河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案

数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等比数列}{n a 中，已知676=⋅a a ，5103=+a a ，则2128a a 等于（ ） A ．32 B ．23 C ．32或23 D ．23 【答案】C【解析】由已知及等比数列性质知⎩⎨⎧=⋅=⋅=+6576103103a a a a a a ，解得⎩⎨⎧==32103a a 或⎩⎨⎧==23103a a ，所以710323a q a ==或23，所以7282123a q a ==或23，故选C ．2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则a c b c ->-【答案】D【解析】因为21>，12->-，2(1)1(2)⨯-=⨯-，所以A 错； 因为21>，222010⨯=⨯，所以B 错；因为21-<-，112->-，所以C 错； 由不等式性质得若a b >，则a c b c ->-，所以D 对．3．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3a =，b =π3A =，则B =（ ） A ．π5π66或 B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，∴sin 12sin 32b A B a ===， 又b a <，∴B 为锐角，∴π6B =． 4．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升 B ．三升C ．四升D ．五升【答案】B【解析】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为4232+=，故选B ． 5．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos a b C =，且sin sin sin b a A Cc a B-+=-，则这个三角形的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理化简()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-，得()()()a c a c a b b -+=-， 整理得222a c ab b -=-，即222a c b ab -+=，由余弦定理得2221cos 2π23a b c C C ab +-==⇒=，再由2cos a b C =，可得a b =，结合60C =︒，故三角形的形状为等边三角形，故选A ． 6．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A．4 y xx =+B．222yx=+C．4x xy e e-=+D．4sin(0π)siny x xx=+<<【答案】C【解析】选项A错误，∵x可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得22222y xx⎛⎫=++⎪+⎭，由基本不等式可得取等号的条件为2222xx+=+，即21x=-，显然没有实数满足21x=-；选项D错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin2x=，但由三角函数的值域可知sin1x≤；选项C正确，由基本不等式可得当2xe=，即ln2x=时，4x xy e e-=+取最小值4，故选C．7．若,x y满足约束条件3030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2Z x y=-的最小值为（）A．6-B．3-C．3D．32【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如下：由2Z x y=-，得2y x Z=-，平移直线2y x Z=-，数形结合可得，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时Z取得最小值．易得(0,3)A，∴min3Z=-．8．在ABC△中，60A∠=︒，1b=，3ABCS△，则2sin2sin sina b cA B C++=++（）ABCD．【答案】A【解析】1sin 24ABC S bc A ===△4c ∴=， 利用余弦定理得到2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=，a ∴= 正弦定理sin sin sin a b c A B C==，故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++． 9．已知ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的外接圆的面积为3π， 且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC △的最大边长为（ ） A ．2 B ．3CD．【答案】B【解析】ABC △的外接圆的面积为2π3πR =，R ∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+，222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理2220a c b ac +-+=，根据余弦定理2222cos a c b ac B ac +-==-，1cos 2B ∴=-，120B ∴∠=︒， 故b 为最长边2sin 3b R B ==．10．已知数列{}n a 满足：*6((3)3,7,7)n n a n n a n a n ---≤⎧⎨⎩∈=>N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9(,3)4B ．9[,3)4C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】D【解析】根据题意，()*633,7,7),(n n a f a n x n an n -⎧--≤∈⎨>⎩==N ，要使{a n }是递增数列，必有()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩，据此有3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或，综上可得23a <<．11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】11a =，1a 、3a 、13a 成等比数列，∴2(12)112d d +=+，得2d =或0d =（舍去），∴21n a n =-，∴2(121)2n n n S n +-==，∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++-===++++， 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+，当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】函数()f x ，如图所示：()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦，当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，因此其整数解为3， 又()3963f =-+=-，∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤， 当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-，当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解， 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解， 综上，实数a 的最大值为8．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米．【答案】【解析】由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30m AD =，30cos30BC AB ∴===︒14．设x ∈R 且0,x n +≠∈N ，则231n x x x x ++++=______．【答案】11,11,11n n x x x x++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩ 【解析】当1x =时，2311n x x x x n ++++=+；当1x ≠时，数列{}nx是首项为1，公比为x 的等比数列，则由等比数列的求和公式可得123111n nx x x x x x+-++++=-， 故答案为11,11,11n n x x x x++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．15．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC△，则ABC △面积的最大值是______．【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+， ∵πA B C ++=，∴in i (s s n )A C B +=，又(0,π)B ∈，∴sin 0B ≠，∴2cos 1B =，即1cos 2B =，可得π3B =，∵ABC △，∴2sin 2πb =，解得2b =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得224a c ac +-=，又222a c ac +≥，∴2242a c ac ac ac ac =+-≥-=（当且仅当a c =时取等号）， 即ac 最大值为4， ∴ABC △面积的最大值为14sin 2B ⨯=． 16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n +∀∈N 恒成立，则整数λ的最大值为______． 【答案】4【解析】当1n =时，21122S a =-，得14a =， 当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nn a n =+⋅， 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112b =-，214b =， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11n nb b +<，综上，max 33()8n b b ==，所以358λ->，337588λ<-=，所以整数λ的最大值为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求角C ； （2）若c =2ABC S =△，求ABC △的周长． 【答案】（1）π3C =；（2）5． 【解析】（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，12cos sin()sin cos π23C A B C C C ∴+=⇒=⇒=． （2）11sin 622ABC S ab C ab ab =⇒=⇒=△， 又2222cos a b ab C c +-=，2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=，ABC ∴△的周长为5+．18．（12分）设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=． （1）求{}n a 的通项公式： （2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =-（*n ∈N ）；（2）113(21)(23)n n n +-++．【解析】（1）由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列， 设公差为d ，因为11a =，所以34112312a a a d a d +=+++=，解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*n ∈N )． （2）由（1）知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111114321233(21)(23)n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭． 19．（12分）已如函数()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． （1）若不等式()0f x <解集为122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭时，求实数a 的值； （2）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x ≥． 【答案】（1）2a =或12；（2）见解析． 【解析】（1）()()10f x x a x a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，2112a a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或1212a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2a ∴=或12．（2）当1a a =，即1a =时，()()210f x x =-≥恒成立，x ∴∈R ； 当1a a >，即1a >时，x a ≥或1x a ≤；当1a a <，即01a <<时，1x a≥或x a ≤，综上：1a =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；1a >时，不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≥或1x a ⎫≤⎬⎭；01a <<时，不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≤或1x a ⎫≥⎬⎭．20．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=． （1）求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）若b =c a -的取值范围．【答案】（1）2；（2）(． 【解析】（1）由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A C B C -=，πA B C ++=，()sin sin A B C ∴=+，()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=， 即2cos sin sin B C C =，()0,πC ∈，sin 0C ∴≠，1cos 2B ∴=， ()0,πB ∈，π3B ∴=，2π3A C ∴+=，2πsin sin 232A C B +⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭． （2）由（1）知：πsin sin 3B ==，2sin sin sin a c b A C B ∴====， 2sin c C ∴=，2sin a A =，()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--π2sin sin sin 2sin 3C C C C C C ⎛⎫=--==- ⎪⎝⎭， 2π3A C +=，2π03C ∴<<，πππ,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，(π2sin 3C ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(． 21．（12分）设函数()24f x ax x b =++．（1）当2b =时，若对于[]1,2x ∈，有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）已知a b >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得20040ax x b ++= 成立，求22a b a b+-的最小值． 【答案】（1）52a ≥-；（2）． 【解析】（1）据题意知，对于[]1,2x ∈，有2420ax x ++≥恒成立， 即224224x a x x x --≥=--恒成立，因此2max 24a xx ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭， 设1t x =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()2224212g t t t t =--=-++， ∵函数()g t 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的，∴()max 1522g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，52a ∴≥-． （2）由()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，可得0,0a Δ>≤且，由存在0x ∈R ，使得20040ax x b ++=成立可得0Δ≥，1640Δab ∴=-=，4ab ∴=，()()222228a b ab a b a b a b a b a b -+-++==≥=---当且仅当a b-=22a b a b+∴≥- 22．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，13n n n a a a +=+． （1）求2a ，3a ；（2）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（3）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n n T λ--<+ 对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围．【答案】（1）214a =，3113a =；（2）证明见解析，231n n a =-；（3）23λ-<<． 【解析】（1）由11a =，得112134a a a =+=，2231313a a a ==+． （2）由13n n n a a a ++=，得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列， 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-． （3）()12231n n n n n b a n n --⋅==， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯． 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-， 1242n n n T -+=-，所以12(1)42n n λ--<-． 令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增， 若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-， 所以23λ-<<．。