第1章离散时间信号与系统
合集下载
精品课程《数字信号处理》PPT课件第1章 离散时间信号与系统
n
(a) (a)
(b) (b)
第1章 离散时间信号与系统 3. 序列的和 z(n) x(n) y(n)
4. 序列的乘积
f (n) x(n) y(n)
5. 序列的标乘
f (n) cx(n)
两序列的和是指同序号 n 的序列值
逐项对应相加而构成的一个新序列
两序列相乘是指同序号 n
的序列值逐项对应相乘
k必为整数
第1章 离散时间信号与系统
分三种情况讨论正弦序列周期
N 2k = 2 k 0 0
2 1. 0
为正整数，只要 k =1，
N
2 0
为最小正整数，即序列周期；
第1章 离散时间信号与系统
1.
2 0
为正整数，只要
k
=1， N
2 0
为最小正整数，即周期
sinnω0
1
o1
5
10 n
1
第1章 离散时间信号与系统
x(n) sin(n0 )
sin(n0T
)
0
0T
数字域角频率 0：反映序列变化的速率 ，单位 ( rad/间隔 ) 模拟域角频率 0：反映信号变化的速率 ，单位 ( rad/s )
0 0T
0
0
fS
数字域角频率是模拟域角频率对采样频率的归一化
第1章 离散时间信号与系统 6. 复指数序列
x(n) Ae j0 n
x n
2 不是整数， 0
N k
（N，k为互素整数）N
k
2 0
已知：x n sin 4π n ，求其周期。
11
ω0
4π ， 则有：2π
11
ω0
2π
11 4π
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
2020/7/27
0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
第1章 离散时间信号与系统
m
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
第一章 离散时间信号与系统3,4,5
h(1) ah(0) (1) 0 h(2) ah(1) (2) 0 ┇ h( n) 0 ， n 0 改一下递推关系： 1 y(n 1) y(n) x(n) a 利用已知结果 h(n) 0 ，n 0 则当 n 0 时 ：
1 h(0) h(1) (1) 0 a 1 h(1) h(0) (0) a 1 a 1 h(2) h(1) (1) a 2 a ┇ 1 h(n) h(n 1) a n a 0, n 0 ∴ h(n) a n u (n 1) h( n) n a , n 0 从上一节例题知道，此系统是非因果系统，当 a 1 时，系 统稳定。 同样道理，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不 变系统，同样取决于所选的边界条件，边就是说边界条件合适 时，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不变系统。例 如上面例题，边界条件为：
边界条件 y (0) 1，讨论此系统是否是线性移不变系统。 解：（1）令 x1 (n) (n) , y1 (0) 1 ←讨论 n 0 的情况 y1 (1) ay1 (0) x1 (1) a 则 y1 (2) ay1 (1) x1 (2) a 2
┇ y1 (n) ay1 (n 1) x1 (n) a n
在以后的讨论中，我们都假设常系数线性差分方程就代表线 性移不变系统，而且在大多数情况下，代表可实现的因果系统。 差分方程表示法的优点：可以直接得到系统的结构（将输入 变换成输出的运算结构，并非实际结构）例如： y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) 方框图表示法如下：
§1.4连续时间信号及傅里叶级数 1．单位阶跃信号
1
1 h(0) h(1) (1) 0 a 1 h(1) h(0) (0) a 1 a 1 h(2) h(1) (1) a 2 a ┇ 1 h(n) h(n 1) a n a 0, n 0 ∴ h(n) a n u (n 1) h( n) n a , n 0 从上一节例题知道，此系统是非因果系统，当 a 1 时，系 统稳定。 同样道理，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不 变系统，同样取决于所选的边界条件，边就是说边界条件合适 时，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不变系统。例 如上面例题，边界条件为：
边界条件 y (0) 1，讨论此系统是否是线性移不变系统。 解：（1）令 x1 (n) (n) , y1 (0) 1 ←讨论 n 0 的情况 y1 (1) ay1 (0) x1 (1) a 则 y1 (2) ay1 (1) x1 (2) a 2
┇ y1 (n) ay1 (n 1) x1 (n) a n
在以后的讨论中，我们都假设常系数线性差分方程就代表线 性移不变系统，而且在大多数情况下，代表可实现的因果系统。 差分方程表示法的优点：可以直接得到系统的结构（将输入 变换成输出的运算结构，并非实际结构）例如： y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) 方框图表示法如下：
§1.4连续时间信号及傅里叶级数 1．单位阶跃信号
1
胡广书-数字信号处理-第1章-1
k
)
1 0
nk nk
如何
表达
p(n)
(n k)
k
单位冲激信号（Drac 函数）
(t)dt 1
(t) 0, t 0
x(t) (t )dt x( )
脉冲串： p(n) (n k)
k
或写为 p(n) ={… , 1 , 1 , 1 , …}
冲激串： p(t) (t kTs ) k
第1章 离散时间信号与离散时间系统基础
一、 常用的离散时间信号； 二、信号的分类； 三、噪声； 四、信号空间； 五、离散时间系统； 六、 LSI系统输入、输出关系； 七、 LSI系统的频率响应； 八、确定性信号的相关函数
1.1 常用的离散时间信号
（Kronecker 函数）
(n)
1 0
n0 n0
(n
1.3 噪声（Noise）
（一）噪声的种类：
1.白噪声：
White Noise
频谱为一直线；
自相关函数为 函数
各点之间互不相关
白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！
histogram of u(n) u(n)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
1500
1000
500
0 0
均匀分布白噪声
20
40
60
80
100
(a) n=1--- 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) bins of x axis
直方图
高斯分布白噪声
u(n) histogram of u(n)
1.5 1
0.5 0
-0.5 -1 0 x 104 5 4 3 2 1 0 -1.5
第1章离散时间信号与系统-
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
2019/10/14
40
例 ： 判 断 系 统 y ( n ) x ( n ) s i n ( 2 n ) 是 否 线 性 97
：N 解 1 g2 2 c 3 ,4 3 d 4 )6 6 ( 72 N 2 g3 3 c 3 ,2 3 d 2 )4 4 ( 54
2019/10/14
35
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
当 1 4 T 3 T 0 时 ， x ( n ) 为 周 期 为 1 4 的 周 期 序 列
37
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
2019/10/14
返回到本章
38
1.2 线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成 输出序列的一种运算， 记为：T[]
要 使 x ( n N ) x ( n ) ， 即 x ( n ) 为 周 期 为 N 的 周 期 序 列
则 要 求 0N2k， 即 N 20k， N ， k为 整 数 ，
且 k的 取 值 保 证 N 是 最 小 的 正 整 数
2019/10/14
29
分情况讨论
2 N 0 k
2019/10/14
8
（3）和
x(n)x1(n)x2(n)
第1章离散时间信号与系统
h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
y[k] x[n]h[k n] n
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
单位脉冲响应（Impulse response）
定义： h[k ] T{ [k ]}
例：累加器:
k
y[k] x[n]
n
h[k ] u[k ]
LTI系统对任意输入的响应
T{x[k]} T{ x[n][k n]}
n
x[n]T{[k n]}
n
x[n]h[k n]
n
x[k]* h[k]
第1章离散时间信号与系 统
2021年8月29日星期日
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
y[k] x[n]h[k n] n
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
单位脉冲响应（Impulse response）
定义： h[k ] T{ [k ]}
例：累加器:
k
y[k] x[n]
n
h[k ] u[k ]
LTI系统对任意输入的响应
T{x[k]} T{ x[n][k n]}
n
x[n]T{[k n]}
n
x[n]h[k n]
n
x[k]* h[k]
第1章离散时间信号与系 统
2021年8月29日星期日
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
数字信号处理-第一章离散时间信号与系统ppt课件
1
n0
δ(n)和u(n)间的关系为u(n)0
n0
(n )u (n ) u (n 1 )
u (n ) (n m ) (n ) (n 1 ) (n 2 )
令n-m=k代m 0 入上式，得(1-6)式
n
u(n) (k)
问：上两实的区别是什么？
k
实际系统一般无n<0的情况,但理论分析需要,故 实际信号可用理想信号乘阶跃序列来分析
如果y(n)=T[x(n)]满足比例性和可加性，则 该系统是增量线性系统。
.
24
1.2.2移不变系统
系统的输出随输入的位移而位移，则该系统为移 不变系统。
即若输入x(n)产生输出y(n)，则输入x(n-m)产生 输出 y(n-m)
表达：移不变系统 y(n)T[x(n)]
则
y(nm )T [x(nm )]
１、交换律 卷积和与卷积序列的次序无关，有
y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
即：把单位冲击响应h(n)作为输入，将输入x(n) 作为系统单位冲击响应，其输出相同。
x(n) h(n) y(n) = h(n)
x(n)
y(n)
.
30
２、结合律（串联）
x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n) =x(n)*[h1(n)*h2(n)]=［x(n)*h２(n)］*h１(n)
证明：
x(n)*[h1(n)h2(n)] x(m)[h1(nm)h2(nm)] m
x(m)h1(nm) x(m)h2(nm)
m
m
x(n)*h1(n)x(n)*h2(n)
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
《数字信号处理题解及电子课件》第1章_离散时间信号与离散时间系统_2
(控制系统)
Communication （通信）
System Identification （系统辨识）
Statistics
（统计）
Neural Network
(神经网络)
例：
z=peaks; surf(z)；
与本章内容有关的MATLAM文件
1. rand.m 用来产生均值为0.5、幅度在 0~1之间均匀分布的伪白噪声: u=rand(N)
sin c(t) 0
t k
sin c(t) t为其它
对离散信号，相应的sinc函数定义为:
sin c() sin(N) sin()
4. conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是：y=conv(x,h)
5． xcorr: 其互相关和自相关。格式是： (1)rxy=xcorr(x,y) ： 求 x,y 的 互 相 关 ； (2)rx=xcorr(x,M,’flag’）：求x的自相关，M： rx的单边长度，总长度为2M+1；‘flag’是定 标标志，若 flag=biased， 则表示是“有偏” 估计，需将rx(m)都除以N，若flag=unbiased, 则表示是“无偏”估计，需将rx(m)都除以 （N－abs(m)）；若’flag’缺省，则rx不定标。 M和‘flag’同样适用于求互相关。
而： y(n k) (n k)x(n k)
所以： y(n k) T[x(n k)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 是因果的，但不是稳定的
例2： y(n) ay(n 1) x(n)
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
1 离散时间信号与系统
其中把卷积和用 * 来表示。
• 卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、 相乘、相加。 • (1)翻褶 : 先在哑变量坐标 m 上作出 x(m)和 h(m), 将 h(m) 以 m=0 的纵轴为对称轴翻褶成 h(-m) 。 • (2) 移位 : 将 h(-m) 移位 n, 即得h(n-m) 。当 n 为正整数 时, 右移 n 位。当 n 为负整数时, 左移 n 位。 • (3) 相乘 : 再将 h(n-m) 和x(m) 的相同 m 值的对应点值 相乘。 • (4) 相加 : 把以上所有对应点的乘积叠加起来 , 即得y( n) 值。 • 依上法, 取 n= … , -2,-l ,0,1,2, …各值, 即可得全部 y(n) 值。
• 2. 结合律 • 可以证明卷积和运算服从结合律，即
• 这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系 统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移 不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关，如图 1-21以下关系 : • 也就是说，两个线性移不变系统的并联(等式右 端)等效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于 两系统各自单位抽样响应之和(等式左端)。如图 1-22 所示。
• 2. 翻褶 如果序列为 x(n), 则 x(-n) 是以 n=0 的纵轴为对称 轴将序列 x(n) 加以翻褶。
• 3. 和 两序列的和是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相加而 构成一个新的序列, 表示为：z(n)=x(n)+y(n) • 4. 积 两序列相乘是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘。 表示为: z(n)=x(n)﹒y(n) • 5. 累加 设某序列为 x(n), 则 x(n) 的累加序列 y(n)定义为
m m
精品文档-数字信号处理——基于数值计算(郑佳春)-第1章
第1章 离散时间信号与系统 图1.1.0 模拟信号数字化处理的一般过程
第1章 离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号 1.1.1 序列的表示 在信号理论中，离散时间信号一般采用序列来描述，记为 {x(n)}。 序列是时间上不连续的一串样本值的集合，其中序 号n是整数，而x(n)则是第n号样本值，大括号用来表示全部 样本的集合。 一个无限长复数值的序列如下： {x(n)}＝{…, 2+j3, 0.8+j2, 1－j5, 4, 0.3+j4, － j2.7,…}, n∈(－∞, ∞)
n=0:60；
%给出序号，准备绘制61个点
的因果序列
x=sin(0.12*pi*n)；%注意π的程序保留专用符pi，这
里ω 0=0.12π
stem(x)；%绘制序列杆图
ylabel(′幅度′)；%标出纵轴名称
第1章 离散时间信号与系统
程序运行结果如图1.1.5所示。图中序号从1绘制到61， 仔细观察，可以看出从第51点开始序列另起一个周期，因为式 0.12πrN＝2πi，当取r＝1，i=3，N＝50时成立。请读者试 着用stem(n，x) 替换程序中的stem(x)，看看会出现什么结 果？
-0.15，-0.09，…] subplot(2，2，4)； stem(Dx)； ylabel(′虚部′)；%[ 0，0.37，0.46，0.39，0.25， 0.11，
第1章 离散时间信号与系统 图1.1.3 复指数信号的两种图示方式
第1章 离散时间信号与系统
(6) 周期序列。 如果一个序列的数据变化规律呈现出不断重复的特征，那 么我们称之为周期序列，记为x(n)~。 字母上方的“~”符号 形象地表达了数值波动起伏犹如海浪一般，相同却没完没了， 这正是周期信号规律的主要特征。 我们用严谨的数学表达式 描述如下：如果一个序列满足x(n)=x(n~+rN)~，0≤n≤N－1，r 是任意整数，N是任意正整数，则称x(n)是周期为N的~周期序 列。 例如 ~f (n)=｛…，1，3，6，9，7，4，1，3，6，9，7， 4，1，3，6，…｝，如图1.1.4所示。
第一章 离散时间信号和系统
N 1 运动平均系统 : y ( n) x(n k ) M N 1 k M
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
第1章离散时间信号与系统
正弦序列：x(n) sin(n0 ) 中ω0是正弦包络的频率， 不是序列的频率；序列的周期性应根据如下方法判断。
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9
10
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) x[k]x[-k]
• 位移(延迟) • 抽取(decimation) • 内插(interpolation) • 卷积
x[k] x[k-N] x[k] x[Mk]
y[k] x[n]h[k n] n
11
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
5．虚指数序列(单频序列)
x(t) e jt
角频率为 的模拟信号
x[k ] x(t) tkT e jTk e jk
数字信号角频率=T 5
虚指数序列 x [k]=exp( j k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 / 2p为有理数时，信号才是周期的。 如果 / 2pm / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。
▪ 线性时不变系统简称为：LTI ▪ 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。
计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
17
例: 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6
x2 [k ]
x1[k
1]
3
4
5
21k源自-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
2 1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6 4
2
y2[k] x2[2k] k
-1 0 1 2 3 4 5 5
3
1
y3[k] x3[2k]
-1 0 1 2 3 4
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2
12
▪ 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 [x(n) 2
x(n)]
第1章 离散时间信号与系统
▪ 离散时间信号
▪ 序列的表示 ▪ 序列的产生
▪ 序列的基本运算
▪ 系统分类
▪ 线性系统 ▪ 移不变系统 ▪ 因果系统 ▪ 稳定系统
▪ 常系数线性差分方程 ▪ 连续时间信号的抽样
1
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
15
例 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。 计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
16
▪ 时不变(Time-Invatiance)
▪ 定义：如T{x [k]}=y[k]，则T{x [k-n]}=y[k-n]
6
6．正弦型序列
x[k] cos k (e jk e jk ) / 2
例 试确定余弦序列x[k] = cos0k 当(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=0.9p (f) 0=p 时的基本周期。
解：
(a) 0 /2p 0/1， (b) 0 /2p0.1/21/20， (c) 0 /2p0.2/21/10， (d) 0 /2p0.8/22/5， (e) 0 /2p0.9/29/20, (f) 0 /2p1/2,
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
2
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
注意：
▪ 离散信号: 时间上都量化的信号 ▪ 数字信号: 时间和幅度上都量化的信号
3
常用序列
1．单位脉冲序列
定义：
[k
]
1 0
k 0 k 0
解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为
由于
T{x[kn]}= x[Mkn]
x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
18
56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5
3
y1[k] x1[2k]
xo (n)
1 [x(n) 2
x(n)]
▪ 序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m)
m
13
系统分类
▪ 线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
注意：
▪ 齐次性 ▪ 叠加性
14
例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]} aT{x [k]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
N=1。 N=20。 N=10。 N=5。 N=20。 N=2。
7
1
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0
1
-1
0
10
20
30 40
x[k] = cos0 k , 0=0.2p
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0.8p
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=p
8
cos[(2p0 )k]= cos(0 k)
当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。 0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。 0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。
cos(0 2pn)k cos0k n Z
即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时， 所表示的是同一个序列。
2.单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1 0
k0 k0
3．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k] 0 otherwise
4
4．指数序列
x[k] ak , k Z
有界序列： kZ |x [k]| Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k]： 右指数序列, |a| 1序列有界
aku[k]： 左指数序列, |a| 1序列有界
10
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) x[k]x[-k]
• 位移(延迟) • 抽取(decimation) • 内插(interpolation) • 卷积
x[k] x[k-N] x[k] x[Mk]
y[k] x[n]h[k n] n
11
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
5．虚指数序列(单频序列)
x(t) e jt
角频率为 的模拟信号
x[k ] x(t) tkT e jTk e jk
数字信号角频率=T 5
虚指数序列 x [k]=exp( j k) 是否为周期的?
如是周期序列其周期为多少？
即 / 2p为有理数时，信号才是周期的。 如果 / 2pm / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。
▪ 线性时不变系统简称为：LTI ▪ 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就
是“非时变”特性。
例 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。
计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
17
例: 已知抽取器的输入和输出关系为
y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6
x2 [k ]
x1[k
1]
3
4
5
21k源自-1 0 1 2 3 4 5 56
x3[k] x1[k 2]3 4
2 1
k
-1 0 1 2 3 4 5
6 4
2
y2[k] x2[2k] k
-1 0 1 2 3 4 5 5
3
1
y3[k] x3[2k]
-1 0 1 2 3 4
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
结论：N1N3 k N4N2
12
▪ 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
xe
(n)
1 [x(n) 2
x(n)]
第1章 离散时间信号与系统
▪ 离散时间信号
▪ 序列的表示 ▪ 序列的产生
▪ 序列的基本运算
▪ 系统分类
▪ 线性系统 ▪ 移不变系统 ▪ 因果系统 ▪ 稳定系统
▪ 常系数线性差分方程 ▪ 连续时间信号的抽样
1
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
15
例 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。 计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
16
▪ 时不变(Time-Invatiance)
▪ 定义：如T{x [k]}=y[k]，则T{x [k-n]}=y[k-n]
6
6．正弦型序列
x[k] cos k (e jk e jk ) / 2
例 试确定余弦序列x[k] = cos0k 当(a) 0=0 (b) 0=0.1p (c) 0=0.2p (d) 0=0.8p (e) 0=0.9p (f) 0=p 时的基本周期。
解：
(a) 0 /2p 0/1， (b) 0 /2p0.1/21/20， (c) 0 /2p0.2/21/10， (d) 0 /2p0.8/22/5， (e) 0 /2p0.9/29/20, (f) 0 /2p1/2,
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
2
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
注意：
▪ 离散信号: 时间上都量化的信号 ▪ 数字信号: 时间和幅度上都量化的信号
3
常用序列
1．单位脉冲序列
定义：
[k
]
1 0
k 0 k 0
解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为
y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[kn]产生的输出信号T{x[kn]}为
由于
T{x[kn]}= x[Mkn]
x[Mkn] y[kn] 故系统是时变的。
18
56
x1[k] 3 4
2
1
k
-1 0 1 2 3 4 5
5
3
y1[k] x1[2k]
xo (n)
1 [x(n) 2
x(n)]
▪ 序列的单位脉冲序列表示
x(n) x(m) (n m)
m
13
系统分类
▪ 线性(Linearity)
T{ax1[k] bx2[k]} aT{x1[k]} bT{x2[k]}
注意：
▪ 齐次性 ▪ 叠加性
14
例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为
T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为
T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]} aT{x [k]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
N=1。 N=20。 N=10。 N=5。 N=20。 N=2。
7
1
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0
1
-1
0
10
20
30 40
x[k] = cos0 k , 0=0.2p
1
0
0
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=0.8p
-1
0
10
20
30
40
x[k] = cos0 k , 0=p
8
cos[(2p0 )k]= cos(0 k)
当0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。 0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。 0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。
cos(0 2pn)k cos0k n Z
即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时， 所表示的是同一个序列。
2.单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1 0
k0 k0
3．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k] 0 otherwise
4
4．指数序列
x[k] ak , k Z
有界序列： kZ |x [k]| Mx 。 Mx是与 k无关的常数
aku[k]： 右指数序列, |a| 1序列有界
aku[k]： 左指数序列, |a| 1序列有界