简单的线性规划(1)
简单的线性规划9.20
7．4简单的线性规划（第一课时）二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?一、归纳猜想我们可以看到：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x +y -1=0分成三类：即在直线x +y -1=0在直线x +y -1=0的左下方的平面区域内； 在直线x +y -1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A （2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？问题2：请把A 、B 、C 、D 四点的坐标代入x +y -1中，发现所得的值的符号有什么规律？ （看几何画板） 由此引导学生归纳猜想：对直线l 的右上方的点（x ，y ），x +y -1>0都成立; 对直线l 左下方的点(x ，y ), x +y -1<0成立. 二、证明猜想如图，在直线x +y -1=0上任取一点P (x 过点P 作垂直于y 轴的直线y = y 0,在此直 线上点P 右侧的任意一点(x ,y ),都有x > x 0, y = y 0,所以, x +y > x 0+ y 0=0, 所以, x +y -1> x 0+ y 0 -1=0,1=0即x+y-1>0,因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点,所以,对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y), x+y-1>0都成立.同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，•（1）二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0则表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)（2）有等则实,无等则虚;（3）试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x -y +5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x -y +5>0所表示的平面区域.解:先画直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x -y +5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x -y +5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图所示. (看幻灯片) 反思归纳:(1)画线定界(注意实、虚线); (2)试点定域. 【随堂练习】（1）画出不等式x +y >0表示的平面区域； （2）画出不等式x ≤3表示的平面区域. （让学生完成）例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
3.3.3简单的线性规划问题(1)
我的记录空间：
3.3.3简单的线性规划问题（1）
一、学习目标
1.理解线性规划的基本思想；
2.掌握根据约束条件求目标函数的最值。
教学重点、难点：根据约束条件求目标函数的最值
二、课前自学
1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用。
2.问题：在约束条件410432000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？
分析：（1）作出约束条件所表示的平面区域-----可行域
（2）分析目标函数2P x y =+的几何意义。
（3）求出目标函数2P x y =+的最大值-----线性规划问题
三、问题探究
例1．设,x y 满足约束条件41043200
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
（1）求当,x y 分别为多少时，目标函数2z x y =-取得最值，并求出最值；
（2）求22z x y =+的最大值。
我的记录空间： 归纳：求z ax by =+22(0)a b +≠的最值方法。
例2．已知变量,x y 满足约束条件1422
x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数
(0)z ax y a =+>仅在点(3,1)处取得最大值，求a 的取值范围；
变题：若目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的点有无数个，求a 的取值
范围；
四、反馈小结
反馈：必修五P83 练习1,2,3
小结：。
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
简单的线性规划(一)
课题：简单的线性规划(一)教学目标：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2010年考试说明要求A 级。
知识点回顾：1. 二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则(1)若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的_____，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的______的区域；(2)若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的______，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的_____的区域；(3) 若B<0, 我们都把Ax +By +C ＞0（或＜0）中y 项的系数B 化为正值.2. 目标函数可转化为y 轴上截距的z=ax+by 最值问题。
课前训练：1. 设变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x+3y 的最小值为2. 在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为3. 已知点(,3)P a 在不等式组352504301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩所表区域内；则a 的范围是4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是5.若⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≥035,4,1y x y x y 表示的平面区域的面积6.图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示为 ．典型例题：若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中区域的面积为设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为课堂检测：1．已知点()2286,3424x y x y Q x y x y ⎧⎫⎧+<+⎪⎪∈⎨⎨⎬+>⎩⎪⎪⎩⎭，如果直线:20l ax y ++=经过点Q ，那么实数a 的取值范围是 ．2. 已知在平面直角坐标系xOy 中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，动点M(x,y) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，则−→OM ·−→OC 的最大值为 。
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
简单线性规划(一)教案
课题：简单线性规划（一）教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：CASIO图形计算器、多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式． 说明：（1） 学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣； （2） 放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二.深入研究， 探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察． 设建设中学教学楼面积为x 百平方米， 建设小学教学楼面积y 百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足：学生活动：学生合作交流，进行自主探究．1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩z ＝x ＋y预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x＋y的值进行比较，容易猜想出使z取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z的几何意义：把目标函数化成=-+的形式，这表示一组平行直线，而z表示的是直线的纵截距，通过平移直y x z线，当直线的纵截距最大时，z取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d=，把它化成x y+=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以=+=．从而到直线x + y =0z x y的距离最大的点就是使z取最大值的点．说明：（1）引导学生合作交流，主动寻求问题的解答；（2）培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识；（3）教师巡视观察，适当点拨；（4）教师配合学生的探究结果，利用“ClassPad 300计算机模拟软件”及“几何画板”进行动态演示．三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）；（2）约束条件（线性约束条件）；（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：碳水化合物蛋白质(kg) 脂肪(kg) 价格(元)(kg)A (1kg) 0．120 0．020 0．020 6B (1kg)0．096 0．032 0．020 8为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A 需要x kg ，食物B 需要y kg ，花费为z 元．则： z ＝ 6x ＋8y ． 满足： 说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步掌握解决简单线性规划问题的一般方法．5455865580.50x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩z ＝6x ＋8y0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.50x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩问题三：设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．目标函数 最小值 最优解 z ＝ y －x z ＝ 2x －3y z ＝ x ＋y说明：（1） 借助练习，落实知识的掌握；223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩（2）通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念．五. 回顾历史，感受文化“线性规划之父”——“丹齐克”“数学的战争”——“波斯湾战争”说明：通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值．六. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法．七. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 —练习1、2、3．思考题：34241x yx yx⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪已知：x、y 满足条件：求：z= x＋3y的最大值．说明：通过思考题中对变量必须为自然数的限制要求，引导学生思考对“整数规划”问题的继续自主探究，为后面的内容做好铺垫．《简单线性规划一》教案设计说明写在前面的话在准备本节课的过程中，新加坡--麻省理工学院联盟院士、新加坡国立大学企业管理学院决策科学系副教授、《亚太运筹学报》副主编孙捷的一段话引起了我的思考，他说：“在历史上，从来没有哪一种数学方法可以像线性规划一样，在实际生产生活中有着极其广泛的应用，为人类直接和间接地创造出如此巨额的财富，甚至对历史的进程产生影响”．因此我决定对简单线性规划部分的教学做一些尝试：通过实际问题创设情境，让学生体会到数学的应用价值，并通过借助信息技术主动探究问题的解决方法，进一步让学生体会研究数学问题的基本方法思想．下面针对本节课的整体设计做一些说明．一．关于教学思路和内容的确定本节课是在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．二．关于教学目标的确定根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订了教学目标．从知识层面上看，本节课与前面的内容联系紧密，是简单线性规划的第一节课，目的是让学生从实际问题出发建立数学模型，从中理解相关概念，并通过学生自主探究、教师总结点拨，初步掌握图解法．从能力层面上看，根据我校学生的实际情况，我确立了放手让学生利用图形计算器探究问题的教学策略，以培养学生体验、感受、掌握独立研究问题的能力为目标．并努力使学生在探究过程中，体会数学的严谨性、系统性，帮助学生建立严谨的科学态度，发展学生的创新意识和实践能力．同时，注意渗透数学的基本思想和方法．从情感态度层面上看，是想训练学生的探索精神，体会独立研究问题的乐趣和成就感，激发学习数学的兴趣．在教学过程中渗透数学文化，充分体会数学的文化价值．三．教学过程的设计根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式．在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程．[创设情境]《普通高中数学课程标准》（实验）中要求学生能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．经过仔细地考虑和研究，结合生活实际，我使用了“资金分配”和“食品配制”两个实际问题来创设情境，激发学生探究的兴趣．让学生体会数学与生活的紧密联系．[合作探究]问题提出后，教师不急于讲解，而是由学生合作解决，教师适当引导．这一环节中，列出“目标函数”，以及“图解法”的得出，都是学生可能碰到的“难题”．但我采取的是放手由学生去做，鼓励他们自己利用已有知识主动探究．同时，在探究过程中注重充分借助图形计算器和计算机辅助思维．[类比深入、落实双基]借助“问题二”、“问题三”，帮助学生巩固探究的结果，落实掌握．并在问题层层深入的过程中，涉及约束条件和目标函数的不同情况，让学生体会线性规划问题中最优解的几种不同可能性，使知识更加完整、严谨，落实知识的掌握与方法的理解．此外，在探究过程中，进一步训练学生分析问题、解决问题和总结归纳等能力．[历史回顾]在课的最后，我设计了一个“对线性规划历史背景简单介绍”的环节，并通过让学生课后查阅资料，渗透数学文化，体现人文精神．让学生逐步了解数学学科与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值；开阔视野，探寻数学发展的历史轨迹，提高学生的文化素养，激发学生在后续学习中继续探究的兴趣．[小结提升、后续铺垫]这一环节，主要由学生完成．引导学生从知识与方法两个方面进行小结．培养学生及时总结，概括提升的能力．而思考题是针对“整数规划”的一个设计．目的是让学生在引起了认知冲突后，在课后也能继续独立探究、思考，不但为后面的教学埋下伏笔，也让学生养成不断思考研究的习惯，有利于他们的持续发展．四．教学特点和效果分析线性规划主要是解决日常生活中遇到的求最优解问题.有的题目背景远离学生的生活空间，不同程度的影响了学生的求知欲望.我作课的时间是6月初，当时四川的震情牵动全国亿万人的心.我以灾后重建为背景，编写了问题一，学生感到问题不空洞，数学就在我们身边.并且感到解决好这个问题，也是我们向灾区献爱心的一种表现，学生的求知欲望倍增.问题二也取材于学生的生活空间，现在我们有80％的学生在学校吃营养配餐.在绿色奥运，营养健康的口号下，问题二更体现线性规划的广泛应用，学生在学习过程中，一种亲切感油然而生.技术的发展促进了学习方式的变革.在技术不普及的时候，学生学习这个内容只能单纯的听教师的讲解.现在学生可以自己动手操作，借助CASIO图形计算器可以画出由二元一次不等式组确定的平面区域，然后在限定区域内寻求最优解.学生通过自己的操作，对于问题的理解程度加深了，自我获得知识的成就感也会增加.我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式.通过课堂练习及课后作业，看到学生基本上能掌握利用图解法求解问题.课前制定的教学目标基本实现.。
3.3.2简单的线性规划(1)
结 论 : 形 如2 x y t ( t 0) 的直线与 2 x y 0平 行.
y
C
5
A:(5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C:(1.00, 4.40) x-4y+3=0
A
2.作出下列不 等式组所表示 的平面区域
B
O
1 5
3x+5y-25=0
x=1
x
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性 约束条件的解(x，y) 叫可行解； 可行域 ：由所有可行 解组成的集合叫做可 行域； 最优解:使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
(1,1)
2x+y=3
2x+y=12
x
3x+5y-25=0
直线L越往右平移,t 随之增大. 以经过点A(5,2)的直 线所对应的t值最大; 经过点B(1,1)的直线 所对应的t值最小.
2x y 0
Z max 2 5 2 12, Z min 2 1 1 3
线性 Z=2x+y称为目标函数,(因这 里目标函数为关于x,y的一 规划 次式,又称为线性目标函数 问题：
达到最小值。 可使 l 0平移过A点时， l 1
A
达到最大值。 解方程组可求得A(5,2) 22 C (1, ) 5
3x+5y-25=0
-1 O
3
4
5
6
7
x
-1 注意：直线取最大截距 l 0 l2 时，等价于 1 z 2 取得最大值，则z取 22 39 z 1 2 得最小值 min
简单线性规划(一)
简单线性规划（一）预习案一、 自学教材，思考下列问题1．对于变量x 、y 的约束条件，都是关于的一次不等式，称其为 ；z=f(x,y)是欲达到的最值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫 。
当z=f(x,y)是关于x 、y 的一次函数解析式时，z=f(x,y)叫做 。
2．试说明可行解、可行域、最优解的关系。
二、 一试身手1．在直角坐标系xOy 中，△AOB 三边所在直线方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB 的内部和边上的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为（ ） A ．95 B ．91 C ．88 D ．752．变量x 、y 满足下列条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=+≥+≥+0,024*********y x y x y x y x ，则使y=3x+2y 的值最小的最优点坐标为（ ）A ．（4.5，3）B ．（3，6）C ．（9，2）D ．（6，4）导学案一、 学习目标1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值． 二、 学习过程（1） 课内探究 问题情境1．问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示． 其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元． 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）． （2） 典型例题例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．例2．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．例4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：资 金 （百万元） 场 地 （平方米） 利 润（百万元）A 产品 2 2 3B 产品 3 1 2 限 制 14 9 然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解总结：解线性规划应用题的一般步骤：（3） 当堂检测 一．选择题：1．在△ABC 中，三个顶点A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则z=x －y 最大值为（ ）Ａ．1 Ｂ．－３ Ｃ．－1 Ｄ．32．已知x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥≥≤+320152y x y x y x ，则x y 的最值是（ ）Ａ．最大值2，最小值1 Ｂ．最大值1，最小值0Ｃ．最大值2，最小值0 Ｄ．有最大值，无最小值3．设x 、y ∈R ，则满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--≥+04240530222y x y x y x y x 的点P(x,y)所在的平面区域面积为（ ）Ａ．π89 Ｂ．π2 Ｃ．π3 Ｄ．π827二．填空题：4．变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x ，则使得z=3x-2y 的值最大的（x ，y ）为__________．5．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ．如果想使题目中的目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
简单的线性规划(一)
课题：7.4 简单的线性规划(一)授课人：石家庄市第一中学孟庆善教材分析：本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件．使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣．教学目标：1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2. 掌握根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域的方法，培养学生作图的能力．3．让学生通过观察、联想，体验数学的作用，培养学生学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勇于探索和团结协作的精神。
教学重点：二元一次不等式表示平面区域．教学难点：1．二元一次不等式表示平面区域；2．根据二元一次不等式（组）正确做出平面区域．教法分析：师生互动，探究、研讨、辨析、总结鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．教学过程：小结：1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法．作业：1．阅读教材Ｐ63－Ｐ65；2．习题7.4 1．。
高中数学：简单线性规划(1)-可行域上的最优解
14
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意,列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确；
4）在可行域内求目标函数的最优解 法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解 落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)
x 1
时,求z的最大值和最小值.
3
思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数
的最大、最小值？
点的可目以y标通函过数比值较大可小行得域到边。界顶
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00)
C C: (1.00, 4.40)
5
x-4y+3=0
所 表 示 的 区 域. 2.作直线l0 : 2x y 0
3.作 一 组 与 直 线l 0 平 行 的 直线l : 2x y t, t R
A B
直线L越往右平移,t 随之增大.
O1
x 以经过点A(5,2)的
5
3x+5y-25=0
直线所对应的t值
x=1
最大;经过点B(1,1)
2x+y=300
A 125
O
300x+900y=112500
C x+2y=250
150 B 250
答案：当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0.
简单线性规划(1)
2012-12-26
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）2ｘ＋５ｙ≥1０ （3）４ｘ－３ｙ≤１２
Y Y Y
2
O
3
X
2
O
X
5
O
3 -4
Hale Waihona Puke X（1）（2）
（3）
例2：画出不等式组
Y
x y 5 0 x y 0 x 3
表示的平面区域
x+y=0
Y
3
O
2
3
X
2.由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所 围成的平面区域如下图：
则用不等式可表示为:
y x x 2 y 4 y 2
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应 画成虚线，否则应画成实线。 2、画图时应非常准确，否则将得 不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域” 方法的内涵。
第一节
二元一次不等式表示平面区域
提出问题—引入新课 解决问题—得出结论 典型例题分析与练习 课堂小结与课外作业
y
o
x
点 的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示 什么图形？ 点的集合{（x，y）|x-y+1>0} 表示什么图形？
想 一 想 ？ 在平面直角坐标系中,
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x，y）， x-y+1＞0 成立． （2）对直线L左上方的点（x，y）， x+y-1＜0 成立．
求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表 示的平面区域的面积.
（3）注意所求区域是否包括边界直 线．
人教版高中数学必修5-3.3《简单的线性规划(第1课时)》教学设计
3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)(名师：陈庚生)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？。
简单线性规划(一)
简单的线性规划（一）教学设计一、教材分析本节课是在学习了直线方程和二元一次不等式表示平面区域的基础上,介绍直线方程的一个简单应用。
中学所学的线性规划只是规划论中极小的一部分,但这部分内容也能体现数学的工具性和应用性，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法——数学建模法。
另外，简单的线性规划问题中的可行域，实际就是一个二元一次不等式表示的平面区域，因而解决简单线性规划问题是以二元一次不等式表示平面区域的知识为基础的，故本节课又有着承前启后的作用。
二、教法分析适宜采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。
三、学法分析互相讨论、探索发现。
由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.四、学习目标分析知识与技能：1．了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值和最小值．3．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法．过程与方法：在学生独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法－－图解法．情感与态度：1．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．体会不等式（组）刻画不等关系的意义和价值．2．体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．3．通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的使用价值．增强应用意识，提高实践能力．五、教学重、难点重点：用图解法求线性规划问题的最优解．难点：对用图解法求线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．六、所需材料及资源1、多媒体课件2电脑，投影仪，直尺等七、教学过程：[情境导入] 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲种产品需要A 种原料4t 、B 种原料12t ，产生的利润为2万元；生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t 、B 种原料60t ，如何安排生产才能使利润最大？ [第一步]设分别生产甲、乙两种产品为xt 、yt 。
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3.5.2简单的线性规划（1）
一．知识点
1.二元一次不等式组表示的平面区域：
2. 线性规划中的基本概念： （1）约束条件： （2）线性约束条件： （3）目标函数： （4）线性目标函数： （5）可行解： （6）可行域： （7）最优解：
（8）线性规划问题：
3. 图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
二．典例分析
例1
若x 、y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．
变式1：求2
2y x +的最大值和最小值
变式2：求()2
2
3)2(-++y x 的最大值和最小值
变式3：求25102
2+-+y y x 的最大值和最小值
变式3：求x y
的范围
变式4：求31
++x y 的范围
变式5：求2
2
-+x y 的范围
变式6：求
4
33
2++y x 的范围
例2 设y x z 57+=式中的变量x 、y 满足下列条件⎪⎩
⎪
⎨⎧∈∈≤--≤-+.**,,023,02034N y N x y x y x 求z 的最大值．
例3 已知()的取值范围。
试求且如果)1,2(,1)1,1(1-,21,11,),(f f f by ax b a f ≤-≤≤≤+=
三．课后练习
1. 已知变量y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≤-005302x y x y x ，则
求（1）442
2
++-=y x x z 的最大值 （2）1
21
++=
x y z 的取值范围 （3）z=2x+y 的范围
2. 在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，
则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )
3. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋6≥0x ＋y ≥0
x ≤3
，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，
则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1
B ．a ≤－1
C ．－1≤a ≤1
D ．a ≥1或a ≤－1
4. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0
x ＋y －4≤0
，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x
＋my 取得最小值，则m ＝( )。