优化非线性回归目标函数的数值实验

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R语言用nls做非线性回归以及函数模型的参数估计

R语⾔⽤nls做⾮线性回归以及函数模型的参数估计⾮线性回归是在对变量的⾮线性关系有⼀定认识前提下，对⾮线性函数的参数进⾏最优化的过程，最优化后的参数会使得模型的RSS（残差平⽅和）达到最⼩。

在R语⾔中最为常⽤的⾮线性回归建模函数是nls，下⾯以car包中的USPop数据集为例来讲解其⽤法。

数据中population表⽰⼈⼝数，year表⽰年份。

如果将⼆者绘制散点图可以发现它们之间的⾮线性关系。

在建⽴⾮线性回归模型时需要事先确定两件事，⼀个是⾮线性函数形式，另⼀个是参数初始值。

⼀、模型拟合对于⼈⼝模型可以采⽤Logistic增长函数形式，它考虑了初期的指数增长以及总资源的限制。

其函数形式如下。

⾸先载⼊car包以便读取数据，然后使⽤nls函数进⾏建模，其中theta1、theta2、theta3表⽰三个待估计参数，start设置了参数初始值，设定trace为真以显⽰迭代过程。

nls函数默认采⽤Gauss-Newton⽅法寻找极值，迭代过程中第⼀列为RSS值，后⾯三列是各参数估计值。

然后⽤summary返回回归结果。

library(car)pop.mod1 <- nls(population ~ theta1/(1+exp(-(theta2+theta3*year))),start=list(theta1 = 400, theta2 = -49, theta3 = 0.025), data=USPop, trace=T)summary(pop.mod) 还有⼀种更为简便的⽅法就是采⽤内置⾃启动模型(self-starting Models)，此时我们只需要指定函数形式，⽽不需要指定参数初始值。

本例的logistic函数所对应的selfstarting函数名为SSlogispop.mod2 <- nls(population ~ SSlogis(year,phi1,phi2,phi3),data=USPop)⼆、判断拟合效果⾮线性回归模型建⽴后需要判断拟合效果，因为有时候参数最优化过程会捕捉到局部极值点⽽⾮全局极值点。

Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧

Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧在科学和工程领域中，我们经常会遇到一些复杂的非线性问题，例如最优化问题和方程求解问题。

解决这些问题的方法主要分为线性和非线性等，其中非线性问题是相对复杂的。

作为一种强大的数值计算工具，Matlab提供了许多专门用于解决非线性优化和非线性方程求解的函数和方法。

本文将介绍一些常用的Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧。

非线性优化是指在给定一些约束条件下，寻找目标函数的最优解的问题。

在实际应用中，往往需要根据实际情况给出一些约束条件，如等式约束和不等式约束。

Matlab中的fmincon函数可以用于求解具有约束条件的非线性优化问题。

其基本语法如下：[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，fun是目标函数，x0是初始值，A、b是不等式约束矩阵和向量，Aeq、beq是等式约束矩阵和向量，lb、ub是变量的上下边界。

x表示最优解，而fval表示最优解对应的目标函数值。

另外，非线性方程求解是指寻找使得方程等式成立的变量值的问题。

Matlab中提供的fsolve函数可以用于求解非线性方程。

其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0)其中，fun是方程函数，x0是初始值，x表示方程的解。

除了fmincon和fsolve函数之外，Matlab还提供了一些其他的非线性优化和非线性方程求解函数，例如lsqnonlin、fminunc等，这些函数分别适用于无约束非线性优化问题和带约束非线性方程求解问题。

除了直接调用这些函数外，Matlab还提供了一些可视化工具和辅助函数来帮助我们更好地理解和解决非线性问题。

例如，使用Matlab的优化工具箱可以实现对非线性优化问题的求解过程可视化，从而更直观地观察到优化算法的收敛过程。

此外，Matlab还提供了一些用于计算梯度、雅可比矩阵和海塞矩阵的函数，这些函数在求解非线性问题时非常有用。

数值分析中的非线性方程求解与优化

数值分析中的非线性方程求解与优化在数值分析领域中，非线性方程求解是一个重要的问题。

许多实际问题都可以被建模为非线性方程，而求解这些方程对于解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍非线性方程求解的基本概念、方法和优化技术。

一、非线性方程求解的概念非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。

与线性方程不同，非线性方程的解不再是一条直线，而是一条曲线或曲面。

非线性方程的求解是寻找方程中满足特定条件的变量值或函数的过程。

二、非线性方程求解的方法1. 迭代法迭代法是解决非线性方程求解问题中常用的方法。

迭代法的基本思想是通过不断逼近方程的解，使得迭代序列逐步收敛于方程的解。

常见的迭代法包括牛顿迭代法、割线法和弦截法等。

以牛顿迭代法为例，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始估计值x0，然后通过迭代公式进行迭代计算直到满足收敛条件。

迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)表示f(x)在xn处的导数。

2. 区间划分法区间划分法是通过将求解区间划分为若干个子区间，然后在每个子区间内搜索方程的解。

这种方法常用于求解具有多个解的非线性方程。

一般可以使用二分法、割线法和弦截法等算法进行区间划分和求解。

3. 优化技术优化技术常用于求解非线性方程的最优解。

在数值分析中，优化问题可以理解为寻找使得目标函数达到最大或最小值的变量值。

常用的优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法和粒子群算法等。

这些算法通过迭代过程不断调整变量值，使得目标函数逐渐趋于最优解。

三、非线性方程求解与优化的应用非线性方程求解和优化技术在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些应用领域的例子：1. 工程领域：在工程设计中，需要求解非线性方程以确定优化的设计参数。

例如，在机械设计中，可以通过求解非线性方程来确定零件的几何尺寸和运动轨迹。

2. 金融领域：在金融衍生品定价和风险管理中，需要求解非线性方程来估计资产价格和风险敞口。

非线性方程数值解及优化方法

对于 logistic 回归的广义线性模型, 它是由属于指数分布族的 Binomial 分布而得到的. 此时响应的分布为 yi|xi ∼ BIN(πi, mi), i = 1, . . . , n, 且相互独立. 则对于第 i 个观测,
f (πi) = log{πi/(1 − πi)} = xTi β ≡ αi,
§4.3 无约束优化问题
45
我们希望设计一种新方法, 尽可能保持牛顿法收敛快的优点, 但又不必计算 Hessian 阵及逆阵. 本节介绍的变尺度法 (variable metric), 其找到一个适当的 R, 能达到上述目的. 由于其亦可看作是牛顿法的推广, 故也称之为拟牛顿法. 下面介绍其基本思想. 考虑基于 (4.20) 的迭代公式
算法 4.3.5. 牛顿法:
(0) 令 t = 0, 给定一个初值 x0. 设定两个精度 1 和 2;
(1) 计算 ∇gt, 若 D(∇gt, 0) < 1, 则停止迭代, 取 x∗ = xt 为解. 否则, 求解线性方程组 Htd = −∇gt, 可得 dt = −H−t 1∇gt;
(2) 令 xt+1 = xt + dt;
当函数 g 是非二次的, Hessian 矩阵很可能是非正定的. 这时, 我们可能无法从 Htd = −∇gt 中解出 dt, 或者即便能求出来, 也不能保证 dt 是一个下降方向. 因此, 为了在梯度不为零的点 xt 找到一个下降方向, 我们可以强迫 Htd = −∇gt 中的 Ht 恒取正定阵, 这样总能得到下降方向. 其中一种常用的方法是采用 Gt = Ht + Et, 其中 Et 为一个对角阵. 这样的一个矩阵可通过强迫矩阵的Cholesky分解而得到.

非线性回归实验报告参考模板

安徽财经大学统计与数学模型分析实验中心
《数学软件》实验报告
班级：09数学0班学号：2009720020姓名朱学超
实验日期：2010.11.06实验地点：实验楼 505
实验名称：曲线拟合与插值使用软件名称：MATLAB
实
验
目
的
.熟练掌握多项式拟合与插值的计算方法
实
验
内
容
1.多项式拟合
2.残差平方和的计算
R =0.2523
教
师
评
语
成绩
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1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)
2.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.
x
37
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
41.5
42
42.5
y
3.4
3
3Hale Waihona Puke 2.272.11.83
1.53
1.7
1.8
1.9
2.35
2.54
实
验
程
序
（命令）
1.x = [0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y)
p=polyfit(x,y,1)
2．x=37:0.5:43;

非线性回归之数学建模实验报告

9.93 9.99 16
10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76
分别选择函
y
x cx ax b y a(1 be )
b
y ae x
拟合钢包容积与使用次数的关系 ,在同一坐标系内作出函数图形. 数程序： x1=[2:16]; y1=[6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8,10.6,10.9,10.76]; b01=[0.1435,0.084] %初始参数值 fun1=inline('x./(b(1)+b(2)*x)','b','x')% 定义函数 [b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01) y=x1./(0.1152+0.0845*x1) %根据 b1 写出具体函数 plot(x1,y1,'*',x1,y,'-or')
题目：炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希望找出使用次数与增大容积之间的函数关系.实验数据如下：表 4.2 钢包使用次数与增大容积
使用次数增大容积使用次数增大容积
2
3
4
5
6
7
8
9
6.42 8.2 10 11
9.58 9.5 9.7 10 12 13 14 15
2
r1 =
Columns 1 through 10
-0.6181 0.0617 0.0719 0.0570
0.7518
0.1986
0.0540
0.0917

非线性回归分析的方法研究

非线性回归分析的方法研究在科学和工程领域，回归分析是一种广泛使用的数据分析方法，旨在探索变量之间的相互关系。

然而，许多实际问题是非线性的，传统的线性回归方法无法很好地解决这些问题。

因此，非线性回归分析的研究变得越来越重要。

本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法、应用领域以及所面临的挑战，并讨论未来的研究方向。

非线性回归分析方法可以解决许多复杂的问题，如生物医学、经济学、工程等领域中的非线性关系。

例如，在生物医学领域，药物浓度与治疗效果之间的关系往往是非线性的；在经济学领域，价格和需求之间的关系也往往是非线性的。

因此，研究非线性回归分析的方法对于解决这些实际问题具有重要的意义。

参数非线性回归是一种常用的非线性回归方法，它通过建立一个包含参数的数学模型来描述变量之间的非线性关系。

这种方法通常包括确定参数的初始值、使用最小二乘法等优化算法来拟合模型以及验证模型的可靠性等步骤。

基于核的非线性回归方法使用核函数来计算变量之间的相似性，并将这些相似性用于建立回归模型。

这种方法不需要明确的数学表达式，因此可以处理一些难以描述的复杂非线性关系。

支持向量回归是一种基于支持向量机（SVM）的非线性回归方法。

它通过建立一个SVM模型来描述变量之间的非线性关系，并使用优化算法来寻找最优的模型参数。

非线性回归分析方法在各个领域都有广泛的应用。

例如，在生物医学领域，非线性回归分析可以用于研究药物浓度与治疗效果之间的关系，为新药研发提供指导；在经济学领域，非线性回归分析可以用于研究价格和需求之间的关系，帮助企业制定更加合理的定价策略。

非线性回归分析还广泛应用于工程、环境科学、社会科学等领域。

数据处理：非线性回归分析需要处理的数据往往比较复杂，需要采取合适的数据预处理方法来提高分析的准确性。

模型选择：不同的非线性回归方法适用于不同的问题，如何根据实际问题选择合适的模型是一个重要的挑战。

模型优化：非线性回归模型需要通过优化算法来寻找最优的模型参数，如何选择合适的优化算法也是一个重要的挑战。

非线性回归模型的优化算法

非线性回归模型的优化算法随着机器学习算法的广泛应用，非线性回归模型的优化算法也越来越受到研究者们的关注。

非线性回归模型是机器学习中常用的一种模型，例如神经网络、支持向量回归、决策树等模型都属于非线性回归模型。

而优化算法则是对这些模型进行求解的关键。

这篇文章将从非线性回归模型的定义、应用及优化算法的进展和现状等方面进行探讨。

一、非线性回归模型的定义及应用非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的回归模型。

与线性回归模型不同的是，非线性回归模型不能使用最小二乘法进行拟合，需要使用其他的优化算法，例如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、遗传算法等。

非线性回归模型在很多领域都有广泛的应用，例如金融行业中的股价预测、医学领域中的疾病诊断、自然语言处理领域中的语音识别等。

二、非线性回归模型优化算法的进展和现状1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组的一种方法。

在非线性回归模型中，利用牛顿法求解参数的方法称为牛顿法拟合。

牛顿法的优点在于收敛速度快，但它需要计算海森矩阵，计算量较大。

此外，当海森矩阵不可逆或者为负定矩阵时，牛顿法可能出现无法收敛的问题。

因此，在实际应用中，牛顿法需要根据具体情况进行选择。

2. 拟牛顿法拟牛顿法是指用数值求导或解析求导的方式来代替海森矩阵，从而减少计算量的方法。

拟牛顿法常用的算法包括DFP算法和BFGS算法。

拟牛顿法方法具有快速收敛，适用于大规模数据集，但是它的计算量也较大，需要进行多次迭代。

3. 共轭梯度法共轭梯度法是求解线性方程组的一种方法，也可以用来求解非线性回归模型中的参数。

共轭梯度法对计算机内存的需求较小，算法针对对称矩阵，迭代次数比牛顿法少。

但是，共轭梯度法的缺点在于对非对称矩阵的处理较差。

4. 遗传算法遗传算法是借鉴生物遗传进化的原理，使用基因编码和遗传操作进行搜索和优化的一种算法。

在非线性回归模型中，遗传算法可以用来搜索参数空间，从而得到最优解。

遗传算法的优点在于搜素范围广，具有较好的全局优化能力，但是计算量较大，需要进行多次迭代。

非线性回归模型与拟合优度分析

非线性回归模型与拟合优度分析一、非线性回归模型非线性回归模型是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。

相比于线性回归模型，非线性回归模型能更好地描述复杂的现实问题。

在非线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系被描述为一个非线性函数。

这种函数通常可以通过曲线、指数、对数、多项式等形式来表示。

与线性回归模型不同，非线性回归模型中的回归系数不再是简单的斜率，而是关于自变量的函数。

二、拟合优度分析拟合优度分析是衡量回归模型拟合程度的一种指标。

它用于评估模型对原始数据的拟合优度，即模型对观测值的拟合情况。

通过计算拟合优度指标，可以判断模型的拟合效果是否良好。

拟合优度分析常用的指标有R方值（R-squared），也称为决定系数。

R方值的取值范围为0到1，值越接近1表示模型拟合程度越好。

R方值等于1表示模型完全拟合了数据，等于0表示模型无法解释数据的变异。

三、非线性回归模型与拟合优度分析的应用非线性回归模型与拟合优度分析在各个领域都有广泛的应用。

以下以医学研究为例，说明其应用过程。

假设我们要研究一种新药物的疗效，药物的剂量为自变量，治疗效果为因变量。

我们通过实验得到了一组数据，包括不同剂量下的治疗效果观测值。

首先，根据研究的背景和理论基础，我们可以选择一个合适的非线性回归模型来描述药物剂量与治疗效果之间的关系。

这个模型可能是一个曲线函数，比如指数函数。

然后，我们利用统计软件进行参数估计，拟合出模型的回归系数。

拟合优度分析则通过计算R方值来评估模型的拟合优度。

在拟合完成后，我们可以得到模型的回归系数和R方值等统计结果。

最后，通过对统计结果的分析，我们可以判断非线性回归模型对药物剂量与治疗效果的拟合效果如何。

如果R方值较高，说明模型能很好地解释数据的变异，药物剂量与治疗效果之间存在明显的非线性关系。

四、总结非线性回归模型与拟合优度分析是一种重要的统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的非线性关系。

研究非线性回归模型及其拟合方法

研究非线性回归模型及其拟合方法在统计学中，回归分析是一种常用的数据分析方法，它用于研究自变量和因变量之间的关系。

在传统的线性回归模型中，假设自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量的变化可以通过自变量的线性组合来解释。

然而，在现实生活中，许多问题并不满足线性关系的假设，因此非线性回归模型成为研究的重要领域。

非线性回归模型是指自变量和因变量之间存在非线性关系的模型。

与线性回归模型相比，非线性回归模型可以更好地适应实际问题的复杂性。

在非线性回归模型中，自变量和因变量的关系可以是多项式、指数、对数、幂函数等形式。

例如，当我们研究人口增长与时间的关系时，人口增长的速度可能会随着时间的推移而减缓，这种关系无法用线性模型来描述，需要使用非线性回归模型。

拟合非线性回归模型是指通过统计方法确定模型参数，使得模型能够最好地拟合观测数据。

与线性回归模型不同，非线性回归模型的参数估计通常不能通过解析方法得到，需要使用数值优化算法进行求解。

常见的数值优化算法包括最小二乘法、最大似然估计、梯度下降法等。

这些方法通过迭代计算，不断调整模型参数，使得模型预测值与观测值之间的误差最小化。

在拟合非线性回归模型时，选择适当的模型形式是十分重要的。

一种常用的方法是通过观察数据的分布特征来选择模型形式。

例如，如果数据呈现出指数增长或衰减的趋势，可以考虑使用指数函数来描述。

此外，还可以通过绘制自变量和因变量之间的散点图来观察数据的分布情况，进而选择合适的模型形式。

除了选择模型形式外，还需要考虑模型参数的初值设定。

由于非线性回归模型通常具有多个参数，其初值的设定可能对拟合结果产生较大影响。

一种常用的方法是通过观察数据的特点来设定初值。

例如，对于指数函数形式的模型，可以通过计算数据的平均值或估计数据的增长率来设定初值。

在拟合非线性回归模型时，还需要注意模型的稳定性和可靠性。

一种常见的方法是通过拟合结果的统计检验来评估模型的拟合效果。

常用的统计检验方法包括残差分析、F检验、t检验等。

非线性泛函分析在优化问题中的应用

非线性泛函分析在优化问题中的应用非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，它在优化问题中发挥着重要的作用。

本文将从什么是非线性泛函分析、其在优化问题中的应用以及未来的发展方向三个方面来进行探讨。

非线性泛函分析是对非线性函数的研究，其中泛函是指一类映射，将函数映射为实数。

在非线性泛函分析中，我们研究的对象是函数空间中的元素，而不是实数域中的元素。

因此，非线性泛函分析相比于线性泛函分析更加复杂，但也更加有趣。

非线性泛函分析在优化问题中的应用非常广泛。

优化问题是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数取得最优值的变量取值。

这种问题在实际生活中随处可见，例如：企业如何最大化利润、如何最小化成本；交通运输系统如何最大化效率、如何最小化时间成本等等。

非线性泛函分析在优化问题中的应用主要体现在以下几个方面：1. 非线性规划非线性规划是指目标函数和约束条件都是非线性的优化问题。

非线性规划问题往往比线性规划问题更加困难，因为它们没有简单的解析解。

非线性泛函分析提供了一种有效的方法来解决这类问题，例如：使用梯度下降法、拟牛顿法等算法。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它可以用于寻找最佳拟合曲线。

非线性泛函分析可以用来处理非线性最小二乘问题，例如：使用高斯-牛顿法、莱文贝格-马夸特算法等。

3. 凸优化凸优化是指目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题。

凸优化问题具有很好的性质，例如：局部最优解也是全局最优解等。

非线性泛函分析可以用来处理非线性凸优化问题，例如：使用内点法、外点法等。

未来，非线性泛函分析在优化问题中的应用还有很大的发展空间。

随着计算机技术的不断发展，我们可以使用更加高效、更加复杂的算法来解决更加困难的问题。

同时，我们也需要更加深入地研究非线性泛函分析的理论基础，以便更好地应用于实际问题。

总之，非线性泛函分析在优化问题中发挥着重要的作用。

通过使用非线性泛函分析方法，我们可以更加有效地解决各种实际问题。

数值分析-非线性回归分析

非线性回归分析1．问题描述在熔盐泵模化试验中，根据模化方案，采用水作为试验介质，对输送介质密度ρp =1938kg/m3，粘度μp=0.00729Pa⋅s，转速n p=1450r/min，颗粒直径1mm，密度1938kg/m3，叶轮直径D p=250mm的原型泵进行模化试验，取x=0，得模型泵的转速n m=386.2r/min，叶轮直径D m=250mm。

颗粒1mm，直径密度1103.8kg/m3。

在不同的流量工况下，分别对这两台泵进行数值模拟，然后将流量、扬程和轴功率全部转换成无量纲的比流量、比扬程和比功率。

对其中的效率，比能量数值曲线进行拟合，实验数据结果如下，其中效率为a，比能量为b。

试求效率y对比能量x的回归方程。

方法一：2. 用STATISTICA进行非线性回归分析根据y与x的对应数据，EXCEL绘图可以看出来，他们之间满足指数关系（如下图所示），所以设回归方程为a=A b-Bb2+Cb3。

用STATISTICA做试验分析时采用自定义回归方程模块。

建立如图所示的数据表：3.回归过程详解输入自定义回归方程：采用Levenberg-Marquardt估计方法求解结果显示对话框：分析结果显示：方差分析结果如下：观测值，预测值，残差值如下：残差直方图：残差散点图：观测值与回归曲线对比图：结果分析：从上面的分析结果里我们可以看到系数a=18.0639，b=-91.9099，c=147.391，d=-0.42801即y=18.0639x3-91.9099x2+147.391x-0.42801。

我们可以看出拟合曲线和散点之间的相关度是0.99984089。

从残差直方图可以看出图像近似满足正态分布规律。

从残差散点图可以看出残差点没有明显的规律可寻，即说明残差基本满足随机分布。

综合以上分析可以说明，预测的回归曲线方程的参数与解析解非常的接近。

关系曲线方程为y=18.0639x3-91.9099x2+147.391x-0.42801。

非线性方程的数值计算方法实验

非线性方程的数值计算方法实验【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程0x f =）（的求解问题，无论在理论研究方面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。

综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿—拉夫森方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。

关键词非线性方程；二分法；迭代法；牛顿-拉夫森法；割线法等。

一、实验目的通过本实验的学习，应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识现实中非线性方程数值的意义；明确代数精度的概念；掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法；培养编程与上机调试能力。

二、实验原理二分法：单变量函数方程： f （x ）=0其中，f(x)在闭区间[a ，b]上连续、单调，且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知，方程f （x ）=0在（a ，b ）区间内有且只有一个解*x ，二分法是通过函数在区间端点的符号来确定*x 所在区域，将有根区间缩小到充分小，从而可以求出满足给定精度的根*x 的近似值。

下面研究二分法的几何意义：设1a =1, 1b =b, 区间[]11,b a ，中点1x =211b a +及()1x f ，若()1x f =0，则*x =1x ，若 f(1a )*f(1x )<0，令2a =1a ，2b =1x ，则根*x ∈ [2a ,2b ]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[2a ,2b ]，若 f(1b )*f(1x )<0，令2a =1x ，2b =1b ，则根*x ∈ [2a ,2b ]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[2a ,2b ],即f(2a )f(2b )<0,此时2b -2a =211a b -,对有根区间[2a ,2b ]重复上述步骤，即分半求中点，判断中电处符号，则可得长度有缩小一半的有根区间[2a ,2b ],如图所示：重复上述过程，第n 步就得到根*x 的近似序列{}n x 及包含*x 的区间套，如下：（1）...],....[],[],[2211⊃⊃⊃n n b a b a b a （2）],[,0)()(*n n n n b a x b f a f ∈< （3）n a -n b =)(1121---n n b a =…=12--n ab (4) ,2n n n b a x +=且|*x -n x |≤12--n ab (n=1,2,3…..) 显然lim n x ，且n x 以等比数列的收敛速度收敛于*x ，因此用二分法求f （x ）=0的实根*x 可以达到任意指定精度。

非线性回归模型在物理实验数据拟合中的应用

非线性回归模型在物理实验数据拟合中的应用物理实验数据拟合一直是科学研究中的重要任务之一，它有助于揭示实验结果背后的物理规律和现象。

然而，实验数据往往包含复杂的非线性关系，而传统的线性回归模型无法准确描述这些关系。

因此，非线性回归模型在物理实验数据拟合中广泛应用，以提高拟合精度和准确性。

一. 非线性回归模型的基本原理非线性回归模型是一种利用非线性函数对数据进行建模和拟合的方法。

它的基本原理是通过选择合适的非线性函数，并利用最优化算法估计函数中的参数，使得模型预测值与实验数据之间的差距最小化。

二. 物理实验数据拟合中的非线性回归模型选择在物理实验数据拟合中，选择合适的非线性回归模型对于准确描述实验数据至关重要。

常见的非线性回归模型包括指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数等。

选择合适的模型需要综合考虑实验数据的特征和背后的物理规律，并进行适当的模型检验和比较。

三. 非线性回归模型参数估计非线性回归模型的拟合过程需要估计模型中的参数，以使得模型预测值与实验数据之间的差距最小化。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、贝叶斯估计法等。

在实际应用中，根据实验数据的特点选取合适的参数估计方法，以获得准确的参数估计结果。

四. 实例分析：非线性回归模型在物理实验数据拟合中的应用以某物理实验中的数据拟合为例，实验数据呈现出指数增长的趋势。

根据实验数据的特征和物理规律，选择指数函数作为非线性回归模型进行拟合。

假设非线性回归模型为:y = a * exp(b * x)其中，y为因变量，x为自变量，a和b为模型的参数。

利用最小二乘法对模型进行参数估计，求解出最佳的参数估计值。

将实验数据带入非线性回归模型，得到拟合结果如下图所示：（插入拟合结果图）从拟合结果可以看出，非线性回归模型较好地拟合了实验数据，并且与实验数据之间的差距较小。

通过对模型参数的估计，我们可以获得物理实验数据背后的物理规律和趋势，进一步深入研究和分析物理现象。

非线性回归模型报告

附件二：实验报告格式（首页）山东轻工业学院实验报告成绩课程名称计量经济学基础指导教师苏卫东实验日期 2013-05-11 院（系）专业班级：实验地点：2机房学生姓名学号同组人无实验项目名称非线性回归模型的线性化一、实验目的和要求1、掌握Eviews中的常用函数及应用2、掌握用Eviews非线性回归模型的线性化分析3、在老师的指导下独立完成实验，并得到正确的结果。

二、实验原理Eviews解决非线性回归模型线性化问题三、主要仪器设备、试剂或材料Eviews软件、课本教材、电脑四、实验方法与步骤1、CREATE AB A 1980 19962、DATA GDP K L3、输入数据obs GDP K L 1980 103.52 461.67 394.79 1981 107.96 476.32 413.02 1982 114.1 499.13 420.5 1983 123.4 527.22 435.6 1984 147.47 561.02 447.5 1985 175.71 632.11 455.9 1986 194.67 710.51 466.94 1987 220 780.12 470.93 1988 259.64 895.66 465.15 1989 283.34 988.65 469.79 1990 310.95 1075.37 470.07 1991 342.75 1184.58 479.67 1992 411.24 1344.14 485.7 1993 536.1 1688.02 503.1 1994 725.14 2221.42 513 1995 920.11 2843.48 515.3 1996 1102.1 3364.34 512 4、GENR Y=LOG (GDP)GENR X1=LOG(K)GENR X2=LOG(L)LS Y C X1 X2Dependent Variable: YMethod: Least Squares Date: 05/11/13 Time: 11:43 Sample: 1980 1996Included observations: 17Variable CoefficientStd.Errort-Statistic Prob.C -10.45977 1.286923-8.127738 0.0000X1 1.021277 0.029404 34.73230 0.0000X2 1.471110 0.239277 6.148149 0.0000R-squared 0.998608Meandependent var5.600196Adjusted R-squared 0.998409S.D. dependentvar0.749974S.E. of regression 0.029914Akaike infocriterion-4.022223Sum squared resid 0.012528Schwarzcriterion-3.875185Log likelihood 37.188 F-statistic 5021.590 83Durbin-Watson stat 1.569165 Prob(F-statistic)0.0000005、view—actual，fitted,residual--actual，fitted,residual,graf五、实验数据记录、处理及结果分析由上表回归分析结果，估计的回归方程为Y=-10.4639 + 1.0211X1+ 1.4719X2（-8.1304）（34.7271）（6.1513）R²=0.9986 F=5020.103 DW=1.56831、经济意义检验根据回归结果，参数β1的估计量为1.0211，说明在其他变量不变的条件下，每多投入1亿元，GDP就会增加1.0211亿元；参数β2的估计量为1.4719，说明在其他变量不变的条件下，每多增加一万名就业人员，GDP增加1.4719亿元。

非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧

非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧随着科学技术的不断发展，非线性问题在各个领域中的应用越来越广泛。

而非线性方程的求解是解决这些问题的关键。

本文将介绍一些常用的非线性方程求解方法和优化算法的使用技巧，帮助读者更好地应对实际问题。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解方法。

它通过不断迭代逼近方程的根，直到满足预设的精度要求。

该方法的核心思想是利用方程的局部线性近似来逼近根的位置，并通过迭代逐步接近真实根。

在使用牛顿迭代法时，需要注意以下几点技巧：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代的效果有很大影响。

一般来说，初始值应该尽量靠近方程的根。

可以通过绘制方程的图像或者利用已知的近似解来选择初始值。

2. 收敛性判断：牛顿迭代法并不总能收敛到方程的根，因此需要对迭代过程进行收敛性判断。

常用的方法是判断迭代值的相对误差是否小于预设的精度要求。

3. 迭代次数的控制：为了避免无限迭代，需要设定最大迭代次数。

如果达到最大迭代次数仍未满足精度要求，则可以考虑调整初始值或者选择其他求解方法。

二、拟牛顿法拟牛顿法是一类利用迭代近似求解非线性方程的方法。

与牛顿迭代法不同的是，拟牛顿法不需要计算方程的导数，而是通过构造一系列近似矩阵来逼近方程的根。

在使用拟牛顿法时，需要注意以下几点技巧：1. 近似矩阵的选择：拟牛顿法的关键是构造合适的近似矩阵。

常用的近似矩阵有DFP算法和BFGS算法等。

选择合适的近似矩阵可以提高算法的收敛速度和稳定性。

2. 步长的确定：拟牛顿法需要确定每一步的迭代步长。

一般来说，步长应该保证在迭代过程中能够逐步逼近方程的根，但又不能过大导致迭代发散。

可以使用线性搜索或者信赖域方法来确定合适的步长。

三、遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。

它通过模拟自然界中的进化过程，不断迭代搜索最优解。

在求解非线性方程时，遗传算法可以用来寻找方程的最优解或者近似解。

在使用遗传算法时，需要注意以下几点技巧：1. 个体编码方式的选择：个体编码方式决定了问题的表示形式。

实验二_非线性回归模型估计

实验二非线性回归模型估计一、实验目的练习模型选择及非线性回归模型的估计方法。

用NLS 法估计成本函数、C-D 生产函数，利用C-D 函数测定宏观经济技术进步率，用NLS 法估计CES 生产函数，并掌握参数约束的Wald 检验。

二、实验要求运用给定的数据，依据相应的经济学理论，完成模型估计、选优、检验和应用等，掌握相应的EViews 操作方法。

三、实验内容1．选择成本函数的数学形式结合经济学中成本理论的有关知识，调用虚拟资料2.1CF 。

考虑三个备选模型：（1）双曲线：Xb b Y 10+= ；（2）对数曲线：X b b Y ln 10+=；（3）幂函数曲线：10b Xb Y =具体做法：（1）调入数据2.1CF（2）打出散点图，观察数据是否适宜采用线性形式？（3）分别用上述三个模型对数据进行拟合估计，有两种做法：A.线性化后运用回归命令进行OLS 法估计（运用genr 命令生成新变量）；B.直接对模型进行非线性模型估计（NLS 法，直接输入模型表达式）。

请比较分别用两种方式估计后的输出结果有无异同？（4）比较三种模型估计输出结果：可决系数R 2的变化；t 、F 检验的结论；AIC 、SC 准则的表现等，决定哪一个模型为最优？2．C-D 生产函数的估计和应用——测定宏观经济技术进步率及要素贡献率基本原理：反映技术进步的生产函数的一般形式为：)),(),((t t K t K f Y =。

这种生产函数分为三类：Hicks 中性技术进步、Harrod 中性技术进步和Solow 中性技术进步。

当技术进步类型为Hicks 中性时，理论形式写为：βαL K eA Y mt0= （1）对（1）式两边取对数得：mt L K A Y +++=ln ln ln ln 0βα （2）对（2）式两边微分得：m dtdL L dtdK K dtdY Y dtY d ++==111)(ln βα（3）将（3）式对应表示为： m l k y ++= βα （4）（4）式中α、β分别是劳动弹性和资本弹性，m 为技术进步率，l k y m - βα-=，即著名的索罗增长速度方程。

数值分析中的非线性方程求解与优化

数值分析中的非线性方程求解与优化数值分析是应用数学的一个重要分支，通过利用数值方法，将复杂的数学问题转化为计算机可以处理的形式，从而获得结果的近似解。

非线性方程求解与优化是数值分析的两个重要问题，本文将围绕这两个问题展开讨论。

一、非线性方程求解在数学中，非线性方程通常指的是未知量和其函数之间存在非线性关系的方程。

与线性方程不同，非线性方程的解往往无法用简单的代数方法求解，而需要借助数值方法来逼近求解。

1.试位法试位法是一种基本的非线性方程数值解法，其基本思想是通过在方程的根附近选择一个合适的初始值，并通过不断迭代逼近根的位置。

试位法的一种简单实现是二分法，即利用函数值的符号变化性来确定一个区间，并通过区间的二分来逼近根的位置。

2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程数值解法，它利用函数的局部线性逼近来不断迭代求解。

具体来说，牛顿迭代法首先通过选择一个初始值，然后通过函数的切线近似代替原函数，从而得到一个简单的线性方程，求解线性方程得到下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。

3.弦截法弦截法是一种解非线性方程的迭代方法，它与牛顿迭代法类似，但是不需要计算函数的导数。

具体来说，弦截法通过选择两个初始值，并通过这两个点所确定的直线与横轴的交点来逼近根的位置，然后再利用新的两个点来更新直线和根的位置，不断迭代直到满足精度要求。

二、非线性方程优化非线性方程优化是在满足一定约束条件下，求解使目标函数取得极值的问题。

该问题在实际应用中广泛存在，例如在经济学、工程学、管理学等领域都需要进行优化求解。

1.最优化理论最优化理论是研究优化问题的一门学科，其中非线性规划是最常见的一种形式。

非线性规划是在一组非线性约束条件下求解使目标函数取得极值的问题，其数学模型可以表示为：minimize f(x)subject to g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，f(x)是目标函数，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。

非线性方程数值解及优化方法

第4章非线性方程数值解及优化方法统计学中的一个重要问题是MLE估计问题,解决这样问题的关键是寻找似然方程的最优解.在很多情况下,我们不能直接得到似然方程的显式解,需要通过数值分析的方法得到方程的解.除极大似然外,统计学中也有许多其它的优化问题,如在Bayes决策问题中的最小风险、非线性最小二乘问题的求解问题等.上述求解都属于如下的一般问题：arg minθ∈Dg(θ),(4.1)其中g是参数向量θ的函数,称之为目标函数(objective function),而θ我们有时亦称之为决策变量(decision variable).决策变量的取值区域D称为可行集合(feasible set)或者候选集合(candidate set).由于最大化一个函数等价于其负值的最小化(−g(θ)),故区别最大与最小的意义不大.于是作为惯例,我们一般将考虑求取最小值的算法.这里我们需要区分有约束和无约束两种优化问题.当D就是g(θ)的定义域时,问题4.1就是一无约束优化问题(unconstrained optimization problem);否则,即是有约束优化问题(con-strained optimization problem).另外,在取值区域内D的某个特定子域内,可能有某个局部最小值,而在另外一个特定子域内存在另一个局部最小值.我们之后称全局最优(global optimum)即指在取值区域内D的最小值;称局部最优(local optimum)即指在取值区域内D的某个子域内的最小值.在本章,我们将主要考虑g关于θ为光滑且可微的情形,而g在离散区域上的优化问题将在最后给予介绍.§4.1单变量方程求根问题我们知道,很多优化问题都等价于是一个方程求根问题.因此,我们首先来讨论一元方程求根问题的数值解法,即对于给定的关于x的函数g寻找x使得g(x)=0.问题：求解函数log x/(1+x)的最大值?其等价于求方程g(x)=1+1/x−log x(1+x)2=0⇔1+1/x−log x=0的解.显然没有显式解。