数理统计的基础知识
合集下载
数理统计的基础知识
样本值：( x1 , x2 , , xn ) =（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86）
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3
样本容量：=10
1 10 1 (2)x xi (100+85+&&+86)=78.1 10 i 1 10
n 1 1 * 2 2 2 s ( x x ) [21.9 6.9 i n 1 i 1 9
1. 定义 设 1 ,
称为自由度为n的 分布.
2. 临界值表的结构和使用 设 ~ 2(n)，若对于： 0<<1，
存在
则称
2
0 满足 2 2 P{ } , 为 2 (n) 分布的上分位点。
2
( ; n)
2 2
例16.3 给定=0.05,自由度n=25,求 满足下面等式的临界值:
2 *2
1 x,1 x 0, 解：分布密度为 p( x) 1 x,0 x 1, 0, 其它
则 E x(1 x)dx x(1 x)dx 0
1 0
0
1
1 D x (1 x )dx x (1 x )dx 1 0 6
(4) F 统计量及其分布
总体 ~ N （1， 12），（1， 2， ... n1 )为样本， ,S
*2 1
1 2 ( ) i n1 1 i 1
2 2
n1
总体 ~ N （2， ），（1， 2， ... n2 )为样本， , S 2*2 1 n2 2 ( ) i n2 1 i 1
(1) P{F 2 } (2) P{F 1}
解 (1)2 F ( ; n1, n2 ) F (0.1;10,5) 3.3
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。
2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。
通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。
以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。
如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。
数理统计的基本知识.ppt
设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn) 是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值．
二、样本矩
下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样
本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:
频数
2 0 0 2 2 8 13 23 24 21 14 6 2 2 0 1
组中值
0.645 0.665 0.685 0.705 0.725 0.745 0.765 0.785 0.805 0.825 0.845 0.865 0.885 0.905 0.925 0.945
直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之 和为1．
由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它 们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即
fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k，
一、样本分布函数
样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函 数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的， 我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的 分布函数．
定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任 意的实数x，定义函数
0, x x(1) ;
Fn
(
x)
i n
,
x(i) x x(i1) ,
1, x x(n) .
i 1, 2,, n 1;
称 Fn(x) 为 总 体 X 的 样 本 分 布 函 数 (或 经 验 分 布 函 数)．
数理统计基础知识
容量为 n 的样本空间是 n 维向量空间 Rn 的一个子集。
这里假定所考虑的样本都是简单随机样本，简称为样本。
约定：以大写的英文字母 X i 表示随机变量，而以相应的 小写英文字母 xi 表示随机变量 X i 的观察值。
设总体 X 的分布函数为 F ( x )，则由定义 4.2（P.125知，
样本（X1 ，X2 ，…，Xn ）的分布函数为
因此，在进行统计推断的同时，还必须寻求一些有意义 的指标来衡量推断的正确程度，评价推断过程中所含有的不 确定性。
下面给出数理统计学的一些基本概念。
§4.1 总体与样本
一、总体与总体分布
总体是具有一定共同属性的研究对象的全体。一旦总体确 定了，便称组成总体的每一个个别的成员为个体。总体与个体 的关系，即集合论中集合与元素之间的关系。
2)人们要求样本中的各分量 X1 ，X2 ，…，X n 相互独 立，则表明所得到的每一个观察结果既不影响其它观察结果， 也不受其它观察结果的影响。
定义（P.125） 获取简单随机样本的方法，称为简单随机 抽样。并称样本（X1 ，X2 ，…，X n ）的一组具体的观察值 （x1 ，x2 ，…，x n ）为样本值，全体样本值组成的集合为样 本空间。
定义4.2（P.125） 称（X1 ，X2 ，…，X n ）为总体 X 的简单随机样本，如果 X1 ，X2 ，…，X n 是相互独立、同分 布的随机变量，而且它们都与总体 X 同分布。样本中所含分 量的个数 n ，称为该样本的容量。
1)人们要求样本中的每一个分量 X i （i =1，2，…，n ） 都与总体 X 同分布，表明抽样观察的每一个个体都是从总体 中抽取的，因而它们对总体具有很好的代表性；
解
∵ 总体 X ~ e ( )，
这里假定所考虑的样本都是简单随机样本，简称为样本。
约定：以大写的英文字母 X i 表示随机变量，而以相应的 小写英文字母 xi 表示随机变量 X i 的观察值。
设总体 X 的分布函数为 F ( x )，则由定义 4.2（P.125知，
样本（X1 ，X2 ，…，Xn ）的分布函数为
因此，在进行统计推断的同时，还必须寻求一些有意义 的指标来衡量推断的正确程度，评价推断过程中所含有的不 确定性。
下面给出数理统计学的一些基本概念。
§4.1 总体与样本
一、总体与总体分布
总体是具有一定共同属性的研究对象的全体。一旦总体确 定了，便称组成总体的每一个个别的成员为个体。总体与个体 的关系，即集合论中集合与元素之间的关系。
2)人们要求样本中的各分量 X1 ，X2 ，…，X n 相互独 立，则表明所得到的每一个观察结果既不影响其它观察结果， 也不受其它观察结果的影响。
定义（P.125） 获取简单随机样本的方法，称为简单随机 抽样。并称样本（X1 ，X2 ，…，X n ）的一组具体的观察值 （x1 ，x2 ，…，x n ）为样本值，全体样本值组成的集合为样 本空间。
定义4.2（P.125） 称（X1 ，X2 ，…，X n ）为总体 X 的简单随机样本，如果 X1 ，X2 ，…，X n 是相互独立、同分 布的随机变量，而且它们都与总体 X 同分布。样本中所含分 量的个数 n ，称为该样本的容量。
1)人们要求样本中的每一个分量 X i （i =1，2，…，n ） 都与总体 X 同分布，表明抽样观察的每一个个体都是从总体 中抽取的，因而它们对总体具有很好的代表性；
解
∵ 总体 X ~ e ( )，
数理统计的基础知识
第4章数理统计的基础知识数理统计与概率论是两个有密切联系的学科, 它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对实验数据的统计分析, 寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体从本章开始，我们将讨论另一主题：数理统计。
数理统计是研究统计工作的一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。
本章将介绍数理统计的基本概念：总体、样本、统计量与抽样分布。
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来。
但客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资料。
数理统计就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计性规律尽可能地作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.§4.1 总体与样本一、 总体与总体分布1.总体：具有一定的共同属性的研究对象全体。
总体中每个对象或成员称为个体。
研究某批灯泡的质量，该批灯泡寿命的全体就是总体；考察国产 轿车的质量，所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体；某高校学习“高等数学”的全体一年级学生。
个体与总体的关系，即集合中元素与集合之间的关系。
统计学中关心的不是每个个体的所有具体特性，而是它的某一项或某几项数量指标。
某高校一年级学生“高等数学”的期末考试成绩。
对于选定的数量指标 X （可以是向量）而言，每个个体所取的值是不同的，这一数量指标X 就是一个随机变量（或向量）；X 的概率分布就完全描述了总体中我们所关心的这一数量指标的分布情况。
数理统计基本知识
的特点,为此必须对随机抽取样本的方法提出如下要求：
(1)独立性 要求X1, X2 ,…, Xn 是相互独立的随机变量; (2)代表性 要求样本的每个Xi (i=1,2,…,n)与总体X具有相同 的分布. 满足以上两个条件的样本称为简单随机样本, 简称样本.
7
[注]
(1) 样本X1, X2 ,…, Xn 相互独立,且与总体X 同分布; (2) 样本X1, X2 ,…, Xn 可看成一个n 维随机向量,记为 (X1, X2 ,…, Xn ); 样本值记为(x1,x2,…,xn);
X1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 2 ~ ( 2) 3 3
21
(二) t 分布
设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量
t
X Y /n
服从自由度是n的t 分布(Student分布),记作t ~ t(n). t(n)分布的概率密度函数为:
n=1
t (n)
t ( n)
t 1 ( n) t ( n) 0
t
t 分布的分位点: 对给定 (0<<1), 称满足
P{t t (n)}
的点 t (n)为t(n)分布的上 分位点.
当n>45时, t (n)
t ( n)
h(t )dt
1 n •样本均值 X X i ; n i 1
•样本方 差
n n 1 1 2 2 2 2 X nX S ( Xi X ) i n 1 n 1 i 1 i 1
1 n 2 •样本标准 S ( X X ) i n 1 i 1 n 差 1 k •样本k阶(原点)矩 Ak X i ( k 1, 2,...) n i 1 1 n k •样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) ( k 2, 3,...) n i 1
数理统计基础知识
多元线性回归分析
01
02
03
多元线性回归分析是研究多个自 变量与一个因变量之间线性关系 的回归分析方法。
多元线性回归模型可以表示为： y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε ，其中β0,β1,...,βk为模型参数， ε为随机误差项。
多元线性回归分析的步骤与一元 线性回归分析类似，但需要考虑 多个自变量的影响以及自变量之 间的相关性问题。
02 概率论基础知识
概率的定义与性质
概率的直观定义
01
描述某一事件发生的可能性大小的数值。
概率的性质
02
非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互
斥事件的概率之和等于它们并事件的概率）。
古典概型与几何概型
03
古典概型中每个样本点等可能出现，几何概型中样本点连续且
等可能分布。
条件概率与独立性
通过对样本进行重复抽样，生成大量自助样本，然后基于自助样本 得到参数的置信区间。
估计量的评价标准
无偏性
估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次抽样下的平均 值等于总体参数真值。
有效性
对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效。
一致性
随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数真值。
F检验
用于检验两个正态总体方差是否存在显著差异。
非参数假设检验
符号检验
用于检验两个相关样本的中位数是否存在显 著差异。
秩和检验
用于检验两个独立样本的中位数是否存在显 著差异。
游程检验
用于检验两个相关样本的分布是否存在显著 差异。
06 方差分析与回归分析
数理统计基本知识
2 (5), Y
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
P{ (n)}
2 2
2 2 ( n ) 的点 为分布 (n) 的上分位点.
( n)
2
f ( y)dy
19
•当n充分大(>45)时,有
2
1 ( z 2n 1 ) 2 2
i 1
n
X i 2 等均
1 ( X 1 X 2 ) 等都不是统计 2 Xi i 1 2 量，因为它们含有未知参数 ,
为统计量，而
1
n
2
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的
随机变量．
10
几个常用的统计量 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X
的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
§6.2
抽样分布
一、统计量 样本是进行统计推断的依据.但在应
用时,往往不是直接使用是样本本身,而是针对不同 的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进 行统计推断. 定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任 何未知参数，则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
n 11
0
18
y
2 分布的可加性 设 12 ~ 2 (n1 ), 2 ~ 2 (n2 ) 2 2 2 2 2 且 1 与 2相互独立,则有 1 2 ~ ( n1 n2 )
分布的数学期望和方差
例： X
U ( 0, 4), 则 E ( X Y ) _____ D( X Y ) _____ . 分布的分位点 对于给定正数 (0<<1), 称满足
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 研究某地区N个农户的年收人.
在这里,总体既指这N个农户,又指我们关心的数 量指标──他们的年收入的N个数字.
如果从这N个农户中随机地抽出n个农户作为调 查对象,那么,这n个农户以及我们所关心的数量指标 ──他们的年收入这n个数字就是样本.
注意 在上面的例子中,总体是很直观的,是
看得见摸得着的. 但是客观情况并不总是这样.
一、总体与总体分布
总体（母体）：研究的问题所涉及的对象的 全体所组成的集合. 个体：构成总体的每一个成员（或元素）.
有限总体：容量有限. 无限总体：容量无限.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
n
g(x1, x2 ,, xn ) f (xi ) . i 1
简单随机样本是应用中最常见的情形，
例2 用一把尺子去量一个物体的长度.
假定n次测量值为X1,X2 , ,Xn 显然,在这个 问题中,我们把测量值X1,X2 , ,Xn看成了样本,但 是,总体是什么呢?
分析: 事实上,这里没有一个现实存在的个体的集
合可以作为我们的总体.可是,我们可以这样考虑, 既然n个测量值 X1,X2 , ,Xn是样本,那么总体就 应该理解为一切所有可能的测量值的全体.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的全 体就是总体
国产所以相应的 数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种 数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分 布就是该数量指标在总体中的分布.
这样，总体就可以用一个随机变量(或向量)及 其分布来描述. 通常情况，称随机变量(或向量)为 总体，并把对应的分布称为总体分布。
这种类型总体的例子不胜枚举.
例如:为研究某种安眠药的药效,让n个 病人同时服用此药,记录下他们各自服药后 的睡眠时间比未服药时延长的小时数
X1,X2 , ,Xn， 这些数字就是样本.
什么是总体呢? 设想让某个地区或某个国家,甚至全世 界所有患失眠症的病人都服用此药,他们所 增加的睡眠时间的小时数的全体,就是该问 题中的总体.
二、样本与样本分布
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总 体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体 的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部 分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样 本容量(或样本大小).
从国产轿车中抽5 辆进行耗油量试验
样本容量为5
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去
推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，
也就是样本取到样本值的规律，因而可以由
样本值去推断总体.
四、样本分布
既然样本 X1,X2 ,,Xn 被看作随机向量, 自然就需要研究其联合分布．
例 (例2续) 在前面测量物体长度的例
子中,如果我们是在完全相同的条件下,独立
地测量了n次,把这n次测量结果,即样本记为 X1,X2 , ,Xn .
那么我们完全有理由认为,这些样本相互
独立且有相同分布; 其分布与总体分布N(,2)相同．
推广到一般情况,如果我们在相同条件 下对总体X进行n次重复的独立观测,那么就可 以认为所获得的样本X1,X2 , ,Xn是n个独立 的且与总体X同样分布的随机变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机
样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互 独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示. 若总体的分 布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布 函数为： F(x1, x2, …,xn) =F(x1) F(x2) … F(xn)
n
F (xi ) . i 1
假设总体 X 为离散型随机变量，其概率
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推 断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信 息，必须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
分布列为P(X=xi)=p(xi),由于样本 X1,,Xn
独立同分布于X,于是其联合概率分布列为
p(x1, x2 , xn ) P{X x1, X x2 ,, X xn}
n
p(xi ) . i 1
假设总体 X 具有概率密度f(x)，由于样 本 X1,X2,,Xn 独立同分布于 X,于是其联合 概率密度为
名词
在统计文献中,通常称:
这样的样本──随机样本,简称为样本. n 样本大小或样本容量或样本数. X1,X2 , ,Xn ── 一组样本或一个样本 (这是把X1,X2 , ,Xn看成一个整体),或 n个 样品.
三. 总体、样本、样本值的关系 事实上我们抽样后得到的资料都是具体
的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取 10人测量身高，得到10个数，它们是样本取 到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变 量取的值而见不到随机变量.
数理统计的特点是应用面广，分支较多. 社会 的发展不断向统计提出新的问题.
学习统计无须把过多时间化在计算上， 可以更有效地把时间用在基本概念、方法原 理的正确理解上. 国内外著名的统计软件包：
SAS，SPSS，R, STAT，EVIEWS等，都可
以让你快速、简便地进行数据处理和分析.
§5.1 数理统计的基本概念
容量为n的样本可以看作n维随机变量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的 一次观察值，简称样本值 .
样本X1,X2 , ,Xn既可被看成数又可
被看成随机变量,这就是所谓 样本的二 重性.
注意 需要特别强调的是,以后凡是离开具
体的一次观测或试验来谈及样本 X1,X2 , ,Xn 时,它们总是被看成随机变 量.