，如果我没去远足，则天气是潮湿的或暖和的。
(d, h, s, w)2.(5’)判断下列两个谓词蕴含式的逻辑值。
如果逻辑值为F ，须举例予以说明【或者通过定义一个恰当的谓词说明，或者在一个小的论域上（如U={a,b}）通过给变元赋真值验证】。
(a)),(),(y x p y x y x p x y ∀∃⇒∃∀。
(b) ),(),(y x p x y y x p y x ∃∀⇒∀∃。
3.(6’)设A={1, 2, 3}，},{},{是奇数，是偶数n P n n C n P n n B ∈=∈=.(a) 求的值确定C B C B C B B A ⊕⋃⋂⋂,,,。
(b) 列出A 的所有子集。
(c) A C C A C A B A --⊕⊕,,,中哪些是无穷集合？4.(6’)从集合{1,2,3,…,1000}中随机取一个整数，该整数至少能被4,5或6中的一个整除的概率是多少。
5.(5’)整数集合Z 上的关系R 定义如下：(m ,n )∈R 当且仅当)5(mod 033≡-n m .判断R 是否满足自反，反自反，对称，反对称和传递属性。
R 是否为等价关系？6.(5’) 设R 1和R 2是集合S 到T 上的关系，R 3是集合T 到U 上的关系。
证明：3231321)(R R R R R R R ⋃=⋃7.(8 ’) 集合S ={1,2,3,4,5}上关系R 的关系矩阵是：--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------000000010000000111010000=A ，写出下列闭包运算的布尔矩阵：(a)r(R)；(b)s(R)；(c)rs(R)；(d)sr(R)；(e)tsr(R)；(f)列出tsr(R)的等价类；(g)画出与关系R 对应的关系图，并计算该关系图的可达性矩阵。
2012～2013学年第一学期__离散数学__A卷_(2)
上海第二工业大学（试卷编号：）2012～2013学年第一学期离散数学A 卷姓名：学号：班级：成绩：一、判断题（每小题2分，本题共10分） 1、若A B A C =，则B C =。
( 错 ) 2、设1ρ和2ρ是集合A 上的等价关系，则12ρρ是A 上的等价关系( 对 )3、若函数:f A B →，:g B C →，则若f 与g 的复合gf 是双射，则函数f 是双射。
( 错 )4、在有界格中，必有最大元和最小元。
( 对 )5、存在13个结点，并且每个结点的度均为3的图。
( 错 )二、填空题(每空2分，本题30分) 1、设集合{,{}}A a b =，{,}B a b =，则22AB =_______{空，{a}}________________，B A ⨯=_________{(a,a),(b,a),(a,{b}),(b,{b}}________________。
2、若{1,2,3,4}A =，则A 上共有___11_______个不同的自反关系。
3、假设{0,1,2,3}A =，1{(,)|2}i j j i ρ==+和2{(,)|2}i j i j ρ==+是A 上的关系，则12ρρ=_____{(0,0),(1,1)}__；21ρρ=___{(2,2),(3,3)}；关系1ρ的自反闭包是：__{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(0,2),(1,3)}__；关系2ρ的对称闭包是：_{(1,3),(3,1),(2,0),(0,2)}_。
4、命题P ：“小李喜欢跳舞”，命题Q ：“小李不喜欢唱歌”，则复合命题P Q ⌝∧表示：____小李不喜欢跳舞且不喜欢唱歌_____________________。
5、设集合{1,2,3,4}A =，{,,,}B a b c d =，则A B ⨯有___16__个序偶，A 到B 有___256____个关系，其中有____24____个是双射函数。
上海海事大学2012年1月离散数学期末考试题
上 海 海 事 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《 离散数学 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分 注：N={0,1,2,3,….}1.(7’)用题中所提供的变元将下面一段论述转化成命题公式，然后给出形式化证明。
如果我的计算是正确的并且我支付电费账单，则我将花光所有的钱。
如果我不支付电费账单，电源将被切断。
所以，如果我没花完所有的钱并且电源未被切断，则我的计算是错误的。
(c, b ,r, p)2.(5’)将下列句子转化成谓词公式，并确定其真值。
注意，要约束所有变元。
使用量化词的时候，说明相应的论域；题中没有指定论域的，默认实数R 为论域。
(a)如果x <y 并且y <z ，则x <z 。
(b)对所有m , n ∈N ，存在p ∈N 使得m <p 并且p <n 。
(c)对每个n ∈N ,存在m ∈N 使得m <n 。
3.(6’)集合S 中有100个元素，S 的三个子集A ，B 和C 的大小分别是50,70和65.(a) 求C B A ⋃⋃可能的最小值。
(b) 求C B A ⋃⋃可能的最大值。
(c) 求C B ⋂可能的最小值。
(d) 求C B A ⋂⋂可能的最小值。
(e) 求)()(C A B A ⋂⋃⋂可能的最小值。
4.(5’)设N ×N 上的关系R 定义如下：((m ,n ),(p ,q ))∈R 当且仅当m ≡p (mod 3)或n ≡q (mod 5).(a) R 是自反的吗，说明理由。
(b) R 是对称的吗，说明理由. (c) R 是传递的吗，说明理由. (d) R 是等价关系吗，说明理由。
5.(5’)设R 是集合S 上的关系，证明：R 是传递的当且仅当R 2⊆R 。
6.(6’)集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8}上定义如下4个关系：(m ,n )∈R 1表示m |n ; (m ,n )∈R 2表示|m -n |≤2; (m ,n )∈R 3表示m +n 是偶数; (m ,n )∈R 4表示m +n 能被3整除。
双语离散数学期末考试_2012年春季_试卷A
电子科技大学2011 -2012学年第 2学期期 末 考试 A 卷课程名称： 离散数学 考试形式： 闭卷 考试日期： 2012 年 6 月 日 考试时长：120分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 20 %， 实验 0 %， 期末 70 % 本试卷试题由____ _部分构成，共_____页。
I.Multiple Choice (15%)1. (⌝p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) ⌝ p ∧q （ ） 2. If P(A) is the power set of A, and A = , what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216（ ） 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Tomorrow will be Friday. b) 2+3=4.c) There is a dog. d) Go and play with me.（ ）4. The notation K n denotes the complete graph on n vertices. K n is the simple graph thatcontains exactly one edge between each pair of distinct vertices. How many edges comprise a K 20?a) 190 b) 40 c) 95 d) 380（ ）5. Suppose | A | = 5 and | B | = 9. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 45 b) P (9,5). c) 59 d) 95（ ）6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x divides y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ?a) reflexive, symmetric, transitive b) reflexive, antisymmetric, transitive c) reflexive, symmetric, antisymmetric d) symmetric, transitive （ ）7. Which of the following are partitions of }8,7,6,5,4,3,2,1{=U ?a) }8,7,6,5,4,3{},3,2,1{},1{ b) }8,7,6,5,4,3{},3,2{},1{c) }8,6,5{},3,2{},7,4,1{ d) }8,7,6,5,4{},3,2{},2,1{（ ） 8. The function f(x)=3x 2log(x 3+21) is big-O of which of the following functions? a) x 3 b) x 2(logx)3 c) x 2logx d) xlogx （ ） 9.In the graph that follows, give an explanation for why there is no path from a back to a that passes through each edge exactly once.a) There are vertices of odd degree, namely {B,D}. b) There are vertices of even degree, namely {A,C}. c) There are vertices of even degree, namely {B,D}. d) There are vertices of odd degree, namely {A,C}.（ ） 10. Which of the followings is a function from Z to R ?a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 11)(2-=n n fII. True or False (10%)（ ） 1. If 3 < 2, then 7 = 6. （ ） 2. p ∧ (q ∨ r)≡ (p ∧ q) ∨ r（ ） 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . （ ） 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).（ ） 5. ()100h x x =+is defined as a function with domain R and codomain R.（ ） 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? （ ） 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .（ ） 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .（ ） 9. Every Hamilton circuit for W n has length n .（ ） 10. There exists a simple graph with 8 vertices, whose degrees are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.III. Fill in the Blanks (20%)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal” and “I rob banks”. Express in simple English the propositi on “if p then q”: .2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy ”, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y ) is .3. T he negation of the statement “No tests are easy.” is .4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is .5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is .6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg = . 7.The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is .9.There are permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. If G is a planar connected graph with 18 vertices, each of degree 3, then G has _ __regions. IV. Answer the Questions (32%)：1. Determine whether the following argument is valid: p → r q → r q ∨ ⌝r ________∴ ⌝p2. S uppose you wish to prove a theorem of the form “if p then q ”. (a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove? (b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove? (c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove?3. Prove that A B A B ⋂=⋃ by giving a proof using logical equivalence.4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).6.Solve the linear congruence 5x≡ 3 (mod 11).e the Principle of Mathematical Induction to prove that131 1392732nn+-++++...+=for alln≥ 0.8.Draw the directed graph for the relation defined by the matrix1111 0111 0011 0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qVI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst casetime complexity of this algorithm?VII. (5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union oftwo transitive relations is transitive.VIII.(6%) The pseudo-code of Prim’s algorithm is given as following:Procedure Prim(G: connected weighted undirected graph with n vertices)T := a minimum-weight edgefor i := 1 to n 2begine := an edge of minimum weight incident to a vertex in T and notforming a simple circuit in T if added to TT := T with e addedPrint eend {T is a minimum spanning tree of G}(a)Find a minimum spanning tree using Prim’s algorithm given above. For every iterative in for-loop, list theresult for “Print e” statement.(b)Compute the total weight of the spanning tree.。
2012离散数学A卷
3 2 1 ,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《Discrete Mathematics 》 ： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷； 本试卷共4 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
． Choose an answer to the following question. (10 x 2’ = 20’) ) B) x > 1.5 D) Help me. is true for all possible assignments of truth values to p q except for which assignment?( ) ）p false, q true B ）p true, q false ）p false, q false D ）p true, q true “No Computer Major is taking any courses ” where C(x) is the statement x is a Computer ) A ） B ） C ） D ） (4) Function f is defined as x x x f Z Z f 2)(,:-=→, so f is ( ) A ）onto B ） both onto and one-to-one C ）one-to-one D ） neither onto nor one-to-one (5) Supposed a binary relation R (Figure 1) on the set A = { 1, 2, 3 }, R is ( ) A) irreflexive, symmetric, non-transitive B) reflexive, antisymmetric, transitive C) irreflexive, antisymmetric, transitive Figure 1. D) reflexive, antisymmetric, non-transitive (6) Which of these arguments is true?( ) A) (P(S), subset of ) is a poset and also total ordered B) (Z +,|) is totally orderedC) The divisibility relation(可整除) “ | ” is a partial ordering on the set of positive integers.(Z+,|) is a poset.D) (N, >=) is well-ordered(7) (A⋃B)-C= ( )A) (A – C) ⋃ B B) (A-C)⋃(B-C)C) A – (B⋃C) D) (A-C)∩(B-C)(8) Which statement is correct?（）A) There are 2n 1s and n (n-2) 0s in the adjacency matrix for C n.B) C n is always bipartite .C) Q n has n2n edges and 2n vertices.D) K n has n (n+1)/2 edges and n vertices.(9) How many planar graphs in the following graphs? ( )A) 4 B) 3 C) 2 D) 1(10) Which statement is wrong? ( )A. If a directed graph is strongly connected, it must be an Euler graph.B. A graph with cut edge cannot be an Euler graph.C. If a graph is an Euler graph, it must be a strongly connected graph.D. A graph with cut vertex cannot be a Hamilton graph.2．Fill in the blanks. (10 x 2’ = 20’)(1) If p→q is true, the truth value of p∧q →q is(2) Let C(x): x is a computer. D(x): x is a peripheral equipment. P(x, y): x can communicate with y. Express the sentence “some computers can’t communicate with some peripheral equipment” as a logical expression as______________.(3) Let l be “Lois works late”, let j be “John works late”, and let e be “they willeat at home ”. Express the statement “If Lois or John do not work late, then they will eat at home ”__________________(4)A={ l ，m ，n }，B={ a ，b ，c }，C={ x ，y ，z }. R ：A→B ，S ：B→C ，and R={ <l ，b>，<m ，a >，<n ，c> }, S={< a ，y>，<b ，x> ，<c ，y>，<c ，z>}， SоR =______________.(5) A = { ∅, {∅}}, )(A ρ i s t h e p o w e r s e t o f A . )(A ρ=______________.(6) R is the real number domain. For x R ∀∈, ()2f x x =+, ()2g x x =- and ()3h x x =. Hence, ()h g f = _______________.(7) R is “ more than or equal to ” relation on Z ×Z ，then R -1=________.(8) R is the relation “brother or sister ”, xRy represents “x is the brother or sister of y ”, ① irreflexive ② reflexive ③ symmetric ④antisymmetric ⑤ transitive. R has the properties _____.(9) The complete bipartite graph K m, n has ____ cut edges.(10) The sum of the weights of the minimum spanning tree forthe graph in the right hand side is _____.3. Computation and Analysis. (6 x 6’ = 36’)(1) Prove the equivalence of predicate:()()(()())()()()()x y P x Q y x P x y Q y ∀∀→⇔∃→∀(2) Given the premises ⌝A ∨B, ⌝C →⌝B, C →D, how to get the conclusion A →D?(3) Suppose A = {a , b, c, d}, a relation on A is R = {<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}. Please use the zero-one matrix to find the transitive closure of R.0100101000010000R M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4)Can the following graph be drawn in one stroke ? Why ?(5) Find out whether G and H are isomorphic. No matter what the judgment is, please give your explanation and argument.(6) Use the ordered rooted tree to represent the expression ((3*x-5*(y↑2))↑5)/(a*((b↑3)-4*c))4.Application of Discrete Mathematics. (4 x 6’ = 30’)(1)Use inference to obtain conclusion from the premises.All the people who like walking do not like driving. Every person likes driving or riding. Some people don’t like riding. Therefore, some people don’t like walking.(2)Suppose R is a reflexive and transitive relation on A. T is also a relation on A, such that:<a，b>∈T <a，b>∈R and <b，a>∈RProve that T is an equivalence relation.(3) 6 people are supposed to accomplish 3 tasks in groups (2 people in one group). The people in the same group should cooperate with each other to accomplish the task. We now know each person could cooperate with at least other 3 people. Is that possible that all the tasks could be accomplished?(4) The roads represented by this graph are all unpaved. The lengths of the roads between pairs of towns are represented by edge weights. Which roads should be paved so that there is path of paved roads between each pair of town so that a minimum road length is paved?。
2012-2013离散数学试题答案
2012-2013离散数学试题答案2012-2013离散数学试题A 卷答案一填空题（每空3分）1.{}{}{}{}{}3,2,2,1,3,1；2. 6；3.42314321；4. 两个或零个奇数度结点；5. ()()x xB x xA ?→?；6. 偶数个；7.100111001；8.N 或阿列夫零 9. ()()y f x f ?二（本题10分）证明整数集合是可数的证：因为自然数集N 是可数的，所以只要证明N Z =即可，建立下面的一一对应关系：Λβββββββ-36352423-121100 -ZN （5分）即(),1,120,2≥-≤-=x x x x x f 其中Z x ∈. （3分）则有N Z =故整数集合是可数的（2分）三、（本题8分）求公式()P Q Q R →∧?→?)( 的主合取范式,并判断公式的类型.解()()P Q Q R P Q Q R ∨?∧?∨?→∧?→?)()( （2分）()()()()Q R P Q R P R Q P R Q P ?∨?∨∧?∨∨∧∨?∨?∧∨?∨?（4分）该公式是可满足式（2分）四、（每小题8分，共计16分）1.设图()m n G ,=是每个区域（面）至少由k 条边围成的连通平面图，证明 ()22--≤k n k m ，其中3≥k 证：1）因为 2=+-r m n ，m n r +-=2 （2分）2）又因为()r m r ri 32deg 1≥=∑= （2分）将1）代人2）整理得：()22--≤k n k m （4分） 2. 一个树T 有2个次数为2的结点，1个次数为3的结点， 3个次数为4的结点，问该树有几片叶？解设树T=()m n ,有x 片叶，因为 1=-m n （1）（1分）x x n +=+++=6312 （2）（1分） ()()122deg 1-==∑=n m v n i i（3）（2分） ()()x x n m v n i i+=+?++?=-==∑=1943322122deg 1（2分）即()x x +=+1952 （1分） x =9 （1分）五. （本题12分）设{}1-=Q S ,其中Q 为有理数集合，在S 上定义了二元运算“ο”，对于()y y x y x S y x +-=∈?1,,ο有. 证明: ()ο,S 是交换群. 证明：（1）结合律成立（略）（2分）（2）单位元素 =e 0 （3分）x e xe x e x S x =+-=∈?ο,，()01=-x e ，0=e（3）,S x ∈?有11-=-x x x （3分）因为 0111==+-=---e x xx x x x ο11-=-x x x 综上所述()ο,S 是群（1分）又()x y x yx y y x y x y y x y x S y x οο=+-=+-=+-=∈?1,,（2分）故()ο,S 是交换群. （1分）六、（本题8分）设()()*G ,, ,οS 是两个群，对于S a ∈?有e a f →:成立，其中e 是()*G ,的单位元素.1. 证明：()()*G , ,与οS 同态2. 求同态核 erf K1、证()()()b f a f e e e b a f S b a *=*==∈?ο,,，（4分）所以()()*G , ,与οS 同态（1分）2、因为e a f →:，即()e a f S a =∈?有,由同态核的定义知erf K =S （3分）七.（本题12分）设{}182,≤≤∈=x N x x A ，(){}y x A y x y x R 整除,,,∈=，{},6,4,2=B1、证明R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、求集合B 的极大元素3、求 B sup 、B inf1、证 1）x ,能整除x A x ∈?，所以()R x x ∈,故R 是自反的（2分） 2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈?，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ?,,故R 是反对称的（3分）3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈?即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的（3分）综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）2、集合B 的极大元素：4和6 （2分）3、 B sup =12B inf =2（2分）八.（本题7分）请用谓词推理理论证明()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨?证：1）()x F x ?? 附加前提（1分）2) ()c F ? T 1)ES （1分）3) ()()()x G x F x ∨? P （1分）（1分）4) ()()c G c F ∨ T 3)US （1分）5) ()c G T 2),4) 析取三段论（1分）6） ()x xG ? T 5)EG （1分）所以()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨? （1分）离散数学试题B 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. φ ;2.｛（1，1），（2,2），（3，3）｝；3.000000100；4. 15 ； 5 . ??=1 3 4 24 3 2 1σ ; 6. R Q P ?∨∨? , R Q P ?∧∧? 7. 从结点i v 到结点j v 长度为l 的路径的数目8. ()x xB A ?→二、（本题6分）设集合N A =,N N B ?=.N 是自然数集合，证明 B A =.证明：建立A B 到的一一对应关系，即：()()()()()()ΛΛββββββ0,251,142,031,021.010,00 （3分）()()(),21n m,f m n m n m ++++=其中()B ∈n m , （2分）故B A = （1分）三、（本题8分）求命题公式()Q R P R ?→?∧?∨?)( 的主析取范式，并判断公式的类型.解()Q R P R ?→?∧?∨?)(()Q R R P ?∨∧?∨?)(()R Q R P ∨?∧?∨?)(()()()R Q P R Q P R Q P R Q P ∨?∨?∧∨?∨∧?∨?∨?∧?∨∨?)(110010111101M M M M ∧∧∧?()7,6,5,2∏?主合取范式，（3分）主析取范式()Q R P R ?→?∧?∨?)(()∑?4,3,1,04210m m m m ∨∨∨?∨?∧?∧??)(R Q P ∨∧?∧?)(R Q P ∨?∧∧?)(R Q P )(R Q P ?∧?∧（3分）在主析取范式中，仅含有4个最小项，故该公式是可满足式.（2分）四、（17分，其中1题9分）1. 对于图G（1）图G 是欧拉图还是哈密顿图，为什么？（2）图G 是否为平面图，为什么？图G（3）图G 是否为二部图，为什么？解（1）图G 是哈密顿图，不是欧拉图. 因为图G 的每个结点的度数都是奇数，由欧拉图的充要条件知：图G 不是欧拉图；图G 的不相邻结点的度数之和等于6，由哈密顿图的充分条件知：图G 是哈密顿图（3分）（2）不是平面图，由库拉拖夫斯基定理知：图G 不是平面图.（3分）（3）图G 是二部图，它是3,3k 图.（3分）2. 一颗无向树有7片树叶，其余的结点次数均为3，求T 的阶数，并画出两个不同构的树.解设()1,-=n n T ，（2分）()()122deg 1-==∑=n m v ni i（2分）分）()()373712-=-+=-n n n 12=n （1分）1分）五、（本题12分）在有理数集Q 上定义二元运算*, ,,Q y x ∈?有xy y x y x -+=*1. 求()52-*2. 问()* , Q 是独异点还是群？为什么. 解 1、()52-*=2+（-5）-2（-5）=-3+10=7 （2分） 2、()* , Q 是独异点，不是群（1）结合律成立（2分）（2）单位元素0=e （3分）由,1），（2）知：()* , Q 是独异点（3）Q x ∈，0111==-+=*---e xx x x x x （3分）即11-=-x x x ，当1=x 时，11-不存在故()* , Q 不是群（2分）六、（10分）设()ο , G 是9阶循环群，找出()ο , G 的所有的生成元素. 解：设{}8320,,,,,a a a a e a G Λ== （1分）因为()69=φ （2分）所以生成元素是：a ,87542,,,,a a a a a （1分）a 显然是生成元素（1分） ()()()()()()()()716825147231262105284263242221202,,,,,,,)(a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e a =============（1分）,)(04e a =，414)(a a =，824)(a a =，3391234)(a a a a a ===ο，71644)(a a a ==，()()()53284746246422054,,,)(a a a a a a a a a a a ======= （1分）同理可得：875,,a a a 都是生成元素，（3分）七、（本题12分）设A=｛121,≤≤∈i N i i ｝,定义A 上的关系R=｛()y x A y x y x 整除,,,∈｝，B=｛2，3，6｝（1）证明 R 是A 上的偏序关系（2）求B 的极大元素和最大元素（3）求B B inf ,sup .解（1）证明 R 是A 上的偏序关系证 1）x ,能整除x A x ∈?，所以()R x x ∈,故R 是自反的（2分）2）x ,y x y,,,不能整除时当能整除y x A y x ≠∈?，即如果(),,R y x ∈那么()R x y ?,,故R 是反对称的（3分） 3）z x z,,y ,,,也能整除则能整除能整除如果y x A z y x ∈?即若(),,R y x ∈(),,y R z ∈则(),,R z x ∈故R 是传递的（3分）综上所述：R 是A 上的次序关系（偏序关系）（2）集合B 的极大元素： 6 最大元素：6 （2分）（3）B sup =6，B inf =1 （2分）八、（本题8分）在命题逻辑中构造下面的推理证明：S R R Q Q P ?∧?∨?→ , ,P ??证明：1） P 结论的否定引入规则（1分）2） Q P ?→ P3) Q ? T 1),2) 假言推理（2分） 4）R Q ?∨ P5) R ? T 3),4)析取三段论理（2分） 6）S R ?∧ P7) R T 6) 化简（1分）8) R R ∧? T5),7)合取引入（1分）因为0 ?∧?R R 矛盾式，由归谬法知，推理正确（1分）离散数学试题C 卷答案一、填空（每空3分，共27 分）1. {}b a ,2. 13. 剩余类加群4. 725. ()B x xA →?6.100110011 ; =-1R ( ()()(){}2,3,1,2,1,1 ; ()()(){}1,3,1,2,1,1 7是可数集二（本题10分）设Z 为整数集，证明：整数集Z 是可数的.证明：建立N Z 到的一一对应关系，即φ：--ΛΛββββββ352423121100 （3分）()?∈≥-∈≤-=Z x x x Z x x x ,1,12x 0,2且φ （2分）故Z ～N ,即整数集Z 是可数的（1分）三、（本题8分）求命题公式()()P Q Q P P ?∨??∧→∨? 的主合取范式，并判断公式的类型.解：主合取范式:()()P Q Q P P ?∨??∧→∨?()Q P Q P P ∧∧∨?∨??)( ()()()()()()Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P ∨?∧∨∧?∨∧∨∧∨??∧∧∨??)( ()()()Q P Q P Q P ?∨∧∨∧∨??.（6分）该公式的主合取范式含有3个最大项，那么该公式有一个成真赋值，故该公式是可满足式. （2分）四、（每小题8分，共计16分）1. 设G 是n )3(≥n 阶无向简单连通平面图图，证明：63-≤n m 证：因为 2=+-r m n ，n m r -+=2 （2分）r m rr i i 32deg 1≥=∑=，（2分）m r 32≤，（1分） n m m -+≥232 （2分） 231-≤n m 即：63-≤n m （1分）2. 设无向图()12,n G =有12条边，3度与4度结点各2个，其余的结点度数不超过3，问G 至少有几个结点.解242deg 1==∑=m vn i i ,（2分） ;（3+4）×2+3（n-4）24≥（2分）; n 322≥,（2分）; n 8≥（2分）五. （本题12分）设{}d c b a S ,,,=，S 上的运算“ο”定义如下表ο d c b ad cb abb a d b a dc ad c b d c b a 1. 证明: ()ο,S 是循环群.2. 求()ο,S 的生成元素1、证明：1）显然是可结合的（1分）2）单位元素a e = （ 2分） 3）b d c c d b a a ====----1111,,, （2分）故()ο,S 是群，（1分） 2、a b d b c b b b ====4321,,, （4分） b 是()ο,S 的生成元素，（1分）同理d 也是()ο,S 的生成元素，（1分）六、（本题8分）设Z 为整数集，n Z 2为偶数集，证明群()+,Z 与群()+,2n Z 同态，并求同态核.证明：设n Z Z f 2:→，即()Z z z z f ∈=,2，（2分） ()()()Z z z z f z f z z z z z z f ∈+=+=+=+2121212121,,22)(2 （2分）即f 是Z 到z Z 2得同态变换，则群()+,Z 与群()+,2n Z 同态. （1分）群()+,2n Z 的单位元素02=e ，只有()Z f ∈=?=0,0020 （2分）所以{}0=Kerf （1分）七.（本题12分）设{}5,4,3,2,1=A ,{}4,3=B ，偏序集合()R A ,的哈塞图如下图（1）下列关系哪个是真？12,25,45,33,51R R R R R（2）求集合B 极大元、极小元、B sup 、B inf 解（1）,33,51R R （4分）（2）集合B 极大元：3,4 （2分）集合B 极小元：3,4 （2分）B sup =｛5｝（2分） B inf =｛2｝（2分）八.（本题7分）证明下面的推理前提：()()()x Q x P x ∨?结论：()()()x xQ x xP ?→?? 证明：1）()()x xP ?? 附加前提（1分）2) ()x P x ?? T 1) 置换（1分） 3) ()c P ? T 2) ES （1分） 4) ()()()x Q x P x ∨? P 5) ()()c Q c P ∨ T 4) US （1分） 6） ()c Q T 3),5) 析取三段论（1分） 7) ()x xQ ? T 6)EG （1分）所以()()()()()x xG x F x x G x F x ?→∨? （1分）。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
东北大学离散数学考试试卷( B 卷)
东北大学考试试卷（B卷）2011—2012 学年第 1 学期课程名称： 离散数学总分 一 二 三 四 五 六 七 八一．将下面命题符号化(8分)1．如果天气好，我将去游乐场，否则我将呆在家中。
(P→Q)∧(¬P→R)2．只有计算机专业的学生和非大一学生才可以访问校园网。
R→(P∨Q)3．并非所有学习好的大学生都想成为科学家。
¬∀x((A(x) ∧B(x)) →C(x))4．尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
∃x(A(x) ∧B(x)) ∧¬∀x((A(x) →B(x))二．(10分) 填空(每空1分)1.（3分）A与B是全集E的子集,给定集合X={P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,Z},其中的元素都表示命题，如下所示：P: A－B=A Q:A∩B=B R:A⊆B S: A⊆∼B T: B⊆AU: ∼B⊆∼A V:A∩B=Φ W:A∪B=B Y: ∼A⊆∼B Z: B⊆∼A又令R是X上的命题等价关系,则商集X/R=({{P,S,V,Z},{R,U,W},{Q,T,Y}} )2.(每空1分)令R和S都是人类上的关系，且R={<x,y>|x是y的父亲} S={<x,y>|x是y的母亲} 则S o R表示( 祖母和孙子 )关系； R o S C表示( 夫妻 )关系。
3.(每空1分) 设f是从A到B的函数，g是从B到A的函数，如果f go是双射的，则f是__满___射的，g是__入___射的。
4.(每空1分)A,B是有限集合, P(A)表示A的幂集,已知|A|=3,|P(B)|=64,|P(A∪B)|=256, 则|B|=( 6 ), |A-B|=( 2 ), |A⊕B|=( 7 )。
三．(8分)写出命题公式P→((R→Q)∧(¬R→¬Q)) 的主析取范式。
解：P→((R→Q)∧(¬R→¬Q))⇔¬P∨((¬R∨Q)∧(R∨¬Q))⇔(¬P∨¬R∨Q) ∧(¬P∨ R∨¬Q)即命题公式的主合取范式中的大项为M6和M2所以其主析取范式中的小项有m0,m3,m4,m5,m6,m7即主析取范式为：(P∧R∧Q)∨( P∧¬R∧¬Q) ∨(¬P∧R∧Q) ∨(¬P∧R∧¬Q) ∨(¬P∧¬R∧Q) ∨(¬P∧¬R∧¬Q) 四．(15分)已知R1、R2是集合Ａ上的等价关系，问R1∪R2、R1∩R2、R1-R2、r((A×A)-R1)中哪些是A上的等价关系？如果不是说明理由，或举反例。
全国2012年7月高等教育自学考试离散数学试题
全国2012年7月高等教育自学考试离散数学试题全国2012年7月高等教育自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设P :他看电影，Q :他学习，将命题“他在学习或在看电影”符号化正确的是（）A.P →QB.P ∧QC.P ∨QD.Q →?P2.下列命题公式不是．．永真式的是( ) A.()P Q P →→B.()P Q →∨PC.P ?∨()Q P →D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（）A.()()()()x A x x A xB.()()()(())A x B x x A B x →→C.()(())()()x A x B x A x B ?→??→D.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（）A.()(()x A x ??∧())B xB.()(()x A x ??∧())B xC.()(()())x A x B x ??→D.()(()())x A x B x ??→5.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（）A.a X ∈B.{,}a X ??C.{{,}}a X ??D.{}X ?∈6.设A B B = ,则有（）A.A B A =B.A B -=?C.A B B =D.A B ? 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（）A.3B.4C.6D.88.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（）A.1a b b *=+B.1a b a *=-C.1a b ab *=-D.1a b a b *=++9.设是群，则下列陈述不正确．．．的是（） A.11()a a --=B.111()ab a b ---=C.n m n m a a a +=D.11()n n a ba a b a --=10.设:,:f X Y g Y Z →→是函数，则下列陈述正确的是（）A.若f 不是入射的，则g f 不是入射的B.若g 是入射的，则g f 也是入射的C.若f 是入射的，则g f 也是入射的D.若g f 不是入射的，则f 也不是入射的11.设简单图G 所有结点的度数之和为36，由G 的边数为（）A.6B.9C.12D.1812.下列无向图不一定．．．是树的是（） A.结点数比边数多1的连通图B.每对结点之间都有通路的图C.无回路但添加一条边则有回路的图D.无回路的连通图 13.设R 1,R 2是A 上的两个关系，s 为对称闭包，t 为传递闭包，则下列描述正确的是（）A.1212()()()s R R s R s R =B.1212()()()t R R t R t R =C.1212()()()s R R s R s R =D.1212()()()t R R t R t R =14.下列必为欧拉图的是（）A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图 15.设X =｛0｝，下列关于代数系统的陈述正确的是（）A.0是幺元B.?是幺元C.｛0｝是幺元D.没有幺元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项表示“属于”关系？A. ⊆B. ⊂C. ∈D. ⊇答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → q) → p答案：B3. 以下哪个选项是命题逻辑中的德摩根定律？A. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬qC. ¬(p → q) = p ∧ ¬qD. ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q答案：A4. 以下哪个选项是命题逻辑中的蕴含等价？A. p → q ≡ ¬p ∨ qB. p → q ≡ ¬q → ¬pC. p → q ≡ p ∨ ¬qD. p → q ≡ ¬p ∧ q答案：A5. 以下哪个选项是关系的性质？A. 反身性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D6. 以下哪个选项是图论中的有向图？A. 无向图中的边没有方向B. 有向图中的边有方向C. 混合图中的边既有方向也有无方向D. 所有选项都是答案：B7. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 树是无环的B. 树是连通的C. 树是无向图D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 所有选项都是答案：D9. 以下哪个选项是组合数学中的排列？A. 从n个不同元素中取出m个元素的组合B. 从n个不同元素中取出m个元素的排列C. 从n个相同元素中取出m个元素的组合D. 从n个相同元素中取出m个元素的排列答案：B10. 以下哪个选项是集合论中的幂集？A. 一个集合的所有子集的集合B. 一个集合的所有真子集的集合C. 一个集合的所有超集的集合D. 一个集合的所有子集的个数答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的等价命题是什么？答案：等价命题是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同真值的命题。
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离散数学2012年12月28 日
√√计科21101、21102、信科11001、11002
一二三四五六七八
一、单选题: (2分×10=20分)
1.设p:我们听课,q:我们打球.命题“我们不能既听课又打球”符号化为( ). A．┓p→┓q B．┓p∨┓q C．┓(p→q) D．p↔┓q
2.设个体域A={a,b},公式∀xP(x)∧∃yQ(y)消去量词后为( )
A.P(x)∧Q(y)
B.P(a)∧P(b)∧(Q(a)∨Q(b))
C.P(a)∧Q(b)
D. P(a)∧P(b)∧Q(a)∨Q(b)
3．设A={1,2,3}, 则A上的等价关系有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．设Z是整数集，+，·分别是普通加法和乘法，则〈Z，+，·〉是（）A．域B．整环和域C．整环D．含零因子环
5．Q为有理数集，·是普通乘法,则代数系统〈Q，*〉不能构成（）A．群B．独异点C．半群D．交换半群
6．N是自然数集，≤是小于等于关系，则〈N，≤〉是（）
A．有界格B．有补格C．分配格D．有补分配格
7．有限布尔代数的元素个数必定等于（）
A．2n B．2n C．n2D．3n
8．给定下列序列，可构成无向简单图的度数序列的是（）
A．1,1,2,2,3 B．1,1,2,2,2 C．0,1,3,3,3 D．1,3,4,4,5
9．任何无向图中顶点间的连通关系是（）
A．偏序关系B．等价关系C．非偏序关系D．非等价关系10．设D=〈V，E〉为有向图，V={a,b,c,d}，
E={<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,a>,< d,c>},则D是（）
A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．非连通图
二、求命题公式：┓(p∧q)→r的主析取范式和主合取范式及成真赋值。
(10分)
三．设A={1,2,3,4}上的关系R = I A∪{<1,2>, <1,3>,<1,4>,<2,4>}．
(1)写出R的关系矩阵；(2)求s(R)；(3)R是否为等价关系或偏序关系？（10分）
四.设V1=<R,+>, V2= <R*,⋅>，其中R是实数集，R*= R-{0}，+ 和⋅是普通加法和乘法，令f：R→R*, f(x)=e x，证明f 是V1到V2的单同态。
（10分)
五．下面的无向图是否为二部图？欧拉图？能一笔画吗？它是平面图，请画出它的一个平面嵌入。
（10分)
六、设A={1,2}, ⊕为对称差，则<P(A), ⊕>构成群.（10分)
（1）写出⊕的运算表；（2）求解方程{2}⊕X={1}；（3）求由A={1,2}生成的循环子群。
七.设A={1,2,3,4,6,12}是12的正因子集,≤是整除关系.(10分)
(1)画出偏序集<A,≤>的哈斯图；(2)该偏序集是否构成格？布尔代数？
八.给定有向图D如下,求D中:
（1）v1的出度和入度；（2）长度为4的通路总数；（3）v1到v4长度为3的通路条数；
（4）v
1到v
1
长度为4的回路条数；（5）D的可达矩阵。
（10分)。