数理统计的基础知识
数理统计的基础知识
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。
2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。
通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。
以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。
如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。
数理统计的基本知识.ppt
设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn) 是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值．
二、样本矩
下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样
本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:
频数
2 0 0 2 2 8 13 23 24 21 14 6 2 2 0 1
组中值
0.645 0.665 0.685 0.705 0.725 0.745 0.765 0.785 0.805 0.825 0.845 0.865 0.885 0.905 0.925 0.945
直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之 和为1．
由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它 们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即
fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k，
一、样本分布函数
样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函 数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的， 我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的 分布函数．
定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任 意的实数x，定义函数
0, x x(1) ;
Fn
(
x)
i n
,
x(i) x x(i1) ,
1, x x(n) .
i 1, 2,, n 1;
称 Fn(x) 为 总 体 X 的 样 本 分 布 函 数 (或 经 验 分 布 函 数)．
数理统计基础知识
这里假定所考虑的样本都是简单随机样本，简称为样本。
约定：以大写的英文字母 X i 表示随机变量，而以相应的 小写英文字母 xi 表示随机变量 X i 的观察值。
设总体 X 的分布函数为 F ( x )，则由定义 4.2（P.125知，
样本（X1 ，X2 ，…，Xn ）的分布函数为
因此，在进行统计推断的同时，还必须寻求一些有意义 的指标来衡量推断的正确程度，评价推断过程中所含有的不 确定性。
下面给出数理统计学的一些基本概念。
§4.1 总体与样本
一、总体与总体分布
总体是具有一定共同属性的研究对象的全体。一旦总体确 定了，便称组成总体的每一个个别的成员为个体。总体与个体 的关系，即集合论中集合与元素之间的关系。
2)人们要求样本中的各分量 X1 ，X2 ，…，X n 相互独 立，则表明所得到的每一个观察结果既不影响其它观察结果， 也不受其它观察结果的影响。
定义（P.125） 获取简单随机样本的方法，称为简单随机 抽样。并称样本（X1 ，X2 ，…，X n ）的一组具体的观察值 （x1 ，x2 ，…，x n ）为样本值，全体样本值组成的集合为样 本空间。
定义4.2（P.125） 称（X1 ，X2 ，…，X n ）为总体 X 的简单随机样本，如果 X1 ，X2 ，…，X n 是相互独立、同分 布的随机变量，而且它们都与总体 X 同分布。样本中所含分 量的个数 n ，称为该样本的容量。
1)人们要求样本中的每一个分量 X i （i =1，2，…，n ） 都与总体 X 同分布，表明抽样观察的每一个个体都是从总体 中抽取的，因而它们对总体具有很好的代表性；
解
∵ 总体 X ~ e ( )，
数理统计的基础知识
第4章数理统计的基础知识数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。
数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。
但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。
数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.§4.1 总体与样本一、 总体与总体分布1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。
总体中每个对象或成员称为个体。
研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。
个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。
统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。
某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。
对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。
数理统计基本知识
的特点,为此必须对随机抽取样本的方法提出如下要求：
(1)独立性 要求X1, X2 ,…, Xn 是相互独立的随机变量; (2)代表性 要求样本的每个Xi (i=1,2,…,n)与总体X具有相同 的分布. 满足以上两个条件的样本称为简单随机样本, 简称样本.
7
[注]
(1) 样本X1, X2 ,…, Xn 相互独立,且与总体X 同分布; (2) 样本X1, X2 ,…, Xn 可看成一个n 维随机向量,记为 (X1, X2 ,…, Xn ); 样本值记为(x1,x2,…,xn);
X1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 2 ~ ( 2) 3 3
21
(二) t 分布
设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量
t
X Y /n
服从自由度是n的t 分布(Student分布),记作t ~ t(n). t(n)分布的概率密度函数为:
n=1
t (n)
t ( n)
t 1 ( n) t ( n) 0
t
t 分布的分位点: 对给定 (0<<1), 称满足
P{t t (n)}
的点 t (n)为t(n)分布的上 分位点.
当n>45时, t (n)
t ( n)
h(t )dt
1 n •样本均值 X X i ; n i 1
•样本方 差
n n 1 1 2 2 2 2 X nX S ( Xi X ) i n 1 n 1 i 1 i 1
1 n 2 •样本标准 S ( X X ) i n 1 i 1 n 差 1 k •样本k阶(原点)矩 Ak X i ( k 1, 2,...) n i 1 1 n k •样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) ( k 2, 3,...) n i 1
数理统计基础知识
多元线性回归分析
01
02
03
多元线性回归分析是研究多个自 变量与一个因变量之间线性关系 的回归分析方法。
多元线性回归模型可以表示为： y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε ，其中β0,β1,...,βk为模型参数， ε为随机误差项。
多元线性回归分析的步骤与一元 线性回归分析类似，但需要考虑 多个自变量的影响以及自变量之 间的相关性问题。
02 概率论基础知识
概率的定义与性质
概率的直观定义
01
描述某一事件发生的可能性大小的数值。
概率的性质
02
非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互
斥事件的概率之和等于它们并事件的概率）。
古典概型与几何概型
03
古典概型中每个样本点等可能出现，几何概型中样本点连续且
等可能分布。
条件概率与独立性
通过对样本进行重复抽样，生成大量自助样本，然后基于自助样本 得到参数的置信区间。
估计量的评价标准
无偏性
估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次抽样下的平均 值等于总体参数真值。
有效性
对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效。
一致性
随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数真值。
F检验
用于检验两个正态总体方差是否存在显著差异。
非参数假设检验
符号检验
用于检验两个相关样本的中位数是否存在显 著差异。
秩和检验
用于检验两个独立样本的中位数是否存在显 著差异。
游程检验
用于检验两个相关样本的分布是否存在显著 差异。
06 方差分析与回归分析
数理统计基本知识
2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.
( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2
i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y
2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X
U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足
数理统计基础
数理统计基础数理统计是统计学中的一个重要分支，它不仅是现代科学研究的必备工具，更是经济、金融、医学、社会科学等领域的重要基础。
本文将从基础概念、数据的搜集与整理、概率分布及其统计推断、参数估计与假设检验等方面，简要介绍数理统计的基本概念和理论。
一、基础概念1.总体和样本总体指我们需要研究的全体对象，样本则是从总体中选出的一部分对象。
为了使样本更具有代表性，我们需要采用随机抽样的方法。
总体和样本的关系是，样本是从总体中抽出的一部分，通过对样本的研究可以得到对总体的推断。
2.统计量和参数统计量是样本数据的函数，参数是总体分布的特征数值。
例如样本均值是样本数据的函数，而总体均值是总体分布的特征数值。
统计量可以用来描述样本的分布情况，帮助我们对总体进行推断。
3.分位数和分位点分位数是在数值序列中把一个样本分割为几个等份的数值，分位点则是将整个样本分成若干等份的点。
例如，中位数是50%分位数，将样本分为两个等份。
分位数和分位点是描述样本分布特征的指标。
二、数据的搜集与整理数据的搜集与整理是数理统计的重要前提。
在数据搜集时，需要注意样本的代表性、随机性和可比性。
在数据整理时，需要进行数据清洗，包括误差校正、缺失数据的填补等。
整理出清晰、准确、有意义的数据，是进行统计分析的基础。
三、概率分布及其统计推断在统计分析中，分布是一个关键概念。
常见的分布有正态分布、泊松分布等。
概率密度函数是描述分布特征的函数，可以用于对总体和样本进行分析和描述。
概率分布的统计推断包括参数估计和假设检验两个重要方面。
1.参数估计参数估计是指根据已知的样本数据，推断总体分布的参数。
这里介绍两种参数估计方法：最大似然估计法：在总体分布已知的情况下，利用样本数据进行最大似然估计。
最大似然估计是一种广泛应用于统计学中的方法，可以得到比较准确的参数估计。
贝叶斯方法：在总体分布未知的情况下，利用概率论的贝叶斯公式计算后验分布并进行参数估计。
贝叶斯方法面对的是更加复杂的情形，但能够在一定程度上处理不确定性。
数理统计的基础知识
设总体X的分布函数为F(x)，(X1, X2, … , Xn)是来自总体的样本， Xi的分布函数为F(xi)，则(X1, X2, … , Xn)的分布函数为
F(x1,x2, … , xn) = F(x1) F(x2) … F( xn)
若总体X的密度函数为f(x)，(X1, X2, … , Xn)是来自总体的样本， Xi的密度函数为f(xi)，则(X1, X2, … , Xn)的密度函数为
X+Y~ 2 (n+m)
推论：（1） 若 Xi~ 2(ni), i = 1, 2, …, n ，且相互独立， 则：
n
n
X i ~ 2( ni )
i 1
i 1
(2) 若 X1, X2, …, Xn相互独立，同服从于正态分布N( i , i2)，则
n ( X i i )2 ~ 2(n)
i1
注 ：（1）统计量完全由样本决定，不依赖于任何其它未知的量。
（2）统计量用于估计时称为估计量，用于检验时称为检验统计量
（3）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值。
例：统计量 T X1 X2 Xn
T
X12
X
2 2
X
2 n
T max(| X1 |,| X2 |,,| Xn |)
例： 当总体 X~N( , 2) ，其中参数 , 2 未知时
2= X12+X22+… +Xn2 服从的分布称为自由度为 n 的 2分布。记为： 2 ~ 2(n)。
注：自由度表示独立随机变量的个数
可以证明， 2 的密度函数为：
f
(x)
n
22
1 (
n)
e
x 2
x
4-1数理统计的基础知识
T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X
2 3
).
不是
2. 常用统计量
设( X1, X2 , , Xn它)反是映来了自总总体体均值X的一个样本, ( x1, x2 , , xn )是这一样 的信本息的样本值.
(1)样本平均值
1 n
X n i1 Xi ;
其观察它的值反信映息了x 总 体n1 方in1差xi .
数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐
述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计
推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以 有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带有 随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽可 能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决 策和行动提供依据和建议.
n维r.v.(抽样具有随机性）
样本容量：样本中所含的个体的数目n.
样本值：样本的一次观察值或实现值 ( x1, x2 , xn ).
(2) 简单随机样本 1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的总体X 有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.
样本矩具有下列性质:
性质 设总体X的期望E( X ) ,方差D( X ) 2 ,
( X1, X2 , , Xn )为来自总体X的样本,则有 :
(1) E( X ) ;
(2)
D( X )
1 n
2;
(3)
E( S02 )
n1 n
数理统计的基础知识
2
n
,
E( S )
2
2
1 n 证明 E ( X ) E ( X i ) n i 1 1 n 1 E ( X i ) n n i 1 n
HaiNan University
第六章
数理统计的基础知识
2 1 n 1 n 1 D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) 2 n 2 n i 1 n i 1 n n
P 则当 n 时，Ak k ( k 1 , 2 , )
证明用大数定理（略）
HaiNan University
第六章
数理统计的基础知识
结论 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的一个 样本，E ( X ) , D( X ) 2 则
E( X ) ,
n 2 2 2 i 1 i 1 n
X i2 2( X 1
i 1 n i 1 2 i 2
n
2 1
2 1
2
1
n
X n ) X nX 2
2 n i 1
X 2nX nX X i2 nX 2
HaiNan University
第六章
数理统计的基础知识
例如 某工厂生产的所有灯泡的寿命是一 个总体， 每一个灯泡的寿命是一个个体； 某学校男生的身高的全体是一个总体， 每个男生的身高是一个个体。
HaiNan University
第六章
数理统计的基础知识
总体中的每一个个体是随机变量的一个 观察值， 因此，它是某个随机变量 X 的值。 即，一个总体对应于一个随机变量 X 。 对总体的研究就是对随机变量 X 的研究。
数理统计的基本知识
• 这些观测值仍分别称为样本均值，样本方差，样本标准差，样本k阶原 点矩，样本k阶中心矩。 记作 k 存在，则当n→∞时 • 我们指出，若总体X的k阶原点距 E ( X k ) ， p A k , k 1,2,... k • • 即：样本的k阶原点距依概率收敛于总体的k阶原点距。 • 事实上，由于Ｘ１，Ｘ２，．．．，Ｘｎ相互独立，且与X同分布，故 X1k，X2k，...，Xnk相互独立，且与Xk同分布，故有 • E（X1k）=E（X2k）=E（Xnk）=μk，k=1,2,... • 由第五章的辛钦大数定律知
二· 常用的统计量
• 样本均值
• 样本方差 • 样本标准差
1 n X Xi n i 1 2 n n 2 2 1 1 2 S ( Xi nX ) (Xi X ) n 1 i 1 n 1 i 1 S S2 1 n 2 (Xi X ) n 1 i 1
F (n , n ) f ( x)dx 1 2
• 的点Fɑ（n1，n2）为F（n1，n2）分布的上ɑ分位点 。 • 如图
f（x）
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
ɑ
x
0.5 1 1.5
1 • F分布的上分位点具有如下性质：F1 (n1, n2 ) F (n2 , n1 )
如果总体Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ），则样本Ｘ１，Ｘ２，...Ｘｎ的联合分布函数为 F*(x1,x2,...xn)=F(x1)F(x2)· · · F(xn)= n 如果总体X是离散型随机变量，且概率密度为 F ( xi ) P{X=xi}，i=1,2,... i 1 则样本Ｘ１，Ｘ２，...Ｘｎ的联合概率密度为 P*{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}· · · P{Xn=xn}=
数理统计的基础知识-精品
数理统计的基础知识-精品2020-12-12【关键字】建议、情况、方法、前提、质量、问题、有效、深入、充分、合理、了解、研究、规律、特点、突出、思想、基础、需要、重点、方式、办法、标准、水平、反映、关系、检验、分析、推广、满足、解决、适应、中心、关心在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。
知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。
在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。
但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。
例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。
2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）分布，但其中的参数p未知。
对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。
数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。
数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。
数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类：一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。
二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。
第一节数理统计的基本概念一、总体与总体的分布在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系.在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。
01第一章 数理统计的基础知识
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。
2
第一章 数理统计的基础知识
第一节 总体与样本
一 . 总体与样本
定义1：研究的对象称为总体，总体往往以某一项数量指标为其特征。实 际上总体就是一个随机变量 X 。
为推断总体分布及其各种特征，一般方法是按一定规则从总体中抽取若干 个体进行观察，称为抽样。 定义2：从总体中抽取的 n 个个体 (X1,X2,…,Xn) 称为样本，实际上样本就 是一个 n 维随机变量(或向量)。
简单随机样本： (X1,X2,…,Xn) 是相互独立的随机变量(独立性)；且 Xi ~ X (同分布) 。 样本容量 n：样本中所含个体数目，为已知的一个自然数。 样本观察值： (X1,X2,…,Xn) = (x1,x2,…,xn)
上例中，若某次抽样得： (X1,X2,X3,X4,X5) = (0,0,1,0,1)
P(Y 15) f ( y)dy
15
10 0 15 20 y y 1 3 7 dy dy 10 100 100 2 8 8
例3：设总体 X ~ b(1，p)。现从中抽取容量为 2 的样本，得到样本 (X1， X2)，求样本的函数 Y = X12 + X22 的概率分布，并求出事件 P(Y < 15) 的概率。
i 1 n
如上例：总体 X ~ b(1,p)，概率分布为：P(X = x) = (1 – p)1 – x p x (x = 0,1) 则样本 (X1,X2,…,Xn) 的联合分布为：
P( X 1 x1 , X n xn ) p x1 (1 p)1 x1 p xn (1 p)1 xn p i1 (1 p)
第五章 数理统计基础知识
（3）对360个零售商店调查零售额（单位：元）的结果 如下：
商店数 零售额
61 135
110
42
12
1000 (1000 ,5000 ] (5000 ,10000 ] (10000 ,20000 ] (20000 ,30000 ]
这是一个容量为360的样本的观察值，对应的总体是所 有零售店的周零售额.不过这里没有给出每一个样品的观 察值，而是给出了样本观察值所在的区间，称为分组样本 的观察值.
这便是一个容量为30的样本观察值，其样本均值为：
x
1 (156 30
134
161
151)
153.5
它反映了该厂工人周工资的一般水平.
例3(分组样本均值的近似计算）如果在例2中收集
得到的样本观察值用分组样本形式给出（见下表)，
此时样本均值可用下面方法近 似计算：以 xi ，表示
第 i 个组的组中值(即区间的中点），ni 为第 i 组的频
（2）对某型号的20辆汽车记录每加仑汽油各自行驶的 里和数（单位：公里）如下：
29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1
这是一个容量为20的样本的观察值，对应的总体是该 型号汽车每加仑汽油行驶的里程.
即下表所示.
X
0
1
P
1 p p
其中 X 是一个随机变量，表示抽查一台彩电的质量后 所得到的不合格数，X 0 表示该彩电合格，X 1 表示该 彩电不合格.不同厂家的总体间的差异就体现在不同的 p 上.
数学的数理统计学
数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。
它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。
本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。
一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。
总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。
随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。
二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。
而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。
集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。
三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。
概率分布则用于描述随机变量的取值规律。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。
正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。
四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。
假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。
五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。
相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。
六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。
在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。
数理统计的基础知识
解 查 0 . 表 0,m 2 2 , 5 n 4 1 5 2 2.70 附表4-1
P F 1 0 .0 2 P5 F10.975表中无法查出.
由 F<1
PF1
1
1
0.025,
1 F
~
F15,24
查 12 .140 . 表 0 40, .4m 2 1 1 , 5 n 5 2 4 11 2.44
则称(X 1 ,X 2 , 为,简X n 单)随机样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,当说到“X1,X2,…,Xn
是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.
10若X总体是连r续 .v.概 型率密度f为(x)
样(X 本 1,X 2, ,X n)的概率密度为
f ( x 1 , x 2 , , x n ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
统计推断需要借助于样本.因此，对样本就很有讲究. 为此，我们必须对样本的抽取提出某些要求.要求的方式 很多，但在数学处理上比较方便，实际抽样中也比较 容 易办到的是满足下列条件的样本:
若总体 X 的样本(X 1 ,X 2 , 满,X 足n :)
1. 代表性：X1,X2, ,Xn与 X有相同的分布 2. 独立性：X 1,X2, ,Xn相互 . 独立
2. 常用的统计量－－样本的数字特征
1) 样本均值 2) 样本方差
X
1 n
n i1
Xi
S2n11 i n1(Xi X)2n11in1Xi2nX2
3)样本标准差
S
1 n
n1i1(Xi
X)2
4)样本的k阶原点矩 Akn 1i n1Xik
k1,2, .
5)样本的k阶中心矩 B kn 1i n1(XiX)k
数理统计主要知识点
《数理统计》的主要知识点 一．统计量及其抽样分布 （一）统计量的概念1. 统计量的定义： 简单地说，统计量就是样本i x 的函数，它除i x 外不含其它未知参数。
2. 简单随机抽样：从总体中抽取样本n x x x 21，若它们相互独立同分布 ，且分布与总体 相同，则称其为简单随机抽样。
3. 常见的统计量：（1）样本均值： ∑==n i i x n x 11 （2）样本方差：()21211∑=--=n i i x x n s （3）样本k 阶原点距： ∑==n i k i k x n a 11 （4）样本k 阶中心距： ()∑=-=ni k i k x x n b 11（二）抽样分布的结构和性质1. 2χ分布： 若 n X X X ,,21 是来自总体X 的简单随机抽样，且X ~()1,0N ，则随机变量2χ=22221n X X X +++ ，此时称其分布为自由度为n 的2χ分布，记2χ~()n 2χ性质： ①()n E =2χ② ()n D 22=χ2.F 分布：若X ~()n 2χ，Y ~()m 2χ，且Y X 与相互独立，记随机变量F mY n X=，称其分布为自由度为n 与m 的F 分布，记 F ~F ()m n ,性质：()()n m F m n F ,1,1αα-=3.t 分布：设随机变量Y X 与相互独立，且X ~()1,0N ，Y ~()n 2χ，则称 nY X t =的分布为自由度为n 的t 分布，记t ~t ()n性质：①自由度为1的t 分布是标准柯西分布，它的均值不存在；②1>n 时，t 分布的数学期望存在且为0；③1>n 时，t 分布的方差存在且为2-n n ④当自由度较大时，t 分布可以用()1,0N 近似。
二．参数估计：（一）点估计： 1. 矩估计：（替换原理）一般地：①用样本均值估计总体均值；即 ()x X E =②用样本二阶中心矩估计总体方差；()()2121∑=-==ni i nx x n s X D③用事件A 出现的频率估计事件A 发生的概率。
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例1 研究某地区N个农户的年收人.
在这里,总体既指这N个农户,又指我们关心的数 量指标──他们的年收入的N个数字.
如果从这N个农户中随机地抽出n个农户作为调 查对象,那么,这n个农户以及我们所关心的数量指标 ──他们的年收入这n个数字就是样本.
注意 在上面的例子中,总体是很直观的,是
看得见摸得着的. 但是客观情况并不总是这样.
一、总体与总体分布
总体（母体）：研究的问题所涉及的对象的 全体所组成的集合. 个体：构成总体的每一个成员（或元素）.
有限总体：容量有限. 无限总体：容量无限.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
n
g(x1, x2 ,, xn ) f (xi ) . i 1
简单随机样本是应用中最常见的情形，
例2 用一把尺子去量一个物体的长度.
假定n次测量值为X1,X2 , ,Xn 显然,在这个 问题中,我们把测量值X1,X2 , ,Xn看成了样本,但 是,总体是什么呢?
分析: 事实上,这里没有一个现实存在的个体的集
合可以作为我们的总体.可是,我们可以这样考虑, 既然n个测量值 X1,X2 , ,Xn是样本,那么总体就 应该理解为一切所有可能的测量值的全体.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的全 体就是总体
国产所以相应的 数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种 数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分 布就是该数量指标在总体中的分布.
这样，总体就可以用一个随机变量(或向量)及 其分布来描述. 通常情况，称随机变量(或向量)为 总体，并把对应的分布称为总体分布。
这种类型总体的例子不胜枚举.
例如:为研究某种安眠药的药效,让n个 病人同时服用此药,记录下他们各自服药后 的睡眠时间比未服药时延长的小时数
X1,X2 , ,Xn， 这些数字就是样本.
什么是总体呢? 设想让某个地区或某个国家,甚至全世 界所有患失眠症的病人都服用此药,他们所 增加的睡眠时间的小时数的全体,就是该问 题中的总体.
二、样本与样本分布
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总 体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体 的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部 分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样 本容量(或样本大小).
从国产轿车中抽5 辆进行耗油量试验
样本容量为5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去
推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，
也就是样本取到样本值的规律，因而可以由
样本值去推断总体.
四、样本分布
既然样本 X1,X2 ,,Xn 被看作随机向量, 自然就需要研究其联合分布．
例 (例2续) 在前面测量物体长度的例
子中,如果我们是在完全相同的条件下,独立
地测量了n次,把这n次测量结果,即样本记为 X1,X2 , ,Xn .
那么我们完全有理由认为,这些样本相互
独立且有相同分布; 其分布与总体分布N(,2)相同．
推广到一般情况,如果我们在相同条件 下对总体X进行n次重复的独立观测,那么就可 以认为所获得的样本X1,X2 , ,Xn是n个独立 的且与总体X同样分布的随机变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机
样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互 独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示. 若总体的分 布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布 函数为： F(x1, x2, …,xn) =F(x1) F(x2) … F(xn)
n
F (xi ) . i 1
假设总体 X 为离散型随机变量，其概率
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推 断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信 息，必须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
分布列为P(X=xi)=p(xi),由于样本 X1,,Xn
独立同分布于X,于是其联合概率分布列为
p(x1, x2 , xn ) P{X x1, X x2 ,, X xn}
n
p(xi ) . i 1
假设总体 X 具有概率密度f(x)，由于样 本 X1,X2,,Xn 独立同分布于 X,于是其联合 概率密度为
名词
在统计文献中,通常称:
这样的样本──随机样本,简称为样本. n 样本大小或样本容量或样本数. X1,X2 , ,Xn ── 一组样本或一个样本 (这是把X1,X2 , ,Xn看成一个整体),或 n个 样品.
三. 总体、样本、样本值的关系 事实上我们抽样后得到的资料都是具体
的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取 10人测量身高，得到10个数，它们是样本取 到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变 量取的值而见不到随机变量.
数理统计的特点是应用面广，分支较多. 社会 的发展不断向统计提出新的问题.
学习统计无须把过多时间化在计算上， 可以更有效地把时间用在基本概念、方法原 理的正确理解上. 国内外著名的统计软件包：
SAS，SPSS，R, STAT，EVIEWS等，都可
以让你快速、简便地进行数据处理和分析.
§5.1 数理统计的基本概念
容量为n的样本可以看作n维随机变量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的 一次观察值，简称样本值 .
样本X1,X2 , ,Xn既可被看成数又可
被看成随机变量,这就是所谓 样本的二 重性.
注意 需要特别强调的是,以后凡是离开具
体的一次观测或试验来谈及样本 X1,X2 , ,Xn 时,它们总是被看成随机变 量.