三3-1数理统计基础

则
n
pi xi x1 p1 x2 p2 xn pn
i 1
为 x1 , x2 , , xn 的加权平均数，p1 , p2 ,, pn 为 x1 , x2 , , xn 相应的权。
例3 （补）
48名学生数学分数的情况如下表：
分数- 人数 分数- 人数 分数- 人数

样本具有以下两个特征：
X1, X 2 ,, X n 和总体X具有相同的分布， X1, X 2,, X n 是一组相互独立的随机变量。 统计学上,往往把具有以上特征的样本称
为简单随机样本
当一次抽样完以后，样本（ X1, X 2 ,, X n） 得到相应的一组观察值( x1, x2 ,, xn )， 我们把它称为样本值。
2.1 样本均 1.样本均值
设( X1 , X 2 , , X n ) 为总体X的样本，测得 样本值为 ( x1 , x2 , , xn ) ，称统计量
1 n
x n i1 xi
为样本均值 。
例1 某省在全国数学高考中，随机地抽 取11份卷子，他们的成绩分别为：
79，62，84，90，91，71，76，83， 98，77，78，
例3（补）
求上面补充题的样本方差和样本标准差 。
§3 众数与中位数
3.1 众数 在一组数据中，出现次数最多的一个数
叫做这组数据的众数。 众数描述了一组数据的集中趋势。
例3（补） 求上面补充题的众数。
3.2 中位数
把一组数据按大小次序排列，处在最中 间的位置的一个数据（或两个数据的平 均数）叫做这组数据的中位数。
第三章 数理统计基础
§1 总体与样本
1.1 总体与个体 在数理统计学中，我们把由全部研究对
象所组成的集合称为总体，而把组成总 体的每一个对象称为个体。
总体是某一个具有确定概率分布的随机 变量。一般也用大写字母X，Y，Z等表示。
我们把由从总体X中随机抽取出的n个个 体 X1, X 2 ,, X n 所组成的集合称为样本， 记作（ X1, X 2 ,, X n ）。样本中所含的个 体数目称为样本容量。
1.2 样本函数与统计量
1.统计量定义 定义 设 ( X1 , X 2 , , X n )是从总体X中抽出的
一个样本，若 g( x1 , x2 , , xn )是定义在
样本空间上不含任何未知参数的一个单 值函数，则称 g( X1 , X 2 , , X n ) 为统计 量。
§2 样本均值与样本方差
他的缺点有：由于数据的编制不同，可 能会得到不同的众数，所以它极不准确 、极不稳定，不适合代数运算，受抽样 变动较大。
众数常用在数据的粗略估计上。
其他的计算方法还有：
1 .加权平均数

x w n xi f i ， n f i 1
i 1
i 1
2 .几何平均数
x g n x1 x2 xn
3 .调和平均数
x H
n n1
x i 1 i
例4 （补）
某年初中入学考试的语文、数学、英文 成绩按比例4：3：3计入总分，如有一学 生的语文为72分，数学为94分，英语为 分，求该学生的总分。
例5（补） 某学生语文阅读理解能力测试分数如下
表：
测试次序 1 2 3 4 5
45 - 1
65 - 3 85 - 7
50 - 2
70 - 8 90 - 5
55 - 0
75 - 7 95 - 6
60 - 2
80 - 7
求其平均数。
2.2 样本方差
设( X1 , X 2 , , X n ) 为总体X的样本，测得
样本值为 ( x1 , x2 , , xn )，则称
S 2

1 n1
n i 1
(
xi

x
)2
及
s
1 n1
n i 1
(
xi

x
)2
为样本方差及样本标准差
例3 设用测温仪对某物体的温度测温了5 次，其样本值为： （单位：C）
1250，1265，1245，1260，1275， 求：1）样本方差； 2）样本标准差。
试求样本均值 x 。
例2 从一批电子元件中随机抽取6个,测得 其长度,得到数据(单位:cm）：
144.2，144.5，144.1，143.1，143.5， 143.8
求样本均值 x 。
在计算 x1 , x2 , , xn 的样本均值时，若 xi 中有相同的值，就可以合并计算，假设
阅读理解成绩 34.00 52.00 60.67 69.33 77.33
求其平均进步率。
例6（补） 5个学生每分钟写钢笔字分别为6个，9
个，12个Hale Waihona Puke Baidu12个，15个，这5个学生平均 写字的速度是多少？

全距、四分位距
不同的只有k各值，即 a1 ,a2 , ,ak ，并 且 ai 出现了mi 次，则
1 n
x n i1 xi
1k

n
miai
i 1

k
ai
i 1
mi n
加权平均数
给出一组数据 x1 , x2 ,, xn ，再给出一组
正数 p1 , p2 ,, pn ，这里 n pi 1 ， i 1
中位数的优点：
1 .比较严密确定； 2 .简明易懂； 3 .计算简便； 4 .受抽样变动小； 5 .不受两极端数值的影响。 缺点反应不灵敏，主要适用在数据有特
大或特小极端数值或个别数据不确切时 ，属于等级性质时。
众数的优缺点：
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值 的影响，但它不是一个良好的集中量。
如一组数据19，21，24，25，27 ，其中 为数是 24；
又如一族数据：23，24，25，26，28， 30，31，32，其中位数是25.5
例3（补） 求上面补充题的中位数。
算数平均数、中位数、众数之 间的关系
算数平均数的优点： 1 .反应灵敏； 2 .严密确定； 3 .简明易懂； 4 .适合代数运算； 5 .受抽样变动的影响较小。 它主要缺点是易受两极端数值的影响。