计算方法之计算矩阵的特征值和特征量_图文
矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
矩阵特征值与特征向量计算
矩阵特征值与特征向量计算在数学中，矩阵是一种非常基础而且重要的概念，它可以被看做是一种线性变换的表示。
在矩阵中，特征值和特征向量是两个非常重要的概念，它们在运用矩阵进行计算、测量和定量分析时扮演着至关重要的角色。
一、矩阵特征值的计算方法特征值是一个矩阵的固有属性，它表示在进行线性变换时，各个方向上对应的比例因子，具有很重要的几何意义。
计算一个矩阵的特征值需要使用到线性代数的基础知识和运算。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，而x是对应的特征向量。
在实际计算中，我们首先需要求解方程det(A-λI)=0，其中I是指n阶单位矩阵。
这个方程的解即为矩阵A的特征值，它们可以是实数或复数。
当然，在计算特征值时，使用一些优化的方法可以更快地得出结果，例如使用特征值分析法或雅可比方法。
二、矩阵特征向量的计算方法在获得了矩阵的特征值之后，我们可以通过简单的代数运算来计算它们对应的特征向量。
设λ为矩阵A的一个特征值，x为一个对应的特征向量，我们有以下等式：(A-λI)x=0这可以被看做是一个齐次线性方程组，将它转化成矩阵形式，我们得到以下方程：(A-λI)X=0其中X=[x1,x2,...,xn]为特征向量的矩阵形式。
对于特征向量矩阵X，我们需要求解出它的非零解。
这需要使用到线性代数的基本技巧，例如高斯消元法或LU分解等。
三、矩阵特征值和特征向量的应用矩阵特征值和特征向量的应用非常广泛，从计算机科学到物理学、化学、经济学、金融学等各个领域都有它们的应用。
以下是几个主要的应用领域：1. 机器学习和人工智能在机器学习和人工智能中，特征值和特征向量经常用于降维和数据分析。
通过分析一个数据矩阵的特征值和特征向量，我们可以找到它们对应的主要特征，从而对大型数据进行有效的分析和处理。
2. 物理学和化学在物理学和化学中，特征值和特征向量可以用于计算量子力学、分析分子结构、电子轨道等问题。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
第九章矩阵特征值和特征向量的计算
从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变， 则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数， 用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质： （1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法 实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式
4求矩阵特征值和特征向量课件-11
4求矩阵特征值和特征向量课件-11第4章求矩阵特征值和特征向量的方法本章探讨求矩阵特征值及特征向量的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上常用的求矩阵特征值和特征向量的的常用方法和有关知识。
重点论述幂法的构造内容。
4.1 实际案例旅游地选择问题通过层次分析法可以转化为求成对比较矩阵的绝对值最大的特征值max 及其对应的特征向量的问题。
求矩阵的特征值及特征向量的问题在实际的科研和工程问题中经常遇到，在这些问题中解出矩阵（特别是高阶矩阵）特征值或特征向量成为解决问题的关键。
求矩阵的特征值及特征向量的计算机解法也称为代数特征问题的计算方法。
4.2问题的描述与基本概念定义1 设矩阵A ∈R 函数n ⨯n，称关于变量λ的行列式为矩阵A 的特征多项式，称方程f A λ=0为特征方程。
nλ定义2若存在某个实数或复数及非零向量x ∈R满足Ax =λx ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，而x 称为λ对应的一个特征向量。
f A (λ)是关于λ的n 次多项式，矩阵A 的特征值就是f A (λ)的零点。
在线性代数中，有求解矩阵A 的特征值和特征向量的解法，该解法理论很严密，但由于将特征多项式f A (λ)化为一个n 次多项式很复杂且特征方程对舍入误差很敏感，特别当n 较大时，这些问题更突出。
由于这些原因，实用中在求解代数特征值问题时一般不用如上的线性代数的方法，而采用本章介绍的迭代加变换的计算机求解方法，这些方法具有编程简单，对舍入误差不敏感等优点。
3 幂法幂法---把最大特征值直接从矩阵乘出来！幂法是求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量的方法。
基本思想利用矩阵的特征值与特征向量的关系Ax =λx构造迭代向量序列来求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。
1、构造原理n ⨯nA ∈R 设方阵, x , x , ⋯, x 是A 的n 个线性无关的特征向量，其对应的特征值为λ1, λ2, ⋯, λn ，任取一个非零向量V (0)∈R n , 则有012n V ()=α1x ()+α2x ()+⋯+αn x () (0)V 用A 左乘，并利用Ax (k )=λk x (k )有(1)(2)(n )AV (0)=α1Ax (1)+α2Ax (2)+⋯+αn Ax (n )=αλx +αλx(1)(2)+⋯+αλx(n )λα1≠0，因为k 1kV (k ) →λ1α1x (1), k →∞令V (k)的第i 个分量为V (k)(k )V 当k 是λ1对应的一个近似特征向量。
矩阵特征值和特征向量的计算方法
例：设
4 1 A 1 0
1 1
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
8
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全旳特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
9
幂法旳其本思想
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 QT AQ
R12 R1n
R22
R2
n
Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
6
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称 R(x) ( Ax, x) (x, x)
A1的特征值为
|
1
1
|
|
1
2
|
|
1
n
； |
对应的特征向量，x1
,
x2 ,,
xn，
对A1应用幂法即可！
23
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反幂法旳迭代公式
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在众多学科领域中都有广泛的应用。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。
本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法，以及如何求解矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义首先，我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得满足下述条件：AX = λX那么，λ就是矩阵A的一个特征值，而X则是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。
2. 特征值的计算方法接下来，我们介绍几种常见的特征值计算方法。
2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质，构造出特征多项式，并求解多项式的根即可得到特征值。
举个例子，对于二阶方阵A = [a, b; c, d]，其特征多项式为：| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。
2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。
它利用特征向量的性质，通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。
其基本思想是，给定一个初始向量X0，不断迭代计算：Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理，直到收敛为止。
最后得到的向量X就是对应的特征向量，而特征值可以通过如下公式计算：λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。
它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。
首先，对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。
然后，将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘，得到一个新的矩阵A'。
重复进行QR分解和相乘的操作，直到收敛为止。
最后，得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
第四章矩阵特征值与特征向量的计算
λ2 − λ0 0.1 1 r= = = . λ1 − λ0 3.1 31
15
原点移位法使用简便, 原点移位法使用简便 不足之处在于λ0的选取十 分困难, 通常需要对特征值的分布有一大概的了解, 分困难 通常需要对特征值的分布有一大概的了解 并通过计算不断进行修改. 才能粗略地估计λ0, 并通过计算不断进行修改
B=A－λ0I －
为代选择参数. 其中λ0为代选择参数 设A的特征值为λ1, λ2, …, λn, 的特征值为 而且A, 则B的特征值为λ1－λ0, λ2－λ0, …, λn－λ0, 而且 B 的特征值为 的特征向量相同. 的特征向量相同
13
仍设A有主特征值 仍设 有主特征值λ1, 且 λ1 > λ2 ≥ L,
7
幂法的计算公式 任取初始向量x 任取初始向量 (0)=y(0)≠0, 对k=1, 2, …, 构造向量序列 {x(k)}, {y(k)}
x ( k ) = Ay ( k − 1 ) (k ) α k = max ( x ) (k ) x (k ) y = αk α k ≈ λ1
比值越接近1, 收敛速度越慢, 比值越接近0, 收敛越快. 比值越接近 收敛速度越慢 比值越接近 收敛越快 若A的主特征值λ1为实的m重根 即λ1= λ2=…= λm, 的 为实的 重根, 重根 又设A有 个线性 且 | λ1 |> |λm+1 | ≥ |λm+2 | ≥ … ≥ | λn |, 又设 有n个线性 无关的特征向量, 此时幂法仍然适用 幂法仍然适用. 无关的特征向量 此时幂法仍然适用
(α k +1 − α k ) ˆ αk = αk − α k + 2 − 2α k +1 + α k
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量共53页文档
40、学而不思则罔，思而不学则殆自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
计算方法之计算矩阵的特征值和特征 量
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
第七章 矩阵特征值和特征向量的计算
x i( k + 2 ) 2 λ1 = x ik
x i( k + 2 ) λ1 ≈ ± x i( k ) v 1 ≈ x ( k +1) + λ 1 x ( k ) v 2 ≈ x ( k +1) − λ 1 x ( k )
例：用幂法计算矩阵
2 −1 0 A = − 1 2 − 1 0 −1 2
= λ1 x
(k )
3. 两个主特征值互为相反数，λ2 = −λ1
λ1 > λ3 > L > λi
k x (k ) = α1λ1 v1 + α1λk v2 + ∑α i λik vi 2 n
当k充分大时， k
λi k = λ (α1v1 + (−1) α2v2 ) + ∑αi ( ) vi ) λ1 i =3
x 表示向量x(k)的第i个分量
由上面的讨论，得
xi( k +1) λ1 ≈ ( k ) (k = 1,2, L.n) xi v ≈ x ( k ) i
2．A的主特征值是二重根，λ1 = λ2
λ1 = λ2 > λ3 > L > λi
k x(k ) = α1λ1 v1 + α1λk v2 + ∑αi λik vi 2 n i=3
2 A= 1 1 2
的特征值和特征向量。
n k 1
当k充分大的时候，x
k 即 Ak x (0) ≈ λ1 α1 x1
(k )
≈ λ α1v1
k 1
因此Akx(0)可近似的表示矩阵A与λ1对 应的特征向量（特征向量可以相差一个常 数因子）。
x
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
an1
an2 ann
—— 特征多项式方程。
2
在线性代数中按如下三步计算：
1、计算出A的特征多项式│A- E│； 2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i 3、将i代入(A-iE)X=0 求出基础解系，即得A 的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即 为A的对应于i 的全部特征向量。
例
求矩阵
7 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953
由表可知，最大特征值为： 1=44.99953
对应特征向量为：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T
26
（二）按模最大特征值1是单实根，但1<0
此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛 于互为反号的向量。
1
定义 设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维 非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特 征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。
由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要条件是: |A- E|=0 , 即：
a11 a12
a21 a22
a1n a2n 0
k
V(k)
U(k)
max(V(k))
0
1
1
1
1
1
1
1 274
95
-184
1 0.34672 -0.67153
2 44.42377 14.84322 -29.64262 1 0.33413 -0.66727 44.42377
3 44.92333 14.97623 -29.95048 1 0.33337 -0.66670 44.92333
演示文稿计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分 量。 其次计算V(2) ：
V (2) AU (1) A2V (0) AV (0)
第二十页，共50页。
21
（3）取U(2) ：
U (2) V (2) A2V (0)
V (2)
A2V (0)
即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分
i
2、反幂法：求按模最小特征值，即
min
1 i n
i
3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。
第六页，共50页。
7
幂法是一种迭代法。 基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个 无限序列的极限来求得。
如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0) ，作迭
代计算 X(k+1) =AX(k)
中的第j个分量。
第九页，共50页。
10
证明：
因为A具有 n 个线性无关的特征向量
Xi （i=1,2,...,n）
而任一 n 维的非零向量，如V(0)：
V (0)
v(0) 1
v(0) 2
v(0) T n
总可以用 Xi 的线性组合来表示：
V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（其中10） 取V(1)=AV(0)
则可得迭代序列X(0) , X(1) , … , X(k) ,…，
序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系， 分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征 向量的近似值。
第七页，共50页。
8
第八页，共50页。
9
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
定理 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量