二次函数基本知识点梳理及训练(最新)
二次函数知识点梳理及经典练习（超详细）
⼆次函数知识点梳理及经典练习（超详细）⼆次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】⼀、基本概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0⼆次函数。
这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数0a≠，⽽b c，可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2. ⼆次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x的⼆次式，x的最⾼次数是2．⑵a b c，，是常数，a是⼆次项系数，b是⼀次项系数，c是常数项．⼆、⼆次函数基本形式1. ⼆次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4.()2y a x h k =-+的性质：三、⼆次函数图象的平移 1. 平移步骤：⽅法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移⽅法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位⽅法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）2. 平移规律： “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．四、⼆次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的⽐较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -?=++，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、⼆次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开⼝⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.⼀般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，、()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、⼆次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开⼝向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2bx a<-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a>-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a=-时，y 有最⼩值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开⼝向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2bx a<-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a>-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a=-时，y 有最⼤值244ac b a -．七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法 1.⼆次函数解析式表⽰⽅法：（1）⼀般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般有如下⼏种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系 1. ⼆次项系数a : 0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开⼝向上，a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当0a <时，抛物线开⼝向下，a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结：a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向，a 的正负决定开⼝⽅向，a 的⼤⼩决定开⼝⼤⼩． 2. ⼀次项系数b : 在⼆次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．▲ab 符号判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则03. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结：c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程20ax bx c ++=是⼆次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：（1）当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是⼀元⼆次⽅程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.（2）当0?=时，图像与x 轴只有⼀个交点；（3）当0?<时，图像与x 轴没有交点.①当0a >时，图像落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y >；②当0a <时，图像落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴⼀定相交，交点坐标为(0，)c ；3. ⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图像的位置判断⼆次函数2y ax bxc =++中a ，b ，c 的符号，或由⼆次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图像关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式2(0)ax bx c a ++≠本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以0a >时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：【基础题型概览】⼀、⼆次函数的基本概念 1、y=mx m2+3m+2是⼆次函数，则m 的值为（）A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-32、关于⼆次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（） A 、若a>0,则y 随x 增⼤⽽增⼤ B 、x>0时y 随x 增⼤⽽增⼤。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
最新二次函数分类知识点、考点、典型例题及练习
学习-----好资料二次函数分类知识点、考点、典型例题及对应练习题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
二次函数全部知识点及典型例题(全)
二次函数一．复习1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.2.函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：二．二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．例1.下列函数一定是二次函数的是__________.①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x 2 例2.若是221(3)2a a y a x --=--二次函数，则a=__________例 3.中的二次项系数=__________,一次项系数=__________,常数项=__________.例4.边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系式为_______________．例 6.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）c bx ax y ++=2xy 3-=1342+-=x x y c bx x m y ++-=2)1(2y =(2x -1)-6a b c练习：1.下列函数中是二次函数的有（ ）个.（1）1y x x=+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x =+ A.4 B.3 C.2 D.1 2．当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．3.若267(1)m m y m x-+=-是二次函数，则m 的值是( )．A.5B.1C.1或5D.以上都不对.4.将化成二次函数的一般式是：________________.5.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式___________________.6.（2014秋·温岭市校级月考） 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x 元，求每周的利润y （元）与涨价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(23)(1)3y x x =+--三．二次函数的图像及性质：二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象：二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值. （2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质x y要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：a 2(0)y ax c a =+≠例1．二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例2．已知y=(m+1)x 2m m +是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．2132y x =-+2y x =-21y x =-+(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________． 练习：1.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D.2.在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下21y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+25y x =212y x =-2y x =213y x =22y x =22y x =-212y x =C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点3.抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B.直线x=﹣ C ．y 轴 D ． x轴4.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，当x ＞0时，y 随x 的增大而________．5.函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．6.抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．7.已知直线与x 轴交于点A ，抛物线的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；2y x =212y x =23y x=2y ax c =+23y x =1y x =+22y x =-(2)若点B(，)，C(，)在抛物线C 上，且，试比较，的大小．8．（2014春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2 (a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质1x 1y 2x 2y 1212x x -<<1y 2y2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或例1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(222(1)3y x =-+(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．例2.二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．例3．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，抛物线解析式为______________.例4．已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线； （1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象； （3）观察的图象，当________时，y 随x 的增大而增大；当________时，函数y 有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y 的取值范围吗？21(3)42y x =-+212y x=212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+x x y =2()y a x h k =-+x例5．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．练习：1.抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ）A.y=(x －1)2+2 B.y=(x －1)2+ C.y=(x －1)2－3 D.y=(x+2)2－1 3．抛物线y=x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )2(2)3y x =-+-21212121212121A.y=(x+3)2－2 B.y=(x －3)2+2 C.y=(x －3)2－2 D.y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．由二次函数，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线C ．其最小值为1D ．当时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.7. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．21212121122--=x x y 2)1(-=x y 2)1(2--=x y 1)1(2++=x y 2)1(2-+=x y 22(3)1y x =-+3x =-3x <2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+二次函数与之间的相互关系：1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2()y a x h k =-+2b h a=-244ac b k a -=2y ax bx c =++2bx a=-24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2bx a=-，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++二次函数的图象与性质2(0)=++≠y ax bx c aa<a>02.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系20()y ax bx c a =++≠要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况．例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．例2.把一般式化为顶点式．2(0)y ax bx c a =++≠2b x a =-244ac b y a-=最值2ba-2bx a=-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2bx a=-2142y x x =-+-2286y x x =-+-（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标.例3．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．例4．求二次函数的最小值.例5.已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：； （2）求bc 的最大值．例6. 抛物线与y 轴交于(0，3)点：211322y x x =++21y x bx c =+++24c b =--2(1)y x m x m =-+-+(1)求出m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小练习：1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）．A ．0，5B ．0，1C ．-4，5D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（ ）． A .b=2，c=2 B . b=2，c=0 C . b= -2，c= -1 D . b= -3，c=25.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+2y ax bx c =++0a >0c <240b ac -<0a b c ++>25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.7.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴.第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是__________第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是_________8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．例1. 已知抛物线c bx ax y 2++=经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.例2. 形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为 ． 例3. 已知抛物线c bx ax y 2++=的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.例4.已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．练习：1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.2．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x时，y＞0．4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．5．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．。
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。
第二十二章 二次函数知识点归纳及典型问题训练
第二十二章二次函数【考点1】二次函数1、二次函数的概念一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
其中，，，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．x是自变量，a b c2、二次函数的一般式任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的形（2）描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，并向两端无限延伸。
2、二次函数2=的图象和性质y ax二次函数2y ax=是轴对称图形，抛物线与对y ax=。
抛物线2y ax=的图象叫做抛物线2称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。
1、二次函数2(0)=+≠的图象和性质y ax k a1、二次函数2()(0)y a x h a =-≠的图象和性质点拨：（1）二次函数2()(0)y a x h a =-≠与2(0)y ax a =≠的图象的形状完全相同，只是位置不同。
二次函数2()(0)y a x h a =-≠的图象可由二次函数2(0)y ax a =≠的图象向左或向右平移得到。
（1）当0>h 时，抛物线2()(0)y a x h a =-≠可由抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位长度得到，此时对称轴在y 轴的右侧；（2）当0<h 时，抛物线2()(0)y a x h a =-≠可由抛物线2(0)y ax a =≠向左平移||h 个单位长度得到，此时对称轴在y 轴的左侧；。
简记为“左加右减”，即自变量x 加上一个正数h ，二次函数图象向左平移h 个单位长度；自变量x 减去一个正数h ，二次函数图象向左平移h 个单位长度。
（3）确定二次函数2()(0)y a x h a =-≠图象的对称轴的方法：令0=-h x ，可得图象对称轴为直线h x =。
二次函数基本知识点梳理与训练(最新)
二次函数考点一一般地，如果y = ax2+ bx+ c(a、b、c是常数，0),那么y叫做x的二次函数.1 •结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式；②x的最高次数是 2③二次项系数2 .二次函数的三种基本形式一般形式： y= ax2+ bx + c(a、b、c 是常数，且0);顶点式：y= a(x — h)2+ k(a丰0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h, k);交点式：y = a(x —x“(x — x?)(a z 0)，其中x2是图象与 x轴交点的横坐标.考点二二次函数的图象和性质考点三2y=axy=a^^kv=a{x-hf-^k可求得使y >1成立的x 的取值范围是(二次函数y = ax2 + bx + c 的图象特征与 a 、b 、c 及b2 — 4ac 的符号之间的关系字母的符号图象的特征 甘 字扁、字母的符号 图彖的特征 L ：^=0繆过原点 61d>{)开口向上 40与》轴正半轴和立 J<O开口向下与、•轴億半-WJ+II 空b对称轴为*轴// 一 4[tc用一4皿=心与上轴47啡交点C 顶展■)血>0(也与b 同号)对称轴北却轴左侧 用一4口40与技轴有两个交点与 b 异号)对称轴在y 轴右侧H — 4 H 弋轴液有交点考点四任意抛物线y = a(x — h)2+ k 可以由抛物线y = ax 2经过平移得到，具体平移方法如下:考点五1. 设一般式:y= ax 2+ bx+ c(a^ 0). 若已知条件是图象上三个点的坐标.则设一般式y= ax 2+ bx + c(a* 0)，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值.2 .设交点式：y= a(x — x i )(x — X 2)(a 丰 0).若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标， 则设交点式：y= a(x — x i )(x — X 2)(a 工0),将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数 a,最后将解析式化为一般式. 23 .设顶点式：y= a(x — h) + k(a 丰0). 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式： y= a(x — h)2+ k(a^ 0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式 考点六二次函数的应用包括两个方法① 用二次函数表示实际问题变量之间关系.② 用二次函数解决最大化问题 (即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围. (1) 二次函数y = — 3x 2— 6x + 5的图象的顶点坐标是( )A . (— 1,8)B . (1,8) C. ( — 1,2)D . (1 , — 4)(2) 将二次函数y = x 2— 2x + 3化为y = (x — h)2+ k 的形式，结果为()A . y = (x + 1)2+ 4B . y = (x — 1)2+ 4 C. y= (x + 1)2+ 2 D .y = (x — 1)2+ 2向上卜QwO 评移UI 个叫』匕加卜一减 向右毒：>|=左奇人总平移匚不单迤向右各V©•左=入=¥移一竺牛单位左加右械向上下认vO ｝乎稿*|个单位 上加h'M⑶函数y= x2— 2x — 2的图象如下图所示，根据其中提供的信息,A . 1B . 2C . 31 .二次函数y = (x — 1)2+ 2的最小值是( A . 2B . 12. 抛物线y = (x — 2)2+ 3的顶点坐标是(A . (2,3)B . (— 2,3)C. C . — 1D . — 2)(2 , — 3) D . ( — 2, — 3)A . — 1w x w 3 B. — 1<x<3 C. x<— 1 或 x>3 D. x w — 1 或 x A 3 ⑷已知二次函数y= ax 2+ bx + c(a^ 0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2— 4ac>0 :② abc>0 :③ 8a+ c>0 :④ 9a+ 3b + c<0.其中，正确结论的个数是（ ）（5）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政 府补贴.规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额x （元）之间大致满 足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额 x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 z （元）会相应 降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.（1） 在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2） 在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 z 与政府补贴款额 x 之间的函 数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益 w （元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少元？并求出总收益 w 的最大值.【举一反三】3.抛物线y= a(x + 1)(x — 3)(a^ 0)的对称轴是直线()A . x = 1B . x=— 1C . x=— 3D . x = 34. 二次函数y=— 2x2+ 4x + 1的图象如何平移就得到 y = — 2x2的图象（）A .向左平移1个单位，再向上平移 3个单位A . y 1<y 2<y 3B . y 2<y 1<y 3C . y 3<y 1<y 2D . y 〔<y 3<y 2B .向右平移1个单位，再向上平移 3个单位C. 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移 3个单位5.把二次函数 y=— 4x 2-x + 3用配方法化成 y = a （x — h ）2+ k 的形式（）1 2 1 2A . y = — 4（x — 2）+ 2B. y= 4（x — 2）+ 4C . y = — 4（x + 2）2+ 4D. y= gx —甘+ 36. 二次函数y= ax 2+ bx + c 的图象如图所示，则下列关系式不正确..的是（）A . a v 0B . abc >0C . a + b + c >0d QCA7. 若A （ — —,y 1）、B （ — 4，y 2）、C （4，汨为二次函数y= x 2+ 4x — 5的图象上的三个点，贝yy ?、"的大小关系是（ ）8 .已知二次函数y= x 2— 2x — 3的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C,顶点为D.（1） 求点A 、B 、C 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象.（2） 说出抛物线y= x 2— 2x — 3可由抛物线y= x 2如何平移得到？⑶求四边形OCDB 的面积.、选择题（每小题3分，共36分）1 .已知抛物线y= ax 2+ bx+ c 的开口向下，顶点坐标为（2, — 3），那么该抛物线有（）A .最小值—3B.最大值—3C.最小值2D.最大值22.在平面直角坐标系中，抛物线y = x 2— 1与x 轴的交点的个数是（）④y\i i |i i i i ■ > i■ * 十 1—^-A . 3B . 2C . 1D . 03 .若二次函数 y = x 2+ bx + 5配方后为y = (x — 2)2+ k ，贝V b 、k 的值分别为( ) A . 0,5 B . 0,1 C .— 4,5 D . — 4,14.抛物线y = x 2+ bx + c 的图象向右平移2个单位，再向下平移 3个单位，所得图象的解析式为 y = x 2— 2x —3,则b 、c 的值为( A . b = 2, c = 2D . b =— 3, c = 25 .如图，已知抛物线 y = x 2+ bx + c 的对称轴为x = 2,点A 、B 均在抛物线上，且 AB 与x 轴平行，其中点 A 的坐标为(0,3)，则点B 的坐标为()A . (2,3)B . (3,2)C . (3,3)D . (4,3)a6.二次函数y = ax 2+ bx + c 的图象如图所示，反比例函数y =-与正比例函数y = (b + c)x 在同一坐标系中的大x致图象可能是( )7 . A . 8 . =x 2— 4上的一个点是( ) (4,4) B . (1 , — 4) C . (2,0) D . (0,4)已知二次函数y = ax 2+ bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )a>0 B . c<0 C .k对于反比例函数 y = 一，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y = kx 2+ kx 的大致图象是( )x110 .二次函数y =— 2(x — 4)2+ 5的图象的开口方向、顶点坐标分别是( )A.向上、(4,5)B.向上、(一4,5)C.向下、(4,5)D.向下、(一4,5)11 .抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )B . b = 2, c = 0在抛物线yx = 1,若其与x 轴一交点为 A(3,0),12. 在Rt △ ABC 中，/ C = 90° AC = 4 cm , BC = 6 cm ，动点 P 从点C 沿CA 以1 cm/s 的速度向点 A 运动， 同时动点Q 从点C 沿CB 以2 cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时， 另一个动点也停止运动. 则运动过程中所构成的△ CPQ 的面积y(cm 2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()13.若二次函数 y= — x 2+ 2x + k 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程一x 2+ 2x + k= 0的一个解x 1= 3,另一个解 x 2= ___________________ .14. ____________________________________________ 函数y = (x — 2)(3 — x)取得最大值时，x = .15. 已知二次函数 y= ax 2+ bx + c(a^ 0)，其中a 、b 、c 满足a+ b+ c= 0和9a — 3b+ c= 0，则该二次函数图象 的对称轴是直线 _________ .16.如图，是二次函数 y = ax 2+ bx+ c 图象的一部分，其对称轴为直线则由图象可知，不等式 ax 2+ bx+ c<0的解集是 __________ .17. 如右上图，小明的父亲在相距 2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状， 身高1米的小明距较近的那棵树 0.5米时，头部刚好接触到绳 子，则绳子的最低点距地面的距离为 ___________ 米.三、解答题洪44分)18. (15分)已知抛物线y=— x 2+ 2x + 2.B . y = - 2x 2+2D . y = — x +x +2yfcm 1) y(cm 2)、填空题(每小题4分，共20分)(1)该抛物线的对称轴是________ ，顶点坐标_________(2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； ⑶若该抛物线上两点 A (X I , y i )、B (X 2，y 2)的横坐标满足x i >x 2>i ，试比较y i 与y 2的大小.乂B V- V■ • ■yV V- V・• ■1 2y = -2X 2+ bx + c 的图象经过 A(2,0)、B(0，- 6)两点.(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数的对称轴与 X 轴交于点C,连结BA 、BC,求△ ABC 的面积.19.。
二次函数知识点归纳及相关习题(含答案)
a 的符号
开口方向 向上
顶点坐标
对称轴
性质
a0
0 ，0 0 ，0
y轴
x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 0 ． x 0 时， y 随 x 的增大增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最 大值 0 ．
2
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于 x 轴对称 y ax 2 bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；
y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；
2
二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ① y ax ； ② y ax k ； ③ y ax h ；
2 2
2
b 4ac b 2 . ，k 2a 4a
2
顶点式： y a( x h) 2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ） ； 两根式： y a( x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交 2 点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次 函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 y ax 的性质
抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y ax bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ，
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
第二十六章 二次函数(知识点复习)
第二十六章 二次函数一、知识点盘点1、二次函数的图象和性质解析式 顶点坐标 对称轴 图象y ＝ax 2(a ≠0)y ＝ax 2＋k(a ≠0)y ＝a(x －h)2(a ≠0)y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的系数与图象的关系（1）a 决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值。
a ＞0 开口向 有最 值；a ＜0 开口向 有最 值。
︱a ︱越大，开口越 ；︱a ︱越小，开口越 。
（2）a 、b 决定抛物线的对称轴和顶点位置。
b ＝0 对称轴是 ，顶点在 ；a 、b 同号 对称轴在y 轴的 侧， a 、b 异号 对称轴在y 轴的 侧； （3）c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置。
xy OxyOxy O xyO x yO x yOxy O xy O xy O x yO x yOxy O xy O xyOx yO x yO xy OxyO（0，c ）是抛物线与y 轴的交点坐标。
当c ＝0 抛物线过 ；c ＞0 抛物线交y 轴 ；c ＜0 抛物线交y 轴 。
（4）b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴公共点的个数b 2－4ac ＞0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＝0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＜0 抛物线与x 轴有 个公共点。
（5）抛物线的特殊位置与系数的关系顶点在x 轴上 b 2－4ac 0；顶点在y 轴上 b 0；顶点在原点 ；抛物线经过原点 。
3、二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝－ b2a，顶点坐标 为（－ b2a ，4ac －b 24a）.（2）顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为（h,k ）。
（3）交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0 )，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根。
二次函数基本知识点梳理及训练(最新)
二次函数基本知识点梳理及训练(最新) 二次函数是初中数学的重要内容之一，也是高中数学的基础。
它是一个形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，x是自变量。
在这篇文章中，我们将通过一些有趣的例子来帮助你更好地理解二次函数的基本知识点。
让我们来看一个简单的例子。
假设你正在参加一场婚礼，新郎新娘要求你在婚礼上做一个小游戏。
游戏规则是这样的：他们会给你一张纸条，上面写着一个二次函数的表达式，比如y=2x^2-3x+1。
你需要在规定的时间内猜出这个函数的顶点坐标。
听起来很有趣吧？你知道如何求出二次函数的顶点坐标吗？答案是：使用公式y=(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a。
其中，a、b、c分别是二次函数的系数，sqrt表示根号。
例如，对于y=2x^2-3x+1这个函数，a=2,b=-3,c=1。
将这些值代入公式，我们可以得到顶点的横坐标为(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a=(3±sqrt(9-8))/4=(3±1)/4=1或2。
因此，这个函数的顶点坐标为(1,0)或(2,0)。
接下来是一个更难一点的例子。
假设你是一位厨师，正在为自己的餐厅设计一道新菜。
这道菜的味道非常特别，需要用到二次函数的知识。
你的顾客们都很好奇这道菜的味道是如何制作的，于是你决定给他们做一个演示。
你可以准备一些食材和工具，然后按照以下步骤制作这道菜：1. 你需要准备一些鸡肉和土豆。
将它们切成小块备用。
2. 在一个大碗里加入适量的盐、胡椒粉、生抽和料酒，搅拌均匀后放入鸡肉和土豆块腌制30分钟左右。
3. 接着，在一个平底锅中倒入适量的油，加热至六成热后放入腌制好的鸡肉和土豆块翻炒至金黄色捞出备用。
4. 在一个干净的大碗里加入适量的白糖、醋和番茄酱，并加入适量的水调匀制成酸甜汁。
将炒好的鸡肉和土豆块放入酸甜汁中浸泡片刻即可食用。
这就是一道简单的二次函数应用实例——鸡肉土豆煲。
二次函数知识点总结及基础训练
二次函数复习资料第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =； ②k ax y +=2； ③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2； ⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y =的性质二次函数2y ax c =+的性质✧ 二次函数y a x h =-的性质：✧ 二次函数()2y a x h k =-+的性质✧ 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a=-.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.✧ 抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. ✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121✧ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
二次函数知识点及习题集(内容全部)
二次函数知识点1. 二次函数的解析式三种形式一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0)顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 交点式 12()()y a x x x x =--2. 二次函数图像与性质① 对称轴：2bx a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标（0，c ）② 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 ③ 二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 ④ 图像平移步骤（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 ⑤ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x +=⑥ 根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向（2）b ——对称轴与a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点3. 二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）《伴你成长》题型2 二次函数的性质例2 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小《伴你成长》题型3 二次函数的图像《伴你成长》题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例3函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）点拨：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．《伴你成长》题型5 二次函数的平移例4.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-题型6 二次函数应用销售利润类问题及其他例5 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。
人教版九年级上册数学《二 次 函 数》知识点梳理与过关练习(含答案)
人教版九年级上册数学《二 次 函 数》 知识点梳理与过关练习一．知识点梳理1.定义:一般地,形如y= 的函数叫做x 的二次函数.其中 是自变量, 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2. 在二次函数中,含x 的代数式必须是整式,含x 项的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.3. 一般形式y= . 二．过关练习1. 若关于x 的函数y=(2-a)x 2-x 是二次函数,则a 的取值范围是 ( ) A.a ≠0B.a ≠2C.a<2D.a>22. 下列各式中,y 是x 的二次函数的为 ( ) A.y=-9+x 2B.y=-2x+1C.y=√x 2+4D.y=-(x+1)+33. 设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y 与x 的函数表达式是 ( ) A.y=12x 2B.y=14x 2C.y=√32x 2D.y=√34x 24. 对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是 ( ) A.y=mx 2+3x-1 B.y=(m-1)x 2C.y=(m-1)2x 2D.y=(-m 2-1)x 25. 若y=(a+4)x |a|-2+5x-8是二次函数,则a 的值为 ( )A.-4B.4C.±4D.±26.某商店出售某种手工艺品,进价为每件10元的商品,当售价为x 元时,可卖出(80-x)件,则商品所赚利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为 ( ) A.y=-x 2+80x-800B.y=x 2-90x+800C.y=-x 2+90x+800D.y=-x 2+90x-8007. 如图,正方形ABCD 的边长为5,点E 是AB 上一点,点F 是AD 延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为( )A.y=5-x(0≤x<5)B.y=5-x 2(0≤x<5) C.y=25-x(0≤x<5)D.y=25-x 2(0≤x<5)8.已知x 是实数,且满足(x-2)(x-3)√1-x =0,则相应的函数y=x 2+x+1的值为A.13或3B.7或3C.3D.13或7或39. 某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数表达式: ,它(填“是”或“不是”)二次函数. .10. 长方体底面周长为50 cm,高为10 cm,则长方体体积y(cm3)关于底面的一条边长x(cm)的函数表达式是,其中x的取值范围是.11. 一个长方形的长比宽多3 cm,设原长方形宽为x cm,面积为y cm2,则y与x之间的函数表达式为.12.如图,在一幅长50 cm,宽30 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为y cm2,金色纸边的宽为x cm,则y与x的函数关系式是.13. 如果函数y=+7x+2是关于x的二次函数,那么k的值是.14.某宾馆有40个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为160元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每间每天房价定为x元,宾馆每天利润为y元,则y与x的函数关系式为.15. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,设运动的时间为x s,四边形APQC的面积为y mm2.(1)求y与x之间的函数表达式.(2)求自变量x的取值范围.16. 某商场购进一种单价为40元的商品,如果以单价60元售出,那么每天可卖出300个,根据销售经验,每降价1元,每天可多卖出20个,假设每个降价x元,每天销售y个,每天获得利润W元.(1)写出y与x的函数关系式.(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).17.某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(2)设计费能达到24 000元吗?为什么?人教版九年级上册数学《二 次 函 数》知识点梳理与过关练习（解析版）一．知识点梳理1.定义:一般地,形如y= ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0) 的函数叫做x 的二次函数.其中 x 是自变量, a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2. 在二次函数中,含x 的代数式必须是整式,含x 项的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.3. 一般形式y= ax 2+bx+c(a ≠0) . 二．过关练习1. 若关于x 的函数y=(2-a)x 2-x 是二次函数,则a 的取值范围是 ( B ) A.a ≠0B.a ≠2C.a<2D.a>22. 下列各式中,y 是x 的二次函数的为 ( A ) A.y=-9+x 2B.y=-2x+1C.y=√x 2+4D.y=-(x+1)+33. 设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y 与x 的函数表达式是 ( D ) A.y=12x 2B.y=14x 2C.y=√32x 2D.y=√34x 24. 对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是 ( D ) A.y=mx 2+3x-1 B.y=(m-1)x 2C.y=(m-1)2x 2D.y=(-m 2-1)x 25. 若y=(a+4)x |a|-2+5x-8是二次函数,则a 的值为 ( B )A.-4B.4C.±4D.±26.某商店出售某种手工艺品,进价为每件10元的商品,当售价为x 元时,可卖出(80-x)件,则商品所赚利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为 ( D ) A.y=-x 2+80x-800B.y=x 2-90x+800C.y=-x 2+90x+800D.y=-x 2+90x-8007. 如图,正方形ABCD 的边长为5,点E 是AB 上一点,点F 是AD 延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 与BE 的长x 之间的函数关系式为( D )( C ) A.13或3B.7或3C.3D.13或7或39. 某校九(1)班共有x 名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y 次,试写出y 与x 之间的函数表达式: y=12x 2-12x ,它 是 (填“是”或“不是”)二次函数.10. 长方体底面周长为50 cm,高为10 cm,则长方体体积y(cm 3)关于底面的一条边长x(cm)的函数表达式是 y=-10x 2+250x ,其中x 的取值范围是 0<x< 25 .11. .一个长方形的长比宽多3 cm,设原长方形宽为x cm,面积为y cm 2,则y 与x 之间的函数表达式为 y=x 2+3x .12.如图,在一幅长50 cm,宽30 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为y cm 2,金色纸边的宽为x cm,则y 与x 的函数关系式是 y=4x 2+160x+1 500 .13. 如果函数y=+7x+2是关于x 的二次函数,那么k 的值是 0 .14.某宾馆有40个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为160元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每间每天房价定为x 元,宾馆每天利润为y 元,则y 与x 的函数关系式为 y=-x 210+58x-1 120 .15. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合),动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P,Q 分别从A,B 同时出发,设运动的时间为x s,四边形APQC 的面积为y mm 2.(1)求y 与x 之间的函数表达式. (2)求自变量x 的取值范围.【解析】(1)由运动可知,AP=2x,BQ=4x,则y=12BC ·AB-12BQ ·BP=12×24×12-12·4x ·(12-2x),即y=4x 2-24x+144. (2)∵0<AP<AB,0<BQ<BC,∴0<x<6.(1)写出y与x的函数关系式.(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).【解析】(1)设每个降价x元,每天销售y个,y与x的函数关系式为:y=20x+300.(2)由题意可得,W与x的函数关系式为:W=(300+20x)(60-40-x)=-20x2+100x+6 000.17.某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(2)设计费能达到24 000元吗?为什么?【解析】(1)∵矩形的一边为x米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米,∴S=x(8-x)=-x2+8x,其中0<x<8.(2)能.∵当设计费为24 000元时,面积为24 000÷2 000=12(平方米),即-x2+8x=12,解得x=2或x=6,符合x的取值范围.∴设计费能达到24 000元.。
二次函数各知识点、考点、典型例题及练习
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是；○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。
○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。
○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。
○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。
~○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。
○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。
○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。
○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。
最新二次函数知识点总结及典型例题
浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y二ax2・bx c（a,b,c是常数，a 0），特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。
2y = ax bx c（a,b,c是常数，a = 0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x二—对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法----- 五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y =ax2• bx - c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
_ 2【例1】、已知函数y=x -2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出x取哪些值时，①y=0 :②y<0 :③y>0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）—般一般式：y = ax2• bx • c（a, b, c是常数，a = 0）（2）两根当抛物线y = ax2• bx • c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程ax2 bx 0有实根乂勺和2 2x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax ■ bx ■ c =a（x - xj（x - x2），二次函数y = ax bx c可转化为两根式y =a（x -x j（x -X2）。
(完整word版)初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结（含典型例题）
二次函数概念:
1・：次曲效的慨念：•心地•形如严.宀2心・h.常数・"()》的慚珈.叫做•:次函取
叽需妥强调:和元：次方程类似.二次烦系数a*0.而氛c可以为冷.二次函救的定义坡;.
2
2.・次说放y三亦斗加y的九哪J待征匕
⑴弄号左边是函熬，冇边足淡HT变肛•的二决式，x的J5髙次数足2・
⑵X h.c臨加a&Z次换系数.b艮•次顶系妆.cl^；M.
二、二次函数的基本形式
I.：坎廁以AE公形儿卜一川的血几
3桅对值越大.拢物线的开口越小。
2. y = ax"十c的性庚:
上加卜•賊.
3.厂0(・丫-/”•的Ft质:
左加右
4.」i心-")•事*的加讯；。
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二次函数考点一一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a≠0.2．二次函数的三种基本形式一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质考点三①二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系考点四任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：考点五1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式考点六二次函数的应用包括两个方法①用二次函数表示实际问题变量之间关系．②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4)(2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为()A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2(3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是()②A．－1≤x≤3 B．－1<x<3 C．x<－1或x>3 D．x≤－1或x≥3(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4(5)为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少元？并求出总收益w的最大值．【举一反三】1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是()A．2B．1C．－1D．－22．抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是()A．(2,3)B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3)3．抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝－3D．x＝34．二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象如何平移就得到y＝－2x2的图象( )A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位③④B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位5．把二次函数y ＝－14x 2－x ＋3用配方法化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式( )A ．y ＝－14(x －2)2＋2B ．y ＝14(x －2)2＋4C ．y ＝－14(x ＋2)2＋4 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －122＋3 6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式不正确．．．的是( )A ．a ＜0B ．abc ＞0C ．a ＋b ＋c ＞0D ．b 2－4ac ＞07．若A(－134，y 1)、B(－54，y 2)、C(14，y 3)为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 28．已知二次函数y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求点A 、B 、C 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象． (2)说出抛物线y ＝x 2－2x －3可由抛物线y ＝x 2如何平移得到？ (3)求四边形OCDB 的面积．一、选择题(每小题3分，共36分)1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( ) A ．最小值－3 B ．最大值－3 C ．最小值2 D ．最大值2 2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( )A．3B．2C．1D．03．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为()A．0,5 B．0,1 C．－4,5 D．－4,14．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为()A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝25．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为()A．(2,3) B．(3,2) C．(3,3) D．(4,3)6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y ＝ax与正比例函数y＝(b＋c)x在同一坐标系中的大致图象可能是()7．在抛物线y＝x2－4上的一个点是()A．(4,4) B．(1，－4) C．(2,0) D．(0,4)8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是() A．a>0 B．c<0 C．b2－4ac<0 D．a＋b＋c>09．对于反比例函数y＝kx，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2＋kx的大致图象是()10．二次函数y＝－12(x－4)2＋5的图象的开口方向、顶点坐标分别是()A．向上、(4,5) B．向上、(－4,5) C．向下、(4,5) D．向下、(－4,5) 11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是()⑤A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2＋12x＋1 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋212.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C沿CA以1 cm/s的速度向点A运动，同时动点Q从点C沿CB以2 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()二、填空题(每小题4分，共20分)13．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝________.14．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时，x＝________.15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c满足a＋b＋c＝0和9a－3b＋c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线________．16．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．17．如右上图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．三、解答题(共44分)18．(15分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________．⑥(2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大小．19．(14分)如图，已知二次函数y ＝－12x2＋bx＋c的图象经过A(2,0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．⑦。