397883实际问题与二次函数—知识讲解(基础)

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实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析

实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。

二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。

二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。

3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。

二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。

下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。

例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。

2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。

例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。

3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。

4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。

例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。

三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。

(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。

2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。

(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。

(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。

同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。

3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。

二次函数与实际问题

二次函数与实际问题一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一部分，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文旨在介绍二次函数的基本概念、性质以及如何应用到实际问题中。

二、二次函数的定义与性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a,b,c为常数，x,y为自变量和因变量。

2. 二次函数的图像特征（1）对称轴：x=-b/2a（2）顶点：(-b/2a, c-b²/4a)（3）开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

（4）零点：即方程ax²+bx+c=0的解。

当b²-4ac>0时，有两个不相等实根；当b²-4ac=0时，有一个重根；当b²-4ac<0时，无实根。

3. 二次函数与一次函数、常数函数的比较（1）一次函数y=kx+b是一个斜率为k、截距为b的直线。

（2）常数函数y=c是一个水平直线，其值始终为c。

（3）与一次函数相比，二次函数具有更加复杂的图像特征；与常数函数相比，二次函数具有更加丰富的变化。

三、二次函数的应用1. 最值问题对于二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，其最小值为c-b²/4a，即顶点的纵坐标；当a<0时，其最大值为c-b²/4a。

2. 零点问题对于二次函数y=ax²+bx+c，求其零点即为求解方程ax²+bx+c=0的解。

可以使用求根公式或配方法等方式来求解。

3. 优化问题在实际生活中，很多问题都可以转化为求某个目标函数的最大值或最小值。

例如，在制作一个长方形纸箱时，如何使得纸箱的容积最大？假设纸箱长为x，宽为y，高为h，则容积V=xyh。

由于长和宽已知，因此我们只需要确定h的取值范围，并找出使得V最大的h即可。

由于纸箱需要稳定，在实际中我们还需要考虑其他因素（如纸板厚度等），从而确定出一个合适的取值范围。

实际问题与二次函数

实际问题与二次函数引言在数学中，二次函数是一种常见的函数类型。

它的图像呈现出抛物线的形状，具有许多有趣的性质和应用。

在现实生活中，我们常常遇到一些实际问题，其中涉及到二次函数的概念和计算。

本文将从多个角度深入探讨实际问题与二次函数之间的关系。

二次函数的定义二次函数的一般形式可以写作f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，并且a 不等于零。

二次函数的图像通常是一个向上或向下开口的抛物线。

其中，二次项a 决定了抛物线的开口方向和形状，一次项b则影响了抛物线的位置，常数项c则表示了抛物线的纵坐标偏移量。

实际问题中的二次函数在现实生活中，我们可以用二次函数来描述许多实际问题。

以下是一些常见的实际问题，其中涉及到了二次函数的概念和计算。

问题1：自由落体假设一个物体从高空自由落体，忽略空气阻力。

我们可以用二次函数来描述其下落的高度与时间的关系。

假设物体从高度ℎ0开始下落，加速度为g，则其高度ℎ与时间t的关系可以表示为ℎ(t)=ℎ0−12gt2。

这是一个典型的二次函数，其中a=−12g，b=0，c=ℎ0。

通过解这个二次方程，我们可以计算出物体在任意时间下落的高度。

问题2：抛体运动抛体运动是另一个常见的实际问题，其中涉及到了二次函数。

假设一个物体以初速度v0和发射角度θ被抛出，忽略空气阻力。

我们可以用二次函数来描述其水平方向上的位移x与时间t的关系。

假设物体的水平位移与时间的关系可以表示为x(t)=v0cosθ⋅t，其中v0cosθ是物体在水平方向上的速度。

这是一个一次函数，其中a= 0，b=v0cosθ，c=0。

问题3：成本与利润在经济学中，成本和利润也可以用二次函数来描述。

假设一个公司的总成本是由固定成本和可变成本构成的，其中可变成本与产量成正比。

我们可以用二次函数来描述总成本C与产量x的关系。

一般来说，总成本可以表示为C(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是常数。

类似地，我们可以用二次函数来描述利润P与产量x的关系。

实际问题和二次函数讲课 28页PPT文档

Y
．B(1,2.25)
A
O
x
（0，1.25）
实际问题抽象转化
数学问题数运用学知识问题的解决
解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。 3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
例题水果批发商销售每箱进价为４０元的橙子，市场调查发现，若以每箱6０元的价格销售，平均每天销售30０箱，价格每提高１元，平均每天少销售10 箱．
3 2
的解集是_-_1_<_x<4
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0
-1
o -1
-2
1 2 34 5
x
的解集是X_<__-1_或x>4
-3 -4
-5
课前练习已知抛物线的对称轴为y轴，且过（2，0），（0，2），求抛物线的解析式
解：设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)
因为抛物线过（2，0），（0，2）
若设每件售价为x元，总利润为W元。你能列出
函数关系式吗？
解：设每箱售价为x元时获得的总利润为W元.
w =(x-40) [300-10(x-60)] (40<x<90) =(x-40)(900-10x)
=-10x2+1300x-36000 =-10(x2-130x)-36000 =-10［(x-65)2-4225)-36000 =-10(x-65)2+6250
=－10x2+100x+6000 =－10(x－5)2 + 6250 (0≤ x ≤30)
当x= 5 时，y最大．在涨价情况下，涨价元， 5 即定价 6元5 时，利润最大，最大利润是 6 25元0．

实际问题与二次函数—知识讲解打印3分

实际问题与二次函数—知识讲解（基础）要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【思路点拨】(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；(2)利用配方法求售价及最大销售利润.【答案与解析】(1)∵ 每件商品利润为(x-30)元． ∴ 销售m 件商品利润为m(x-30)元，又∵ m ＝162-3x ，∴ 每天利润y ＝(162-3x)(x-30)．即y ＝-3x 2+252x-4860．(2)∵ y ＝-3x 2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵ a ＝-3＜0，∴ 当x ＝42时，y 最大值＝432(元)．答：(1)函数关系式为y ＝-3x 2+252x-4860；(2)每件商品售价42元时，可获得最大利润，每天最大利润是432元．【实际问题与二次函数练习讲解】练习1.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数b kx y +=，且65=x 时，55=y ；75=x 时，45=y ．（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x 的范围．【答案】（1）据题意列⎩⎨⎧+=+=b k b k 75456555，解得⎩⎨⎧=-=1201b k ∴120+-=x y ， ∴W =)60)(120(-+-x x =721802-+-x x =90)90(2+--x 又∵60≤x ≤60×（1+45%），即60≤x ≤87，则x =87时获利最多将x=87代入，得W =－（87-90）2+900=891元 .（2）5072001802≥-+-x x ，即077001802≤+-x x)110)(70(≤--x x 110700110070≤≤⎩⎨⎧≤-≥-x x x 或⎩⎨⎧≤≥⎩⎨⎧≥-≤-701100110070x x x x （舍）则11070≤≤x ，但8760≤≤x ∴8770≤≤x 答：略.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+． ∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)， ∴ 20(06)6a =-+，即16a =-． ∴ 抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+．(3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26mm m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴ 支撑架总长22112(122)266A D D C C B m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212123m m =-++21(3)153m =--+．∵ 此二次函数的图象开口向下．∴ 当m ＝3时，。

实际问题与二次函数ppt

实际问题与二次函数ppt
2023-10-29
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 实际问题与二次函数的应用 • 二次函数在数学建模中的应用 • 二次函数与实际问题的案例分析 • 结论与展望
01
引言
主题的重要性
二次函数是数学中重要的概念之一，它在实际生活中有着广
泛的应用。
营销活动
在设计营销活动时，二次函数可以帮助企业找到投入与回报的最佳平衡点，实现最大利润。
航天问题
飞行轨迹
在航天领域，二次函数被广泛应用于计算飞行器的轨迹和速度，确保飞行器能够准确到达
预定的轨道。
航天器控制
在控制航天器时，二次函数可以帮助科学家们计算出最佳的推进力和方向，以实现航天器
的精准操控。
在绘制二次函数图像时，还要注意与x轴的交点坐标和开口方向等特征，以便更好地理解函数的性质和应用。
03
实际问题与二次函数的应用
投资问题
股票投资
在股票市场中，二次函数可以用于计算股票的上涨或下跌趋
势，为投资者提供参考。
债券投资
在债券投资中，利用二次函数可以分析利率变化对债券价格的影响，为投资者提供决策依据。
案例一：房屋按揭贷款问题
总结词
二次函数可解决房屋按揭贷款问题，帮助人们更好地理解每月需要偿还的金额。
详细描述
通过使用二次函数，我们可以计算出在给定的贷款期限内，每月需要偿还的金额。这可以帮助我们了解在按揭贷款期间内的每月负担，并做好资金规划。
案例二：股票投资问题
总结词
二次函数可以用来解决股票投资问题，帮助投资者更好地把握股票的买卖时机。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

初中数学实际问题与二次函数知识全解

《实际问题与二次函数》知识全解课标要求会根据实际问题建立二次函数的模型，会运用二次函数解决实际问题。

知识结构通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.重点与难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题，是本节的重点和难点.内容解析二次函数应用题从题设给定形式和解法上看，常见的有以下三类：①待定系数法型：题设明确给出两个变量间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用.解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式.②分析数量关系型：题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接根据题目中的等量关系写出函数关系式，并进行应用.解答的关键是认真分析题意，正确找出题目中所包含的等量关系.③自主建模型：根据已知条件自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题.这类问题建模要求高，有一定难度，应尽量使构造二次函数简单，以便解决问题时方便.重点难点重点：二次函数在实际问题中的应用.难点：从现实问题中建立二次函数模型.教法导引（1）通过学习本节内容让学生再次体会学习一种函数大致包括以下内容：①通过具体实例认识这种函数；②探索这种函数的图象和性质；③利用这种函数解决实际问题；④探索这种函数与相应方程等的关系.（2）教师要引导学生总结利用二次函数来解决实际问题的一般思路：数学结论数学模型回归实际问题实际问题的解答转化为数学问题实际问题（3）引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.（4）引导学生总结出解函数应用题的一般步骤：①设未知数(确定自变量和函数)；②找等量关系,列出函数关系式；③化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等)；④求自变量取值范围；⑤利用函数知识，求解（通常是最值问题）；⑥写出结论.学法建议学习过程中要善于通过具体问题的解决总结出解决一般性问题的规律，用一般规律指导其它问题的解决.。

实际问题与二次函数w

二次函数与线性规划的结合
总结词
求解优化问题
详细描述
在解决优化问题时，可以将二次函数与线性规划结合，利用线性规划的约束条件和目标函数，求解诸如资源配置、生产计划等优化问题。
04 解决实际问题的一般步骤
建立数学模型
01
02
03
理解问题背景
深入了解问题的实际背景，明确问题的目标、条件和限制。
05 实际问题的求解方法
代数法求解
代数法是求解二次函数实际问题最常用的方法之一。通过将实际问题转化为数学方程，利用二次方程的求根公式或因式分解法求解，得到自变量和因变量的关系式，从而解决实际问题。
例如，在求二次函数的最大值或最小值时，可以将二次函数配方为顶点式，利用顶点的坐标来求解。
图像法求解
例如，在解决速度、加速度和位移问题时，可以利用二次函数的导数来找到加速度的最大值或最小值，从而确定速度和位移的关系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
图像法是通过绘制二次函数的图像来直观地解决实际问题的方法。通过观察图像的开口方向、顶点和对称轴等特征，可以快速地找到函数的最大值或最小值，以及自变量和因变量的关系。
例如，在解决最优化问题时，可以绘制二次函数的图像，找到最优解的位置，从而得到最优的方案。
微积分法求解
微积分法是通过微积分的知识来求解二次函数实际问题的。通过对二次函数求导数，找到函数的极值点，从而确定自变量和因变量的关系。
提供重要的参考依据。
最大利润问题
要点一
总结词
最大利润问题是二次函数在经济领域中的重要应用，通过建立二次函数模型，可以解决最大化利润的问题。
要点二
详细描述

实际问题与二次函数课件

03 二次函数的应用
最大最小值问题
要点一
总结词
通过求二次函数的顶点，解决生活中的最大最小值问题。
要点二
详细描述
在二次函数中，顶点坐标可以通过公式$-frac{b}{2a}$和 $fleft(-frac{b}{2a}right)$求得。在解决实际问题时，我们可以通过找到二次函数的顶点，来找到某个量的最大值或最小值。例如，在建筑设计中，为了使建筑物的窗户或阳台获得最好的视野，需要找到最佳的窗户或阳台的高度和宽度。
02 实际问题与二次函数
生活中的二次函数问题
抛物线运动
在投掷、射箭等运动中，物体的运动轨迹可以近似地用二次函数描述。这是因为物体在空中的运动受到重力的影响，形成抛物线形状。
桥梁振动
大型桥梁在风力或地震作用下会产生振动，其振动幅度和频率与二次函数相关，通过研究这些函数的特性，可以预测桥梁的安全性。
04 实际问题的解决策略
建模策略
总结词
将实际问题转化为数学模型的关键步骤
详细描述
通过理解问题的本质，将实际问题的语言描述转化为数学表达式，构建出反映问题内在规律的数学模型。
图像分析策略
总结词
利用二次函数的图像解决实际问题的有效方法
VS
详细描述
通过绘制二次函数的图像，直观地展示函数的性质和变化规律，从而解决与二次函数相关的实际问题，如最值问题、交点问题等。
面积问题
总结词
利用二次函数解决生活中的面积问题。
详细描述
在解决与面积相关的问题时，我们可以将面积表示为二次函数的形式。例如，在农业中，为了最大化农作物的产量，需要找到最佳的种植密度。通过将种植密度表示为二次函数，可以找到最佳的种植密度，从而最大化农作物的产量。

中考专题讲座：实际问题与二次函数

中考专题讲座：实际问题与二次函数一、课标要求：1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

2、会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上理解二次函数的性质。

3、会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。

4、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

二、考试说明要求：1、理解：二次函数的相关概念、图像及性质。

2、掌握：能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，根据公式确定二次函数图像的顶点和坐标轴（公式不要求记忆和推导）。

能根据图像或解析式确定抛物线的开口方向，并能利用其性质解决简单的实际问题。

3、灵活应用：二次函数在实际中的应用。

4、过程和方法：通过二次函数应用举例，体现数学建模思想，重视数形结合的研究方法。

三、中考视点：2008中考试题21．（本题5分）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？（参考公式：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝-b/2a时，y=(4ac-b2)/4a）27．（本题10分）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋√3/3 PQ（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x 的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。

2007年中考试题：19.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量的取值范围）．四、题型分析（一）、最值问题：1、用长为32m的篱笆墙围成一个花园。

二次函数与实际问题

二次函数与实际问题引言二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是实际问题中常常遇到的数学模型。

二次函数的图像呈现出一种开口向上或者开口向下的曲线形状，能够很好地描述实际问题中的曲线关系。

本文将深入探讨二次函数及其在实际问题中的应用。

二次函数的定义与性质二次函数的定义：设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），其中a、b、c是常数，a称为二次函数的二次系数。

二次函数的图像当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

二次函数的顶点二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)。

二次函数的对称轴二次函数的对称轴方程为x = h（即x = -b/(2a)）。

二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。

二次函数在实际问题中的应用自由落体运动自由落体运动是一个常见的物理现象，也可以用二次函数来进行模拟和描述。

假设一个物体从高处自由落下，忽略空气阻力，它的下落距离与时间的关系可以用二次函数来表示。

抛物线轨迹抛物线轨迹是指一个物体在一个力的作用下进行受控抛射运动时所遵循的路径。

如投射运动中的抛体、水流喷泉等都可以用二次函数进行建模和描述。

开口向上的池塘有一片长方形的池塘，周围修建了一圈围墙。

围墙的材料价格是每米10元。

假设池塘的长为x米，宽为y米。

已知池塘的面积为100平方米。

要使得围墙的总价值最小，需要求解池塘的长和宽。

能量与时间的关系生活中很多实际问题涉及到能量的转化和传递，而能量与时间的关系常常可以用二次函数进行建模。

例如，弹簧振子的机械能与振动时间的关系、充电电池的电量衰减与使用时间的关系等等。

结论二次函数作为一种重要的数学模型，在实际问题中有着广泛的应用。

通过对二次函数的定义与性质的学习，我们可以更好地理解和解决实际问题，同时也提高了我们的数学建模能力。

通过本文对二次函数与实际问题的探讨，我们更深入地认识了二次函数的应用价值和意义。

实际问题与二次函数课件

掌握二次函数的基本性质、特点和常见应用，提高数学建模和解决问模型，运用二次函数解决实际问题，提高问题解决能力。
1 建模和解决
通过实际问题的建模和解决过程，理解如何将问题转化为二次函数模型。
2 例子：抛物线运动问题
通过具体的抛物线运动问题，展示如何运用二次函数对实际情况进行建模和解决。
3 应用
探索二次函数在经济学中的应用，揭示二次函数的实际应用领域和其重要性。
4 例子：二次函数在经济学中的应用
通过实际例子，展示二次函数在经济学中的应用场景，如市场需求曲线等。
实际问题与二次函数ppt 课件
本课程将探讨实际问题如何使用二次函数进行建模和解决，通过丰富的实例，深入了解二次函数的定义、性质以及实际应用。
引入
1 研究实际问题
实际问题是数学和科学的重要应用之一，可以通过二次函数进行建模和解决。
2 重要的数学工具
二次函数是解决实际问题的重要数学工具，在多个领域中得到广泛应用。
实践演习
1 编写二次函数程序
通过编写二次函数程序，模拟实际问题，加深对二次函数应用的理解。
2 利用数学工具求解
利用数学工具或编程语言，运用二次函数相关知识，求解实际问题，加深应用能力。
总结
1 实际问题与二次函数关系
通过本课程的学习，加深对实际问题与二次函数之间关系的理解和把握。
2 二次函数的基本性质和应用
二次函数
1 定义和一般式
了解二次函数的定义和一般式，掌握其基本形式和常见表示方法。
2 性质
• 对称性：探讨二次函数的对称轴和对称性质。
• 开口方向：了解二次函数的开口方向和相关概念。
• 零点和交点：掌握二次函数零点、交点和相关解析方法。

二次函数核心内容精讲

二次函数核心内容精讲二次函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式可以写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，而且a不等于零。

本文将围绕二次函数的定义、图像、性质和应用等方面进行精讲。

一、定义二次函数是以x的平方项为最高次幂的多项式函数。

通常写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

二、图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据二次函数的a值的正负和大小，抛物线的开口方向和形状会有所不同。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

三、性质1. 零点：二次函数的零点即为函数与x轴相交的点，可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

如果方程有两个不同实根，那么函数的图像将与x轴交于这两个点；如果方程有两个相等的实根，那么函数的图像将与x轴相切于这一点。

2. 最值：二次函数的最值取决于抛物线的开口方向。

当a大于零时，函数的最小值为抛物线的顶点；当a小于零时，函数的最大值为抛物线的顶点。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线。

对称轴可以通过取x = -b / (2a)来求得，即函数图像关于这条直线对称。

4. 范围：二次函数的范围取决于抛物线的开口方向。

当a大于零时，函数的范围为y大于等于抛物线顶点的纵坐标；当a小于零时，函数的范围为y小于等于抛物线顶点的纵坐标。

四、应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 物理学：抛物线的运动轨迹可以由二次函数来表达，例如自由落体运动中的位移函数、抛体运动中的轨迹函数等。

2. 经济学：二次函数可以用来描述市场的供求关系、成本与收益的关系等。

3. 工程学：在设计桥梁、弧线排水管道等工程项目时，二次函数可以用来描述曲线的形状和变化趋势。

结语通过对二次函数的定义、图像、性质和应用的精讲，我们可以更全面地理解和掌握二次函数的相关知识。

二次函数在数学和现实生活中都具有重要的应用，希望本文对读者有所帮助。

九年级数学-实际问题与二次函数—知识讲解-基础

实际问题与二次函数—知识讲解（基础）审稿：【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m ＝162-3x ．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【思路点拨】(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；(2)利用配方法求售价及最大销售利润.【答案与解析】(1)∵ 每件商品利润为(x-30)元．∴ 销售m 件商品利润为m(x-30)元，又∵ m ＝162-3x ，∴ 每天利润y ＝(162-3x)(x-30)．即y ＝-3x 2+252x-4860．(2)∵ y ＝-3x 2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵ a ＝-3＜0，∴ 当x ＝42时，y 最大值＝432(元)．答：(1)函数关系式为y ＝-3x 2+252x-4860；(2)每件商品售价42元时，可获得最大利润，每天最大利润是432元．【点评】1．读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；2．在实际问题中遇到最大(小)值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解．举一反三：【高清课程名称：实际问题与二次函数高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：练习讲解】【变式】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数b kx y +=，且65=x 时，55=y ；75=x 时，45=y ．（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x 的范围．【答案】（1）据题意列⎩⎨⎧+=+=b k b k 75456555，解得⎩⎨⎧=-=1201b k ∴120+-=x y ， ∴W =)60)(120(-+-x x =72001802-+-x x =900)90(2+--x又∵60≤x ≤60×（1+45%），即60≤x ≤87，则x =87时获利最多将x=87代入，得W =－（87-90）2+900=891元 .（2）50072001802≥-+-x x ，即077001802≤+-x x 0)110)(70(≤--x x110700110070≤≤⎩⎨⎧≤-≥-x x x 或⎩⎨⎧≤≥⎩⎨⎧≥-≤-701100110070x x x x （舍）则11070≤≤x ，但8760≤≤x ∴8770≤≤x答：略.类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+．∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴ 20(06)6a =-+，即16a =-． ∴ 抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+． (3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴ 支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212123m m =-++21(3)153m =--+． ∵ 此二次函数的图象开口向下．∴ 当m ＝3时，。

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