第十二章 复习题解答
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (48)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)按要求画图，并解答问题（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；（3）BE和CF的位置关系是；通过度量猜想BE和CF的数量关系是．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BE∥CF，BE＝CF．【解析】【分析】（1）根据中点的定义和射线的概念作图即可；（2）根据垂线的概念作图即可得；（3）根据平行线的判定以及全等三角形的判定与性质进行解答即可得．【详解】解：（1）如图所示，射线AD即为所求；（2）如图所示BE、CF即为所求；（3）由测量知BE∥CF且BE＝CF，∵BE⊥AD、CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴BE∥CF，又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF，故答案为：BE∥CF，BE＝CF．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握中点、射线、垂线的概念、平行线的判定及全等三角形的判定与性质等知识点．72．已知：如图，∠1＝∠2，AD＝AB，∠AED＝∠C，求证：△ADE≌△ABC．【答案】见解析【解析】【分析】根据AAS证明△ADE≌△ABC．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，在△ADE 和△ABC 中，∵DAE BAC AED C AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△ABC （AAS ）．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理AAS ，根据图形的特点选择恰当的判定定理是解题的关键.73．在△ABC 中，AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N（1）如图①，若∠BAC ＝110°，则∠MAN ＝ °，若△AMN 的周长为9，则BC ＝（2）如图②，若∠BAC ＝135°，求证：BM 2+CN 2＝MN 2；（3）如图③，∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H ．若AB ＝5，CB ＝12，求AH 的长【答案】（1）40；9；（2）见详解；（3）3.5【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM ＝BM ，NA ＝NC ，根据等腰三角形的性质得到BAM ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，结合图形计算即可；（2）连接AM 、AN ，仿照（1）的作法得到∠MAN ＝90°，根据勾股定理证明结论；（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝CP，根据角平分线的性质得到PH＝PE，证明Rt△APH≌Rt△CPE 得到AH＝CE，证明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，结合图形计算即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM ＝BM ，∴∠BAM ＝∠B ，同理AN ＝CN ，∠CAN ＝∠C ，∴∠BAM+∠CAN ＝45°，∴∠MAN ＝∠BAC ﹣（∠BAM+∠CAN ）＝90°，∴AM 2+AN 2＝MN 2，∴BM 2+CN 2＝MN 2；（3）如图③，连接AP 、CP ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，∵BP 平分∠ABC ，PH ⊥BA ，PE ⊥BC ，∴PH ＝PE ，∵点P 在AC 的垂直平分线上，∴AP ＝CP ，在Rt △APH 和Rt △CPE 中，PA PC PH PE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APH ≌Rt △CPE （HL ），∴AH ＝CE ，在△BPH 和△BPE 中，BHP BEP PBH PBE BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BPH ≌△BPE （AAS ）∴BH ＝BE ，∴BC ＝BE+CE ＝BH+CE ＝AB+2AH ，∴AH ＝（BC ﹣AB ）÷2＝3.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．74．如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，已知AC ＝DF ，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，求证：BC ∥EF【答案】见详解【解析】【分析】由全等三角形的性质SAS 判定△ABC ≌△DEF ，则对应角∠ACB ＝∠DFE ，故证得结论．【详解】证明：在△ABC 与△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴BC ∥EF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．75．已知：如图，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，AB ＝AD ，求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【解析】【分析】先利用ASA 证明△ABC ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质即得结论．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC +∠1＝∠2+∠DAC∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，B D AB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ADE （ASA ），∴BC ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答的关键．76．(l)观察猜想：如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥ 且90DAE ︒∠=，AD AE = ，则ADB ∆和EAC ∆是否全等？__________（填是或否），线段,,,AB AC BD CE 之间的数量关系为__________（2）问题解决：如图②，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AC = ，6AB = ，以AC 为直角边向外作等腰Rt DAC ∆ ，连接BD ，求BD 的长。
有机化学2 第十二章习题解答
A为 C为
B为
D为
上页 下页 退出
第十二章 羧酸习题解答
12.3 区别下列各组化合物：
（1）甲酸、乙酸和乙醛；
甲酸、乙酸具有较强的酸性，可以与NaCO3反应产生CO2， 另外，甲酸具有一定的还原性，而乙酸则无还原性。
上页 下页 返回 退出
（2）乙醇、乙醚和乙酸；
（3）乙酸、草酸、丙二酸；
草酸和丙二酸在加热下易发生脱羧反应，产生的CO2可以使碱石灰 水产生沉淀。此外，草酸具有还原性，而丙二酸则无此性质，因此可以 用KMnO4水溶液来区分。 上页 下页 退出
上页 下页
退出
(3) CH3CH2CH2CH2Br
(4) CH3CH2CH2CH2CN
上页 下页
退出
(5) CH3CH2CH=CH2
(6) CH3CH2CH2CH2NH2
上页 下页
退出
12.8 (1) 按照酸性降低的次序排列下列化合物： ① 乙炔、氨、水； ② 乙醇、乙酸、环戊二烯、乙炔 (1) 酸性从大到小： 水 > 乙炔 > 氨； (2) 乙酸 > 环戊二烯 > 乙醇 > 乙炔 (2) 按照碱性降低的次序排列下列离子 ① ②
（4）丙二酸、丁二酸、己二酸
上页 下页
退出
12.4 完成下列转变：
(1) CH2=CH2 → CH3CH2COOH
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (55)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)（1）如图，点C 、D 在线段AB 上，D 是线段AB 的中点，AC =13AD ，CD=4 ，求线段AB 的长．（2）如图，点O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，若∠AOD =14°，求∠DOE 、∠BOE 的度数．【答案】（1）12；（2）∠DOE =90°，∠BOE =76°．【解析】【分析】（1）根据AC 13=AD ，CD ＝4，求出CD 与AD ，再根据D 是线段AB 的中点，即可得出答案；（2）利用角平分线和图中角与角的关系计算即可．【详解】（1）∵AC 13=AD ，CD ＝4，∵CD ＝AD ﹣AC ＝AD 13-AD 23=AD ，∵AD 32=CD ＝6．∵D 是线段AB 的中点，∵AB ＝2AD ＝12．（2）∵OD 是∠COA 的平分线，∵AOD ＝14°，∵∵AOC ＝2∵AOD ＝2×14°＝28°．∵∵AOB＝180°，∵∵BOE12=∵BOC12=⨯（180°﹣∵AOC）＝76°；∵DOE12=∵BOC12+∵AOC＝76°+14°＝90°．故∠DOE＝90°，∵BOE＝76°．【点睛】本题考查了两点间的距离公式和角平分线的定义，根据线段中点的定义和角平分线定义得出所求与已知的关系是解题的关键．42．如图，OC平分∠AOB,OA=OB, PD∠AC于点D,PE∠BC 于点E，求证：PD = PE.【答案】详见解析.【解析】【分析】根据OC平分∠AOB，得到∠AOC=∠BOC，证得△AOC≌△BOC，根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC．在△AOC和△BOC中，∵OC=OC，∠AOC=∠BOC，OA=OB，∴△AOC≌△BOC (SAS) ，∴∠ACO=∠BCO．又∵PD∵AC，PE∵BC，∵PD = PE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．43．如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH∠AB于点H，那么CF=EH吗？说明理由．【答案】详见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质得出CE=HE，∠CAE=∠EAH，再由两角互补的性质得出∠AEC=∠AEH，根据平行线的性质得出∵EFC=∵AEH，所以∵AEC=∵EFC，即可证得结论．【详解】∵在∵ABC中，∵ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH∵AB于点H，∵CE=HE，∵CAE=∵EAH，∵∵CAE+∵AEC=90°，∵EAH+∵AEF=90°∵∵AEC=∵AEH，∵CD∵AB，EH∵AB，∵CD∵EH，∵∵EFC=∵AEH，∵∵AEC=∵EFC，∵CE=CF，∵CF=EH．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．44．(1)如图(1)，已知A、B位于直线MN的两侧，请在直线MN上找一点P，使PA+PB最小，并说明依据．(2)如图(2)，动点O在直线MN上运动，连接AO，分别画∠AOM、∠AON 的角平分线OC、OD，请问∠COD的度数是否发生变化？若不变，求出∠COD 的度数；若变化，说明理由．【答案】(1)见解析；(2)∵COD的度数不会变化，为90°.【解析】【分析】（1）根据两点之间，线段最短，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点；（2）根据角平分线的概念以及平角的概念进行求解即可.【详解】(1)如图，连接AB交MN于点P，则P就是所求的点，理由：两点之间，线段最短；(2)∠COD的度数不会变化，∵OC是∠AOM的平分线，∴∠COA＝12∠AOM，∵OD是∠AON的平分线，∴∠AOD＝12∠AON，∵∠AOM+∠AON＝180°，∴∠COD=∠COA+∠AOD＝12∠AOM+12∠AON＝12(∠AOM+∠AON)＝90°．【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质、角平分线的定义、平角的定义等，熟练掌握是解题的关键.45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D（要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）65°．【解析】【分析】（1）分析题意，根据角平分线的作法作出∵BAC的平分线AD即可.(2)根据题意求出∠DAC的值，随之即可解答.【详解】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+25°＝65°．【点睛】此题主要考查了角平分线的作法和直角三角形的性质，本题就属于尺规作图中的四种基本作图之一：作角平分线，旨在通过画图，培养学生的作图能力及动手能力，明确尺规作图的意义，体会数学作图语言和图形的和谐统一.46．如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线，试说明：（∠BON-∠AON）；（1）∠MON=12（∠AOG+∠BOG）．（2）∠MOG=12【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠AOM=∠BOM，根据∠AOM=∠AON+∠MON，∠MON=∠BON-∠MON即可解题；(2) 由角平分线的定义可得∠AOB=2∠AOM，再根据∠BOG=∠AOB+∠AOG，∠AOM+∠AOG=∠MOG，继而可得∠AOG+∠BOG=2∠MOG，从而问题得证.【详解】(1)∵OM平分∠AOB，∴∠AOM=∠BOM，∵∠AOM=∠AON+∠MON，∠BON=∠BOM+∠MON，∴∠BON=∠AON+∠MON+∠MON，∴∠BON-∠AON=2∠MON，∴∠MON=12（∠BON-∠AON）；(2)∵OM平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOM，∵∠BOG=∠AOB+∠AOG，∴∠AOG+∠BOG=∠AOG+∠AOB+∠AOG=∠AOB+2∠AOG，∴∠AOG+∠BOG=2∠AOM+2∠AOG=2（∠AOM+∠AOG），∵∠AOM+∠AOG=∠MOG，∴∠AOG+∠BOG=2∠MOG，∴∠MOG=12（∠AOG+∠BOG）.【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，弄懂图形，熟练运用相关知识是解题的关键.47．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】∵点P在∠ABC的平分线上，∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.48．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．（1）发射塔修建在什么位置？在图上标出它的位置．（2）写出选址的理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．【详解】（1）发射塔应建在直线m、n相交所成锐角的S区角平分线和A、B两点所连线段的垂直平分线的交点P处．如图所示：(2)理由：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．【点睛】本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图.49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ∠BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用尺规作出∠CAB的平分线即可；（2）存在．结论：PA=PE，只要证明∠PAE=∠PEA即可；【详解】解：（1）∠BAC的平分线如图所示；（2）存在．PA=PE．理由：∵PD⊥BC，∴∠C=∠PDB=90°，∴AC∥PE，∴∠CAE=∠AEP，∵∠EAB=∠EAC，∴∠PAE=∠PEA，∴PA=PE．【点睛】考查作图—基本作图以及等角对等边的性质，掌握角平分线的作法是解题的关键.50．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝112°.(1)按下列要求作图：(保留作图痕迹)①BC边上的高AD；②∠A的平分线AE.(2)求∠DAE的度数．【答案】①见解析；②见解析;(2) 37°．【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC即可；②作∠A的角平分线AE即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠BAE的度数，再由直角三角形的性质可得出∠BAD的度数，进而可得出结论．【详解】：（1）如图所示；（2）在△ABC中，∠BAC=180°-112°-38°=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=15°，在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠B=52°，∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=37°．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知角平分线的作法是解题的关键．。
安徽亳州市八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典复习题(含答案解析)
一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3D解析：D【分析】 设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：B【分析】 根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．【详解】∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠，即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；①和④不构成三角形全等的条件，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°B解析：B【分析】 由SAS 证明△BDE ≌△CFD ，得出∠BDE=∠CFD ，∠EDF 可由180°与∠BDE 、∠CDF 的差表示，进而求解即可．【详解】解：在△BDE 与△CFD 中，BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△CFD （SAS ）；∴∠BDE=∠CFD ，∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF ）=180°-（∠CFD+∠CDF ）=180°-（180°-∠C ）=50°； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 4．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠ C解析：C【分析】 根据全等三角形的判定与性质综合分析即可；【详解】在ABC 和DCB 中，A D ABC DCB BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，故ABC DCB △△≌，A 不符合题意；在ABC 和DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，故ABC DCB △△≌，B 不符合题意；只有AC=BD ，BC=CB ，ABC DCB ∠=∠，不符合全等三角形的判定，故C 符合题意；在ABC 和DCB 中，ACB DBC CB BC ABC DCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，故ABC DCB △△≌，D 不符合题意；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠ C 解析：C【分析】 根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．【详解】解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，∴△BFD ≌△CDE ，∴∠BFD=∠EDC ，∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，∴∠B=∠EDF ，又∵∠B=∠C=18019022A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-∠， 故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D 10B解析：B【分析】 根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ，∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．7．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．8．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC ，则ABD △与ACD △的面积比为（ ）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:16A解析：A【分析】 过点D 作DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，由AD 为角BAC 的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF ，再根据三角形的面积公式表示出△ABD 与△ACD 的面积之比，把DE=DF 以及AB ：AC 的比值代入即可求出面积之比．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．∵AD 为∠BAC 的平分线，∴DE=DF ，又AB ：AC=4：3，∴S △ABD ：S △ACD =（12AB•DE ）：（12AC•DF ）=AB ：AC=4：3． 故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12A解析：A【分析】 根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．10．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒D解析：D【分析】利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.【详解】解：A，AB BC CA+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；B，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.故选:D【点睛】本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B 解析：120【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，＝12AB•DE＋12BC•CD，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．12．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE ⊥AB ∴△AED 和△ACD 都是直角三角形在Rt △AED 和Rt △ACD 中DE=DCAD=AD解析：2【分析】先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C =90°，DE ⊥AB ，∴△AED 和△ACD 都是直角三角形，在Rt △AED 和Rt △ACD 中，DE=DC,AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （HL ），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL 证明三角形全等是解答本题的关键．14．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，AX ⊥AC 于A ，P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动．当PQ ＝AB ，AP ＝_____时，△ABC 和△APQ 全等．8cm 或15cm 【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ）此时AP ＝AC ＝15cm 【详解】解：①当P 运动解析：8cm 或15cm【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时，Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时，Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），此时AP ＝AC ＝15cm ．解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，AB QP BC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，AB PQ AC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．16．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出． 【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB解析：24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，∴DE=CD=4，∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12×12×4=24． 故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．18．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ． 15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC 然后求出DC 即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD ：DC=5：3∴DC=15cm ∵BD 平分∠ABCDE ⊥AB ∠C=90°∴DE=DC=15cm 即D 到AB解析：15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC ，然后求出DC 即得答案．【详解】解：∵AC=40cm ，AD ：DC=5：3，∴DC=15cm ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴DE=DC=15cm ，即D 到AB 的距离为15cm ．故答案为：15．【点睛】本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 19．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC，∴△ACD≌△BCE．∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC．∵∠DAC＋∠ABC＝90°，∴∠EBC＋∠ABC＝90°．∴△BDE为直角三角形．∵AB＝17，BD＝5，∴AD＝AB－BD＝12．∴S△BDE＝1BD BE＝30．2故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．20．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是_____．9【分析】根据已知条件证得△ABP≌△DBP根据全等三角形的性质得到AP＝PD得出S△ABP＝S△DBPS△ACP＝S△DCP推出S△PBC ＝S△ABC代入求出即可【详解】解：如图延长AP交BC于点解析：9【分析】根据已知条件证得△ABP ≌△DBP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝PD ，得出S △ABP ＝S △DBP ，S △ACP ＝S △DCP ，推出S △PBC ＝12S △ABC ，代入求出即可． 【详解】解：如图，延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC∴∠ABP ＝∠DBP ，且BP ＝BP ，∠APB ＝∠DPB∴△ABP ≌△DBP （ASA ）∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △BPD ，S △APC ＝S △CDP ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝9， 故答案为：9．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．三、解答题21．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．求证：CD 平分ACE ∠．解析：见解析【分析】根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．【详解】证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，D ABD ∴∠=∠，ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠又A ABC ∠=∠，ACD DCE ∴∠=∠，CD ∴平分ACE ∠．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．22．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．求证：（1）CBA FED ∠=∠；（2）AM DM =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．【详解】证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴CBA FED ∠=∠．（2）∵CBA FED ∠=∠∴ME MB =，且AEMDBM ∠=∠ 又∵AB DE =∴AB EB DE EB -=-即AE DB =在AEM △和DBM △中AEM DBM ME MB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEM DBM SAS △≌△∴AM DM =．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．23．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．解析：（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．【分析】（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．【详解】（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． ∴12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，∴90AOC ∠=︒， ∴1452DOE AOC ∠=∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为12AOC ∠．【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．24．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△． 第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．解析：（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析【分析】（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】解：（1）存在，如图所示．射线EM 上有两个点满足要求．（2）不一定全等．如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等， 故答案为：不一定全等；（3）△ABC 和△DEF 全等．理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．∵ABC DEF ∠=∠，∴CBM FEN ∠=∠．∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，∴90CMB FNE ∠=∠=︒．在△CBM 和△FEN 中，∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．∴BM EN =，∴CM FN =．在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．∴AM DN =，∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．又∵BC EF =，∴△ABC 和△DEF （SSS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．25．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．解析：见解析【分析】由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，AF DE BF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．26．如图，在△ABD 中，∠ABC=45°，AC ，BF 为△ABD 的两条高，CM//AB ，交AD 于点M ；求证：BE=AM+EM ．解析：见解析【分析】求出∠CAD ＝∠EBC ，∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，证出△BCE ≌△ACD ，求出CE ＝CD ，∠ECM ＝∠DCM ，证△ECM ≌△DCM ，推出DM ＝ME ，即可得出答案．【详解】∵AC 、BF 是高，∴∠BCE ＝∠ACD ＝∠AFE ＝90°，∵∠AEF ＝∠BEC ，∠CAD ＋∠AFE ＋∠AEF ＝180°，∠EBC ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°， ∴∠DAC ＝∠EBC ，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝45°＝∠ABC ，∴BC ＝AC ，在△BCE 和△ACD 中BCE ACD BC ACEBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝AD ．∵CM ∥AB ，∴∠MCE ＝∠BAC ＝45°，∵∠ACD ＝90°，∴∠MCD ＝45°＝∠MCE ，∵△BCE ≌△ACD ，∴CE ＝CD ，在△CEM 和△CDM 中CE CD ECM DCM CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEM ≌△CDM （SAS ），∴ME ＝MD ，∴BE ＝AD ＝AM ＋DM ＝AM ＋ME ，即BE ＝AM ＋EM ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．27．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度解析：（1）证明见解析；（2）2cm ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．【详解】（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，90ADC E ∠=∠=∴︒，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴≅，AD CE ∴=；（2）由（1）已证：AD CE =，6AD cm =，6CE cm ∴=，4DE cm =，2CD CE DE cm ∴=-=，又由（1）已证：ACD CBE ≅，2BE CD cm ∴==．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．28．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．。
江苏省盐城中学八年级数学上册第十二章【全等三角形】经典复习题(答案解析)
一、选择题1．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．642．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．74．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = 5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm6．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA7．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．10 9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL11．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题12．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．15．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．17．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．18．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．19．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．20．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．21．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．三、解答题22．（1）如图，∠MAB ＝30°，AB ＝2cm ，点C 在射线AM 上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为 cm （精确到0.lcm ）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．23．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．24．在ABC 中，AD 是ABC 的高，30B，52C ︒∠=（1）尺规作图：作ABC 的角平分线AE（2）求DAE ∠的大小．25．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC 满足什么条件时，//BC DE ？一、选择题1．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°2．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°4．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）A ．90A ︒-∠B ．1802A ︒-∠C ．1902A ︒-∠D ．11802A ︒-∠5．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA6．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 7．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA8．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:49．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 10．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．311．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°二、填空题12．如图，AC=BC ，请你添加一个条件，使AE=BD ．你添加的条件是：________．13．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________14．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．17．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．18．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．19．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．20．如图，已知ABC DCB ∠=∠，则需添加的一个条件是______可使ACB DBC ≌．（只写一个即可，不添加辅助线）．21．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．三、解答题22．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△．第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．23．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，点E 、F 在BC 上，BE CF =，再添加一个什么条件后可推出AF DE =，写出添加的条件并完成证明．24．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．25．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC求证：AB∥CD证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）∴∠＝∠（等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．一、选择题1．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．642．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 4．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．77．下列说法正确的是（ ）A ．两个长方形是全等图形B ．形状相同的两个三角形全等C ．两个全等图形面积一定相等D ．所有的等边三角形都是全等三角形8．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等9．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．EB=DFC ．AD=BCD ．AE=CF 10．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（ ）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52°11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题12．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．15．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______16．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．18．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．19．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．20．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．21．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．三、解答题22．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．23．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）24．如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，EF ∥CD ，AE ∥BC ，且AD ＝BF ．求证：AE ＝BC25．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ； ②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ； ④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=,，，∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）． ∴A O B AOB '''∠=∠． ∴A O B '''∠就是所求作的角．。
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能B 解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC ，∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ，从而可得∠AOP=∠MON ．【详解】解：∵OP 平分∠AOC ，∴∠AOP=12∠AOC ， ∵OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线， ∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ， ∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ， ∴∠AOP=∠MON ．故选B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒A解析：A【分析】 由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．5．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．6．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A．4 B．3 C．2 D．1D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点； 在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．7．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12A解析：A【分析】 根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．8．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅ ∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°C解析：C【分析】 利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB ≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB ，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B 解析：120【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，＝12AB•DE＋12BC•CD，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()0,3，另一个顶点B的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B 根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC ∠A ＝35°∠C ＝25°∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△解析：120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B ，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．【详解】解：∵△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝25°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC ≌△A'B'C'，∴∠B ＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB ＝∠ACD ，则△ABC ≌△ADC （ASA ）；若添加条件∠ABC ＝∠ADC ，则△ABC ≌△ADC （AAS ）；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1解析：55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．20．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．三、解答题 21．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC即为所求，AB C即为所求，②如图，''【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．解析：（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，∴∠ADE=∠ADF ；（2）结论2：AE=AF ，证明如下：由（1）可知：△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．23．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴=在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．解析：见解析．【分析】根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；【详解】∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，∴ACB F ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；25．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．26．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．（1）求证：直线FH 是O 的切线；（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．解析：（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-【分析】 （1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．【详解】（1）连接BE ，OF∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∵90A ∠=︒，∴BE 是O 的直径，∵点E 是AD 中点，∴EA EC =，∴△EAB ≌△EDC ，∴EB EC =，∴EBC ECB ∠=∠，∵OB OF =，∴ECB OFB ∠=∠，∴ECB OFB ∠=∠，∴//OF EC ，∴OFH FHC ∠=∠，∵FH CE ⊥，∴90FHC OFH ∠=∠=︒，又∵OF 是O 的半径，∴直线FH 是O 的切线．（2）EC 与O 相切． 理由如下：连接EF ，由（1）知，BE 是O 直径，∴90EFB EFC ∠=∠=︒，∵点H 是CE 中点，∴FH EH HC ==，∵FH CE ⊥，∴90FHC ∠=︒，∴45ECF HFC ∠=∠=︒，∴90BEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴直线EC 与圆O 相切．由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ===⨯= ∴224BE AB AE =+=，∴2OE OF ==， ∴2290π224π360OFHE OEFS S S ⨯=-=-=-正方形扇形． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．27．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．28．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．（1）求证：DE EF =．（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．解析：（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．【详解】（1）证明：∵//AD BC ，∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．∵E 为AC 的中点，∴AE CE =．在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CFE AAS ≅△△．∴DE EF =．（2）解：∵ADE CFE ≅，∴12AD CF ==．∵:2:3BF CF =，∴8BF =，∴81220BC BF CF =+=+=．【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (91)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)一、单选题1．如图，DF 是BDC ∠的平分线，//AB CD ，若118ABD ∠=，则1∠的度数为（ ）A ．29B ．31C ．35D ．40【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠BDC ，进而利用角平分线的定义得出∠ADC ，利用平行线的性质解答即可．【详解】∵,118A AB C BD D ∠=∥∴62BDC ∠=∵DF 是∠BDC 的平分线，∴31ADC ∠=∵//AB CD∴131∠=故选B.【点睛】此题考查平行线和角平分线的性质，解题关键在于掌握运算法则.2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，点P到边OB的距离为4，则PD =（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PE=4，∴PD=4，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．3．如图,在ABC中,∠C=90° ,∠A的平分线交BC于D,BC=12cm,CD:BD=1:2，则点D到斜边AB的距离为（）．A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】B【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质可得CD＝DE，求出CD即可．【详解】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到斜边AB的距离，∵BC＝12cm，CD：BD＝1：2，∴CD＝13BC＝4cm，∵∠BAC的平分线是AD，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解此题的关键．4．如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，连接BG并延长，交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中：①AD 是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD 上的高．正确的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】对于①，根据角平分线的定义和已知可以判断AG是△ABE的角平分线，据此判断①是否正确；对于②，根据已知可以判断BG是△ABD边AD上的中线，据此可对②进行判断；对于③，根据CF⊥AD于H，结合三角形的高的定义即可判断③.∵∠1=∠2，∴AG 是△ABE 的角平分线，∴AD 不是△ABE 的角平分线.故①错误.∵G 为△ABD 边AD 的中点，∴BG 是△ABD 边AD 上的中线，∴BE 不是△ABD 边AD 上的中线.故②错误.∵CF ⊥AD 于H ，∴CH 为△ACD 的边AD 上的高.故③正确.综上可知，正确的结论只有1个.故选B.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键解在于掌握各性质定义.5．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论，①BDF ∆是等腰三角形；②DE BD CE =+；③若50A ∠=， 105BFC ∠=； ④BF CF =.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】主要考查了平行线，角平分线，等腰三角形的知识，综合性比较强，需要仔细分析.【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠FBC=∠FBD ，∵∠DBF=∠DFB,∴△BDF 是等腰三角形． 所以①正确；由①可得△BDF 是等腰三角形，同理可得△ECF 是等腰三角形DE=DF+EF,∵DF=DB,EF=CE∴DE=DB+CE; 所以②正确；若50A ∠=，则11180-=--=+50=11522BFC ∠=⨯（∠FBC+∠FCB ）180（180∠A ）90 所以③错误；④△BDF ，△ECF 都是等腰三角形，但是无法证全等，所以④错误.综上正确的是①②，选B【点睛】三角形的内角角平分线相交所形成的钝角大小为（90°+12顶角）. 6．如图所示，等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，过D 作DE AB ⊥于E ，若CD b =，BD a =，那么AB 的长度是( )A ．+a bB ．2+a bC ．2a b +D ．22a b +【答案】B【解析】【分析】 只要证明AC ＝AE ＝BC ＝a ＋b ，CD ＝DE ＝BE ＝b 即可解决问题．【详解】解：∵CA ＝CB ，∠C ＝90°，∴∠B ＝45°，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠EDB ＝∠B ＝45°，∴ED ＝EB ，∵DA 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ＝EB ＝b ，∵DC ＝DE ，AD ＝AD ，∠C ＝∠AED ＝90°，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE （HL ），∴AE＝AC＝BC＝a＋b，∴AB＝AE＋BE＝a＋2b，故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（）A．mn B．5mn C．7mn D．6mn【答案】A【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图,过点D作DE⊥AB于E,∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°，∴DE=CD=m，∴△ABD的面积=12×2n×m=mn，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握运算公式.8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC 的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】∵点O是△ABC内一点，且O到三边的距离相等，∴O是△ABC的内切圆的圆心，即为△ABC内角平分线的交点，∴∠OCB=12∠ACB，∠OBC=12∠ABC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，∴∠OBC+∠OCB =12（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，判断出点O是△ABC角平分线的交点是解题的关键，要注意整体思想的利用．9．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于( )A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质和对顶角相等得出∠1=∠2=∠3，由角平分线的定义求出∠AOC= 12∠AOB=20°，由直角三角形的性质求出∠3=70°，即可得出∠1的度数．【详解】如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=12∠AOB=20°， ∴∠3=90°-20°=70°，∴∠1=70°；故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1=∠3是解决问题的关键．10．如图，ABC △中，90︒∠=C ，AC BC =，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6cm AB =， 则DEB ∆的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．10cmD ．12cm【答案】B【解析】【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．【详解】△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴，DE=CD∴故△DEB的周长为：=6．故选：B【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (20)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，AD 是△ABC 的高线，AB ＝AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，求证：DE ＝DF ．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据已知条件证出AD 是∠BAC 的平分线，再根据角平分线的性质可得出答案．【详解】证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质以及角平分线的性质，关键是证出AD 是∠BAC 的平分线．22．用圆规和直尺作图，不写作法，保留作图痕迹.已知及其边上一点.在内部求作点，使点到两ABC ∠BC D ABC ∠P P ABC ∠边的距离相等，且到点，的距离相等.【答案】见解析.【解析】【分析】作∠ABC 的平分线BK ，线段BD 的垂直平分线MN ，射线BK 与直线MN 的交点P 即为所求.【详解】解：点P 是∠ABC 的平分线与线段BD 的垂直平分线的交点，如图点P 即为所求.【点睛】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．23．在中，已知.BD ABC ∆A α∠=（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；②的度数为 （用含的代数式表示）；（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将以直线BC 为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．【答案】（1）①；②；(2) （3） 【解析】【详解】：（1）①；②； （2）∵和分别平分和∴, ∴ABC ACB ∠∠、D 80α=BDC ∠BDC ∠αABC ∠ACE ∠F BFC ∠αFBC ∆GBC ∆GBC ∠GCB ∠M BMC ∠α1301902α+12BFC α∠=1904BMC α∠=+1301902α+BF CF ABC ∠ACE ∠12FBC ABC ∠=∠12FCE ACE ∠=∠BFC FCE FBC ∠=∠-∠()12ACE ABC =∠-∠即 （3）由轴对称性质知： 由（1）②可得 ∴． 24．如图，，，、分别是和的角平分线，与平行吗？说明你的理由.【答案】，理由见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质及判定即可求解.【详解】理由如下：因为，所以，，所以12A =∠12BFC α∠=12BGC BFC α∠=∠=1902BMC BGC ∠=+∠1904BMC α∠=+//AB CD //ADBC BF DE ABC ∠ADC ∠DE BF DE BF ∕∕DE BF ∕∕//AB CD //AD BC 180ADC A ∠+∠=︒180ABC A ∠+∠=︒CDE AED ∠=∠ADC ABC ∠=∠因为、分别是和的角平分线所以，， 因为所以所以【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知角平分线的性质及平行线的性质与判定定理.25．已知，如图，AE 是的平分线，.求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的定义得到，然后利用得到AE ∥CD ，进而得到，进行证明.【详解】BF DE ABC ∠ADC ∠12CDE ADC ∠=∠12ABF ABC ∠=∠CDE ABF ∠=∠CDE AED ∠=∠AED ABF ∠=∠//DEBF BAC ∠1D ∠=∠12∠=∠1EAC ∠=∠1D ∠=∠2EAC ∠=∠证明：∵AE 是的平分线∴∵∴AE ∥CD∴∴【点睛】本题考查角平分线的定义和平行线的判定和性质，熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等是本题的解题关键.26．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切与点C ，与AB 的延长线交于点D ，CE ⊥AB 于点E 。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形复习题(含答案) (55)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习题（含答案)农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.【答案】400m 2.【解析】试题分析：可延长DE 至F ，使EF=BC ，可得△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求出结论．试题解析：如图,延长DE 至点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF.易得CD=FD.因为,,,AB AE ABC AEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△AEF(SAS).所以AC=AF.在△ACD 与△AFD 中,因为,,,AC AF CD FD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ACD ≌△AFD(SSS).所以五边形ABCDE 的面积是2S △ADF =2×12·DF ·AE=2×12×20×20=400(m 2). 42．如图,AB=DC,∠A=∠D ．试说明:∠ABC=∠DCB ．【答案】说明见解析.【解析】试题分析：连接AC 、BD ，利用“边角边”证明△ABD 和△DCA 全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=BD ，再利用“边边边”证明△ABC 和△DCB 全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．试题解析：证明：如图，连接AC 、BD ，在△ABD 和△DCA 中，AB DC BAD CDA AD DA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△DCA （SAS ），∴AC=BD ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC BD BC CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ），∴∠ABC=∠DCB ．43．如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.(1)若点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度从点B 向终点C 运动,同时．．点Q 在线段CA 上从点C 向终点A 运动.①若点Q 的速度与点P 的速度相等,经过1 s 后,请说明△BPD ≌△CQP . ②若点Q 的速度与点P 的速度不等,当点Q 的速度为多少时,能使△BPD ≌△CPQ?(2)若点P 以3 cm/s 的速度从点B 向点C 运动,同时．．点Q 以5 cm/s 的速度从点C 向点A 运动,它们都依次沿△ABC 三边运动,则经过多长时间,点Q 第一次在△ABC 的哪条边上追上点P?【答案】（1）说明见解析；（2）当点Q 的运动速度为154cm/s 时,能使△BPD ≌△CPQ.（3）10s.【解析】 试题分析：（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD 与△CQP 全等；②设点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP=3t ，CQ=xt ，CP=8-3t，当△BPD ≌△CQP ，则BP=CQ ，CP=BD ；然后分别建立关于t 和v 的方程，再解方程即可；（2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10，解方程得到点P 运动的路程为3×10=30，得到此时点P 在BC 边上，于是得到结果．试题解析：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，∴BP=CQ ，∵D 为AB 的中点，∴BD=AD=5，∵CP=BC-BP=5，∴BD=CP ，在△BPD 与△CQP 中，BD CP B C BP CQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BPD ≌△CQP ；②设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为vcm/s ，∵△BPD ≌CPQ ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t=433BP ＝， ∴v=515443CQ t==； （2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10， 解得：x=10，∴点P 运动的路程为3×10=30，∵30=28+2，∴此时点P 在BC 边上，∴经过10秒，点Q 第一次在BC 边上追上点P ．44．如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x.【答案】-2a CD . 【解析】试题分析：可设计如图所示的工具,利用△AOB ≌△COD 即可求解. 试题解析：可设计如图所示的工具,其中O 为AC,BD 的中点.在△AOB 和△COD 中,,,,AO CO AOB COD BO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△AOB ≌△COD(SAS).所以AB=CD.所以测量出C,D 之间的距离,CD 的长就是A,B 间的距离.因为AB=a-2x,所以x=-2a AB =-2a CD . 45．如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)【答案】合乎要求.理由见解析.【解析】试题分析：根据题意，证明△ABO ≌△ACO 即可得解.试题解析:合乎要求.理由如下:在△ABO 和△ACO 中,,,,AO AO AOB AOC OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABO ≌△ACO(SAS).所以∠BAO=∠CAO.所以合乎要求.46．如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ．（1）请你利用尺规作图作出点D ；（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AB=6，AC=3，则BE=________.【答案】（1）作图见解析；（2）1.5.【解析】试题分析:试题解析:（1）如图所示：（2）连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE,∠F=∠DEB=90∘，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BD DF DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDF ≌Rt △BDE (HL )，∴BE =CF ，∴AB =AE +BE =AF +BE =AC +CF +BE =AC +2BE ，∵AB =6，AC =3，∴BE =1.5.故答案为：1.5.47．已知，如图，B 、C 、D 三点共线，AB ⊥BD ，ED ⊥CD ，C 是BD 上的一点，且AB=CD ，⊥1=⊥2，请判断⊥ACE 的形状并说明理由．【答案】见解答过程．【解析】试题分析：由等角对等边，得到AC =CE ，再通过HL 判断Rt △ABC △Rt △CDE ，得到△ACB =△CED ，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论．试题解析：解：△ACE 是等腰直角三角形．理由如下：△△1=△2，△AC =CE ．△AB △BD ，ED △CD ，△△ABC 和△CDE 是直角三角形．在Rt △ABC 与Rt △CDE 中，△AC =CE ，AB =CD ，△Rt △ABC △Rt △CDE ，△△ACB =△CED ．△△CED +△ECD =90°，△△ACD +△ECD =90°，△△ACE =90°，△△ACE 是等腰直角三角形．48．如图，A，D，E三点在同一直线上，且⊥BAD⊥⊥ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)⊥ABD满足什么条件时,BD⊥CE．【答案】（1）证明见解析；（2）△ADB=90°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．【详解】解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE；(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°，∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．49．如图,△ADF≌△CBE,且点E,B,D,F在一条直线上.试判断:(1)AD与BC的位置关系(并加以说明);(2)BF与DE的数量关系,并说明理由.【答案】(1)AD∥BC；(2)BF=DE【解析】试题分析：（1）由“已知全等三角形的对应角相等”推知∠ADF=∠CBE，则等角的补角相等，即内错角∠ADB=∠CBD，则易证得AD∥BC；（2）由“已知全等三角形的对应边相等”推知BE=DF，则根据等式的性质得到BE+BD=DF+BD，即BF=DE．试题解析: (1)AD∥BC.理由如下：∵△ADF≌△CBE，∴∠ADF=∠CBE，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；(2)BF=DE.理由如下：∵△ADF≌△CBE，∴BE=DF，∴BE+BD=DF+BD，即BF=DE.50．如图,△ACB与△BDA全等,AC与BD对应,BC与AD对应,写出其余的对应边和对应角.【答案】见解析【解析】试题分析：利用全等三角形的性质分别得出对应点进而得出对应边与对应角关系．试题解析: ∵△ACB≌△BDA,∴AB=BA;∠CBA=∠DAB,∠CAB=∠DBA,∠C=∠D.。
大学物理 第十二章 真空中静电场习题解答
第十二章 真空中静电场习题解答（参考）12．6 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． 在圆弧上取一弧元 d s =R d φ， 所带的电量为 d q = λd s ， 在圆心处产生的场强的大小为 2200d d d d 44q s E kr R Rλλϕπεπε===， 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ． 总场强为2/20/2cos d 4x E Rπθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=，方向沿着x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为`04E Rλπε=，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为``02coscos 222x E E R θλθπε==，方向沿着x 轴负向．当O 点合场强为零时，必有`x x E E =，可得 tan θ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．12．8 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为图12.6RΦe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，穿过高斯面的电通量为d d 2e SSE S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）．12.11 13．9 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`． 在板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e SΦ=⋅⎰E S2d d d S S S =⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰E S E S E S 1`02ES E S ES =++=，高斯面内的体积为 V = 2rS ，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②方法二：场强叠加法．（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为d σ = ρd y ，产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0，积分得100/2d ()222rd y dE r ρρεε-==+⎰，③ 同理，上面板产生的场强为/2200d ()222d ry dE r ρρεε==-⎰，④ r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d /2，得E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为2230(3)8Q R r U Rπε-=． [证明] 球的体积为343V R π=， 电荷的体密度为 334Q QV R ρπ==． 利用高斯定理的方法可求球内外的电场强度大小为30034QE r r Rρεπε==，（r ≦R ）； 204Q E rπε=，（r ≧R ）．取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为d d d RrrRU E r E r ∞∞=⋅=+⎰⎰⎰E l3200d d 44RrRQ Q r r r R rπεπε∞=+⎰⎰230084R rRQQ r R rπεπε∞-=+22300()84Q Q R r RRπεπε=-+2230(3)8Q R r R πε-=．12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势．在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为 d V = 4πr 2d r ， 包含的电量为d q = ρd V = 4πρr 2d r ， 在球心处产生的电势为00d d d 4O qU r r r ρπεε==，球心处的总电势为2122210d ()2R O R U r r R R ρρεε==-⎰， 这就是A 点的电势U A ．过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=-． 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=-，包含的电量为 Q = ρV ，这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==-． B 点的电势为U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--．图12.21（2）A 点的场强为0AA AU E r ∂=-=∂． B 点的场强为3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (88)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∥BEF,FP平分∥DFE.试说明:∥PEF是直角三角形.【答案】△PEF是直角三角形【解析】试题分析：根据平行线的性质，由AB△CD得到△BEF＋△DFE＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋△PFE(△BEF＋△DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形．试题解析：证明：因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°．又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE．所以∠PEF＋∠PFE(∠BEF＋∠DFE)＝90°．又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°．所以△PEF是直角三角形．点睛：本题考查了平行线性质，角平分线定义和三角形内角和定理的运用，根据平行线的性质和角平分线的定义得出△PEF＋△PFE＝90°是解题的关键．72．作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．【答案】见解析【解析】分析：作出△AOB的平分线交线段CD于P点即可．本题解析:如图所示：73．如图所示，∥AOB是平角，OM、ON分别是∥AOC、∥BOD的平分线．（1）知∥AOC=40°，∥BOD=60°，求∥MON的度数；（2）知∥COD=90°，求出∥MON的度数．【答案】（1）130°；（2）135°．【解析】试题分析：（1）根据平角即可求得∠COD的度数，再根据角平分线的定义求得∠COM和∠DON的度数，从而求得∠MON的度数；（2）因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，故知∠MOC+∠NOD=∠AOC+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）即可解答．试题解析：（1）△△AOB是平角，∠AOC=40°，△BOD=60°，△△COD=△A0B-△AOC-△BOD=180°-40°-60°=80°，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，△COM=△AOC=20°，△DON=△BOD=30°，△MON=△COM+∠COD+△DON，△MON=20°+80DU5+30°=130°；（2）△COD=90°，△AOC+△BOD =90°，又OM、ON分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，△MOC=△AOC，△NOD=△BOD，即∠MOC+∠NOD=（△AOC+△BOD）=45°，又△MON=△MOC+△NOD+△COD，△MON=45°+90°=135°.74．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD 于点O，且∠BOF=32°，求∠COE的度数．【答案】61°【解析】根据已知条件，并结合图形中角与角的关系即可求解.解：∵∠COF是直角，∠BOF=32°，∴∠COB=90°﹣32°=58°，∴∠AOC=180°﹣58°=122°又∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC=61°.75．.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①____________；②____________．(2)如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝_______；②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝______度；③求∠BOF的度数．【答案】（1）∠AOD＝∠BOC，∠BOP＝∠COP；（2）①40°，②20°，③50°.【解析】（1）根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF，利用角平分线的性质可得∠COP=∠BOP，对顶角相等的性质得∠COB=∠AOD．（2）①根据对顶角相等可得；②利用角平分线的性质得；③利用互余的关系可得．解：(1)∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD(写出任意两个即可)；(2)①∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝40°；②∵OP是∠BOC的平分线，∴∠COP=∠BOC=20°；③∵OF⊥CD，且∠BOC=40°，∴∠BOF=90°−40°=50°.76．如图，已知直线及其两侧两点A、B. （要求：保留作图痕迹，不需要证明）（1）在直线上求一点P，使PA=PB；（2）在直线上求一点Q，使平分∠AQB．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．试题解析：如图所示，77．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，（1）求∠AOE+∠FOB度数；（2）求∠COD度数。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (51)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB＋AD＝2AE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.利用角平分线性质得CH＝CE，∠HCA＝∠ECA，证△ACH≌△ACE(AAS)，得AH＝AE.∠HBC＝∠D.再证△BHC≌△DEC(AAS)，得HB＝DE，所以AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【详解】证明：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CH＝CE，∠HCA＝∠ECA(等角的余角相等)．在△ACH和△ACE中，∴△ACH≌△ACE(AAS)，∴AH＝AE.又∵∠ABC＋∠HBC＝180°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠HBC＝∠D.在△BHC和△DEC中，∴△BHC≌△DEC(AAS)，∴HB＝DE，∴AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【点睛】本题考核知识点：角平分线，全等三角形.解题关键点：利用角平分线性质和全等三角形判定和性质证线段相等.62．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠BAE的度数．【答案】（1）作图见解析；（2）∠BAE =30°．【解析】分析：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，做过这点和点A的直线交BC于点E即可；(2) ）利用三角形内角和计算出∠BAC,然后利用角平分线的定义可得∠DAE的度数．详解：（1）如图，AE为所作；（2）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=BAC=30°．点睛：本题考查了基本作图，三角形的角平分线的画法以及三角形内角和定理的运用．63．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE=2∠BOD，求∠AOF的度数．【答案】54°【解析】分析：设∠BOD=x，∠BOE=2x；根据题意列出方程2x+2x+x=180°，得出x=36°，求出∠AOC=∠BOD=36°，即可求出∠AOF=90°-∠36°=54°．详解：设∠BOD=x，∠BOE=2x；∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠EOB=2x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∵FO⊥CD，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-36°=54°．点睛：本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．64．如图，在中，，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．求证：AO是的平分线；若，，求及AC的长．【答案】(1)证明见解析；（2）12cm.【解析】【分析】（1）由∠ACB=90°，且OC为圆O的半径，判断得到AC与圆O相切，又AB与圆O相切，根据切线长定理得到AO为∠BAC的平分线，且AE=AC；（2）由BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，利用切割线定理列出关系式，将BD及BE的长代入，求出BC的长，用BC-BD求出直径CD的长，进而确定出圆O的半径，由OD+BD求出OB的长，连接OE，由切线的性质得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用锐角三角函数定义求出sinB的值，同时由OB及OE的长，利用勾股定理求出BE的长，由∠ACB=90°，OC为圆O的半径，可得出AC为圆O的切线，由AE与AC都为圆的切线，根据切线长定理得到AE=AC，设AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，即为AC的长．【详解】，OC为圆O的半径，为圆O的切线，又AB与圆O相切，E为切点，，AO平分；为圆O的切线，BC为圆O的割线，，又，，，即，，连接OE，由BE为圆O的切线，得到，在直角三角形BEO中，，，，，在直角三角形ABC中，设，则，，根据勾股定理得：，即，解得：，则．【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握和灵活应用相关性质及定理是解本题的关键．65．如图，中，，，E，F分别是BC，AC的中点，若，求线段AB的长．【答案】6.【解析】【分析】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，由于，则，可得为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，可得，根据平行线分线段成比例定理得，再根据角平分线的性质定理得，则可得，然后把BC=2CE代入计算即可求得AB=6.【详解】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，平分，，，，为等腰三角形，点E为BC的中点，，，，，为的平分线，，，即，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关性质与定理是解题的关键.66．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD△BC，OF△AB，垂足分别为点D，E，F．△O是△BAC角平分线AM上的一点（），△OE=OF（）．同理，OD=OF．△OD=OE（）．△CP是△ACB的平分线（），△O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．【答案】已知角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等等量代换已知角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质定理与判定定理即可解答.【详解】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．⊥O是⊥BAC角平分线AM上的一点（已知），⊥OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．⊥OD=OE（等量代换）．⊥CP是⊥ACB的平分线（已知），⊥O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；【点睛】本题综合考查角平分线的性质定理与判定定理，熟练应用角平分线的性质定理与判定定理是解题的关键．67．如图，∠CAD和∠ACE的角平分线AF，CF相交于点F.求证：点F在∠DBE的平分线上．【答案】见解析【解析】【详解】过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.由角平分线性质定理得FG＝FH＝FK，根据逆定理可得点F在∠DBE的平分线上.证明：过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.∵AF平分∠CAD，CF平分∠ACE，∴FG＝FH，FH＝FK，∴FG＝FK.又∵FG⊥BD, FK⊥BE，∴点F在∠DBE的平分线上.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质定理和逆定理.解题关键点：熟记角平分线性质定理和逆定理.68．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．求证：EB＝FC．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得EB ＝FC.【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB＝FC.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质，直角三角形全等的判定.解题关键点：熟记角平分线性质，直角三角形全等的判定.69．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D 在∠BAC的平分线上．【答案】见解析【解析】【分析】在Rt△BDE和Rt△CDF中，由∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，证△BDE≌△CDF，得DE＝DF.可进一步证点D在∠BAC的平分线上.【详解】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上.【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理.70．如图,在△ABC中,点E在AC上,△AEB=△ABC．(1)图1中,作△BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:△EFD=△ADC；(2)图2中,作△ABC的外角△BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论仍成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得⊥BAD=⊥DAG，再根据等量代换可得⊥FAE=⊥BAD，然后再根据内角与外角的性质可得⊥EFD=⊥AEB-⊥FAE，⊥ADC=⊥ABC-⊥BAD，进而得⊥EFD=⊥ADC．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。
2025版高考物理一轮总复习第12章电磁感应第30讲法拉第电磁感应定律自感和涡流提能训练
第十二章 第30讲基础过关练题组一 感应电动势大小的计算1．(2023·湖北卷)近场通信(NFC)器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。
如图所示，一正方形NFC 线圈共3匝，其边长分别为1.0 cm 、1.2 cm 和1.4 cm ，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。
若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为103T/s ，则线圈产生的感应电动势最接近( B )A ．0.30 VB ．0.44 VC ．0.59 VD ．4.3 V[解析] 根据法拉第电磁感应定律可知E ＝ΔΦΔt ＝ΔBS Δt＝103×(1.02＋1.22＋1.42)×10－4 V ＝0.44 V ，故选B 。
2．(多选)如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂直于纸面向里，其磁感应强度大小为B ＝2 T 。
宽度为L ＝0.8 m 的两导轨间接一阻值为R ＝0.2 Ω的电阻，电阻为2R 的金属棒AC 长为2L 并垂直于导轨(导轨电阻不计)放置，A 端刚好位于导轨，中点D 与另一导轨接触。
当金属棒以速度v ＝0.5 m/s 向左匀速运动时，下列说法正确的是( AD )A ．流过电阻R 的电流为2 AB ．A 、D 两点的电势差为U AD ＝0.4 VC ．A 、C 两点的电势差为U AC ＝－1.6 VD ．A 、C 两点的电势差为U AC ＝－1.2 V[解析] 金属棒AD 段产生的感应电动势为E AD ＝BLv ＝2×0.8×0.5 V＝0.8 V ，流过电阻R 的电流I ＝ER ＋R ＝0.80.4 A ＝2 A ，根据右手定则，可知A 端的电势低于D 端的电势，A 、D 两点的电势差U AD ＝－IR ＝－0.4 V ，A 正确，B 错误；D 、C 两点的电势差U DC ＝－BLv ＝－0.8 V ，则U AC ＝U AD ＋U DC ＝－1.2 V ，C 错误，D 正确。
大学物理第十二章习题解答
4π 0 r r R2 4π 0 R2
(3)金属球的电势
Q
1 (
r
1 )
4π 0 r r R2
U
R2 R1
E内
dr
R2 E外 dr
R2
Qdr
Qdr
R 4π 0 r r 2 R2 4π 0 r 2
Q
1 (
r
1 )
∴
D Q
2πrl
(1)电场能量密度
D2
Q2
w
2 8π 2r 2l 2
薄壳中 dW wd Q2 2π rdrl Q2dr
8π 2r 2l 2
4π rl
(2)电介质中总电场能量
9
(3)电容：∵ ∴
Qr
Qr
D 4πr 3 , E外 4π 0r 3
(2)介质外 (r R2 ) 电势
Q
U r E外 dr 4π 0r
介质内 (R1 r R2 ) 电势
U r E内 dr r E外 dr
q 11
Q
( )
12-2 如附图所示，一导体球半径为 R1，外罩一半径为 R2 的同心薄球壳，外球壳所带总电荷 为 Q，而内球的电势为 U0，求此系统的电势和电场分布。
解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．设内球壳带电量为q 取同心球
面为高斯面，由高斯定理 E dS Er 4πr2 Er q / ε0 ，根据不同半径的高斯面内的电
R2 R1
E2
dl
q
Q
R2 E3 dl 4π 0 R1 4π 0 R2
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (41)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90 ，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长是( )A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【答案】A【解析】试题分析：∵CA=CB，∵C=90°，AD平分∵CAB，∵∵ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，∵∵ACD∵∵AED，∵CD=DE，又∵DE∵AB于点E，∵∵EDB为等腰直角三角形，DE=DB=CD，∵∵DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，∵周长为6．故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则△BCE的面积等于（）A．32 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质可得：点E到BC的距离为4，则三角形的面积=8×4÷2=16.【详解】解：如图：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=8，∴DE=EF=4，∵BC=8，∴12×BC×EF=12×8×4=16，故选B．3．在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，⊥ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D试题分析：根据角平分线的性质可得：点D到AB和AC的距离相等，根据题意可得：∵ABD的面积为9，∵ADC的面积为6，则AC的长度=6×2÷3=4.考点：角平分线的性质4．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长是（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】试题分析：根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式列式计算即可．∵AD是∵BAC的平分线，DE∵AB于点E，DF∵AC于点F，∵DE=DF，∵×AB×DE+AC×DF=S∵ABC=28，即×20DE+×8DE=28，解得DE=2．考点：角平分线的性质．5．下列说法正确的是（）A．三角形三条高的交点都在三角形内B．三角形的角平分线是射线C．三角形三边的垂直平分线不一定交于一点D．三角形三条中线的交点在三角形内【解析】试题分析：根据三角形的角平分线、中线和高的定义及性质进行判断即可．A、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；B、三角形的角平分线是线段，错误；C、三角形三边的垂直平分线一定交于一点，错误；D、三角形三条中线的交点在三角形内，正确；考点：三角形的角平分线、中线和高．6．如图，OC是△AOB的平分线，PD△DA于点D，PD=2，则P点到OB 的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：可过点P作PE∵OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．如图，过点P作PE∵OB，∵OC是∵AOB的平分线，点P在OC上，且PD∵OA，PE∵OB，∵PE=PD，又PD=2，∵PE=PD=2．考点：角平分线的性质．7．如图，OC平分△AOB，点P是射线OC上的一点，PD△OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】试题分析：过点P作PE∵OA于E，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得PE=PD，再根据垂线段最短解答．解：如图，过点P作PE∵OA于E，∵OC平分∵AOB，PD∵OB，∵PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∵PQ≥3，∵线段PQ的长度不可能是2．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，AB⊥CD，BP和CP分别平分⊥ABC和⊥DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，⊥AB⊥CD，PA⊥AB，⊥PD⊥CD，⊥BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，⊥PA=PE，PD=PE，⊥PE=PA=PD，⊥PA+PD=AD=8，⊥PA=PD=4，⊥PE=4．故选C．9．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．A．⊥⊥⊥B．⊥⊥⊥C．⊥⊥⊥D．⊥⊥⊥【答案】C【解析】由题意可知其作图法依据的是，切线的性质，故必须先选择圆心，再求半径，最后作出OC，故其顺序为②③①．故选C．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N 为圆心、大于12MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．⊥AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=12×AB×DE=30．故选B．。
第十二章习题答案new讲解
1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？答：相同点：① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。
而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近 2。
② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③ 因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：① 倒易矢量g hkl 垂直于正点阵中对应的（hkl ）晶面，或平行于它的法向N hkl② 倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③ 倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hkl =1/d hkl④ 对正交点阵有a *//a ，b *//b ，c *//c ，a *=1/a ，b *=1/b ，c *=1/c 。
⑤ 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl 是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥ 某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射X 射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心O 处，入射线经试样与球相交于O*；以O*为倒易原点，若任一倒易点G 落在厄瓦尔德球面上，则G 对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
第十二章非正弦周期电流电路习题解答
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答、选择题1.在图12—1所示电路中，已知u s1 =[12 5.2cos( t)] V,u s2=5 2 cos(，t - 240°) V。
设电压表指示有效值，则电压表的读数为A. 12;解：设U如图12—1所示，根据KVL得u = u s1 u s2 = 12 5 2 cos( t) 5 2 cos( t 240°) 即u =12 52cos( t) 5 2cos( t -120°)=12 5.2cos( t -60°)根据U = u(2))・u2)得U = 12252 = 13A2.在图12—2所示的电路中，已知U s二2 cos(100t) V , i s =[3 •4、2cos(100t-600)]A，则u s发出的平均功率为丄一W。
B.解：由平均功率的计算公式得P =U(0)I(0) U(1)I(1) cos(0 600) = 0 3 1 4cos(600)=2W3•欲测一周期性非正弦量的有效值，应用_A_仪表。
A .电磁系；B .整流系；C.磁电系14.在图12—3所示的电路中，R = 20「，•丄=5门, 451,CU s二[100 276cos( t) 100cos(3 t)] V，现欲使电流i中含有尽可大的基波分量，Z应是C元件。
A .电阻；B .电感；C .电容CILJ3ZE12—3解：由图12 —3可见，此电路对基波的阻抗为Zj = R Z L— = 20 Z 5 45if=20 Z j458欲使电流i中含有尽可大的基波分量就是要使j5 - j 4 5乙的模最小，因此Z应为电容。
二、填空题1已知R = 501L=^ , ，豹CU s =[200 100cos(3 t)] V，则电压表的读数为70.7 V，电流表的读数为4 A。
R1 .图12 —4所示电路处于稳态。
图12—4解：由题目所给的条件可知，L、C并联电路对三次谐波谐振，因此，电压表的读数为100 =70.7V，而电流表的读数为2002 502.图12 —5 所示电路中，当u =200'2cos「t • V u = [ . 2U1cos( t 1) 、2U2 cos3 t 2)] V 时，测得UU1 105.83 V, U2 169.71 V。
八年级数学上册第十二章【全等三角形】复习题(含答案)
一、选择题1．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．13．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 4．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．下列说法不正确的是（ ）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等6．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等7．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（ ）cm/s ．A ．0.5B ．1C ．0.5或1.5D ．1或1.5 8．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°9．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL10．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 11．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题12．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．13．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．14．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．15．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．16．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）17．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．18．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．19．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．20．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．21．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．三、解答题22．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．23．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．24．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．25．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．一、选择题1．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（ ）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能2．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°3．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠D ．PC PE =4．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等5．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒7．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA8．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比为（ ）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:16 9．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等10．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b 11．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠二、填空题12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．13．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．14．已知点(2,1)P m m -，当m =____时，点P 在二、四象限的角平分线上． 15．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．16．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．18．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．20．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．21．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．三、解答题22．如图，在ACD △与BCE 中，AC BC =，CD CE =，ECD ACB ∠=∠．（1）求证：AD BE =；（2）若105ACD ∠=︒，32D ∠=︒，求B 的度数．23．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 24．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC （1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）∴∠ ＝∠ （等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．25．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B 的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．12．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D 10 5．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且DE 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．96．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°8．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．49．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γ 10．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．311．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2二、填空题12．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．13．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．14．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．15．如图，AC AE =，AD AB =，90ACB DAB ∠=∠=︒，33BAE ∠=︒，//CB AE ，AC 与DE 相交于点F ．（1）DAC ∠=______．（2）当1AF =时，BC 的长为______．16．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．17．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．18．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．20．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．21．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．三、解答题22．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．23．按要求作图（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）24．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？。
贵阳市十八中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典复习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】 求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．3．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等B 解析：B【分析】先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A ．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B ．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C ．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D ．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故选：B ．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．4．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．5．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．6．如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，E ，则图中全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对C 解析：C【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【详解】解：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠， 在ABD ∆与ACD ∆中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，又EDB FDC ∠=∠，ADE ADF ∴∠=∠，AED AFD ，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ．AED AFD ，ABD ACD ∆≅∆，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ，共4对． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键． 7．下列命题，真命题是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．8．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等C 解析：C【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL定理针对四个选项分别进行判断即可．【详解】A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS即可证明全等，故此选项正确；D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．9．如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A．CD⊥AD，BD⊥AD B．CD＝BD C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠B AD C 解析：C【分析】在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．10．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B解析：B【分析】 添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明．【详解】解：①在ABC 和AED 中，AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC AED SAS ≅△△；②不可以；③在ABC 和AED 中，C D AC ADCAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ABC AED ASA ≅；④在ABC 和AED 中，B E CAB DAE AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC AED AAS ≅；⑤不可以；故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E 利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积【详解】解：过点D 作DE ⊥B 解析：120【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，可求出四边形ABCD 的面积．【详解】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DE ＝DC ＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ， ＝12AB•DE ＋12BC•CD ， ＝12×12×8＋12×18×8， ＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE ＝8是解题的关键．12．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．13．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-∠C=∵△ABC ≌△DEF ∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角 解析：70︒【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=180︒，∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070︒-︒-︒=︒，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠D=∠A=70︒，故答案为：70︒【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15， 故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．15．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案．【详解】解：添加条件：AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；添加条件：∠B ＝∠C ，在△ABE 和△ACD 中，B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；添加条件：∠AEB ＝∠ADC ，在△ABE 和△ACD 中，AEB ADC AE ADA A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．16．如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是__________．10【分析】作DH ⊥OB 于点H 根据角平分线的性质得到DH=DP=5根据三角形的面积公式计算得到答案【详解】解：作DH ⊥OB 于点H ∵OC 是∠AOB 的角平分线DP ⊥OADH ⊥OB ∴DH=DP=5∴△OD解析：10【分析】作DH ⊥OB 于点H ，根据角平分线的性质得到DH=DP=5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：作DH ⊥OB 于点H ，∵OC 是∠AOB 的角平分线，DP ⊥OA ，DH ⊥OB ，∴DH=DP=5，∴△ODQ 的面积=12×OQ×DH=12×4×5=10； 故答案为：10．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥，交BC 于点E ．若26B ∠=︒，则AEC ∠=______︒．58【分析】根据∠C=90°AD=AC 证明Rt △CAE ≌Rt △DAE ∠CAE=∠DAE=∠CAB 再由∠C=90°∠B=26°求出∠CAB 的度数然后即可求出∠AEC 的度数【详解】解：∵在△ABC 中∠C解析：58【分析】根据∠C=90°，AD=AC 证明Rt △CAE ≌Rt △DAE ，∠CAE=∠DAE=12∠CAB ，再由∠C=90°，∠B=26°，求出∠CAB 的度数，然后即可求出∠AEC 的度数．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 交BC 于点E ，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，∵AC AD AE AE ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △CAE ≌Rt △DAE ， ∴∠CAE=∠DAE=12∠CAB ， ∵∠B+∠CAB=90°，∠B=26°，∴∠CAB=90°-26°=64°，∵∠AEC=90°-12∠CAB=90°-32°=58°． 故答案为：58．【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证Rt △CAE ≌Rt △DAE ．18．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=12×3×9-7.5=6 cm2【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．19．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．20．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．三、解答题21．（1）如图，∠MAB ＝30°，AB ＝2cm ，点C 在射线AM 上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为 cm （精确到0.lcm ）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．解析：（1）见解析，1.2；（2）x=d 或x≥a【分析】（1）可以取BC ＝1.2cm （1cm ＜BC ＜2cm ），画出图形即可；（2）当x ＝d 或x≥a 时，三角形是唯一确定的．【详解】（1）如图，选取的BC 的长约为1.2cm ，故答案是：1.2；（2）若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是x ＝d 或x≥a ，故答案为：x=d 或x≥a ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，属于中考常考题型．22．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．求证：（1）CBA FED ∠=∠；（2）AM DM =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．【详解】证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴CBA FED ∠=∠．（2）∵CBA FED ∠=∠∴ME MB =，且AEMDBM ∠=∠ 又∵AB DE =∴AB EB DE EB -=-即AE DB =在AEM △和DBM △中AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEM DBM SAS △≌△∴AM DM =．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．23．直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．解析：（1）证明见解析；（2）180ACB α∠+∠=︒，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-；②当180ACB α∠+∠=︒时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a ∠=∠=∠，180ACB α∠+∠=︒，BCE ACF EBC BCE ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-．故答案为180ACB α∠+∠=︒；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a ∠=∠=∠，a BCA ∠=∠，又180EBC BCE BEC +∠+∠=︒，180BCE ACF ACB ∠+∠+∠=︒，EBC BCE BCE ACF ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC CFA AAS ∴≅，AF CE ∴=，BE CF =，EF CE CF =+，EF BE AF ∴=+．【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．24．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．解析：见解析【分析】由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．【详解】证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ，∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，AF DE BF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．25．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．解析：（1）证明见详解；（2）BE=CM ，证明见详解；【分析】（1）首先根据点D 是AB 的中点，∠ACB=90° ，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE=CG ；（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC ，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE=CM ；【详解】（1）∵点D 是AB 的中点，AC=BC ，∠ACB=90°，∴ CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∴ ∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG ，又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG ，在△AEC 和△CGB 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠CAE=∠BCG AC=BC∠ACE=∠CBG ∴△AEC ≌△CGB(ASA)，∴AE=CG ；（2）BE=CM ，∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC ，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠BEC=∠CMA ∠CBE=∠ACM BC=AC ， ∴△BCE ≌△CAM(AAS)，∴ BE=CM ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）和全等三角形的性质是解题的关键；26．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C 走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB//PM //CD ，相邻两平行线间的距离相等AC ，BD 相交于P ，PD CD ⊥垂足为D ．已知16CD =米．请根据上述信息求标语AB 的长度．解析：16米【分析】已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP ，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB ⊥AB ，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB ，即可根据ASA 定理判定△ABP ≌△CDP ，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠ABP=∠CDP ，∵PD ⊥CD ，∴∠CDP=90︒，∴∠ABP=90︒，即PB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD=PB ，在△ABP 与△CDP 中，ABP CDP PD PBAPB CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ），∴CD=AB=16米．【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键． 27．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解析：（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中，B ADG AB AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，EAF GAF AF AF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．28．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=,，，∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角．解析：（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．【分析】（1）根据题意要求作图即可；（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．【详解】(1)作图：(2)连接C D ''，∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，∴COD C O D '''≅（SSS ），∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．．【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．。
工程光学习题解答 第十二章 光的衍射
第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。
解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 9134.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴===⨯⨯ 21150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 1 1 2 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a iλθ∆=证明：(1)(2)令(sin sin ai πθπλ==± ∴对于中央亮斑 sin sin i aλθ-=3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。
问细丝直径是多少解：设直径为a ，则有f d aλ=93632.8100.030.01261.510fa mm d λ--⨯⨯===⨯ 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二章复习题
1、聚合物自身的特点是什么？决定聚合物力学性能的内因有哪些？
特点：大分子量，高分子运动比低分子复杂，有明显的力学松弛特征，对温度的依赖性大。
②决定聚合物力学性能的内因有：聚合物的力学性能不仅取决于分子结构，在更大程度上还取决于这些分子排列、堆砌的聚集态结构。
2、什么叫高分子的聚集态结构？
即聚合物内大分子间的排列和构成状态。
3、非晶态聚合物存在哪几种力学状态？阐述其力学状态随温度的转变规律和原因。
松弛模量E（t）随温度变化的曲线表明非晶态聚合物存在三个基本力学状态和两个转变区域。
（1）玻璃态此时高分子链的整链和链段都被冻结，不能运动，只能发生高分子键角和键长的变化，在外力作用下的变形是瞬时的，E（10s）随温度的下降很小，E=Eg，其值约为109.5N/m2的量级。
普通塑料室温时便处于这种状态，可以保持一定的几何形状，且有一定的承载能力。
（2）玻璃～橡胶转变区这一区域高分子链节的振幅加大，键的内旋转开始，这一转变区的宽度约5℃～20℃，松弛模量可变化几个数量级，粘弹性的特征表现特别明显。
这一转变的特征温度是玻璃化转变温度Tg。
这一转变区也用曲线的拐点温度Ti[E（10 S）]约为108N/m2处」和在该点的负斜率-tanθ来表征，通常Ti和Tg仅相差几度。
（3）橡胶态（高弹态）这一区域松弛模量下降到一新的平台，E＝Er，其值约为105.5N/m2量级。
此时高分子键的内旋转正常进行，链段发生运动，使构象发生变化，短程扩散运动远比观察时间为快，但整个分子链的长程运动还未开始。
在此区域内材料具有高弹性，受力后伸长率可达100％～1000％，卸载后可恢复，正常使用的橡胶便处于这种状态。
（4）橡胶一流动转变区模量再次下降，约为104.5N/m2量级，分子链段的运动规模加大，致使整个分子链开始运动。
这一转变的特征温度是粘流温度Tf。
随着分子量的增大，Tf值升高；分子量分散性增大时，转变区亦增宽。
（5）粘流态此时整个分子链产生运动，分子链间的阻力再也不能阻止流动。
粘流态适合于聚合物的加工成形。
4、何谓聚合物的时间效应？
聚合物的力学性质是温度和时间的函数，在一维力学松弛状态下存在σ（T，t）＝E（T，t）ε。
的关系。
（式中ε。
为t＝0时施加的阶跃应变）其中松弛模量E（T，t）在某个确定温度T时，会随时间的变迁发生数量级的跃迁，导致聚合物力学状态的变迁的现象称之为聚合物的时间效应。
5、何谓聚合物的时温等效原理？
比较聚合物的模量对时间的响应和对温度的响应，发现两者存在对应关系：
①高聚物在较低温度下的力学性能相当于在较短作用时间（或较高作用频率）下的力学性能。
②提高温度与延长作用力时间（或降低作用频率）相当。
这种普遍的现象称为时温等效原理。
6、举例解释时温转换原理中的时温相当、转换和曲线叠加概念。
对高聚物粘弹性的研究，作用时间（或作用力频率）和温度对高聚物力学性能的影响存在着某种等效的作用．在较高温度下高聚物表现出如在较长作用时间或（缓慢作用力频率）下相同的力学性能。
反之，在较低温度下高聚物表现出犹如在较短作用时间（较快作用力频率）下相间的力学性能。
时温相当事例：不同温度下高聚物的应力松弛模量曲线如下
由图可见，较低温度（T2）和较长作用时间（t1）与较高温度（T1）和较短作用时时间（t2）有相同的应力松弛模量．
转换事例：飞机轮胎的橡胶在室温下处在高弹态，具有高弹性．但当飞机猛然着落，轮胎接触地面的一瞬间，轮胎的力学状态有可能变为玻璃态，就好象在这一瞬间，对橡胶来说温度下降了很多度．这样的现象就是在小分子物质中也是存在的（向水面飞速扔瓦片，由于瓦片作用于水的时间特别短，水就显示出弹性来，就象是一下子温度降到了零度以下，水结冰成固体一样），只是在高聚物中表现得特别明显罢了．
曲线叠加事例：①不同温度下得到的应力松弛模量曲线可以沿着对数时间轴平行移动而叠合在一起，或者说是把时间标尺向时间小的方向移一个位置，曲线形状不变（图5－6）。
②同样在损耗柔量J2（ω）对lg ω的图中也发现有同样的规律：温度T增加相当于频率ω增加，也只要作一个平行移动，不同温度下的J2（ω）曲线可以叠合在一起，见图5－7。
7、发现时温等效原理的理论和工程意义何在？
时温等效原理为我们测定高聚物力学性能的连续谱提供极大的方便。
因为在某一温度下，要完整反映高聚物的力学性能必须从低频到高频作范围达几十个数量级时间标尺的测试，这在实际上是很难达到的。
有了这个原理，可以通过简单的升降温度实验方法来预测极长或极短时间t（或极高和极低频率ω）下无法测到的力学性能数据．如，由
各个不同温度下测得的一系列应力松地曲线转换（平移或）成某一参考温度下比实验能测定的时间或频率范围大得多的应力松弛曲线。
从而使我们有可能用一种实验方法来得到反映高聚物力学性能全貌的整个时间谱（频率谱），并大大简化了高聚物力学性能测定对仪器的要求。
8、WLF方程的作用是什么？
时温等效原理在理论和工程应用中关键是要确定位移因子a T的值．WLF方程
就是用来计算位移因子a T的值，它对所有非晶态高聚物都合适．
9、聚合物的疲劳特点
特点之一：
聚合物有两种方式的疲劳破坏过程
①由于聚合物是粘弹性材料，在循环载荷下将产生可观的能量耗散，同时因聚合物是热的不良导体，所以在裂尖处产生显著的温升。
这种因大范围滞后能累加产生的热量使其软化，丧失承载能力，是为热疲劳破坏(它与金属热疲劳破坏是有区别的)。
粘性流动是热疲劳破坏的主要原因；
②在疲劳载荷作用下裂纹萌生、扩展引起的机械疲劳断裂。
特点之二：聚合物疲劳裂纹的产生及其扩展速率
在循环载荷作用下，银纹仍然是聚合物最普遍的塑性变形方式之一，而且它往往是控制聚合物疲劳裂纹萌生和亚临界扩展的重要因素。
疲劳裂纹扩展速率同样取决于应力强度因子范围ΔK，与金属疲劳裂纹扩展一样也可用Paris公式来描述。
特点之三：聚合物疲劳断口有特殊的形貌
在高ΔK水平下，da/dN超过5×10-4mm／次，断口上也出现疲劳条带，与金属材料中看到的相似，相邻条带之间的间距与疲劳裂纹宏观扩展速率有很好的对应关系。
（疲劳纹）
但在较低ΔK水平下，许多聚合物断口上出现不连续扩展增长带(DGB)，其形态与条带类似，也垂直于疲劳裂纹扩展方向，但其间距远大于da/dN。
这表明，疲劳裂纹不是每个循环都向前扩展，而是经过几十或几百次循环后才向前跃迁一次。
（斑纹）
所以聚合物疲劳断口常出现两种条纹：疲劳纹和斑纹
疲劳纹，纹间间距约10μm，对应每一周期交变应力作用的疲劳纹的扩展，在周期应力达极大值的瞬间，裂纹尖端-银纹根部张开位移最大，产生断裂，随后裂纹和银纹以相同的速度向前扩展一个疲劳纹间距，这一间距通常小于银纹区长度。
斑纹，纹间间距约50μm；需要交变应力周期数达到一定值后，裂纹才会产生一次突跃而形成斑纹结构，例如有实验指出，在0.6HZ的低频作用下，聚氯乙烯试样大约需370周后才突跃一次。
实验表明，低相对分子质量和低应力水平有利于形成斑纹，而高相对分子质量和高应力水平易于形成疲劳纹。